Σπίτι › Crash Test Auto › Τι είναι η ευθεία αναλογικότητα; Γραμμική συνάρτηση. Άμεση αναλογικότητα

Τι είναι η ευθεία αναλογικότητα; Γραμμική συνάρτηση. Άμεση αναλογικότητα

Παράδειγμα

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 κ.λπ.

Συντελεστής αναλογικότητας

Ο σταθερός λόγος των αναλογικών μεγεθών ονομάζεται συντελεστή αναλογικότητας. Ο συντελεστής αναλογικότητας δείχνει πόσες μονάδες μιας ποσότητας πέφτουν σε μια μονάδα μιας άλλης.

Άμεση αναλογικότητα

Άμεση αναλογικότητα- λειτουργική εξάρτηση, στην οποία κάποια ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα με τέτοιο τρόπο ώστε η αναλογία τους να παραμένει σταθερή. Με άλλα λόγια, αυτές οι μεταβλητές αλλάζουν αναλογικά, σε ίσα μερίδια, δηλαδή εάν το όρισμα έχει αλλάξει δύο φορές προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, τότε η συνάρτηση αλλάζει επίσης δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.

Μαθηματικά, η ευθεία αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:

φά(Χ) = έναΧ,ένα = ντοοnμικρόt

Αντιστρόφως αναλογικότητα

Αντίστροφη αναλογία- αυτή είναι μια λειτουργική εξάρτηση, στην οποία μια αύξηση της ανεξάρτητης τιμής (όρισμα) προκαλεί αναλογική μείωση της εξαρτημένης τιμής (συνάρτησης).

Μαθηματικά, η αντίστροφη αναλογικότητα γράφεται ως τύπος:

Ιδιότητες λειτουργίας:

Πηγές

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

I. Τιμές ευθέως ανάλογες.

Αφήστε την τιμή yεξαρτάται από το μέγεθος Χ. Αν με αύξηση Χαρκετές φορές το μέγεθος στοαυξάνεται κατά τον ίδιο παράγοντα, τότε τέτοιες τιμές ΧΚαι στοονομάζονται ευθέως αναλογικά.

Παραδείγματα.

1 . Η ποσότητα των αγορασθέντων αγαθών και το κόστος αγοράς (σε σταθερή τιμή μιας μονάδας εμπορευμάτων - 1 τεμάχιο ή 1 κιλό κ.λπ.) Πόσες φορές περισσότερα αγαθά αγοράστηκαν, τόσες φορές περισσότερα και πληρώθηκαν.

2 . Η απόσταση που διανύθηκε και ο χρόνος που δαπανήθηκε σε αυτήν (με σταθερή ταχύτητα). Πόσες φορές περισσότερο το μονοπάτι, πόσες φορές περισσότερο χρόνο θα αφιερώσουμε σε αυτό.

3 . Ο όγκος ενός σώματος και η μάζα του. ( Αν το ένα καρπούζι είναι 2 φορές μεγαλύτερο από το άλλο, τότε η μάζα του θα είναι 2 φορές μεγαλύτερη)

II. Η ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας των ποσοτήτων.

Εάν δύο ποσότητες είναι ευθέως ανάλογες, τότε η αναλογία δύο αυθαίρετων τιμών της πρώτης ποσότητας είναι ίση με την αναλογία των δύο αντίστοιχων τιμών της δεύτερης ποσότητας.

Εργασία 1.Για μαρμελάδα βατόμουρο 12 κιλάσμέουρα και 8 κιλάΣαχάρα. Πόση ζάχαρη θα χρειαστεί εάν ληφθεί 9 κιλάσμέουρα;

Λύση.

Μαλώνουμε ως εξής: ας είναι απαραίτητο x kgζάχαρη επάνω 9 κιλάσμέουρα. Η μάζα των σμέουρων και η μάζα της ζάχαρης είναι ευθέως ανάλογες: πόσες φορές λιγότερα σμέουρα, χρειάζεται η ίδια ποσότητα ζάχαρης. Επομένως, η αναλογία των λαμβανόμενων (κατά βάρος) σμέουρων ( 12:9 ) θα είναι ίση με την αναλογία της ζάχαρης που λαμβάνεται ( 8:χ). Παίρνουμε την αναλογία:

12: 9=8: Χ;

x=9 · 8: 12;

x=6. Απάντηση:επί 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε 6 κιλάΣαχάρα.

