Die Bedeutung der quadratischen Gleichung. Lösung quadratischer Gleichungen, Wurzelformeln, Beispiele

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Es werden die Fälle von reellen, multiplen und komplexen Wurzeln betrachtet. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms. Geometrische Deutung. Beispiele für Wurzelfindung und Faktorisierung.

Grundlegende Formeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt, so lässt sich das Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren darstellen (faktorisiert):
.

Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
In Betracht ziehen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit, ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn gebaut Funktionsgraph
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn , schneidet der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten.
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt.
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht.

Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
Wo
; .

Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ist ersichtlich, dass die Gleichung

durchgeführt bei
Und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

Lösung

.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des quadratischen Trinoms in Faktoren:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse an zwei Punkten.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die x-Achse (Achse) an zwei Punkten:
Und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

Antworten

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Lösung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in Gesamtansicht:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse an einem Punkt.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann heißt eine solche Wurzel ein Vielfaches. Das heißt, sie gehen davon aus, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

Antworten

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Lösung

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.

Dann


.

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszisse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Antworten

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Videolektion 2: Lösen quadratischer Gleichungen

Vorlesung: Quadratische Gleichungen

Die gleichung

Die gleichung- Dies ist eine Art Gleichheit, in deren Ausdrücken eine Variable enthalten ist.

löse die Gleichung- bedeutet, anstelle einer Variablen eine solche Zahl zu finden, die zur richtigen Gleichheit führt.

Eine Gleichung kann eine Lösung haben, mehrere oder gar keine.

Um eine Gleichung zu lösen, sollte sie so weit wie möglich zu folgender Form vereinfacht werden:

Linear: a*x = b;

Quadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Das heißt, jede Gleichung muss vor dem Lösen in eine Standardform umgewandelt werden.

Jede Gleichung kann auf zwei Arten gelöst werden: analytisch und grafisch.

In der Grafik gelten die Punkte als Lösung der Gleichung, an denen die Grafik die x-Achse schneidet.

Quadratische Gleichungen

Eine Gleichung kann quadratisch genannt werden, wenn sie vereinfacht die Form annimmt:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Dabei a, b, c sind Koeffizienten der Gleichung, die von Null verschieden sind. A "X"- Wurzel der Gleichung. Es wird angenommen, dass eine quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat oder überhaupt keine Lösung hat. Die resultierenden Wurzeln können dieselben sein.

"A"- der Koeffizient, der im Quadrat vor der Wurzel steht.

"B"- steht im ersten Grad vor dem Unbekannten.

"Mit"- freier Term der Gleichung.

Wenn wir zum Beispiel eine Gleichung der Form haben:

2x 2 -5x+3=0

Darin ist "2" der Koeffizient am höchsten Term der Gleichung, "-5" ist der zweite Koeffizient und "3" ist der freie Term.

Lösen einer quadratischen Gleichung

Es gibt viele Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Im Schulmathematikkurs wird die Lösung jedoch unter Verwendung des Vieta-Theorems sowie unter Verwendung der Diskriminante untersucht.

Diskriminante Lösung:

Beim Lösen mit diese Methode Es ist notwendig, die Diskriminante nach der Formel zu berechnen:

Wenn Sie während der Berechnungen herausgefunden haben, dass die Diskriminante kleiner als Null ist, bedeutet dies, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.

Wenn die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei identische Lösungen. In diesem Fall kann das Polynom gemäß der abgekürzten Multiplikationsformel in das Quadrat der Summe oder Differenz zerlegt werden. Dann lösen Sie es wie eine lineare Gleichung. Oder verwenden Sie die Formel:

Wenn die Diskriminante größer als Null ist, muss die folgende Methode verwendet werden:

Satz von Vieta

Wenn die Gleichung reduziert wird, dh der Koeffizient am höchsten Term gleich eins ist, können Sie verwenden Satz von Vieta.

Nehmen wir also an, die Gleichung lautet:

Die Wurzeln der Gleichung werden wie folgt gefunden:

Unvollständige quadratische Gleichung

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine unvollständige quadratische Gleichung zu erhalten, deren Form vom Vorhandensein von Koeffizienten abhängt.

1. Wenn der zweite und der dritte Koeffizient gleich Null sind (b=0, c=0), dann sieht die quadratische Gleichung so aus:

Diese Gleichung wird haben einzige Entscheidung. Gleichheit ist nur wahr, wenn die Lösung der Gleichung Null ist.

In Fortsetzung des Themas „Gleichungen lösen“ führt Sie das Material in diesem Artikel in quadratische Gleichungen ein.

Betrachten wir alles im Detail: das Wesen und die Notation einer quadratischen Gleichung, stellen Sie verwandte Terme ein, analysieren Sie das Schema zur Lösung unvollständiger und vollständiger Gleichungen, machen Sie sich mit der Formel der Wurzeln und der Diskriminante vertraut, stellen Sie Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten her und natürlich Wir werden eine visuelle Lösung von praktischen Beispielen geben.

