Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης
Η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) αποδεκτή τιμή της τεταγμένης στο εξεταζόμενο διάστημα.
Για να βρείτε το μεγαλύτερο ή μικρότερη τιμήαπαιτούμενες λειτουργίες:
- Ελέγξτε ποια ακίνητα σημεία περιλαμβάνονται στο συγκεκριμένο τμήμα.
- Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε σταθερά σημεία από το βήμα 3
- Επιλέξτε από τα αποτελέσματα που ελήφθησαν τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή.
Για να βρείτε τους μέγιστους ή ελάχιστους βαθμούς, πρέπει:
- Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f"(x)$
- Βρείτε σταθερά σημεία λύνοντας την εξίσωση $f"(x)=0$
- Παραγοντοποιήστε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Σχεδιάστε μια γραμμή συντεταγμένων, τοποθετήστε ακίνητα σημεία πάνω της και προσδιορίστε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα που προκύπτουν, χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία της ενότητας 3.
- Βρείτε τα μέγιστα ή τα ελάχιστα σημεία σύμφωνα με τον κανόνα: εάν σε ένα σημείο η παράγωγος αλλάξει πρόσημο από συν σε μείον, τότε αυτό θα είναι το μέγιστο σημείο (αν από μείον σε συν, τότε αυτό θα είναι το ελάχιστο σημείο). Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την εικόνα των βελών στα διαστήματα: στο διάστημα όπου η παράγωγος είναι θετική, το βέλος τραβιέται προς τα πάνω και αντίστροφα.
Πίνακας παραγώγων ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων:
| Λειτουργία | Παράγωγο |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-six$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $αμαρτ^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης
1. Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Παράγωγο προϊόντος.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Παράγωγος του πηλίκου
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x))$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x-5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της παραγώγου της εξωτερικής συνάρτησης και της παραγώγου της εσωτερικής συνάρτησης
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Βρείτε το ODZ της συνάρτησης: $x+11>0; x>-11$
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Βρείτε ακίνητα σημεία εξισώνοντας την παράγωγο με μηδέν
$(2x+21)/(x+11)=0$
Ένα κλάσμα είναι μηδέν αν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν
$2x+21=0; x≠-11$
4. Σχεδιάστε μια γραμμή συντεταγμένων, τοποθετήστε πάνω της ακίνητα σημεία και προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα που προκύπτουν. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην παράγωγο οποιονδήποτε αριθμό από την άκρα δεξιά περιοχή, για παράδειγμα, μηδέν.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, το σημείο -10,5$ είναι το ελάχιστο σημείο.
Απάντηση: -10,5$
Εύρημα υψηλότερη τιμήσυναρτήσεις $y=6x^5-90x^3-5$ στο διάστημα $[-5;1]$
1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y′=30x^4-270x^2$
2. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και βρείτε ακίνητα σημεία
$30x^4-270x^2=0$
Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα $30x^2$
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Ορίστε κάθε παράγοντα ίσο με μηδέν
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Επιλέξτε σταθερά σημεία που ανήκουν στο συγκεκριμένο τμήμα $[-5;1]$
Τα σταθερά σημεία $x=0$ και $x=-3$ είναι κατάλληλα για εμάς
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε σταθερά σημεία από το στοιχείο 3
Συχνά στη φυσική και στα μαθηματικά απαιτείται να βρεθεί η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Πώς να το κάνουμε αυτό, θα πούμε τώρα.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης: εντολή
- Για να υπολογίσετε τη μικρότερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα, πρέπει να ακολουθήσετε αυτόν τον αλγόριθμο:
- Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Να βρείτε σε ένα δεδομένο τμήμα τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, καθώς και όλα τα κρίσιμα σημεία. Στη συνέχεια, βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία, δηλαδή λύστε την εξίσωση όπου το x είναι ίσο με μηδέν. Μάθετε ποια από τις τιμές είναι η μικρότερη.
- Μάθετε ποια τιμή έχει η συνάρτηση στα τελικά σημεία. Προσδιορίστε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία.
