Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion unter Verwendung des allgemeinen Schemas der Studie. Voll funktionsfähiges Erkunden und Plotten

Für vollständiges Studium Um eine Funktion zu erstellen und ihren Graphen zu erstellen, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) Finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Diskontinuitätspunkte der Funktion und der vertikalen Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen und finden Sie die horizontalen und schrägen Asymptoten.

4) Untersuchen Sie die Funktion auf Gleichmäßigkeit (Seltsamkeit) und Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) Finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexitäts- und Wendepunkte;

7) Finden Sie nach Möglichkeit Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Das Studium der Funktion erfolgt gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen.

Beispiel 9 Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an Punkten ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein schräger und horizontaler Asymptoten.

Gerade
─ schräge Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist gerade weil
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Diagramms in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und Extrema der Funktion.

Finden wir die kritischen Punkte, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte unterteilen die gesamte reale Achse in vier Intervalle. Definieren wir die Zeichen auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
Die Ableitung ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher weist die Funktion an diesem Punkt ein Maximum auf
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle und Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, an denen ist 0 oder existiert nicht.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
Und
Teilen Sie die reale Achse in drei Intervalle. Definieren wir das Zeichen in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve über die Intervalle
Und
konvex nach unten, im Intervall (-1;1) konvex nach oben; Es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten liegt
Und
unentschlossen.

7. Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
Der Graph der Funktion schneidet sich im Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil Der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Diagramm der Funktion

Anwendung des Derivatkonzepts in der Wirtschaftswissenschaft. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Funktionselastizität verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion zum relativen Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion gibt ungefähr an, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1 %.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Nachfrageelastizität (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral wenn
─ unelastisch in Bezug auf den Preis (oder das Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: Nach der Formel (VII) ist die Elastizität der Funktion:

Dann sei x=3
Das heißt, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, erhöht sich der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren was den Preis angeht hat die Form
, Wo ─ konstanter Koeffizient. Finden Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten erhalten wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit Eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Nachfragerückgang um 6 %, d. h. Die Nachfrage ist elastisch.

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu zeichnen. Nach sorgfältiger Lektüre dieses Artikels werden Sie nicht lange schwitzen müssen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, eine Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen. Die Arbeit ist umfangreich und erfordert maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen. Um die Wahrnehmung des Materials zu erleichtern, werden wir nach und nach dieselbe Funktion untersuchen und alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Gehen!

Domain

Um eine Funktion zu untersuchen und darzustellen, müssen Sie einige Definitionen kennen. Eine Funktion ist eines der Grundkonzepte der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) bei Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich aufweisen. Y ist also eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird Funktion genannt. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in sind. Zur besseren Verdeutlichung dieser Abhängigkeit wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Funktionsgraph? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder x-Wert einem y-Wert entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein – eine Gerade, eine Hyperbel, eine Parabel, eine Sinuskurve usw.

Ein Funktionsgraph kann nicht ohne Erkundung gezeichnet werden. Heute lernen wir, wie man Recherchen durchführt und einen Funktionsgraphen zeichnet. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. So wird es viel einfacher, die Aufgabe zu bewältigen. Der bequemste Studienplan:

1. Domain.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Konstanz.
8. Aufsteigend und absteigend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Finden wir den Definitionsbereich, also in welchen Intervallen unsere Funktion existiert: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für alle Werte von x, d. h. der Definitionsbereich ist R. Dies kann als xОR geschrieben werden.

Kontinuität

Jetzt werden wir die Diskontinuitätsfunktion untersuchen. In der Mathematik entstand der Begriff „Kontinuität“ als Ergebnis des Studiums der Bewegungsgesetze. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t bei Bewegungsproblemen), die Temperatur des erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (d. h. eine das man zeichnen kann, ohne es vom Blatt abzunehmen (Bleistift).

Ein Graph gilt als kontinuierlich, wenn er nicht irgendwann abbricht. Einer der meisten gute Beispiele Ein solcher Graph ist eine Sinuswelle, die Sie im Bild in diesem Abschnitt sehen können. Die Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechten und linken Grenzen an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, wird die Funktion als unterbrochen bezeichnet. Und die Punkte, an denen die Funktion unterbrochen wird, werden Unterbrechungspunkte genannt. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei der grafischen Darstellung „abbricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Darüber hinaus existiert y am Punkt x = 3 nicht (da eine Division durch Null unmöglich ist).