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Quadratische Gleichung, ihre Typen

Bestimmung 1

Quadratische Gleichung ist die Gleichung geschrieben als a x 2 + b x + c = 0, Wo X– variabel, a , b und C sind einige Zahlen, während A ist nicht null.

Häufig werden quadratische Gleichungen auch als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet, da eine quadratische Gleichung eigentlich eine algebraische Gleichung zweiten Grades ist.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die gegebene Definition zu veranschaulichen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 usw. sind quadratische Gleichungen.

Bestimmung 2

Zahlen a , b und C sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, während der Koeffizient A heißt der erste oder Senior oder Koeffizient bei x 2, b - der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei X, A C freies Mitglied genannt.

Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 der höchste Koeffizient ist 6, der zweite Koeffizient ist − 2 , und der freie Begriff ist gleich − 11 . Achten wir darauf, dass bei den Koeffizienten B und/oder c sind dann negativ Kurzform Aufzeichnungen des Formulars 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, und nicht 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Lassen Sie uns auch diesen Aspekt verdeutlichen: Wenn die Koeffizienten A und/oder B gleich 1 oder − 1 , dann dürfen sie sich nicht explizit an der Erstellung der quadratischen Gleichung beteiligen, was sich durch die Besonderheiten beim Schreiben der angegebenen numerischen Koeffizienten erklärt. Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung y 2 − y + 7 = 0 der Senior-Koeffizient ist 1 und der zweite Koeffizient ist − 1 .

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Entsprechend dem Wert des ersten Koeffizienten werden quadratische Gleichungen in reduzierte und nicht reduzierte unterteilt.

Bestimmung 3

Reduzierte quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der der führende Koeffizient 1 ist. Für andere Werte des führenden Koeffizienten ist die quadratische Gleichung nicht reduziert.

Hier einige Beispiele: Es werden quadratische Gleichungen x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduziert, bei denen der führende Koeffizient jeweils 1 ist.

9 x 2 - x - 2 = 0- nicht reduzierte quadratische Gleichung, bei der der erste Koeffizient unterschiedlich ist 1 .

Jede nicht reduzierte quadratische Gleichung kann in eine reduzierte Gleichung umgewandelt werden, indem beide Teile durch den ersten Koeffizienten dividiert werden (äquivalente Transformation). Die transformierte Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die gegebene nicht reduzierte Gleichung oder hat auch überhaupt keine Wurzeln.

Rücksichtnahme Fallstudie wird es uns ermöglichen, den Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten visuell zu demonstrieren.

Beispiel 1

Gegeben sei die Gleichung 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es ist notwendig, die ursprüngliche Gleichung in die reduzierte Form umzuwandeln.

Lösung

Nach obigem Schema dividieren wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 6 . Dann bekommen wir: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, und das ist dasselbe wie: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 und weiter: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Von hier: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Somit wird eine der gegebenen äquivalente Gleichung erhalten.

Antworten: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Wenden wir uns der Definition einer quadratischen Gleichung zu. Darin haben wir das festgelegt a ≠ 0. Eine ähnliche Bedingung ist für die Gleichung erforderlich a x 2 + b x + c = 0 war genau quadratisch, da a = 0 es wandelt sich im Wesentlichen in eine lineare Gleichung um b x + c = 0.

In dem Fall, wo die Koeffizienten B Und C gleich Null sind (was sowohl einzeln als auch gemeinsam möglich ist), heißt die quadratische Gleichung unvollständig.

Bestimmung 4

Unvollständige quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung a x 2 + b x + c \u003d 0, wobei mindestens einer der Koeffizienten B Und C(oder beides) ist null.

Vervollständige die quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der alle numerischen Koeffizienten ungleich Null sind.

Lassen Sie uns diskutieren, warum die Typen quadratischer Gleichungen genau solche Namen erhalten.

Für b = 0 nimmt die quadratische Gleichung die Form an a x 2 + 0 x + c = 0, was dasselbe ist wie a x 2 + c = 0. Bei c = 0 Die quadratische Gleichung wird geschrieben als a x 2 + b x + 0 = 0, was äquivalent ist a x 2 + b x = 0. Bei b = 0 Und c = 0 Die Gleichung nimmt die Form an a x 2 = 0. Die erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides gleichzeitig enthalten. Tatsächlich gab diese Tatsache dieser Art von Gleichungen den Namen - unvollständig.

Beispielsweise sind x 2 + 3 x + 4 = 0 und − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 vollständige quadratische Gleichungen; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Die oben gegebene Definition ermöglicht es, die folgenden Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen zu unterscheiden:

• a x 2 = 0 entsprechen Koeffizienten einer solchen Gleichung b = 0 und c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 für b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 für c = 0 .

Betrachten Sie nacheinander die Lösung jeder Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen.