- Συγκρίνετε τα ληφθέντα δεδομένα με τη μικρότερη τιμή. Ο μικρότερος από τους ληφθέντες αριθμούς θα είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Σημειώστε ότι στην περίπτωση που μια συνάρτηση σε ένα τμήμα δεν έχει τα μικρότερα σημεία, αυτό σημαίνει ότι αυξάνεται ή μειώνεται σε αυτό το τμήμα. Επομένως, η μικρότερη τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί στα πεπερασμένα τμήματα της συνάρτησης.
Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται σύμφωνα με τον καθορισμένο αλγόριθμο. Σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, θα πρέπει να λύσετε ένα απλό γραμμική εξίσωσημε μια ρίζα. Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το σχέδιο για να αποφύγετε λάθη.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα μισάνοιχτο τμήμα; Σε μισάνοιχτο ή ανοιχτή περίοδοςσυνάρτηση, η μικρότερη τιμή πρέπει να βρεθεί ως εξής. Στα τελικά σημεία της τιμής της συνάρτησης, υπολογίστε το μονόπλευρο όριο της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, λύστε μια εξίσωση στην οποία τα σημεία τάσης δίνονται με την τιμή a+0 και b+0, όπου a και b είναι τα ονόματα των κρίσιμων σημείων.
Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Το κύριο πράγμα είναι να κάνετε όλους τους υπολογισμούς σωστά, με ακρίβεια και χωρίς λάθη.
Η διαδικασία εύρεσης των μικρότερων και μεγαλύτερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα θυμίζει μια συναρπαστική πτήση γύρω από ένα αντικείμενο (ένα γράφημα μιας συνάρτησης) σε ένα ελικόπτερο με βολή από ένα πυροβόλο μεγάλης εμβέλειας σε ορισμένα σημεία και επιλογή από αυτά τα σημεία πολύ ειδικών σημείων για βολές ελέγχου. Οι πόντοι επιλέγονται με συγκεκριμένο τρόπο και σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Με ποιους κανόνες; Θα μιλήσουμε για αυτό περαιτέρω.
Εάν η συνάρτηση y = φά(Χ) συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , τότε φτάνει σε αυτό το τμήμα ελάχιστα Και υψηλότερες αξίες . Αυτό μπορεί να συμβεί είτε σε ακραία σημείαή στα άκρα του τμήματος. Επομένως, για να βρείτε ελάχιστα Και τις μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης , συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] , πρέπει να υπολογίσετε όλες τις τιμές του κρίσιμα σημείακαι στα άκρα του τμήματος και, στη συνέχεια, επιλέξτε το μικρότερο και το μεγαλύτερο από αυτά.
Έστω, για παράδειγμα, απαιτείται να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης φά(Χ) στο τμήμα [ ένα, σι] . Για να το κάνετε αυτό, βρείτε όλα τα κρίσιμα σημεία του [ ένα, σι] .
κρίσιμο σημείο ονομάζεται το σημείο στο οποίο καθορισμένη λειτουργία, και αυτή παράγωγοείναι είτε μηδέν είτε δεν υπάρχει. Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογίσετε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία. Και, τέλος, θα πρέπει να συγκρίνει κανείς την τιμή της συνάρτησης in κρίσιμα σημείακαι στα άκρα του τμήματος ( φά(ένα) Και φά(σι) ). Ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα [ένα, σι] .
Το πρόβλημα της εύρεσης τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης .
Αναζητούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης μαζί
Παράδειγμα 1. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης 
στο τμήμα [-1, 2]
.
Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν () και λάβετε δύο κρίσιμα σημεία: και . Για να βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, αρκεί να υπολογίσετε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο σημείο, αφού το σημείο δεν ανήκει στο τμήμα [-1, 2] . Αυτές οι τιμές συναρτήσεων είναι οι ακόλουθες: , , . Από αυτό προκύπτει ότι μικρότερη τιμή συνάρτησης(σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στο παρακάτω γράφημα), ίσο με -7, επιτυγχάνεται στο δεξιό άκρο του τμήματος - στο σημείο , και μέγιστος(επίσης κόκκινο στο γράφημα), ισούται με 9, - στο κρίσιμο σημείο .
Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα συγκεκριμένο διάστημα και αυτό το διάστημα δεν είναι τμήμα (αλλά είναι, για παράδειγμα, ένα διάστημα, η διαφορά μεταξύ ενός διαστήματος και ενός τμήματος: τα οριακά σημεία του διαστήματος δεν περιλαμβάνονται στο διάστημα, αλλά τα οριακά σημεία του τμήματος περιλαμβάνονται στο τμήμα), τότε μεταξύ των τιμών της συνάρτησης μπορεί να μην υπάρχει η μικρότερη και η μεγαλύτερη. Έτσι, για παράδειγμα, η συνάρτηση που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα είναι συνεχής στα ]-∞, +∞[ και δεν έχει τη μεγαλύτερη τιμή.
Ωστόσο, για οποιοδήποτε διάστημα (κλειστό, ανοιχτό ή άπειρο), ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα συνεχών συναρτήσεων.
Παράδειγμα 4. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [-1, 3] .
Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως την παράγωγο του πηλίκου:
.
Εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν, που μας δίνει ένα κρίσιμο σημείο: . Ανήκει στο διάστημα [-1, 3] . Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:
Ας συγκρίνουμε αυτές τις τιμές. Συμπέρασμα: ίσο με -5/13, στο σημείο και η μεγαλύτερη αξίαίσο με 1 στο σημείο .
Συνεχίζουμε να αναζητούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της συνάρτησης μαζί
Υπάρχουν δάσκαλοι που, στο θέμα της εύρεσης των μικρότερων και μεγαλύτερων τιμών μιας συνάρτησης, δεν δίνουν στους μαθητές παραδείγματα πιο περίπλοκα από αυτά που μόλις εξετάστηκαν, δηλαδή εκείνα στα οποία η συνάρτηση είναι πολυώνυμο ή κλάσμα, των οποίων ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα. Αλλά δεν θα περιοριστούμε σε τέτοια παραδείγματα, αφού μεταξύ των δασκάλων υπάρχουν λάτρεις του να κάνουν τους μαθητές να σκεφτούν πλήρως (πίνακας παραγώγων). Επομένως, θα χρησιμοποιηθούν ο λογάριθμος και η τριγωνομετρική συνάρτηση.
Παράδειγμα 6. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα .
Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως παράγωγο του προϊόντος :
Εξισώνουμε την παράγωγο με το μηδέν, που δίνει ένα κρίσιμο σημείο: . Ανήκει στο τμήμα. Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:
Το αποτέλεσμα όλων των ενεργειών: η συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της, ίσο με 0, σε ένα σημείο και σε ένα σημείο και η μεγαλύτερη αξίαίσο με μι², στο σημείο.
Παράδειγμα 7. Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης 
στο τμήμα .
Λύση. Βρίσκουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:
Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν:
Το μόνο κρίσιμο σημείο ανήκει στο τμήμα . Για να βρούμε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα, βρίσκουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στο κρίσιμο σημείο που βρέθηκε:
Συμπέρασμα: η συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της, ίσο με , στο σημείο και η μεγαλύτερη αξία, ίσο με , στο σημείο .
Σε εφαρμοζόμενα ακραία προβλήματα, η εύρεση των μικρότερων (μεγαλύτερων) τιμών συνάρτησης, κατά κανόνα, περιορίζεται στην εύρεση του ελάχιστου (μέγιστου). Αλλά δεν είναι τα ίδια τα ελάχιστα ή τα μέγιστα που έχουν μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον, αλλά οι αξίες του επιχειρήματος στο οποίο επιτυγχάνονται. Κατά την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων, προκύπτει μια πρόσθετη δυσκολία - η συλλογή συναρτήσεων που περιγράφουν το φαινόμενο ή τη διαδικασία που εξετάζεται.
Παράδειγμα 8Μια δεξαμενή χωρητικότητας 4, που έχει σχήμα παραλληλεπίπεδου με τετράγωνη βάση και ανοιχτή στο πάνω μέρος, πρέπει να επικασσιτερωθεί. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής για να καλυφθεί με τη μικρότερη ποσότητα υλικού;
Λύση. Αφήνω Χ- πλευρά βάσης η- ύψος δεξαμενής, μικρό- η επιφάνεια του χωρίς κάλυμμα, V- τον όγκο του. Η επιφάνεια της δεξαμενής εκφράζεται με τον τύπο, δηλ. είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Να εκφράσουν μικρόως συνάρτηση μιας μεταβλητής, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι , από όπου . Αντικατάσταση της έκφρασης που βρέθηκε ηστον τύπο για μικρό:
Ας εξετάσουμε αυτή τη συνάρτηση για ένα άκρο. Ορίζεται και διαφοροποιείται παντού στα ]0, +∞[ , και
.
Εξισώνουμε την παράγωγο με μηδέν () και βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο. Επιπλέον, στο , η παράγωγος δεν υπάρχει, αλλά αυτή η τιμή δεν περιλαμβάνεται στον τομέα ορισμού και επομένως δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο. Έτσι, - το μόνο κρίσιμο σημείο. Ας το ελέγξουμε για την παρουσία ακραίου χρησιμοποιώντας το δεύτερο επαρκές πρόσημο. Ας βρούμε τη δεύτερη παράγωγο. Όταν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (). Αυτό σημαίνει ότι όταν η συνάρτηση φτάσει στο ελάχιστο 
. Επειδη αυτο ελάχιστο - το μόνο άκρο αυτής της συνάρτησης, είναι η μικρότερη τιμή της. Έτσι, η πλευρά της βάσης της δεξαμενής πρέπει να είναι ίση με 2 m και το ύψος της.
Παράδειγμα 9Από την παράγραφο ΕΝΑ, που βρίσκεται στη σιδηροδρομική γραμμή, στο σημείο ΜΕ, σε απόσταση από αυτό μεγάλο, τα εμπορεύματα πρέπει να μεταφερθούν. Το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας βάρους ανά μονάδα απόστασης σιδηροδρομικώς ισούται με , και μέσω αυτοκινητόδρομου ισούται με . Σε ποιο σημείο Μγραμμές ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗθα πρέπει να κατασκευαστεί αυτοκινητόδρομος ώστε η μεταφορά εμπορευμάτων από ΕΝΑ V ΜΕήταν το πιο οικονομικό ΑΒο σιδηρόδρομος υποτίθεται ότι είναι ευθύς);
Η μελέτη ενός τέτοιου αντικειμένου μαθηματικής ανάλυσης ως συνάρτηση έχει μεγάλη σημασία. έννοιακαι σε άλλους τομείς της επιστήμης. Για παράδειγμα, σε οικονομική ανάλυσηχρειάζεται συνεχώς να αξιολογεί τη συμπεριφορά λειτουργίεςκέρδος, δηλαδή για τον καθορισμό του μέγιστου έννοιακαι να αναπτύξει μια στρατηγική για την επίτευξή του.
Εντολή
Η μελέτη οποιασδήποτε συμπεριφοράς πρέπει πάντα να ξεκινά με την αναζήτηση ενός τομέα ορισμού. Συνήθως, ανάλογα με την κατάσταση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, απαιτείται να προσδιοριστεί το μεγαλύτερο έννοια λειτουργίεςείτε στο σύνολο της περιοχής αυτής, είτε στο συγκεκριμένο μεσοδιάστημά της με ανοιχτά ή κλειστά όρια.
Με βάση το , το μεγαλύτερο είναι έννοια λειτουργίες y(x0), κάτω από την οποία για οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού ικανοποιείται η ανισότητα y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Γραφικά, αυτό το σημείο θα είναι το υψηλότερο εάν τακτοποιήσετε τις τιμές του ορίσματος κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και την ίδια τη συνάρτηση κατά μήκος του άξονα τεταγμένων.
Για τον προσδιορισμό του μεγαλύτερου έννοια λειτουργίες, ακολουθήστε τον αλγόριθμο τριών βημάτων. Σημειώστε ότι πρέπει να μπορείτε να εργαστείτε με μονόπλευρα και , καθώς και να υπολογίσετε την παράγωγο. Ας δοθεί λοιπόν κάποια συνάρτηση y(x) και απαιτείται να βρεθεί η μεγαλύτερη της έννοιασε κάποιο διάστημα με οριακές τιμές Α και Β.
Μάθετε εάν αυτό το διάστημα εμπίπτει στο πεδίο εφαρμογής λειτουργίες. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να το βρείτε, λαμβάνοντας υπόψη όλους τους πιθανούς περιορισμούς: την παρουσία ενός κλάσματος στην έκφραση, τετραγωνική ρίζακαι τα λοιπά. Ο τομέας ορισμού είναι το σύνολο των τιμών ορισμάτων για τα οποία έχει νόημα η συνάρτηση. Προσδιορίστε αν το δεδομένο διάστημα είναι υποσύνολο του. Εάν ναι, τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
Βρείτε την παράγωγο λειτουργίεςκαι λύστε την εξίσωση που προκύπτει εξισώνοντας την παράγωγο με μηδέν. Έτσι, θα λάβετε τις τιμές των λεγόμενων στατικών σημείων. Αξιολογήστε αν τουλάχιστον ένα από αυτά ανήκει στο διάστημα Α, Β.
Εξετάστε αυτά τα σημεία στο τρίτο στάδιο, αντικαταστήστε τις τιμές τους στη συνάρτηση. Εκτελέστε τα ακόλουθα πρόσθετα βήματα ανάλογα με τον τύπο διαστήματος. Εάν υπάρχει ένα τμήμα της μορφής [A, B], τα οριακά σημεία περιλαμβάνονται στο διάστημα, αυτό υποδεικνύεται με αγκύλες. Υπολογισμός τιμών λειτουργίεςγια x = A και x = B. Εάν το ανοιχτό διάστημα είναι (A, B), οι οριακές τιμές τρυπούνται, δηλ. δεν περιλαμβάνονται σε αυτό. Λύστε μονόπλευρα όρια για x→A και x→B. Ένα συνδυασμένο διάστημα της μορφής [A, B) ή (A, B), του οποίου το ένα από τα όρια ανήκει σε αυτό, το άλλο όχι. Βρείτε το μονόπλευρο όριο καθώς το x τείνει στη διάτρητη τιμή και αντικαταστήστε το άλλο στη συνάρτηση. Άπειρο αμφίπλευρο διάστημα (-∞, +∞) ή μονόπλευρο διάστημα (-∞, +∞) ή μονόπλευρο διάστημα (-∞, +∞) ή μονόπλευρο όριο των μορφών και B, σύμφωνα με το άπειρο διάστημα, το B. στις αρχές που έχουν ήδη περιγραφεί, και για το άπειρο, αναζητήστε όρια για x → - ∞ και x→+∞, αντίστοιχα.
Το έργο σε αυτό το στάδιο
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης
Η μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης ονομάζεται μεγαλύτερη, η μικρότερη τιμή είναι η μικρότερη από όλες τις τιμές της.
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο μια μεγαλύτερη και μόνο μια μικρότερη τιμή ή μπορεί να μην έχει καθόλου. Η εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών συνεχών συναρτήσεων βασίζεται στις ακόλουθες ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων:
1) Αν σε κάποιο διάστημα (πεπερασμένο ή άπειρο) η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής και έχει μόνο ένα άκρο, και αν αυτό είναι το μέγιστο (ελάχιστο), τότε θα είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα.
2) Εάν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε κάποιο τμήμα, τότε έχει αναγκαστικά τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε αυτό το τμήμα. Αυτές οι τιμές επιτυγχάνονται είτε στα ακραία σημεία που βρίσκονται μέσα στο τμήμα, είτε στα όρια αυτού του τμήματος.
Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές στο τμήμα, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα:
1. Βρείτε την παράγωγο.
2. Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης όπου =0 ή δεν υπάρχει.
3. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε από αυτές τη μεγαλύτερη f max και τη μικρότερη f min.
