Exploration und Plotten mit vollem Funktionsumfang. Vollständiges Beispiel für Online-Funktionsrecherche

Für volles Studium Funktion und deren Graphen zu konstruieren, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) finden Sie den Umfang der Funktion;

2) Finden Sie die Unstetigkeitspunkte der Funktion und vertikale Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen, finden Sie die horizontalen und schiefen Asymptoten;

4) Untersuchung der Funktion auf Gleichmäßigkeit (Oddity) und auf Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte;

7) Finden Sie Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, wenn möglich, und einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verfeinern.

Die Untersuchung der Funktion wird gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen durchgeführt.

Beispiel 9 Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion bricht an bestimmten Stellen ab
,
;

Wir untersuchen die Funktion für das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein von schrägen und horizontalen Asymptoten.

Gerade
─ schiefe Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist sogar da
. Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen in Bezug auf die y-Achse an.

5. Finden Sie die Intervalle der Monotonie und die Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;
. Wir haben drei Punkte
;

. Diese Punkte teilen die gesamte reelle Achse in vier Intervalle. Lassen Sie uns die Zeichen definieren auf jedem von ihnen.

Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ab. Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher hat die Funktion an dieser Stelle ein Maximum
.

6. Finden wir Konvexitätsintervalle, Wendepunkte.

Lassen Sie uns die Punkte finden, wo 0 ist oder nicht existiert.

hat keine wirklichen Wurzeln.
,
,

Punkte
Und
Teilen Sie die reelle Achse in drei Intervalle. Lassen Sie uns das Zeichen definieren in jedem Intervall.

Somit ist die Kurve auf den Intervallen
Und
konvex nach unten, auf dem Intervall (-1;1) konvex nach oben; es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an den Punkten
Und
unentschlossen.

7. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen.

mit Achse
der Graph der Funktion schneidet sich am Punkt (0; -1) und mit der Achse
der Graph schneidet sich nicht, weil der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Graph der Funktion

Anwendung des Begriffs des Derivats in der Volkswirtschaftslehre. Funktionselastizität

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Funktionselastizität verwendet.

Definition. Funktionselastizität
heißt die Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion auf das relative Inkrement der Variablen bei
, . (VII)

Die Elastizität einer Funktion zeigt ungefähr, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert
beim Ändern der unabhängigen Variablen um 1%.

Die Elastizität einer Funktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Elastizität der Nachfrage (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral falls
─ unelastisch in Bezug auf Preis (oder Einkommen).

Beispiel 10 Berechnen Sie die Elastizität einer Funktion
und finden Sie den Wert des Elastizitätsindex für = 3.

Lösung: nach Formel (VII) die Elastizität der Funktion:

Sei dann x=3
Das bedeutet, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, steigt der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %.

Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des preises hat die Form
, Wo ─ konstanter Koeffizient. Ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit der Formel (VII)

Vorausgesetzt
Geldeinheiten, bekommen wir
. Das heißt, zum Preis
Geldeinheit eine Preiserhöhung von 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d.h. Die Nachfrage ist elastisch.

Eine der wichtigsten Aufgaben Differentialrechnung ist die Entwicklung gängige Beispiele Untersuchungen zum Verhalten von Funktionen.

Wenn die Funktion y \u003d f (x) im Intervall kontinuierlich ist und ihre Ableitung im Intervall (a, b) positiv oder gleich 0 ist, erhöht sich y \u003d f (x) um (f "(x) 0). Wenn die Funktion y \u003d f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, nimmt y=f(x) um (f"( x)0)

Die Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, heißen Intervalle der Monotonie der Funktion. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Stellen ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder bricht, werden kritische Punkte genannt.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion auf dem Segment stetig ist, differenzierbar auf dem Intervall (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , und seine Ableitung behält auf jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 - δ, x 0) und (x 0, x 0 + δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extremumspunkt, und wenn sie übereinstimmen, dann ist x 0 kein Extremumspunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 wird f "(x)> 0 durchgeführt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert von minus nach plus (rechts von x 0 wird von f"(x) ausgeführt<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als ihre Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum).