Lösung der Gleichung a x 2 \u003d 0

Wie bereits oben erwähnt, entspricht eine solche Gleichung den Koeffizienten B Und C, gleich Null. Die gleichung a x 2 = 0 kann in eine äquivalente Gleichung umgewandelt werden x2 = 0, die wir erhalten, indem wir beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch die Zahl dividieren A, ungleich Null. Die offensichtliche Tatsache ist, dass die Wurzel der Gleichung x2 = 0 ist null, weil 0 2 = 0 . Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was durch die Eigenschaften des Grades erklärt wird: für jede Zahl P , ungleich Null, die Ungleichung ist wahr p2 > 0, woraus folgt, dass wann p ≠ 0 Gleichwertigkeit p2 = 0 wird nie erreicht.

Bestimmung 5

Somit gibt es für die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 = 0 eine einzelne Wurzel x=0.

Beispiel 2

Lassen Sie uns zum Beispiel eine unvollständige quadratische Gleichung lösen − 3 x 2 = 0. Es ist äquivalent zur Gleichung x2 = 0, seine einzige Wurzel ist x=0, dann hat die ursprüngliche Gleichung eine einzelne Wurzel - Null.

Die Lösung ist wie folgt zusammengefasst:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösung der Gleichung a x 2 + c \u003d 0

Als nächstes folgt die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, wobei b \u003d 0, c ≠ 0 ist, dh Gleichungen der Form a x 2 + c = 0. Transformieren wir diese Gleichung, indem wir den Term von einer Seite der Gleichung auf die andere übertragen, das Vorzeichen auf das andere ändern und beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null dividieren:

• ertragen C auf die rechte Seite, was die Gleichung ergibt a x 2 = − c;
• Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch A, erhalten wir als Ergebnis x = - c a .

Unsere Transformationen sind äquivalent bzw. die resultierende Gleichung ist auch äquivalent zur ursprünglichen, und diese Tatsache erlaubt einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung. Von was sind die Werte A Und C hängt vom Wert des Ausdrucks ab - c a: Es kann ein Minuszeichen haben (z. B. wenn a = 1 Und c = 2, dann - c a = - 2 1 = - 2) oder ein Pluszeichen (zum Beispiel, wenn a = -2 Und c=6, dann - c a = - 6 - 2 = 3); es ist nicht gleich Null, weil c ≠ 0. Lassen Sie uns näher auf Situationen eingehen, in denen - c a< 0 и - c a > 0 .

In dem Fall, wenn - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P Gleichheit p 2 = - c a kann nicht wahr sein.

Alles ist anders, wenn - c a > 0: Denken Sie an die Quadratwurzel, und es wird offensichtlich, dass die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d - c a die Zahl - c a sein wird, da - c a 2 \u003d - c a. Es ist leicht zu verstehen, dass die Zahl - - c a - auch die Wurzel der Gleichung x 2 = - c a ist: in der Tat - - c a 2 = - c a .

Die Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Wir können dies mit der umgekehrten Methode demonstrieren. Lassen Sie uns zunächst die Notation der oben gefundenen Wurzeln als festlegen x 1 Und − x 1. Nehmen wir an, dass die Gleichung x 2 = - c a auch eine Wurzel hat x2, die sich von den Wurzeln unterscheidet x 1 Und − x 1. Wir wissen das, indem wir statt in die Gleichung einsetzen X ihre Wurzeln, wandeln wir die Gleichung in eine faire numerische Gleichheit um.

Für x 1 Und − x 1 schreiben: x 1 2 = - c a , und für x2- x 2 2 \u003d - c ein. Basierend auf den Eigenschaften numerischer Gleichheiten subtrahieren wir eine wahre Gleichheit von einer anderen Term für Term, was uns ergibt: x 1 2 − x 2 2 = 0. Verwenden Sie die Eigenschaften von Zahlenoperationen, um die letzte Gleichheit neu zu schreiben als (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Es ist bekannt, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann Null ist, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Aus dem Gesagten folgt x1 − x2 = 0 und/oder x1 + x2 = 0, was das gleiche ist x2 = x1 und/oder x2 = − x1. Ein offensichtlicher Widerspruch entstand, weil zunächst vereinbart wurde, dass die Wurzel der Gleichung x2 unterscheidet sich von x 1 Und − x 1. Wir haben also bewiesen, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln hat als x = - c a und x = - - c a .

Wir fassen alle obigen Argumente zusammen.

Bestimmung 6

Unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + c = 0 entspricht der Gleichung x 2 = - c a , die:

• hat keine Wurzeln bei - c a< 0 ;
• hat zwei Nullstellen x = - c a und x = - - c a , wenn - c a > 0 .

Lassen Sie uns Beispiele für das Lösen von Gleichungen geben a x 2 + c = 0.

Beispiel 3

Gegeben sei eine quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 . Es ist notwendig, seine Lösung zu finden.