Κατά την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων, ιδίως προβλημάτων βελτιστοποίησης, είναι σημαντικά τα προβλήματα εύρεσης της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής (συνολικό μέγιστο και καθολικό ελάχιστο) μιας συνάρτησης στο διάστημα X. Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, θα πρέπει, βάσει της συνθήκης, να επιλέξετε μια ανεξάρτητη μεταβλητή και να εκφράσετε την υπό μελέτη τιμή ως προς αυτήν τη μεταβλητή. Στη συνέχεια, βρείτε την επιθυμητή μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της συνάρτησης που προκύπτει. Στην περίπτωση αυτή, το διάστημα μεταβολής της ανεξάρτητης μεταβλητής, που μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο, προσδιορίζεται και από την συνθήκη του προβλήματος.
Παράδειγμα.Η δεξαμενή, που έχει σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου με τετράγωνο πυθμένα, ανοιχτό στο πάνω μέρος, πρέπει να επικασσιτερωθεί εσωτερικά με κασσίτερο. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής χωρητικότητας 108 λίτρων. νερό ώστε το κόστος της επικασσιτέωσής του να είναι το λιγότερο;
Λύση.Το κόστος επίστρωσης της δεξαμενής με κασσίτερο θα είναι το χαμηλότερο εάν, για μια δεδομένη χωρητικότητα, η επιφάνειά της είναι ελάχιστη. Σημειώστε με dm - την πλευρά της βάσης, b dm - το ύψος της δεξαμενής. Τότε το εμβαδόν S της επιφάνειάς του είναι ίσο με
ΚΑΙ 
Η σχέση που προκύπτει καθορίζει τη σχέση μεταξύ της επιφάνειας της δεξαμενής S (συνάρτηση) και της πλευράς της βάσης a (όρισμα). Ερευνούμε τη συνάρτηση S για ένα άκρο. Βρείτε την πρώτη παράγωγο, εξισώστε την με μηδέν και λύστε την εξίσωση που προκύπτει:
Άρα a = 6. (a) > 0 για a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Παράδειγμα. Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης 
ανάμεσα.
Λύση: Η καθορισμένη συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα. Παράγωγος συνάρτησης
Παράγωγο στο και στο . Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία:
.
Οι τιμές των συναρτήσεων στα άκρα του δεδομένου διαστήματος είναι ίσες με . Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι στο , η μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι στο .
Ερωτήσεις για αυτοεξέταση
1. Διατυπώστε τον κανόνα της L'Hopital για αποκάλυψη αβεβαιοτήτων του εντύπου . Καταγράψτε τους διαφορετικούς τύπους αβεβαιοτήτων για τους οποίους μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο κανόνας του L'Hospital.
2. Διατυπώστε σημάδια αυξανόμενης και φθίνουσας συνάρτησης.
3. Ορίστε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης.
4. Διατυπώστε την απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου.
5. Ποιες τιμές του επιχειρήματος (ποια σημεία) ονομάζονται κρίσιμες; Πώς να βρείτε αυτά τα σημεία;
6. Ποια είναι τα επαρκή σημάδια της ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης; Περιγράψτε ένα σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ένα άκρο χρησιμοποιώντας την πρώτη παράγωγο.
7. Περιγράψτε το σχήμα για τη μελέτη της συνάρτησης για ένα άκρο χρησιμοποιώντας τη δεύτερη παράγωγο.
8. Ορίστε την κυρτότητα, την κοιλότητα μιας καμπύλης.
9. Ποιο είναι το σημείο καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης; Καθορίστε πώς να βρείτε αυτά τα σημεία.
10. Να διατυπώσετε τα απαραίτητα και επαρκή σημάδια κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης σε ένα δεδομένο τμήμα.
11. Ορίστε την ασύμπτωτη της καμπύλης. Πώς να βρείτε τις κάθετες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες ενός γραφήματος συνάρτησης;
12. Πολιτεία γενικό σχέδιομελέτη της συνάρτησης και κατασκευή του γραφήματος του.
13. Διατυπώστε έναν κανόνα για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο τμήμα.