In der Funktion, die wir untersuchen (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) erwies sich alles als einfach, da der Graph kontinuierlich sein wird.

Gerade ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Beginnen wir mit einer kleinen Theorie. Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die die Bedingung f (-x) = f (x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich) erfüllt. Beispiele sind:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Dohle, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x im Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinuswelle).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse betrachtet werden.

Was nennt man dann eine ungerade Funktion? Dies sind die Funktionen, die die Bedingung erfüllen: f (-x) \u003d - f (x) für jeden Wert der Variablen x. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• Sinusoid;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also zum Ursprung, sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zur Definitionsmenge und auch -x.

Untersuchen wir die Funktion auf Parität. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, d. h. der Abstand von einem Punkt geht gegen Null. Es gibt drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, also parallel zur y-Achse;
• horizontal, also parallel zur x-Achse;
• schräg.

Was den ersten Typ betrifft, sollte an einigen Stellen nach diesen Zeilen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden der Domain.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist R. Daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, die die folgende Anforderung erfüllt: wenn x gegen Unendlich oder minus Unendlich tendiert und der Grenzwert einer bestimmten Zahl entspricht (z. B. a). IN dieser Fall y=a ist die horizontale Asymptote. In der von uns untersuchten Funktion gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schräge Asymptote existiert nur, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es mit der Formel y=kx+b ermittelt werden. Auch in unserem Fall gibt es keine schrägen Asymptoten.

Funktionsnullstellen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die mit dem Finden der Nullstellen einer Funktion verbunden ist, nicht nur beim Studium und Aufbau eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als eigenständige Aufgabe und als Möglichkeit zur Lösung von Ungleichungen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Das Ermitteln dieser Werte wird Ihnen helfen, die Funktion genauer darzustellen. Wenn ich sprechen soll einfache Sprache, dann ist der Nullpunkt der Funktion der Wert der Variablen x, bei dem y=0. Wenn Sie in einem Diagramm nach den Nullstellen einer Funktion suchen, sollten Sie auf die Schnittpunkte des Diagramms mit der x-Achse achten.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nachdem wir die notwendigen Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir die folgende Antwort:

Zeichenkonstanz

Der nächste Schritt bei der Untersuchung und Konstruktion einer Funktion (Grafik) besteht darin, Intervalle der Vorzeichenkonstanz zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert annimmt und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Dabei helfen uns die Nullstellen der im vorherigen Abschnitt gefundenen Funktionen. Wir müssen also eine gerade Linie erstellen (getrennt vom Diagramm) und die Nullstellen der Funktion in der richtigen Reihenfolge vom kleinsten zum größten entlang dieser Linie verteilen. Jetzt müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“ hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion einen positiven Wert für die Intervalle an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negative Bedeutung:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Dies ist relativ einfach festzustellen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Vorzeichen die Antwort hat (Minus oder Plus).

Funktion aufsteigend und fallend

Um eine Funktion zu untersuchen und zu erstellen, müssen wir wissen, wo der Graph ansteigt (auf Oy nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Die Funktion nimmt nur zu, wenn der größere Wert der Variablen x dem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen bei einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes herausfinden:

• Umfang (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• Lösen Sie die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus Unendlich bis 7/3 und von 7 bis Unendlich zu und in dem Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für beliebige Werte der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum dieser Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten werden sie auch mit der Ableitungsfunktion gefunden. Vergessen Sie nach dem Finden nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir studieren weiterhin die Funktion y(x). Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität prüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind ziemlich schwer zu verstehen, es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nicht fallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung der Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Nun setzen wir die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also den Ort, an dem sich der Graph von konvex zu konkav oder umgekehrt ändert. Im Intervall von minus Unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex, und von 14/3 bis plus Unendlich ist sie konkav. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt im Diagramm glatt und weich sein sollte, nein scharfe Kanten sollte nicht vorhanden sein.