Lösung

Wir übertragen den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung, dann nimmt die Gleichung die Form an 9 x 2 \u003d - 7.
Wir dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 , kommen wir zu x 2 = - 7 9 . Auf der rechten Seite sehen wir eine Zahl mit Minuszeichen, was bedeutet: Die gegebene Gleichung hat keine Wurzeln. Dann die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 wird keine Wurzeln haben.

Antworten: Die gleichung 9 x 2 + 7 = 0 hat keine Wurzeln.

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen − x2 + 36 = 0.

Lösung

Lassen Sie uns 36 auf die rechte Seite verschieben: − x 2 = − 36.
Teilen wir beide Teile in − 1 , wir bekommen x2 = 36. Auf der rechten Seite - positive Zahl, daraus lässt sich schließen x = 36 bzw x = - 36 .
Wir ziehen die Wurzel und schreiben das Endergebnis: eine unvollständige quadratische Gleichung − x2 + 36 = 0 hat zwei Wurzeln x=6 oder x = -6.

Antworten: x=6 oder x = -6.

Lösung der Gleichung a x 2 + b x=0

Lassen Sie uns die dritte Art unvollständiger quadratischer Gleichungen analysieren c = 0. Eine Lösung für eine unvollständige quadratische Gleichung finden a x 2 + b x = 0 verwenden wir die Faktorisierungsmethode. Lassen Sie uns das Polynom faktorisieren, das sich auf der linken Seite der Gleichung befindet, indem wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen X. Dieser Schritt wird es ermöglichen, die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung in ihr Äquivalent umzuwandeln x (a x + b) = 0. Und diese Gleichung wiederum ist äquivalent zum Gleichungssystem x=0 Und a x + b = 0. Die gleichung a x + b = 0 linear, und seine Wurzel: x = − b ein.

Bestimmung 7

Also die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + b x = 0 wird zwei Wurzeln haben x=0 Und x = − b ein.

Konsolidieren wir das Material mit einem Beispiel.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Lösung der Gleichung 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 zu finden.

Lösung

Nehmen wir heraus X außerhalb der Klammern und erhalten die Gleichung x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Diese Gleichung ist äquivalent zu den Gleichungen x=0 und 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Jetzt sollten Sie die resultierende lineare Gleichung lösen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Wir schreiben die Lösung der Gleichung kurz wie folgt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder x = 3 3 7

Antworten: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminante, Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um eine Lösung für quadratische Gleichungen zu finden, gibt es eine Wurzelformel:

Bestimmung 8

x = - b ± D 2 a, wobei D = b 2 − 4 ein c ist die sogenannte Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Das Schreiben von x \u003d - b ± D 2 a bedeutet im Wesentlichen, dass x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Es ist hilfreich zu verstehen, wie die angegebene Formel abgeleitet wurde und wie sie anzuwenden ist.

Herleitung der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine quadratische Gleichung zu lösen a x 2 + b x + c = 0. Führen wir einige äquivalente Transformationen durch:

• Teile beide Seiten der Gleichung durch die Zahl A, anders als Null, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• herausgreifen volles Quadrat auf der linken Seite der resultierenden Gleichung:
  x 2 + b ein x + c ein = x 2 + 2 b 2 ein x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein = = x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein
  Danach nimmt die Gleichung die Form an: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• jetzt ist es möglich, die letzten beiden Terme auf die rechte Seite zu übertragen und das Vorzeichen auf das Gegenteil zu ändern, wonach wir erhalten: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Schließlich transformieren wir den Ausdruck, der auf der rechten Seite der letzten Gleichheit steht:
  b 2 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - 4 ein c 4 ein 2 \u003d b 2 - 4 ein c 4 ein 2.

Somit sind wir zu der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 gekommen, die der ursprünglichen Gleichung entspricht a x 2 + b x + c = 0.

Wir haben die Lösung solcher Gleichungen in den vorherigen Abschnitten besprochen (die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen). Die bereits gesammelten Erfahrungen erlauben einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• für b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• für b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 hat die Gleichung die Form x + b 2 · a 2 = 0, dann ist x + b 2 · a = 0.

Von hier aus ist die einzige Wurzel x = - b 2 · a offensichtlich;

• für b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 ist die richtige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , was die ist wie x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , d.h. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Daraus kann geschlossen werden, dass das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (und damit der ursprünglichen Gleichung) vom Vorzeichen des Ausdrucks b 2 - 4 a c abhängt 4 · eine 2 auf der rechten Seite geschrieben. Und das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird durch das Vorzeichen des Zählers (der Nenner) gegeben 4 ein 2 immer positiv sein), also das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 − 4 ein c. Dieser Ausdruck b 2 − 4 ein c ein Name wird gegeben - die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und der Buchstabe D wird als ihre Bezeichnung definiert. Hier können Sie die Essenz der Diskriminante aufschreiben - anhand ihres Werts und Vorzeichens schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat und wenn ja, wie viele Wurzeln - eine oder zwei.