Wenn die Funktion y=f(x) ein Extremum beim aktuellen x=x 0 hat, dann existiert entweder f'(x 0)=0 oder f'(x 0) nicht.
An den Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion ist die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zum Studium einer Funktion für ein Extremum:

1) Finde die Ableitung der Funktion.
2) Finden Sie kritische Punkte, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Nachbarschaft jedes der Punkte und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte, setze diesen Wert der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Unter Verwendung ausreichender Extremumsbedingungen geeignete Schlussfolgerungen ziehen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. IN dieser Fall die Ableitung ist überall definiert; daher gibt es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y "=3(x-2)(x-4) ändert sich abhängig vom Intervall, wie in Abbildung 1 gezeigt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus, und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von minus nach plus.
4) Am Punkt x = 2 hat die Funktion ein Maximum y max = 20 und am Punkt x = 4 - ein Minimum y min = 16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Lassen Sie f "(x 0) und f "" (x 0) am Punkt x 0 existieren. Wenn dann f "" (x 0)> 0 ist, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf dem Segment kann die Funktion y \u003d f (x) entweder an den im Intervall (a; b) liegenden kritischen Punkten der Funktion oder an den Enden den kleinsten (mindestens) oder größten (höchstens) Wert erreichen des Segments.

Der Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment :

1) Finden Sie f "(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f "(x) = 0 oder f" (x) - nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y \u003d f (x) an den in Absatz 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten von ihnen aus: Sie sind jeweils die größten ( für den größten) und den kleinsten (für den kleinsten) Funktionswert auf dem Intervall .

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert einer stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment .

1) Wir haben y "=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Lassen Sie uns die Punkte finden, an denen y"=0; wir bekommen:
3x2 -6x-45=0
x2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nur der Punkt x=5 gehört zum Segment. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste die Zahl 50. Also bei max = 225, bei max = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist mit einer Wölbung nach oben gedreht, der zweite mit einer Wölbung nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke nach oben (unten) konvex, wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als die Tangente liegt gezeichnet an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)), wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf dem Segment nach unten konvex; wenn die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (а;b) erfüllt ist, dann ist die Funktion auf konvex nach oben.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist es M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Auffinden von Wendepunkten:

1) Finden Sie Punkte, wo f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem Punkt, der im ersten Schritt gefunden wurde.
3) Ziehen Sie basierend auf Theorem 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finde Extrempunkte und Wendepunkte des Funktionsgraphen y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0 für x 1 =0, x 2 =1. Die Ableitung ändert beim Durchgang durch den Punkt x = 0 das Vorzeichen von Minus auf Plus, und beim Durchgang durch den Punkt x = 1 ändert sie das Vorzeichen nicht. Dies bedeutet, dass x = 0 der Minimalpunkt ist (y min = 12), und es gibt kein Extremum am Punkt x = 1. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Stellen x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) haben wir f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) haben wir f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von Konvexität nach unten zu Konvexität nach oben) und x=1 ist ebenfalls ein Wendepunkt (Übergang von Konvexität nach oben zu Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y= ; wenn, dann x=1, y=13.

Ein Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) als x → a , dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞ ist, dann ist y=A die horizontale Asymptote.
III. Um die schiefe Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b die horizontale Asymptote; Wenn , fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich k ist, gehe zum dritten Schritt.
3) Berechnen. Wenn diese Grenze nicht existiert, gibt es keine Asymptote; wenn es existiert und gleich b ist, gehe zum vierten Schritt.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schiefen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie eine Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die schiefe Asymptotengleichung hat die Form

Das Schema der Untersuchung der Funktion und die Konstruktion ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit den Koordinatenachsen.
III. Asymptoten finden.
IV. Finden Sie Punkte möglicher Extrema.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfszeichnung das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Bereiche der Zunahme und Abnahme der Funktion, finden Sie die Richtung der Konvexität des Graphen, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm unter Berücksichtigung der in den Absätzen 1-6 durchgeführten Studie.

Beispiel 22: Zeichnen Sie einen Funktionsgraphen nach obigem Schema

Lösung.
I. Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0; -1).
III. Klären wir die Frage nach der Existenz von Asymptoten. Wir untersuchen das Verhalten der Funktion nahe der Unstetigkeitsstelle x=1. Da y → ∞ für x → -∞, y → +∞ für x → 1+, dann ist die Gerade x=1 eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Ferner von der Existenz von Grenzen

Durch Lösen der Gleichung x 2 -2x-1=0 erhalten wir zwei Punkte eines möglichen Extremums:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - plus, im zweiten - minus, im dritten - plus. Die Zeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +, -, +.
Wir erhalten, dass die Funktion auf (-∞;1-√2) zunimmt, auf (1-√2;1+√2) abnimmt und auf (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2, außerdem f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2, außerdem f(1+√2)=2+2√2. Auf (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und auf (1;+∞) - nach unten.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Graphen der Funktion

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu zeichnen. Nach einem sorgfältigen Studium dieses Artikels müssen Sie nicht lange schwitzen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, eine Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen, die Arbeit ist umfangreich und erfordert maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen. Um die Wahrnehmung des Materials zu erleichtern, werden wir nach und nach dieselbe Funktion untersuchen, alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Gehen!

Domain

Um eine Funktion zu untersuchen und darzustellen, müssen Sie einige Definitionen kennen. Eine Funktion ist eines der grundlegenden (grundlegenden) Konzepte in der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) mit Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich haben. Also ist y eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird als Funktion bezeichnet. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in Um diese Abhängigkeit besser zu verdeutlichen, wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Funktionsgraph? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder Wert von x einem Wert von y entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein - eine gerade Linie, Hyperbel, Parabel, Sinuskurve und so weiter.

Ein Funktionsgraph kann nicht ohne Exploration gezeichnet werden. Heute lernen wir, wie man recherchiert und einen Funktionsgraphen zeichnet. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. So wird es viel einfacher sein, mit der Aufgabe fertig zu werden. Der bequemste Studienplan:

1. Domain.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Konstanz.
8. Aufsteigend und absteigend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Lassen Sie uns den Definitionsbereich finden, dh in welchen Intervallen unsere Funktion existiert: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für beliebige Werte von x, das heißt, der Definitionsbereich ist R. Dies kann als xОR geschrieben werden.

Kontinuität

Jetzt untersuchen wir die Diskontinuitätsfunktion. In der Mathematik tauchte der Begriff "Kontinuität" als Ergebnis des Studiums der Bewegungsgesetze auf. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t in Bewegungsproblemen), die Temperatur des erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (d. h. eins das gezeichnet werden kann, ohne es vom Blattstift zu nehmen).

Ein Graph gilt als stetig, wenn er nicht irgendwann bricht. Eines der offensichtlichsten Beispiele für einen solchen Graphen ist eine Sinuswelle, die Sie auf dem Bild in diesem Abschnitt sehen können. Die Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechte und linke Grenze an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man von einer Unterbrechung der Funktion. Und die Punkte, an denen die Funktion bricht, werden Breakpoints genannt. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei grafischer Darstellung „bricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Außerdem existiert y nicht an der Stelle x = 3 (da nicht durch Null geteilt werden kann).

In der Funktion, die wir untersuchen (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)), stellte sich alles als einfach heraus, da der Graph kontinuierlich sein wird.

Gerade ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Beginnen wir mit ein wenig Theorie. Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die die Bedingung f (-x) = f (x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich) erfüllt. Beispiele sind:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Dohle, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x zum Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinuswelle).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse betrachtet werden.

Was heißt dann eine ungerade Funktion? Dies sind die Funktionen, die die Bedingung erfüllen: f (-x) \u003d - f (x) für jeden Wert der Variablen x. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• sinusförmig;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also dem Ursprung sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zum Definitionssatz und -x auch.

Untersuchen wir die Funktion auf Parität. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, das heißt, der Abstand von einem Punkt geht gegen Null. Es gibt drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, dh parallel zur y-Achse;
• horizontal, d. h. parallel zur x-Achse;
• schräg.

Wie beim ersten Typ sollten diese Zeilen an einigen Stellen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden der Domäne.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist R. Daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, die folgende Bedingung erfüllt: wenn x gegen unendlich oder minus unendlich strebt und der Grenzwert gleich einer bestimmten Zahl ist (z. B. a). In diesem Fall ist y=a die horizontale Asymptote. In der Funktion, die wir untersuchen, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schiefe Asymptote liegt nur vor, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es durch die Formel gefunden werden: y=kx+b. Auch in unserem Fall gibt es keine schiefen Asymptoten.

Funktion Nullen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die mit dem Finden der Nullstellen einer Funktion verbunden ist, nicht nur beim Studium und Aufbau eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als unabhängige Aufgabe und als Möglichkeit, Ungleichungen zu lösen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Wenn Sie diese Werte finden, können Sie die Funktion genauer zeichnen. Einfach ausgedrückt ist die Nullstelle der Funktion der Wert der Variablen x, bei der y \u003d 0 ist. Sucht man die Nullstellen einer Funktion auf einem Graphen, dann sollte man auf die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse achten.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nachdem wir die notwendigen Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir die folgende Antwort:

Konstanz unterzeichnen

Der nächste Schritt bei der Untersuchung und Konstruktion einer Funktion (Graphik) besteht darin, Intervalle mit Vorzeichenkonstanz zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert annimmt und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Dabei helfen uns die Nullstellen der im vorigen Abschnitt gefundenen Funktionen. Wir müssen also eine gerade Linie (getrennt vom Graphen) bauen und die Nullstellen der Funktion entlang dieser in der richtigen Reihenfolge von der kleinsten zur größten verteilen. Nun müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“-Zeichen hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion einen positiven Wert für die Intervalle an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negative Bedeutung:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Dies ist ziemlich einfach zu bestimmen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Zeichen die Antwort ist (Minus oder Plus).

Funktion Aufsteigend und Absteigend

Um eine Funktion zu untersuchen und zu erstellen, müssen wir wissen, wo der Graph ansteigt (bei Oy nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Die Funktion wächst nur, wenn der größere Wert der Variablen x dem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen bei einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes finden:

• Geltungsbereich (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• löse die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus unendlich bis 7/3 und von 7 bis unendlich zu und nimmt im Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für beliebige Werte der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum dieser Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten werden sie auch mit der Ableitungsfunktion gefunden. Vergessen Sie nach dem Finden nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir untersuchen weiterhin die Funktion y(x). Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität überprüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind ziemlich schwer zu verstehen, es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nichtfallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung der Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Jetzt setzen wir die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also die Stelle, an der der Graph von konvex zu konkav oder umgekehrt wechselt. Auf dem Intervall von minus unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex und von 14/3 bis plus unendlich ist sie konkav. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt auf dem Diagramm glatt und weich sein sollte, es sollte keine scharfen Ecken geben.

Definition zusätzlicher Punkte

Unsere Aufgabe ist es, den Funktionsgraphen zu untersuchen und zu zeichnen. Wir haben die Studie abgeschlossen, es wird jetzt nicht schwierig sein, die Funktion zu zeichnen. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder einer Geraden auf der Koordinatenebene finden Sie mehrere Hilfspunkte. Es ist ziemlich einfach, sie zu berechnen. Zum Beispiel nehmen wir x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele zusätzliche Punkte nehmen, wie Sie zum Bauen benötigen. Mindestens 3-5 von ihnen werden gefunden.

Plotten

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle notwendigen Markierungen im Laufe der Berechnungen wurden in der Koordinatenebene vorgenommen. Es bleibt nur noch, einen Graphen zu erstellen, also alle Punkte miteinander zu verbinden. Das Verbinden der Punkte ist reibungslos und genau, dies ist eine Frage des Könnens - ein wenig Übung und Ihr Zeitplan wird perfekt sein.