Definition zusätzlicher Punkte

Unsere Aufgabe ist es, den Funktionsgraphen zu untersuchen und zu zeichnen. Wir haben die Studie abgeschlossen, es wird jetzt nicht mehr schwierig sein, die Funktion darzustellen. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder einer Geraden auf der Koordinatenebene können Sie mehrere Hilfspunkte finden. Es ist ziemlich einfach, sie zu berechnen. Nehmen wir zum Beispiel x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele zusätzliche Punkte nehmen, wie Sie zum Bauen benötigen. Mindestens 3-5 davon werden gefunden.

Plotten

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle im Zuge der Berechnungen notwendigen Markierungen wurden auf der Koordinatenebene vorgenommen. Jetzt muss nur noch ein Diagramm erstellt werden, also alle Punkte miteinander verbunden werden. Das Verbinden der Punkte ist reibungslos und genau, das ist eine Frage der Geschicklichkeit – ein wenig Übung und Ihr Zeitplan wird perfekt sein.

Anweisung

Finden Sie den Umfang der Funktion. Beispielsweise ist die Funktion sin(x) für das gesamte Intervall von -∞ bis +∞ definiert, und die Funktion 1/x ist von -∞ bis +∞ definiert, mit Ausnahme des Punktes x = 0.

Definieren Sie Bereiche mit Kontinuität und Bruchstellen. Normalerweise ist eine Funktion im selben Bereich, in dem sie definiert ist, stetig. Um Diskontinuitäten zu erkennen, müssen Sie berechnen, wann sich das Argument isolierten Punkten innerhalb des Definitionsbereichs nähert. Beispielsweise strebt die Funktion 1/x gegen Unendlich, wenn x→0+, und gegen minus Unendlich, wenn x→0-. Das bedeutet, dass es im Punkt x = 0 eine Diskontinuität zweiter Art gibt.
Sind die Grenzen an der Unstetigkeitsstelle endlich, aber ungleich, dann handelt es sich um eine Unstetigkeit erster Art. Wenn sie gleich sind, gilt die Funktion als stetig, obwohl sie nicht an einem isolierten Punkt definiert ist.

Finden Sie die vertikalen Asymptoten, falls vorhanden. Dabei helfen Ihnen die Berechnungen aus dem vorherigen Schritt, da die vertikale Asymptote fast immer an der Unstetigkeitsstelle zweiter Art liegt. Manchmal werden jedoch nicht einzelne Punkte, sondern ganze Punktintervalle aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, und an den Rändern dieser Intervalle können dann die vertikalen Asymptoten liegen.

Überprüfen Sie, ob die Funktion spezielle Eigenschaften hat: gerade, ungerade und periodisch.
Die Funktion ist gerade, wenn für jedes x im Definitionsbereich f(x) = f(-x) gilt. Beispielsweise sind cos(x) und x^2 gerade Funktionen.

Periodizität ist eine Eigenschaft, die besagt, dass es eine bestimmte Zahl T gibt, die als Periode bezeichnet wird und für jedes x f(x) = f(x + T). Zum Beispiel alle Hauptfächer trigonometrische Funktionen(Sinus, Cosinus, Tangens) - periodisch.

Finden Sie Punkte. Berechnen Sie dazu die Ableitung der gegebenen Funktion und finden Sie die x-Werte, bei denen sie verschwindet. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x^3 + 9x^2 -15 eine Ableitung g(x) = 3x^2 + 18x, die bei x = 0 und x = -6 verschwindet.

Um zu bestimmen, welche Extrempunkte Maxima und welche Minima sind, verfolgen Sie die Änderung der Vorzeichen der Ableitung in den gefundenen Nullstellen. g(x) ändert das Vorzeichen von Plus bei x = -6 und zurück von Minus zu Plus bei x = 0. Daher hat die Funktion f(x) ein Minimum am ersten Punkt und ein Minimum am zweiten.

Damit haben Sie auch Bereiche der Monotonie gefunden: f(x) steigt monoton auf dem Intervall -∞;-6, fällt monoton auf -6;0 und steigt wieder auf 0;+∞.

Finden Sie die zweite Ableitung. Seine Wurzeln zeigen, wo der Graph einer gegebenen Funktion konvex und wo er konkav ist. Die zweite Ableitung der Funktion f(x) ist beispielsweise h(x) = 6x + 18. Sie verschwindet bei x = -3 und ändert ihr Vorzeichen von Minus nach Plus. Daher ist der Graph f (x) vor diesem Punkt konvex, danach konkav und dieser Punkt selbst ist ein Wendepunkt.