Kehren wir zur Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 zurück. Schreiben wir es mit der Diskriminanznotation um: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Fassen wir die Schlussfolgerungen zusammen:

Bestimmung 9

• bei D< 0 die Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln;
• bei D=0 die Gleichung hat eine einzige Wurzel x = -b 2 · a ;
• bei D > 0 Die Gleichung hat zwei Wurzeln: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 oder x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Basierend auf den Eigenschaften von Radikalen können diese Wurzeln geschrieben werden als: x \u003d - b 2 a + D 2 a oder - b 2 a - D 2 a. Und wenn wir die Module öffnen und die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Das Ergebnis unserer Überlegungen war also die Herleitung der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x = –b + D 2 a, x = – b – D 2 a, Diskriminante D nach der Formel berechnet D = b 2 − 4 ein c.

Diese Formeln ermöglichen es, wenn die Diskriminante größer als Null ist, beide reellen Wurzeln zu bestimmen. Wenn die Diskriminante Null ist, ergibt die Anwendung beider Formeln dieselbe Wurzel wie die einzige Lösung der quadratischen Gleichung. Wenn die Diskriminante negativ ist und versucht wird, die Quadratwurzelformel zu verwenden, müssen wir extrahieren Quadratwurzel von einer negativen Zahl, was uns über reelle Zahlen hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln, aber ein Paar komplexer konjugierter Wurzeln ist möglich, bestimmt durch dieselben Wurzelformeln, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Wurzelformeln

Es ist möglich, eine quadratische Gleichung zu lösen, indem man sofort die Wurzelformel verwendet, aber im Grunde wird dies getan, wenn es notwendig ist, komplexe Wurzeln zu finden.

In den meisten Fällen ist die Suche normalerweise nicht für komplexe, sondern für reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung gedacht. Dann ist es optimal, bevor Sie die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, zuerst die Diskriminante zu bestimmen und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (sonst schließen wir daraus, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat), und dann mit der Berechnung fortzufahren Wert der Wurzeln.

Die obige Überlegung ermöglicht es, einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zu formulieren.

Bestimmung 10

Eine quadratische Gleichung lösen a x 2 + b x + c = 0, notwendig:

• laut Formel D = b 2 − 4 ein c finde den Wert der Diskriminante;
• bei D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• für D = 0 finde die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - b 2 · a ;
• für D > 0 bestimme zwei reelle Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Formel x = - b ± D 2 · a.

Beachten Sie, dass Sie, wenn die Diskriminante Null ist, die Formel x = - b ± D 2 · a verwenden können, sie ergibt das gleiche Ergebnis wie die Formel x = - b 2 · a .

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Lassen Sie uns eine Beispiellösung für geben verschiedene Werte diskriminierend.

Beispiel 6

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lösung

Wir schreiben die numerischen Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a \u003d 1, b \u003d 2 und c = − 6. Als nächstes handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Beginnen wir mit der Berechnung der Diskriminante, für die wir die Koeffizienten a , b einsetzen Und C in die Diskriminanzformel: D = b 2 − 4 ein c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Wir haben also D > 0, was bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung zwei reelle Wurzeln haben wird.
Um sie zu finden, verwenden wir die Wurzelformel x \u003d - b ± D 2 · a und setzen die entsprechenden Werte ein und erhalten: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck, indem wir den Faktor aus dem Vorzeichen der Wurzel entfernen, gefolgt von einer Kürzung des Bruchs:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oder x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oder x = - 1 - 7

Antworten: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Beispiel 7

Es ist notwendig, eine quadratische Gleichung zu lösen − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lösung

Lassen Sie uns die Diskriminante definieren: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Bei diesem Wert der Diskriminante hat die ursprüngliche Gleichung nur eine Wurzel, bestimmt durch die Formel x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Antworten: x = 3, 5.

Beispiel 8

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Lösung

Die numerischen Koeffizienten dieser Gleichung sind: a = 5 , b = 6 und c = 2 . Wir verwenden diese Werte, um die Diskriminante zu finden: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Die berechnete Diskriminante ist negativ, sodass die ursprüngliche quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Wenn die Aufgabe darin besteht, komplexe Wurzeln anzuzeigen, wenden wir die Wurzelformel an, indem wir Operationen mit komplexen Zahlen ausführen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ich 10 oder x \u003d - 6 - 2 ich 10,

x = - 3 5 + 1 5 ich oder x = - 3 5 - 1 5 ich .

Antworten: es gibt keine wirklichen Wurzeln; die komplexen Wurzeln sind: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN Lehrplan Standardmäßig ist es nicht erforderlich, nach komplexen Wurzeln zu suchen, daher wird, wenn die Diskriminante während der Lösung als negativ bestimmt wird, sofort die Antwort aufgezeichnet, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Die Wurzelformel x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ermöglicht es, eine andere, kompaktere Formel zu erhalten, mit der Sie Lösungen für quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten bei x (oder mit einem Koeffizienten der Form 2 a n, zum Beispiel 2 3 oder 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lassen Sie uns zeigen, wie diese Formel hergeleitet wird.

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine Lösung für die quadratische Gleichung a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 zu finden. Wir gehen nach dem Algorithmus vor: Wir bestimmen die Diskriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , und verwenden dann die Wurzelformel:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c ein .

Lassen Sie den Ausdruck n 2 − a c als D 1 bezeichnet werden (manchmal wird er als D " bezeichnet). Dann hat die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form:

x \u003d - n ± D 1 a, wobei D 1 \u003d n 2 - a c.

Es ist leicht zu sehen, dass D = 4 · D 1 oder D 1 = D 4 . Mit anderen Worten, D 1 ist ein Viertel der Diskriminante. Offensichtlich ist das Vorzeichen von D 1 dasselbe wie das Vorzeichen von D, was bedeutet, dass das Vorzeichen von D 1 auch als Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung dienen kann.

Bestimmung 11

Um also eine Lösung für eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten von 2 n zu finden, ist es notwendig:

• finde D 1 = n 2 − ein c ;
• bei D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• für D 1 = 0 bestimme die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - n a ;
• für D 1 > 0 bestimme zwei reelle Nullstellen mit der Formel x = - n ± D 1 a.

Beispiel 9

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 zu lösen.

Lösung

Der zweite Koeffizient der gegebenen Gleichung kann als 2 · (− 3) dargestellt werden. Dann schreiben wir die gegebene quadratische Gleichung um als 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , wobei a = 5 , n = − 3 und c = − 32 .

Berechnen wir den vierten Teil der Diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Der resultierende Wert ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat. Wir definieren sie durch die entsprechende Wurzelformel:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oder x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oder x = - 2

Es wäre möglich, Berechnungen mit der üblichen Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durchzuführen, aber in diesem Fall wäre die Lösung umständlicher.

Antworten: x = 3 1 5 oder x = - 2 .

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Manchmal ist es möglich, die Form der ursprünglichen Gleichung zu optimieren, was die Berechnung der Wurzeln vereinfacht.

Beispielsweise ist die quadratische Gleichung 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 zum Lösen deutlich bequemer als 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Häufiger erfolgt die Vereinfachung der Form einer quadratischen Gleichung durch Multiplikation oder Division ihrer beiden Teile mit einer bestimmten Zahl. Zum Beispiel haben wir oben eine vereinfachte Darstellung der Gleichung 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 gezeigt, die man erhält, indem man beide Teile durch 100 dividiert.

Eine solche Transformation ist möglich, wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung nicht übereinstimmen Primzahlen. Dann ist es üblich, beide Seiten der Gleichung durch die größte zu teilen gemeinsamer Teiler absolute Werte seiner Koeffizienten.

Als Beispiel verwenden wir die quadratische Gleichung 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definieren wir den ggT der Absolutwerte seiner Koeffizienten: ggT (12 , 42 , 48) = ggT(ggT (12 , 42) , 48) = ggT (6 , 48) = 6 . Teilen wir beide Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 und erhalten die äquivalente quadratische Gleichung 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Durch Multiplizieren beider Seiten der quadratischen Gleichung werden Bruchkoeffizienten normalerweise eliminiert. Multiplizieren Sie in diesem Fall mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise jeder Teil der quadratischen Gleichung 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 mit LCM (6, 3, 1) \u003d 6 multipliziert wird, wird mehr geschrieben einfache Form x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Schließlich stellen wir fest, dass wir fast immer das Minus beim ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung loswerden, indem wir die Vorzeichen jedes Terms der Gleichung ändern, was durch Multiplizieren (oder Dividieren) beider Teile mit − 1 erreicht wird. Beispielsweise können Sie von der quadratischen Gleichung - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 zu ihrer vereinfachten Version 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 wechseln.

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Die bereits bekannte Formel für die Wurzeln quadratischer Gleichungen x = - b ± D 2 · a drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre numerischen Koeffizienten aus. Basierend auf dieser Formel haben wir die Möglichkeit, andere Abhängigkeiten zwischen Wurzeln und Koeffizienten einzustellen.

Die bekanntesten und anwendbarsten sind die Formeln des Vieta-Theorems:

x 1 + x 2 \u003d - b a und x 2 \u003d c a.

Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln der zweite Koeffizient mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Beispielsweise kann durch die Form der quadratischen Gleichung 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 sofort bestimmt werden, dass die Summe ihrer Wurzeln 7 3 und das Produkt der Wurzeln 22 3 beträgt.

Sie können auch eine Reihe anderer Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung finden. Beispielsweise kann die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung in Form von Koeffizienten ausgedrückt werden:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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Dieses Thema mag aufgrund der vielen zunächst schwierig erscheinen einfache Formeln. Nicht nur die quadratischen Gleichungen selbst haben lange Einträge, sondern auch die Wurzeln werden über die Diskriminante gefunden. Insgesamt gibt es drei neue Formeln. Nicht ganz leicht zu merken. Dies ist nur nach häufigem Lösen solcher Gleichungen möglich. Dann werden sich alle Formeln von selbst merken.

Gesamtansicht der quadratischen Gleichung

Hier wird ihre explizite Notation vorgeschlagen, wenn der größte Grad zuerst geschrieben wird und dann - in absteigender Reihenfolge. Oft gibt es Situationen, in denen die Begriffe auseinanderstehen. Dann ist es besser, die Gleichung in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen umzuschreiben.

Wir führen die Notation ein. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wenn wir diese Notationen akzeptieren, werden alle quadratischen Gleichungen auf die folgende Notation reduziert.

Außerdem ist der Koeffizient a ≠ 0. Diese Formel sei mit der Nummer eins bezeichnet.

Wenn die Gleichung gegeben ist, ist nicht klar, wie viele Wurzeln in der Antwort sein werden. Denn eine von drei Möglichkeiten ist immer möglich:

• die Lösung wird zwei Wurzeln haben;
• die Antwort wird eine Zahl sein;
• Die Gleichung hat überhaupt keine Wurzeln.

Und obwohl die Entscheidung nicht zu Ende geführt wird, ist es schwer zu verstehen, welche der Optionen in einem bestimmten Fall herausfallen wird.

Arten von Datensätzen quadratischer Gleichungen

Aufgaben können unterschiedliche Einträge haben. Sie werden nicht immer wie die allgemeine Formel einer quadratischen Gleichung aussehen. Manchmal fehlen einige Begriffe. Was oben geschrieben wurde, ist die vollständige Gleichung. Wenn Sie den zweiten oder dritten Begriff darin entfernen, erhalten Sie etwas anderes. Diese Datensätze werden auch quadratische Gleichungen genannt, nur unvollständig.

Außerdem können nur die Terme verschwinden, für die die Koeffizienten "b" und "c" verschwinden. Die Zahl „a“ darf unter keinen Umständen gleich Null sein. Denn in diesem Fall wird aus der Formel eine lineare Gleichung. Die Formeln für die unvollständige Form der Gleichungen lauten wie folgt:

Es gibt also nur zwei Arten, neben vollständigen gibt es auch unvollständige quadratische Gleichungen. Die erste Formel sei Nummer zwei und die zweite Nummer drei.

Die Diskriminante und die Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln von ihrem Wert

Diese Zahl muss bekannt sein, um die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Sie kann immer berechnet werden, egal wie die Formel der quadratischen Gleichung lautet. Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie die unten geschriebene Gleichheit verwenden, die die Nummer vier hat.

Nachdem Sie die Werte der Koeffizienten in diese Formel eingesetzt haben, können Sie Zahlen mit erhalten verschiedene Vorzeichen. Wenn die Antwort ja ist, dann wird die Antwort auf die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln sein. Bei einer negativen Zahl fehlen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn es gleich Null ist, ist die Antwort eins.

Wie wird eine vollständige quadratische Gleichung gelöst?

Tatsächlich hat die Betrachtung dieser Frage bereits begonnen. Denn zuerst müssen Sie die Diskriminante finden. Nachdem klar ist, dass es Wurzeln der quadratischen Gleichung gibt und ihre Anzahl bekannt ist, müssen Sie die Formeln für die Variablen verwenden. Wenn es zwei Wurzeln gibt, müssen Sie eine solche Formel anwenden.

Da es das „±“-Zeichen enthält, gibt es zwei Werte. Der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen ist die Diskriminante. Daher kann die Formel auf andere Weise umgeschrieben werden.

Formel fünf. Aus derselben Aufzeichnung ist ersichtlich, dass, wenn die Diskriminante Null ist, beide Wurzeln dieselben Werte annehmen.

Wenn die Lösung quadratischer Gleichungen noch nicht ausgearbeitet wurde, ist es besser, die Werte aller Koeffizienten aufzuschreiben, bevor Sie die Diskriminanz- und Variablenformeln anwenden. Später wird dieser Moment keine Schwierigkeiten verursachen. Aber ganz am Anfang herrscht Verwirrung.

Wie wird eine unvollständige quadratische Gleichung gelöst?

Hier ist alles viel einfacher. Es sind auch keine zusätzlichen Formeln erforderlich. Und Sie brauchen keine, die bereits für die Diskriminante und das Unbekannte geschrieben wurden.

Betrachten Sie zunächst die unvollständige Gleichung Nummer zwei. In dieser Gleichung soll es den unbekannten Wert aus der Klammer nehmen und die lineare Gleichung lösen, die in der Klammer bleiben wird. Die Antwort wird zwei Wurzeln haben. Die erste ist notwendigerweise gleich Null, weil es einen Faktor gibt, der aus der Variablen selbst besteht. Die zweite erhält man durch Lösen einer linearen Gleichung.

Die unvollständige Gleichung bei Nummer drei wird gelöst, indem die Zahl von der linken Seite der Gleichung auf die rechte übertragen wird. Dann müssen Sie durch den Koeffizienten vor dem Unbekannten dividieren. Es bleibt nur noch die Quadratwurzel zu ziehen und nicht zu vergessen, sie zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen aufzuschreiben.

Im Folgenden finden Sie einige Aktionen, mit denen Sie lernen, wie Sie alle Arten von Gleichungen lösen, die sich in quadratische Gleichungen verwandeln. Sie helfen dem Schüler, Fehler durch Unaufmerksamkeit zu vermeiden. Diese Mängel sind die Ursache für schlechte Noten beim Studium des umfangreichen Themas „Quadrische Gleichungen (Klasse 8)“. Anschließend müssen diese Aktionen nicht ständig durchgeführt werden. Weil es eine stabile Gewohnheit geben wird.

• Zuerst müssen Sie die Gleichung in Standardform schreiben. Das heißt, zuerst der Term mit dem größten Grad der Variablen und dann - ohne den Grad und den letzten - nur eine Zahl.

• Wenn vor dem Koeffizienten "a" ein Minus steht, kann es einem Anfänger die Arbeit erschweren, quadratische Gleichungen zu studieren. Es ist besser, es loszuwerden. Dazu müssen alle Gleichheiten mit „-1“ multipliziert werden. Dies bedeutet, dass alle Terme das Vorzeichen in das Gegenteil ändern.

• Auf die gleiche Weise wird empfohlen, Brüche loszuwerden. Multiplizieren Sie die Gleichung einfach mit dem entsprechenden Faktor, sodass sich die Nenner aufheben.

Beispiele

Es ist erforderlich, die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Die erste Gleichung: x 2 - 7x \u003d 0. Sie ist unvollständig und wird daher wie für Formel Nummer zwei beschrieben gelöst.

Nach dem Klammern stellt sich heraus: x (x - 7) \u003d 0.

Die erste Wurzel nimmt den Wert an: x 1 = 0. Die zweite wird aus gefunden Lineargleichung: x - 7 = 0. Es ist leicht zu sehen, dass x 2 = 7.

Zweite Gleichung: 5x2 + 30 = 0. Wieder unvollständig. Nur sie wird wie für die dritte Formel beschrieben gelöst.

Nachdem Sie 30 auf die rechte Seite der Gleichung übertragen haben: 5x 2 = 30. Jetzt müssen Sie durch 5 teilen. Es stellt sich heraus: x 2 = 6. Die Antworten sind Zahlen: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Dritte Gleichung: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hier und unten beginnt die Lösung quadratischer Gleichungen mit dem Umschreiben Standard Ansicht: - x 2 - 2x + 15 = 0. Jetzt ist es Zeit, die zweite zu verwenden Hilfreicher Tipp und alles mit minus eins multiplizieren. Es stellt sich heraus, x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Nach der vierten Formel müssen Sie die Diskriminante berechnen: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es ist a positive Zahl. Aus dem oben Gesagten geht hervor, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Sie müssen nach der fünften Formel berechnet werden. Demnach stellt sich heraus, dass x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Dann x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Die vierte Gleichung x 2 + 8 + 3x \u003d 0 wird wie folgt umgewandelt: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ihre Diskriminante ist gleich diesem Wert: -23. Da diese Zahl negativ ist, lautet die Antwort auf diese Aufgabe der folgende Eintrag: "Es gibt keine Wurzeln."

Die fünfte Gleichung 12x + x 2 + 36 = 0 sollte wie folgt umgeschrieben werden: x 2 + 12x + 36 = 0. Nach Anwendung der Formel für die Diskriminante erhält man die Zahl Null. Dies bedeutet, dass es eine Wurzel haben wird, nämlich: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Die sechste Gleichung (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) erfordert Umformungen, die darin bestehen, dass man vor dem Öffnen der Klammern gleiche Terme bringen muss. Anstelle des ersten steht ein solcher Ausdruck: x 2 + 2x + 1. Nach Gleichheit erscheint dieser Eintrag: x 2 + 3x + 2. Nachdem ähnliche Terme gezählt wurden, nimmt die Gleichung die Form an: x 2 - x \u003d 0. Es ist unvollständig geworden . Ähnlich wurde es schon etwas höher angesetzt. Die Wurzeln davon werden die Zahlen 0 und 1 sein.

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: \(x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 \)

Dieses Programm kann für Gymnasiasten nützlich sein allgemeinbildende Schulen in Vorbereitung für Kontrollarbeit und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor der Prüfung, Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben Mathe oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

So können Sie Ihre durchführen eigene Ausbildung und/oder Ausbildung ihrer jüngeren Geschwister, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
hat die Form
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und \(a \neq 0 \).

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a \neq 0 \), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach \(c \neq 0 \) zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Da \(c \neq 0 \), dann \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Wenn \(-\frac(c)(a)>0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzelne Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \)

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)

Nun schreiben wir unter Verwendung der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)