Η λύση του προβλήματοςθα μπορούσε να γίνει έτσι:

Άσε 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε x kgΣαχάρα.

(Τα βέλη στο σχήμα κατευθύνονται προς μία κατεύθυνση και δεν έχει σημασία πάνω ή κάτω. Σημασία: πόσες φορές ο αριθμός 12 περισσότερος αριθμός 9 , τον ίδιο αριθμό 8 περισσότερος αριθμός Χ, δηλαδή, υπάρχει μια άμεση εξάρτηση εδώ).

Απάντηση:επί 9 κιλάσμέουρα για να πάρετε 6 κιλάΣαχάρα.

Εργασία 2.αυτοκίνητο για 3 ώρεςδιανυθείσα απόσταση 264 χλμ. Πόσο καιρό θα του πάρει 440 χλμαν ταξιδεύει με την ίδια ταχύτητα;

Λύση.

Αφήστε για x ώρεςτο αυτοκίνητο θα καλύψει την απόσταση 440 χλμ.

Απάντηση:το αυτοκίνητο θα περάσει 440 χλμ σε 5 ώρες.

Η έννοια της ευθείας αναλογικότητας

Φανταστείτε ότι σκέφτεστε να αγοράσετε την αγαπημένη σας καραμέλα (ή οτιδήποτε σας αρέσει πραγματικά). Τα γλυκά του μαγαζιού έχουν τη δική τους τιμή. Ας υποθέσουμε 300 ρούβλια ανά κιλό. Όσο περισσότερες καραμέλες αγοράζετε, τόσο περισσότερα λεφτάπληρωμή. Δηλαδή, αν θέλετε 2 κιλά - πληρώστε 600 ρούβλια και αν θέλετε 3 κιλά - δώστε 900 ρούβλια. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα με αυτό, σωστά;

Εάν ναι, τότε είναι πλέον σαφές για εσάς τι είναι η άμεση αναλογικότητα - αυτή είναι μια έννοια που περιγράφει την αναλογία δύο ποσοτήτων που εξαρτώνται η μία από την άλλη. Και η αναλογία αυτών των ποσοτήτων παραμένει αμετάβλητη και σταθερή: κατά πόσα μέρη αυξάνεται ή μειώνεται το ένα από αυτά, κατά τον ίδιο αριθμό μερών το δεύτερο αυξάνεται ή μειώνεται αναλογικά.

Η άμεση αναλογικότητα μπορεί να περιγραφεί με τον ακόλουθο τύπο: f(x) = a*x, και το a σε αυτόν τον τύπο είναι μια σταθερή τιμή (a = const). Στο παράδειγμά μας με τα γλυκά, η τιμή είναι σταθερή, σταθερή. Δεν αυξάνεται ούτε μειώνεται, όσα γλυκά κι αν αποφασίσετε να αγοράσετε. Η ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα) x είναι πόσα κιλά γλυκά πρόκειται να αγοράσετε. Και η εξαρτημένη μεταβλητή f(x) (συνάρτηση) είναι πόσα χρήματα καταλήγετε να πληρώσετε για την αγορά σας. Μπορούμε λοιπόν να αντικαταστήσουμε τους αριθμούς στον τύπο και να πάρουμε: 600 r. = 300 r. * 2 κιλά.

Το ενδιάμεσο συμπέρασμα είναι το εξής: αν το όρισμα αυξηθεί, η συνάρτηση αυξάνεται επίσης, εάν το όρισμα μειωθεί, η συνάρτηση επίσης μειώνεται

Η συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Ευθεία αναλογική συνάρτησηείναι ειδική περίπτωσηγραμμική συνάρτηση. Εάν η γραμμική συνάρτηση είναι y = k*x + b, τότε για την ευθεία αναλογικότητα μοιάζει με αυτό: y = k*x, όπου k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας και αυτός είναι πάντα ένας αριθμός μη μηδενικός. Ο υπολογισμός του k είναι εύκολος - βρίσκεται ως πηλίκο μιας συνάρτησης και ενός ορίσματος: k = y/x.

Για να γίνει πιο σαφές, ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα. Φανταστείτε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β. Η ταχύτητά του είναι 60 km/h. Αν υποθέσουμε ότι η ταχύτητα κίνησης παραμένει σταθερή, τότε μπορεί να ληφθεί ως σταθερή. Και στη συνέχεια γράφουμε τις συνθήκες με τη μορφή: S \u003d 60 * t και αυτός ο τύπος είναι παρόμοιος με τη συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας y \u003d k * x. Ας κάνουμε έναν παραλληλισμό περαιτέρω: εάν k \u003d y / x, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου μπορεί να υπολογιστεί, γνωρίζοντας την απόσταση μεταξύ Α και Β και τον χρόνο που δαπανάται στο δρόμο: V \u003d S / t.

Και τώρα, από την εφαρμοσμένη εφαρμογή της γνώσης για την ευθεία αναλογικότητα, ας επιστρέψουμε στη λειτουργία της. Οι ιδιότητες του οποίου περιλαμβάνουν:

Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών (καθώς και το υποσύνολο του).

η συνάρτηση είναι περίεργη.

η αλλαγή στις μεταβλητές είναι ευθέως ανάλογη με όλο το μήκος της αριθμητικής γραμμής.

Η ευθεία αναλογικότητα και η γραφική παράσταση της

Μια γραφική παράσταση μιας ευθέως αναλογικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή που τέμνει το σημείο αρχής. Για την κατασκευή του, αρκεί να σημειώσετε μόνο ένα ακόμη σημείο. Και συνδέστε το και την προέλευση της γραμμής.

Στην περίπτωση γραφήματος, αυτό είναι κλίση. Εάν η κλίση είναι μικρότερη από μηδέν (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), το γράφημα και η μορφή του άξονα x αιχμηρή γωνία, και η συνάρτηση αυξάνεται.

Και μια ακόμη ιδιότητα του γραφήματος της συνάρτησης ευθείας αναλογικότητας σχετίζεται άμεσα με την κλίση k. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο μη ταυτόσημες συναρτήσεις και, κατά συνέπεια, δύο γραφήματα. Έτσι, αν οι συντελεστές k αυτών των συναρτήσεων είναι ίσοι, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι παράλληλες στον άξονα των συντεταγμένων. Και αν οι συντελεστές k δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται.

Παραδείγματα εργασιών

Ας αποφασίσουμε ένα ζευγάρι προβλήματα άμεσης αναλογικότητας

Ας ξεκινήσουμε απλά.

Εργασία 1: Φανταστείτε ότι 5 κότες γεννούσαν 5 αυγά σε 5 ημέρες. Και αν είναι 20 κότες, πόσα αυγά θα γεννήσουν σε 20 μέρες;

Λύση: Να χαρακτηρίσετε τον άγνωστο ως x. Και θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής: πόσες φορές έχουν γίνει περισσότερα κοτόπουλα; Διαιρέστε το 20 με το 5 και μάθετε ότι είναι 4 φορές. Και πόσες φορές περισσότερα αυγά θα γεννήσουν 20 κότες τις ίδιες 5 μέρες; Επίσης 4 φορές περισσότερο. Έτσι, βρίσκουμε τα δικά μας ως εξής: 5 * 4 * 4 \u003d 80 αυγά θα γεννήσουν 20 κότες σε 20 ημέρες.

Τώρα το παράδειγμα είναι λίγο πιο περίπλοκο, ας επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα από τη «Γενική Αριθμητική» του Νεύτωνα. Εργασία 2: Ένας συγγραφέας μπορεί να γράψει 14 σελίδες ενός νέου βιβλίου σε 8 ημέρες. Αν είχε βοηθούς, πόσα άτομα θα χρειαζόταν για να γράψει 420 σελίδες σε 12 μέρες;

Λύση: Θεωρούμε ότι ο αριθμός των ατόμων (συγγραφέας + βοηθοί) αυξάνεται με την αύξηση του όγκου της εργασίας εάν έπρεπε να γίνει στον ίδιο χρόνο. Πόσες φορές όμως; Διαιρώντας το 420 με το 14, διαπιστώνουμε ότι αυξάνεται κατά 30 φορές. Αλλά επειδή, σύμφωνα με την προϋπόθεση της εργασίας, δίνεται περισσότερος χρόνος για εργασία, ο αριθμός των βοηθών δεν αυξάνεται κατά 30 φορές, αλλά με αυτόν τον τρόπο: x \u003d 1 (συγγραφέας) * 30 (φορές): 12/8 (ημέρες). Ας μεταμορφωθούμε και ας μάθουμε ότι x = 20 άτομα θα γράψουν 420 σελίδες σε 12 ημέρες.

Ας λύσουμε ένα άλλο πρόβλημα παρόμοιο με αυτά που είχαμε στα παραδείγματα.

Εργασία 3: Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν για το ίδιο ταξίδι. Ο ένας κινούνταν με ταχύτητα 70 km/h και διένυε την ίδια απόσταση σε 2 ώρες με τον άλλο σε 7 ώρες. Βρείτε την ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου.

Λύση: Όπως θυμάστε, η διαδρομή καθορίζεται μέσω της ταχύτητας και του χρόνου - S = V *t. Εφόσον και τα δύο αυτοκίνητα ταξίδεψαν με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να εξισώσουμε τις δύο εκφράσεις: 70*2 = V*7. Πού βρίσκουμε ότι η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκινήτου είναι V = 70*2/7 = 20 km/h.

Και μερικά ακόμη παραδείγματα εργασιών με συναρτήσεις άμεσης αναλογικότητας. Μερικές φορές στα προβλήματα απαιτείται να βρεθεί ο συντελεστής k.

Εργασία 4: Δεδομένων των συναρτήσεων y \u003d - x / 16 και y \u003d 5x / 2, προσδιορίστε τους συντελεστές αναλογικότητας τους.

Λύση: Όπως θυμάστε, k = y/x. Επομένως, για την πρώτη συνάρτηση, ο συντελεστής είναι -1/16, και για τη δεύτερη, k = 5/2.

Και μπορεί επίσης να συναντήσετε μια εργασία όπως η Εργασία 5: Καταγράψτε τον τύπο της άμεσης αναλογικότητας. Η γραφική παράσταση του και η γραφική παράσταση της συνάρτησης y \u003d -5x + 3 βρίσκονται παράλληλα.

Λύση: Η συνάρτηση που μας δίνεται στη συνθήκη είναι γραμμική. Γνωρίζουμε ότι η ευθεία αναλογικότητα είναι μια ειδική περίπτωση μιας γραμμικής συνάρτησης. Και γνωρίζουμε επίσης ότι αν οι συντελεστές των k συναρτήσεων είναι ίσοι, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι το μόνο που απαιτείται είναι να υπολογίσετε τον συντελεστή μιας γνωστής συνάρτησης και να ορίσετε την άμεση αναλογικότητα χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο: y \u003d k * x. Συντελεστής k \u003d -5, ευθεία αναλογικότητα: y \u003d -5 * x.

συμπέρασμα

Τώρα έχετε μάθει (ή θυμηθήκατε, αν έχετε ήδη καλύψει αυτό το θέμα πριν), τι λέγεται ευθεία αναλογικότητα, και το θεώρησε παραδείγματα. Μιλήσαμε επίσης για τη συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας και το γράφημά της, λύσαμε μερικά προβλήματα για παράδειγμα.

Εάν αυτό το άρθρο ήταν χρήσιμο και βοήθησε στην κατανόηση του θέματος, πείτε μας για αυτό στα σχόλια. Για να ξέρουμε αν μπορούμε να σας ωφελήσουμε.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Άμεση και αντίστροφη αναλογικότητα

Αν t είναι ο χρόνος που κινείται ο πεζός (σε ώρες), s είναι η απόσταση που διανύθηκε (σε χιλιόμετρα) και κινείται ομοιόμορφα με ταχύτητα 4 km/h, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των μεγεθών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο s = 4 τόνοι. Δεδομένου ότι κάθε τιμή του t αντιστοιχεί σε μια μοναδική τιμή του s, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο s = 4t. Ονομάζεται ευθεία αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.

Ορισμός. Η άμεση αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d kx, όπου το k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενός.

Το όνομα της συνάρτησης y \u003d k x οφείλεται στο γεγονός ότι στον τύπο y \u003d kx υπάρχουν μεταβλητές x και y, οι οποίες μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν η αναλογία δύο τιμών είναι ίση με κάποιον αριθμό εκτός από το μηδέν, ονομάζονται ευθέως ανάλογο . Στην περίπτωσή μας = k (k≠0). Αυτός ο αριθμός ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.

Η συνάρτηση y \u003d k x είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που θεωρούνται ήδη στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών. Ένα από αυτά περιγράφεται παραπάνω. Ένα άλλο παράδειγμα: εάν υπάρχουν 2 κιλά αλεύρι σε μια συσκευασία και αγοράζονται x τέτοιες συσκευασίες, τότε ολόκληρη η μάζα του αγορασμένου αλεύρου (το συμβολίζουμε με y) μπορεί να αναπαρασταθεί ως τύπος y \u003d 2x, δηλ. η σχέση μεταξύ του αριθμού των συσκευασιών και της συνολικής μάζας του αγορασμένου αλεύρου είναι ευθέως ανάλογη με τον συντελεστή k=2.

Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της ευθείας αναλογικότητας, που μελετώνται στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών.

1. Ο τομέας της συνάρτησης y \u003d k x και ο τομέας των τιμών της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

2. Η γραφική παράσταση της ευθείας αναλογικότητας είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή. Επομένως, για να κατασκευάσουμε ένα γράφημα ευθείας αναλογικότητας, αρκεί να βρούμε μόνο ένα σημείο που του ανήκει και δεν συμπίπτει με την αρχή και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό το σημείο και την αρχή.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = 2x, αρκεί να έχουμε ένα σημείο με συντεταγμένες (1, 2), και στη συνέχεια να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτό και την αρχή (Εικ. 7).

3. Για k > 0, η συνάρτηση y = kx αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. για κ< 0 - убывает на всей области определения.

4. Αν η συνάρτηση f είναι ευθεία αναλογικότητα και (x 1, y 1), (x 2, y 2) - ζεύγη αντίστοιχων τιμώντων μεταβλητών x και y, και x 2 ≠ 0 τότε.

Πράγματι, εάν η συνάρτηση f είναι άμεση αναλογικότητα, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y \u003d kx και, στη συνέχεια, y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Αφού στα x 2 ≠0 και k≠0, τότε y 2 ≠0. Να γιατί και σημαίνει .

Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε η αποδεδειγμένη ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής y αυξάνεται (μειώνεται) κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην ευθεία αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη άμεσα ανάλογα μεγέθη.

Εργασία 1. Σε 8 ώρες, ο τορναδόρος έφτιαξε 16 μέρη. Πόσες ώρες θα χρειαστεί ένας τορναδόρος για να φτιάξει 48 εξαρτήματα αν δουλεύει με την ίδια παραγωγικότητα;

Λύση. Το πρόβλημα λαμβάνει υπόψη τις ποσότητες - τον χρόνο του τορναδόρου, τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει και την παραγωγικότητα (δηλαδή τον αριθμό των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ο τορναδόρος σε 1 ώρα), η τελευταία τιμή είναι σταθερή και τα άλλα δύο παίρνουν διάφορες έννοιες. Επιπλέον, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται και ο χρόνος εργασίας είναι ευθέως ανάλογοι, αφού η αναλογία τους είναι ίση με έναν ορισμένο αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, δηλαδή, ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζει ένας τορναδόρος σε 1 ώρα. των κατασκευασμένων εξαρτημάτων συμβολίζεται με το γράμμα y, ο χρόνος εργασίας είναι x και η απόδοση - k, τότε παίρνουμε ότι = k ή y = kx, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η ευθεία αναλογικότητα.

Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο αριθμητικούς τρόπους:

1 τρόπος: 2 τρόπος:

1) 16:8 = 2 (παιδιά) 1) 48:16 = 3 (φορές)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 2, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d 2x, βρήκαμε την τιμή του x, με την προϋπόθεση ότι y \u003d 48.

Κατά την επίλυση του προβλήματος με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της ευθείας αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται ο αριθμός των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται από έναν τορνευτή, ο χρόνος για την κατασκευή τους αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό.

Ας στραφούμε τώρα στην εξέταση μιας συνάρτησης που ονομάζεται αντιστρόφως αναλογικότητα.

Εάν t είναι ο χρόνος κίνησης του πεζού (σε ώρες), v είναι η ταχύτητά του (σε km/h) και περπάτησε 12 km, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των τιμών μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο v∙t = 20 ή v = .

Εφόσον κάθε τιμή του t (t ≠ 0) αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της ταχύτητας v, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση δίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο v = . Ονομάζεται αντίστροφη αναλογικότητα και ορίζεται ως εξής.

Ορισμός. Η αντίστροφη αναλογικότητα είναι μια συνάρτηση που μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο y \u003d, όπου k είναι ένας πραγματικός αριθμός μη μηδενικός.

Το όνομα αυτής της συνάρτησης προέρχεται από το γεγονός ότι y= υπάρχουν μεταβλητές x και y, που μπορεί να είναι τιμές ποσοτήτων. Και αν το γινόμενο δύο μεγεθών είναι ίσο με κάποιον άλλο αριθμό από το μηδέν, τότε ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες. Στην περίπτωσή μας, xy = k(k ≠ 0). Αυτός ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας.

Λειτουργία y= είναι ένα μαθηματικό μοντέλο πολλών πραγματικών καταστάσεων που εξετάζονται ήδη στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών. Ένα από αυτά περιγράφεται πριν από τον ορισμό της αντίστροφης αναλογικότητας. Ένα άλλο παράδειγμα: αν αγοράσατε 12 κιλά αλεύρι και το βάλατε σε l: κουτιά των y κιλών το καθένα, τότε η σχέση μεταξύ αυτών των ποσοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως x-y= 12, δηλ. είναι αντιστρόφως ανάλογο με τον συντελεστή k=12.

Θυμηθείτε μερικές ιδιότητες της αντίστροφης αναλογικότητας, γνωστές από το σχολικό μάθημα των μαθηματικών.

1. Πεδίο λειτουργίας y= και το εύρος του x είναι το σύνολο των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών.

2. Το γράφημα της αντίστροφης αναλογικότητας είναι υπερβολή.

3. Για k > 0, οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο και η συνάρτηση y= μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 8).

Ρύζι. 8 Εικ.9

Όταν ο κ< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο του x (Εικ. 9).

4. Αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη και (x 1, y 1), (x 2, y 2) είναι ζεύγη αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών x και y, τότε.

Πράγματι, αν η συνάρτηση f είναι αντιστρόφως ανάλογη, τότε μπορεί να δοθεί από τον τύπο y= ,και μετά . Αφού x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, τότε

Εάν οι τιμές των μεταβλητών x και y είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε αυτή η ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής: με αύξηση (μείωση) της τιμής της μεταβλητής x πολλές φορές, η αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής Το y μειώνεται (αυξάνεται) κατά το ίδιο ποσό.

Αυτή η ιδιότητα είναι εγγενής μόνο στην αντίστροφη αναλογικότητα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων λέξεων στα οποία λαμβάνονται υπόψη αντιστρόφως ανάλογα μεγέθη.

Πρόβλημα 2. Ένας ποδηλάτης, κινούμενος με ταχύτητα 10 km/h, κάλυψε την απόσταση από το Α στο Β σε 6 ώρες.

Λύση. Το πρόβλημα εξετάζει τα ακόλουθα μεγέθη: την ταχύτητα του ποδηλάτη, τον χρόνο κίνησης και την απόσταση από το Α στο Β, με την τελευταία τιμή να είναι σταθερή και οι άλλες δύο να λαμβάνουν διαφορετικές τιμές. Επιπλέον, η ταχύτητα και ο χρόνος κίνησης είναι αντιστρόφως ανάλογα, αφού το γινόμενο τους είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό, δηλαδή την απόσταση που διανύθηκε. Εάν ο χρόνος της κίνησης του ποδηλάτη συμβολίζεται με το γράμμα y, η ταχύτητα είναι x και η απόσταση AB είναι k, τότε παίρνουμε ότι xy \u003d k ή y \u003d, δηλ. το μαθηματικό μοντέλο της κατάστασης που παρουσιάζεται στο πρόβλημα είναι η αντιστρόφως αναλογικότητα.

Μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα με δύο τρόπους:

1 τρόπος: 2 τρόπος:

1) 10-6 = 60 (χλμ) 1) 20:10 = 2 (φορές)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(ω)

Λύνοντας το πρόβλημα με τον πρώτο τρόπο, βρήκαμε πρώτα τον συντελεστή αναλογικότητας k, είναι ίσος με 60, και στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι y \u003d, βρήκαμε την τιμή του y, με την προϋπόθεση ότι x \u003d 20.

Όταν λύναμε το πρόβλημα με τον δεύτερο τρόπο, χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της αντίστροφης αναλογικότητας: πόσες φορές αυξάνεται η ταχύτητα της κίνησης, ο χρόνος για να διανύσουμε την ίδια απόσταση μειώνεται κατά το ίδιο ποσό.

Σημειώστε ότι κατά την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων με αντιστρόφως ανάλογα ή άμεσα ανάλογα μεγέθη, επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στα x και y, ειδικότερα, μπορούν να ληφθούν υπόψη όχι σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά στα υποσύνολά του.

Πρόβλημα 3. Η Λένα αγόρασε x μολύβια και η Κάτια αγόρασε 2 φορές περισσότερα. Σημειώστε τον αριθμό των μολυβιών που αγόρασε η Katya ως y, εκφράστε το y ως x και σχεδιάστε το καθορισμένο γράφημα αντιστοιχίας, με την προϋπόθεση ότι x ≤ 5. Αυτό το ταίριασμα είναι συνάρτηση; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών του;

Λύση. Η Κάτια αγόρασε u = 2 μολύβια. Κατά τη σχεδίαση της συνάρτησης y=2x, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η μεταβλητή x υποδηλώνει τον αριθμό των μολυβιών και x≤5, που σημαίνει ότι μπορεί να λάβει μόνο τις τιμές 0, 1, 2, 3, 4, 5. Αυτός θα είναι ο τομέας αυτής της συνάρτησης. Για να λάβετε το εύρος αυτής της συνάρτησης, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε τιμή x από το πεδίο ορισμού επί 2, δηλ. θα είναι ένα σετ (0, 2, 4, 6, 8, 10). Επομένως, το γράφημα της συνάρτησης y \u003d 2x με το πεδίο ορισμού (0, 1, 2, 3, 4, 5) θα είναι το σύνολο των σημείων που φαίνεται στο σχήμα 10. Όλα αυτά τα σημεία ανήκουν στη γραμμή y \u003d 2x.

Η έννοια της ευθείας αναλογικότητας

Φανταστείτε ότι σκέφτεστε να αγοράσετε την αγαπημένη σας καραμέλα (ή οτιδήποτε σας αρέσει πραγματικά). Τα γλυκά του μαγαζιού έχουν τη δική τους τιμή. Ας υποθέσουμε 300 ρούβλια ανά κιλό. Όσο περισσότερες καραμέλες αγοράζετε, τόσο περισσότερα χρήματα πληρώνετε. Δηλαδή, αν θέλετε 2 κιλά - πληρώστε 600 ρούβλια και αν θέλετε 3 κιλά - δώστε 900 ρούβλια. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα με αυτό, σωστά;

Η συνάρτηση και οι ιδιότητές της

Ευθεία αναλογική συνάρτησηείναι ειδική περίπτωση γραμμικής συνάρτησης. Εάν η γραμμική συνάρτηση είναι y = k*x + b, τότε για την ευθεία αναλογικότητα μοιάζει με αυτό: y = k*x, όπου k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας και αυτός είναι πάντα ένας αριθμός μη μηδενικός. Ο υπολογισμός του k είναι εύκολος - βρίσκεται ως πηλίκο μιας συνάρτησης και ενός ορίσματος: k = y/x.

Το πεδίο ορισμού του είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών (καθώς και το υποσύνολο του).

η συνάρτηση είναι περίεργη.

η αλλαγή στις μεταβλητές είναι ευθέως ανάλογη με όλο το μήκος της αριθμητικής γραμμής.

Η ευθεία αναλογικότητα και η γραφική παράσταση της

Στην περίπτωση γραφήματος, k είναι η κλίση. Εάν η κλίση είναι μικρότερη από μηδέν (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), το γράφημα και ο άξονας x σχηματίζουν οξεία γωνία και η συνάρτηση αυξάνεται.