Eine Funktion kann andere Asymptoten außer vertikalen haben, aber nur, wenn ihr Definitionsbereich Folgendes umfasst. Um sie zu finden, berechnen Sie den Grenzwert von f(x), wenn x→∞ oder x→-∞. Wenn sie endlich ist, haben Sie die horizontale Asymptote gefunden.

Die schräge Asymptote ist eine Gerade der Form kx + b. Um k zu finden, berechnen Sie den Grenzwert von f(x)/x als x→∞. Um b zu finden – begrenzen Sie (f(x) – kx) mit demselben x→∞.

Zeichnen Sie die Funktion auf den berechneten Daten auf. Beschriften Sie die Asymptoten, falls vorhanden. Markieren Sie die Extrempunkte und die darin enthaltenen Funktionswerte. Berechnen Sie für eine höhere Genauigkeit des Diagramms die Funktionswerte an mehreren weiteren Zwischenpunkten. Recherche abgeschlossen.

Eine der wichtigsten Aufgaben Differentialrechnung ist die Entwicklung gängige Beispiele Studien zum Verhalten von Funktionen.

Wenn die Funktion y \u003d f (x) im Intervall stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a, b) positiv oder gleich 0 ist, dann erhöht sich y \u003d f (x) um (f "(x) 0). Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung auf dem Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, dann nimmt y=f(x) um (f"( x)0)

Die Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, werden Intervalle der Monotonie der Funktion genannt. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Punkten ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder bricht, werden kritische Punkte genannt.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion auf dem Segment stetig und im Intervall (x 0 -δ,x 0) differenzierbar ist. x 0 , x 0 +δ) und seine Ableitung behält in jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 -δ, x 0) und (x 0, x 0 + δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extrempunkt, und wenn sie übereinstimmen, dann ist x 0 kein Extrempunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 wird f "(x)> 0 ausgeführt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert von Minus nach Plus (rechts von x 0 wird von f"(x) ausgeführt<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum).

Wenn die Funktion y=f(x) beim aktuellen x=x 0 ein Extremum hat, dann existiert entweder f'(x 0)=0 oder f'(x 0) nicht.
An den Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion verläuft die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Umgebung jedes Punktes und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte, setzen Sie diesen Wert der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Ziehen Sie anhand ausreichender Extrembedingungen geeignete Schlussfolgerungen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; Daher gibt es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y "=3(x-2)(x-4) ändert sich je nach Intervall, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von Minus nach Plus.
4) Am Punkt x=2 hat die Funktion ein Maximum y max =20 und am Punkt x=4 - ein Minimum y min =16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Seien f "(x 0) und f "" (x 0) am Punkt x 0 vorhanden. Wenn dann f "" (x 0) > 0 ist, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf dem Segment kann die Funktion y \u003d f (x) entweder an den im Intervall (a; b) liegenden kritischen Punkten der Funktion oder an den Enden den kleinsten (mindestens) oder größten (höchstens) Wert erreichen des Segments.

Der Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment:

1) Finden Sie f "(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f „(x) = 0 oder f“ (x) – nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y \u003d f (x) an den in Absatz 2 erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten davon aus: Sie sind jeweils die größten ( für den größten) und den kleinsten (für den kleinsten) Funktionswert auf dem Intervall.

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert einer stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment.

1) Wir haben y "=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Suchen wir die Punkte, an denen y"=0; wir bekommen:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nur der Punkt x=5 gehört zum Segment. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste ist die Zahl 50. Also bei max = 225, bei max = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist mit einer Ausbuchtung nach oben gedreht, der zweite mit einer Ausbuchtung nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke konvex nach oben (unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als die Tangente liegt gezeichnet an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf dem Segment abwärtskonvex; Wenn die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (à;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion aufwärts konvex.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Finden von Wendepunkten:

1) Finden Sie Punkte, an denen f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem im ersten Schritt gefundenen Punkt.
3) Ziehen Sie basierend auf Satz 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finden Sie Extrempunkte und Wendepunkte des Funktionsgraphen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0 für x 1 =0, x 2 =1. Wenn die Ableitung durch den Punkt x=0 geht, ändert sie ihr Vorzeichen von Minus nach Plus, und wenn sie durch den Punkt x=1 geht, ändert sie ihr Vorzeichen nicht. Das bedeutet, dass x=0 der Minimalpunkt ist (y min =12) und es am Punkt x=1 kein Extremum gibt. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) gilt f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) gilt f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von der Konvexität nach unten zur Konvexität nach oben) und x=1 ist ebenfalls ein Wendepunkt (Übergang von der Konvexität nach oben zur Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y= ; wenn, dann x=1, y=13.

Ein Algorithmus zum Ermitteln der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) als x → a , dann ist x=a die vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞, dann ist y=A die horizontale Asymptote.
III. Um die schräge Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b die horizontale Asymptote; Wenn ja, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich k ist, fahren Sie mit dem dritten Schritt fort.
3) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich b ist, fahren Sie mit dem vierten Schritt fort.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schrägen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie eine Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die schräge Asymptotengleichung hat die Form

Das Schema der Untersuchung der Funktion und der Konstruktion ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
III. Finden Sie Asymptoten.
IV. Finden Sie Punkte mit möglichen Extremwerten.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfszeichnung das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Bereiche der Zunahme und Abnahme der Funktion, ermitteln Sie die Richtung der Konvexität des Diagramms, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm und berücksichtigen Sie dabei die in den Absätzen 1–6 durchgeführte Studie.

Beispiel 22: Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen gemäß dem obigen Schema

Lösung.
I. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0; -1).
III. Lassen Sie uns die Frage nach der Existenz von Asymptoten klären. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunkts x=1. Da y → ∞ für x → -∞, y → +∞ für x → 1+, ist die Gerade x=1 eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Weiter aus der Existenz von Grenzen

Wenn wir die Gleichung x 2 -2x-1=0 lösen, erhalten wir zwei Punkte eines möglichen Extremums:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - Plus, im zweiten - Minus, im dritten - Plus. Die Vorzeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +, -, +.
Wir erhalten, dass die Funktion bei (-∞;1-√2) zunimmt, bei (1-√2;1+√2) abnimmt und bei (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2, außerdem f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2, außerdem f(1+√2)=2+2√2. Bei (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und bei (1;+∞) - nach unten.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen

Die Bezugspunkte beim Studium von Funktionen und der Konstruktion ihrer Graphen sind charakteristische Punkte – Diskontinuitätspunkte, Extremum, Wendepunkte, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Mit Hilfe der Differentialrechnung ist es möglich, die charakteristischen Merkmale der Funktionsänderung zu ermitteln: Zunahme und Abnahme, Maxima und Minima, die Richtung der Konvexität und Konkavität des Graphen, das Vorhandensein von Asymptoten.

Eine Skizze des Funktionsgraphen kann (und sollte) skizziert werden, nachdem die Asymptoten und Extrempunkte gefunden wurden, und es ist praktisch, die Übersichtstabelle der Untersuchung der Funktion im Verlauf der Studie auszufüllen.

Normalerweise wird das folgende Schema der Funktionsforschung verwendet.

1.Finden Sie den Definitionsbereich, die Kontinuitätsintervalle und die Haltepunkte einer Funktion.

2.Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade (axiale oder zentrale Symmetrie des Diagramms).

3.Finden Sie Asymptoten (vertikal, horizontal oder schräg).

4.Finden und untersuchen Sie die Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion, ihre Extrempunkte.

5.Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Konkavität der Kurve, ihre Wendepunkte.

6.Finden Sie die Schnittpunkte der Kurve mit den Koordinatenachsen, falls vorhanden.

7.Erstellen Sie eine zusammenfassende Tabelle der Studie.

8.Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der Untersuchung der Funktion, die gemäß den oben genannten Punkten durchgeführt wurde.

Beispiel. Funktion erkunden

und plane es.

7. Lassen Sie uns eine zusammenfassende Tabelle der Untersuchung der Funktion erstellen, in die wir alle charakteristischen Punkte und die Intervalle zwischen ihnen eintragen. Angesichts der Parität der Funktion erhalten wir die folgende Tabelle: