Το ακραίο σημείο της συνάρτησης f x. Τι είναι τα άκρα μιας συνάρτησης: κρίσιμα σημεία μέγιστου και ελάχιστου
Η αύξηση και η μείωση των διαστημάτων παρέχουν πολύ σημαντικές πληροφορίες για τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης. Η εύρεση τους είναι μέρος της διαδικασίας εξερεύνησης συναρτήσεων και σχεδίασης. Επιπλέον, τα ακραία σημεία, στα οποία υπάρχει αλλαγή από αύξηση σε μείωση ή από μείωση σε αύξηση, δίνεται ιδιαίτερη προσοχή κατά την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.
Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε τους απαραίτητους ορισμούς, θα διατυπώσουμε μια επαρκή δοκιμή για την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα και επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη ενός άκρου και θα εφαρμόσουμε όλη αυτή τη θεωρία στην επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Συνάρτηση αύξησης και μείωσης σε ένα διάστημα.
Ορισμός αυξανόμενης συνάρτησης.
Η συνάρτηση y=f(x) αυξάνεται στο διάστημα X εάν υπάρχει και 
η ανισότητα ικανοποιείται. Με άλλα λόγια, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
Μείωση ορισμού συνάρτησης.
Η συνάρτηση y=f(x) μειώνεται στο διάστημα X εάν υπάρχει και την ανισότητα 
. Με άλλα λόγια, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: αν η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στα άκρα του διαστήματος αύξησης ή μείωσης (a;b) , δηλαδή στα x=a και x=b , τότε αυτά τα σημεία περιλαμβάνονται στο διάστημα αύξησης ή μείωσης. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με τους ορισμούς μιας αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης στο διάστημα X.
Για παράδειγμα, από τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων, γνωρίζουμε ότι το y=sinx είναι καθορισμένο και συνεχές για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος. Επομένως, από την αύξηση της ημιτονοειδούς συνάρτησης στο διάστημα, μπορούμε να υποστηρίξουμε την αύξηση στο διάστημα .
Ακραία σημεία, ακραία συνάρτηση.
Το σημείο λέγεται μέγιστο σημείοσυνάρτηση y=f(x) αν η ανίσωση ισχύει για όλα τα x από τη γειτονιά της. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο μέγιστο σημείο μέγιστη λειτουργίακαι δηλώνουν .
Το σημείο λέγεται ελάχιστο σημείοσυνάρτηση y=f(x) αν η ανίσωση ισχύει για όλα τα x από τη γειτονιά της. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο ελάχιστη λειτουργίακαι δηλώνουν .
Ως γειτονιά ενός σημείου νοείται το διάστημα 
, όπου είναι ένας αρκετά μικρός θετικός αριθμός.
Ο ελάχιστος και ο μέγιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και καλούνται οι τιμές συναρτήσεων που αντιστοιχούν στα ακραία σημεία ακραία λειτουργία.
Μην συγχέετε τα άκρα συναρτήσεων με τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της συνάρτησης.
Στην πρώτη εικόνα υψηλότερη τιμήΗ συνάρτηση στο τμήμα επιτυγχάνεται στο μέγιστο σημείο και είναι ίση με το μέγιστο της συνάρτησης, και στο δεύτερο σχήμα, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο x=b, που δεν είναι το μέγιστο σημείο.
Επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση συναρτήσεων.
Με βάση επαρκείς συνθήκες (σημάδια) για την αύξηση και τη μείωση της συνάρτησης, βρίσκονται τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.
Ακολουθούν οι διατυπώσεις των σημείων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων στο διάστημα:
- αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) είναι θετική για οποιοδήποτε x από το διάστημα X , τότε η συνάρτηση αυξάνεται κατά X ;
- αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) είναι αρνητική για οποιοδήποτε x από το διάστημα X , τότε η συνάρτηση μειώνεται στο X .
Έτσι, για τον προσδιορισμό των διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο:
Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης των διαστημάτων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων για την αποσαφήνιση του αλγόριθμου.
Παράδειγμα.
Να βρείτε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης .
Λύση.
Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε το εύρος της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, η έκφραση στον παρονομαστή δεν πρέπει να εξαφανιστεί, επομένως, .
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης: 
Για να προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης με ένα επαρκές κριτήριο, λύνουμε τις ανισότητες και στο πεδίο ορισμού. Ας χρησιμοποιήσουμε μια γενίκευση της μεθόδου διαστήματος. Η μόνη πραγματική ρίζα του αριθμητή είναι x = 2, και ο παρονομαστής εξαφανίζεται στο x=0. Αυτά τα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης διατηρεί το πρόσημό της. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή. Με τα συν και τα πλην, υποδηλώνουμε υπό όρους τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική ή αρνητική. Τα παρακάτω βέλη δείχνουν σχηματικά την αύξηση ή τη μείωση της συνάρτησης στο αντίστοιχο διάστημα. 
Ετσι, 
Και 
.
Στο σημείο x=2 η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής, επομένως πρέπει να προστεθεί και στα διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας. Στο σημείο x=0, η συνάρτηση δεν ορίζεται, άρα αυτό το σημείο δεν περιλαμβάνεται στα απαιτούμενα διαστήματα.
Παρουσιάζουμε το γράφημα της συνάρτησης για να συγκρίνουμε τα ληφθέντα αποτελέσματα με αυτήν.
Απάντηση:
Η συνάρτηση αυξάνεται στο 
, μειώνεται στο διάστημα (0;2] .
Επαρκείς συνθήκες για το άκρο μιας συνάρτησης.
Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε από τα τρία ακραία πρόσημα, φυσικά, εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες τους. Το πιο κοινό και βολικό είναι το πρώτο από αυτά.
Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση για ένα εξτρέμ.
Έστω η συνάρτηση y=f(x) διαφορίσιμη σε μια -γειτονιά του σημείου και συνεχής στο ίδιο το σημείο.
Με άλλα λόγια:
Αλγόριθμος εύρεσης ακραίων σημείων με το πρώτο πρόσημο της συνάρτησης ακρότατο.
- Εύρεση του εύρους της συνάρτησης.
- Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού.
- Καθορίζουμε τα μηδενικά του αριθμητή, τα μηδενικά του παρονομαστή της παραγώγου και τα σημεία του τομέα όπου η παράγωγος δεν υπάρχει (όλα τα σημεία που αναφέρονται ονομάζονται σημεία πιθανής ακρότητας, περνώντας από αυτά τα σημεία, η παράγωγος μπορεί απλώς να αλλάξει πρόσημο).
- Αυτά τα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της. Προσδιορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα (για παράδειγμα, υπολογίζοντας την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο ενός μεμονωμένου διαστήματος).
- Επιλέγουμε σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και, περνώντας από τα οποία, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο - είναι τα ακραία σημεία.
Πάρα πολλές λέξεις, ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα εύρεσης ακραίων σημείων και άκρων μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την πρώτη επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης.
Παράδειγμα.
Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης .
Λύση.
Το εύρος της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εκτός από το x=2 .
Βρίσκουμε την παράγωγο: 
Τα μηδενικά του αριθμητή είναι τα σημεία x=-1 και x=5 , ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν στο x=2 . Σημειώστε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή 
Καθορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου σε κάθε διάστημα, για αυτό υπολογίζουμε την τιμή της παραγώγου σε οποιοδήποτε από τα σημεία κάθε διαστήματος, για παράδειγμα, στα σημεία x=-2, x=0, x=3 και x= 6 .
Επομένως, η παράγωγος είναι θετική στο διάστημα (στο σχήμα βάζουμε ένα σύμβολο συν σε αυτό το διάστημα). Ομοίως 
Επομένως, βάζουμε ένα μείον στο δεύτερο διάστημα, ένα μείον στο τρίτο και ένα συν στο τέταρτο.
Μένει να επιλέξουμε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγός της αλλάζει πρόσημο. Αυτά είναι τα ακραία σημεία.
Στο σημείο x=-1 η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, επομένως, σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο του άκρου, x=-1 είναι το μέγιστο σημείο, αντιστοιχεί στο μέγιστο της συνάρτησης 
.
Στο σημείο x=5 η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, x=-1 είναι το ελάχιστο σημείο, αντιστοιχεί στο ελάχιστο της συνάρτησης 
.
Γραφική απεικόνιση.
Απάντηση:
ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΣΗΜΕΙΩΣΤΕ: το πρώτο επαρκές σημάδι ενός άκρου δεν απαιτεί η συνάρτηση να είναι διαφοροποιήσιμη στο ίδιο το σημείο.
Παράδειγμα.
Βρείτε ακραία σημεία και άκρα μιας συνάρτησης 
.
Λύση.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η ίδια η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως: 
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης: 
Στο σημείο x=0 η παράγωγος δεν υπάρχει, αφού οι τιμές των μονόπλευρων ορίων δεν συμπίπτουν όταν το όρισμα τείνει στο μηδέν: 
Ταυτόχρονα, η αρχική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x=0 (δείτε την ενότητα για τη διερεύνηση μιας συνάρτησης για συνέχεια): 
Βρείτε τις τιμές του ορίσματος στο οποίο η παράγωγος εξαφανίζεται: 
Σημειώνουμε όλα τα ληφθέντα σημεία στην πραγματική γραμμή και προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις τιμές της παραγώγου σε αυθαίρετα σημεία κάθε διαστήματος, για παράδειγμα, όταν x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Αυτό είναι, 
Έτσι, σύμφωνα με το πρώτο σημάδι ενός ακραίου, οι ελάχιστοι πόντοι είναι 
, οι μέγιστοι βαθμοί είναι 
.
Υπολογίζουμε τα αντίστοιχα ελάχιστα της συνάρτησης 
Υπολογίζουμε τα αντίστοιχα μέγιστα της συνάρτησης 
Γραφική απεικόνιση.
Απάντηση:
.
Το δεύτερο σημάδι του άκρου της συνάρτησης.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το πρόσημο του άκρου της συνάρτησης απαιτεί την ύπαρξη μιας παραγώγου τουλάχιστον μέχρι τη δεύτερη τάξη στο σημείο .
Εισαγωγή
Σε πολλούς τομείς της επιστήμης και πρακτικές δραστηριότητεςσυναντά κανείς συχνά το πρόβλημα της εύρεσης του άκρου μιας συνάρτησης. Γεγονός είναι ότι πολλά τεχνικά, οικονομικά κ.λπ. Οι διεργασίες μοντελοποιούνται από μια συνάρτηση ή πολλές συναρτήσεις που εξαρτώνται από μεταβλητές - παράγοντες που επηρεάζουν την κατάσταση του φαινομένου που μοντελοποιείται. Απαιτείται να βρεθούν τα άκρα τέτοιων συναρτήσεων προκειμένου να προσδιοριστεί η βέλτιστη (ορθολογική) κατάσταση, έλεγχος διαδικασίας. Έτσι, στην οικονομία, τα προβλήματα ελαχιστοποίησης του κόστους ή μεγιστοποίησης των κερδών συχνά επιλύονται - το μικροοικονομικό καθήκον της εταιρείας. Σε αυτή την εργασία, δεν εξετάζουμε ζητήματα μοντελοποίησης, αλλά εξετάζουμε μόνο αλγόριθμους για την εύρεση ακραίων συναρτήσεων στην απλούστερη έκδοση, όταν δεν επιβάλλονται περιορισμοί στις μεταβλητές (βελτιστοποίηση χωρίς όρους) και το άκρο αναζητείται μόνο για μία αντικειμενική συνάρτηση.
ΑΚΡΩΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Θεωρήστε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης y=f(x)φαίνεται στο σχήμα. Τιμή συνάρτησης στο σημείο Χ 1 θα είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης σε όλα τα γειτονικά σημεία τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά του Χ 1 . Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο σημείο Χ 1 μέγ. Στο σημείο ΧΗ λειτουργία 3 προφανώς έχει και μέγιστο. Αν αναλογιστούμε το σημείο Χ 2, τότε η τιμή της συνάρτησης σε αυτήν είναι μικρότερη από όλες τις γειτονικές τιμές. Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο σημείο Χ 2 τουλάχιστον. Ομοίως για την ουσία Χ 4 .
Λειτουργία y=f(x)στο σημείο Χ 0 έχει ανώτατο όριο, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της σε όλα τα σημεία κάποιου διαστήματος που περιέχουν το σημείο Χ 0, δηλ. αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου Χ 0 , που είναι για όλους Χ ≠Χ 0 , ανήκοντας σε αυτή τη γειτονιά, έχουμε την ανισότητα f(x) <f(x 0 ) .
Λειτουργία y=f(x)Εχει ελάχιστοστο σημείο Χ 0 , αν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου Χ 0 , τι είναι για όλους Χ ≠Χ 0 που ανήκει σε αυτή τη γειτονιά, έχουμε την ανισότητα f(x) >f(x0 .
Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο και το ελάχιστο της ονομάζονται ακραία σημεία και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι τα άκρα της συνάρτησης.
Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα τμήμα μπορεί να φτάσει το μέγιστο και το ελάχιστο της μόνο σε σημεία που περιέχονται στο υπό εξέταση τμήμα.
Σημειώστε ότι εάν μια συνάρτηση έχει μέγιστο σε ένα σημείο, αυτό δεν σημαίνει ότι σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει τη μέγιστη τιμή σε ολόκληρο τον τομέα. Στο σχήμα που συζητήθηκε παραπάνω, η συνάρτηση στο σημείο ΧΤο 1 έχει μέγιστο, αν και υπάρχουν σημεία στα οποία οι τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερες από το σημείο Χ 1 . Συγκεκριμένα, φά (Χ 1) < φά (Χ 4) δηλ. το ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από το μέγιστο. Από τον ορισμό του μέγιστου, προκύπτει μόνο ότι αυτό είναι το μεγαλύτερο μεγάλης σημασίαςλειτουργεί σε σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο.
Θεώρημα 1. (Απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακρότατου.) Αν διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y=f(x)έχει στο σημείο x= x 0 ακραίο, τότε η παράγωγός του σε αυτό το σημείο εξαφανίζεται.
Απόδειξη. Ας, για βεβαιότητα, στο σημείο Χ 0 η συνάρτηση έχει μέγιστο. Στη συνέχεια για αρκετά μικρές αυξήσεις Δ Χέχουμε f(x
0
+ Δ Χ)
Περνώντας σε αυτές τις ανισότητες στο όριο ως Δ Χ→ 0 και λαμβάνοντας υπόψη ότι η παράγωγος φά "(Χ 0) υπάρχει, και ως εκ τούτου το όριο στα αριστερά δεν εξαρτάται από το πώς Δ Χ→ 0, παίρνουμε: για Δ Χ → 0 – 0 φά" (Χ 0) ≥ 0 και στο Δ Χ → 0 + 0 φά" (Χ 0) ≤ 0. Αφού φά" (Χ 0) ορίζει έναν αριθμό, τότε αυτές οι δύο ανισότητες είναι συμβατές μόνο αν φά" (Χ 0) = 0.
Το αποδεδειγμένο θεώρημα δηλώνει ότι το μέγιστο και το ελάχιστο σημείο μπορούν να είναι μόνο μεταξύ εκείνων των τιμών του επιχειρήματος για τις οποίες η παράγωγος εξαφανίζεται.
Εξετάσαμε την περίπτωση που μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε όλα τα σημεία ενός συγκεκριμένου τμήματος. Τι συμβαίνει όταν το παράγωγο δεν υπάρχει; Εξετάστε παραδείγματα.
y =|Χ |.
Η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο σε ένα σημείο Χ=0 (σε αυτό το σημείο, η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει καθορισμένη εφαπτομένη), αλλά σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο, αφού y(0)=0 και για όλα Χ ≠ 0y > 0.
δεν έχει παράγωγο στο Χ=0, αφού πηγαίνει στο άπειρο όταν Χ=0. Αλλά σε αυτό το σημείο, η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο. 
δεν έχει παράγωγο στο Χ=0 γιατί 
στο Χ→0. Σε αυτό το σημείο, η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Πραγματικά, f(x)=0 και σε Χ
<0f(x)
<0, а при Χ
>0f(x)
>0.
Έτσι, από τα παραδείγματα που δίνονται και το διατυπωμένο θεώρημα είναι σαφές ότι η συνάρτηση μπορεί να έχει άκρο μόνο σε δύο περιπτώσεις: 1) στα σημεία όπου υπάρχει η παράγωγος και είναι ίση με μηδέν. 2) στο σημείο που δεν υπάρχει το παράγωγο.
Ωστόσο, αν κάποια στιγμή Χ 0 το ξέρουμε αυτό στ" (χ 0 ) =0, τότε δεν μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα από αυτό ότι στο σημείο Χ 0 η συνάρτηση έχει ακρότατο.
Για παράδειγμα.
.
Αλλά σημείο ΧΤο =0 δεν είναι ένα ακραίο σημείο, καθώς στα αριστερά αυτού του σημείου οι τιμές συνάρτησης βρίσκονται κάτω από τον άξονα Βόδι, και πάνω στα δεξιά.
Οι τιμές ενός ορίσματος από τον τομέα μιας συνάρτησης, για το οποίο η παράγωγος της συνάρτησης εξαφανίζεται ή δεν υπάρχει, ονομάζονται κρίσιμα σημεία .
Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι μεταξύ των κρίσιμων σημείων και, ωστόσο, δεν είναι κάθε κρίσιμο σημείο ακρότατο. Επομένως, για να βρείτε το άκρο της συνάρτησης, πρέπει να βρείτε όλα τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης και στη συνέχεια να εξετάσετε κάθε ένα από αυτά τα σημεία ξεχωριστά για μέγιστο και ελάχιστο. Για αυτό εξυπηρετεί το παρακάτω θεώρημα.
Θεώρημα 2. (Μια επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατου.) Έστω η συνάρτηση συνεχής σε κάποιο διάστημα που περιέχει το κρίσιμο σημείο Χ 0 , και είναι διαφοροποιήσιμο σε όλα τα σημεία αυτού του διαστήματος (εκτός, ίσως, από το ίδιο το σημείο Χ 0). Εάν, κατά τη διέλευση από τα αριστερά προς τα δεξιά από αυτό το σημείο, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, τότε στο σημείο Χ = Χ 0 η συνάρτηση έχει μέγιστο. Εάν, κατά τη διέλευση από Χ 0 από αριστερά προς τα δεξιά, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, τότε η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο σε αυτό το σημείο.
Έτσι, εάν
f"(x)>0 στο Χ <Χ 0 και f"(x)< 0 σε x > x 0, λοιπόν Χ 0 - μέγιστο σημείο.
στο Χ <Χ 0 και f "(x)> 0 σε x > x 0, λοιπόν ΧΤο 0 είναι το ελάχιστο σημείο.
Απόδειξη. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι κατά τη διέλευση Χ 0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, δηλ. για όλα Χκοντά στο σημείο Χ 0 f "(x)> 0 για Χ< x 0 , f"(x)< 0 για x > x 0 . Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα Lagrange στη διαφορά f(x) - f(x 0 ) = f "(c) (x- x 0), όπου ντοβρίσκεται ανάμεσα ΧΚαι Χ 0 .
Αφήνω Χ< x 0 . Επειτα ντο< x 0 και f "(c)> 0. Να γιατί f "(c)(x-x 0)< 0 και επομένως,
f(x) - f(x 0 )< 0, δηλ. f(x)< f(x 0 ).
Αφήνω x > x 0 . Επειτα c> x 0 και στ"(γ)< 0. Που σημαίνει f "(c)(x-x 0)< 0. Να γιατί f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .
Έτσι, για όλες τις αξίες Χαρκετά κοντά σε Χ 0 f(x) < f(x 0 ) . Και αυτό σημαίνει ότι στο σημείο Χ 0 η συνάρτηση έχει μέγιστο.
Το δεύτερο μέρος του ελάχιστου θεωρήματος αποδεικνύεται παρόμοια.
Ας δείξουμε την έννοια αυτού του θεωρήματος στο σχήμα. Αφήνω στ" (χ 1 ) =0 και για οποιαδήποτε Χ,αρκετά κοντά σε Χ 1 , οι ανισότητες
f"(x)< 0 σε Χ< x 1 , f "(x)> 0 σε x > x 1 .
Στη συνέχεια στα αριστερά του σημείου Χ 1 η συνάρτηση αυξάνεται και μειώνεται στα δεξιά, επομένως, όταν Χ = Χ 1 συνάρτηση πηγαίνει από αύξουσα σε φθίνουσα, δηλαδή έχει μέγιστο.
Ομοίως, μπορεί κανείς να εξετάσει τα σημεία Χ 2 και Χ 3 .
Σχηματικά, όλα τα παραπάνω μπορούν να απεικονιστούν στην εικόνα:
Ο κανόνας για τη μελέτη της συνάρτησης y=f(x) για ένα άκρο
Βρείτε το εύρος μιας συνάρτησης f(x).
Βρείτε την πρώτη παράγωγο μιας συνάρτησης f"(x) .
Προσδιορίστε κρίσιμα σημεία για αυτό:
βρείτε τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης f"(x) =0;
βρείτε όλες τις τιμές Χυπό την οποία το παράγωγο f"(x)δεν υπάρχει.
Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά του κρίσιμου σημείου. Εφόσον το πρόσημο της παραγώγου παραμένει σταθερό μεταξύ δύο κρίσιμων σημείων, αρκεί να προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε οποιοδήποτε σημείο αριστερά και σε ένα σημείο δεξιά από το κρίσιμο σημείο.
Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.
Πριν μάθετε πώς να βρίσκετε τα άκρα μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να καταλάβετε τι είναι ακρότατο. Ο πιο γενικός ορισμός ενός άκρου είναι ότι είναι η μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά σε ένα ορισμένο σύνολο μιας αριθμητικής γραμμής ή γραφήματος. Στη θέση που είναι το ελάχιστο εμφανίζεται το άκρο του ελάχιστου και όπου είναι το μέγιστο εμφανίζεται το άκρο του μέγιστου. Επίσης σε έναν κλάδο όπως η μαθηματική ανάλυση, διακρίνονται τα τοπικά άκρα μιας συνάρτησης. Τώρα ας δούμε πώς να βρούμε τα άκρα.
Τα άκρα στα μαθηματικά είναι από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης, δείχνουν τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της. Τα άκρα βρίσκονται κυρίως στα κρίσιμα σημεία των συναρτήσεων που βρίσκονται. Αξίζει να σημειωθεί ότι είναι στο ακραίο σημείο που η συνάρτηση αλλάζει ριζικά την κατεύθυνση της. Αν υπολογίσουμε την παράγωγο του ακραίου σημείου, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να είναι ίση με το μηδέν ή θα απουσιάζει εντελώς. Έτσι, για να μάθετε πώς να βρίσκετε το άκρο μιας συνάρτησης, πρέπει να εκτελέσετε δύο διαδοχικές εργασίες:
- βρείτε την παράγωγο για τη συνάρτηση που πρέπει να καθοριστεί από την εργασία.
- βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.
Η σειρά εύρεσης του άκρου
- Να γράψετε τη συνάρτηση f(x) που δίνεται. Βρείτε την παράγωγο πρώτης τάξης f "(x). Εξισώστε την παράσταση που προκύπτει με μηδέν.
- Τώρα πρέπει να λύσετε την εξίσωση που προέκυψε. Οι λύσεις που θα προκύψουν θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης, καθώς και τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης που ορίζεται.
- Τώρα καθορίζουμε ποια κρίσιμα σημεία (μέγιστο ή ελάχιστο) είναι οι ρίζες που βρέθηκαν. Το επόμενο βήμα, αφού μάθαμε πώς να βρίσκουμε τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης, είναι να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο της επιθυμητής συνάρτησης f "(x). Θα χρειαστεί να αντικαταστήσουμε τις τιμές των κρίσιμων σημείων που βρέθηκαν σε μια συγκεκριμένη ανισότητα και μετά υπολογίστε τι συμβαίνει.Αν συμβεί αυτό, ότι η δεύτερη παράγωγος αποδειχθεί μεγαλύτερη από το μηδέν στο κρίσιμο σημείο, τότε θα είναι το ελάχιστο σημείο και διαφορετικά θα είναι το μέγιστο σημείο.
- Απομένει να υπολογίσουμε την τιμή της αρχικής συνάρτησης στα απαιτούμενα μέγιστα και ελάχιστα σημεία της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στη συνάρτηση και υπολογίζουμε. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι εάν το κρίσιμο σημείο αποδεικνύεται μέγιστο, τότε το άκρο θα είναι μέγιστο, και εάν είναι ελάχιστο, τότε θα είναι κατ' αναλογία ελάχιστο.
Αλγόριθμος για την εύρεση ενός άκρου
Για να συνοψίσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε, ας κάνουμε έναν σύντομο αλγόριθμο για το πώς να βρίσκουμε ακραία σημεία.
- Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της δεδομένης συνάρτησης και τα διαστήματα της, τα οποία καθορίζουν ακριβώς σε ποια διαστήματα η συνάρτηση είναι συνεχής.
- Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης f "(x).
- Υπολογίζουμε τα κρίσιμα σημεία της εξίσωσης y = f (x).
- Αναλύουμε τις αλλαγές στην κατεύθυνση της συνάρτησης f (x), καθώς και το πρόσημο της παραγώγου f "(x) όπου τα κρίσιμα σημεία χωρίζουν το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης.
- Τώρα καθορίζουμε αν κάθε σημείο στο γράφημα είναι μέγιστο ή ελάχιστο.
- Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε εκείνα τα σημεία που είναι άκρα.
- Διορθώνουμε το αποτέλεσμα αυτής της μελέτης - άκρα και διαστήματα μονοτονίας. Αυτό είναι όλο. Τώρα έχουμε σκεφτεί πώς να βρούμε ένα άκρο σε οποιοδήποτε διάστημα. Εάν χρειάζεται να βρείτε ένα άκρο σε ένα συγκεκριμένο διάστημα μιας συνάρτησης, τότε αυτό γίνεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο τα όρια της μελέτης που εκτελείται λαμβάνονται απαραίτητα υπόψη.
Έτσι, εξετάσαμε πώς να βρούμε τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης. Με τη βοήθεια απλών υπολογισμών, καθώς και γνώσεων σχετικά με την εύρεση παραγώγων, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε άκρο και να το υπολογίσετε, καθώς και να το προσδιορίσετε γραφικά. Η εύρεση ακραίων είναι ένα από τα πιο σημαντικά τμήματα των μαθηματικών, τόσο στο σχολείο όσο και σε ένα ανώτατο εκπαιδευτικό ίδρυμα, επομένως, εάν μάθετε πώς να τα προσδιορίζετε σωστά, τότε η μάθηση θα γίνει πολύ πιο εύκολη και πιο ενδιαφέρουσα.
Από αυτό το άρθρο, ο αναγνώστης θα μάθει για το τι είναι μια ακραία λειτουργική αξία, καθώς και για τα χαρακτηριστικά της χρήσης του στην πράξη. Η μελέτη μιας τέτοιας έννοιας είναι εξαιρετικά σημαντική για την κατανόηση των θεμελίων των ανώτερων μαθηματικών. Αυτό το θέμα είναι θεμελιώδες για μια βαθύτερη μελέτη του μαθήματος.
Σε επαφή με
Τι είναι ακραίο;
Στο μάθημα του σχολείου δίνονται πολλοί ορισμοί της έννοιας «ακραίο». Αυτό το άρθρο έχει σκοπό να δώσει τη βαθύτερη και σαφέστερη κατανόηση του όρου για όσους αγνοούν το θέμα. Έτσι, ο όρος είναι κατανοητός σε ποιο βαθμό το λειτουργικό διάστημα αποκτά μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή σε ένα συγκεκριμένο σύνολο.
Το άκρο είναι και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και η μέγιστη ταυτόχρονα. Υπάρχει ένα ελάχιστο σημείο και ένα μέγιστο σημείο, δηλαδή οι ακραίες τιμές του ορίσματος στο γράφημα. Οι κύριες επιστήμες στις οποίες χρησιμοποιείται αυτή η έννοια:
- στατιστική;
- έλεγχος μηχανής?
- οικονομετρία.
Τα ακραία σημεία παίζουν σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό της ακολουθίας μιας δεδομένης συνάρτησης. Το σύστημα συντεταγμένων στο γράφημα στην καλύτερη περίπτωση δείχνει την αλλαγή στην ακραία θέση ανάλογα με την αλλαγή στη λειτουργικότητα.
Ακρότατο της συνάρτησης παραγώγου
Υπάρχει και κάτι σαν «παράγωγο». Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το ακραίο σημείο. Είναι σημαντικό να μην συγχέετε τα ελάχιστα ή τα μέγιστα σημεία με τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές. Αυτές είναι διαφορετικές έννοιες, αν και μπορεί να φαίνονται παρόμοιες.
Η τιμή της συνάρτησης είναι ο κύριος παράγοντας για τον προσδιορισμό του τρόπου εύρεσης του μέγιστου σημείου. Η παράγωγος δεν σχηματίζεται από τις τιμές, αλλά αποκλειστικά από την ακραία θέση της με τη μια ή την άλλη σειρά.
Η ίδια η παράγωγος προσδιορίζεται με βάση τα δεδομένα των ακραίων σημείων και όχι τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή. Στα ρωσικά σχολεία, η γραμμή μεταξύ αυτών των δύο εννοιών δεν είναι ξεκάθαρη, γεγονός που επηρεάζει την κατανόηση αυτού του θέματος γενικά.
Ας θεωρήσουμε τώρα κάτι τέτοιο ως «αιχμηρό εξτρέμ». Μέχρι σήμερα, υπάρχει μια οξεία ελάχιστη τιμή και μια οξεία μέγιστη τιμή. Ο ορισμός δίνεται σύμφωνα με τη ρωσική ταξινόμηση των κρίσιμων σημείων μιας συνάρτησης. Η έννοια του ακραίου σημείου είναι η βάση για την εύρεση κρίσιμων σημείων σε ένα γράφημα.
Για τον ορισμό μιας τέτοιας έννοιας χρησιμοποιείται το θεώρημα του Fermat. Είναι το πιο σημαντικό στη μελέτη των ακραίων σημείων και δίνει μια σαφή ιδέα της ύπαρξής τους με τη μία ή την άλλη μορφή. Για να διασφαλιστεί η ακρότητα, είναι σημαντικό να δημιουργηθούν ορισμένες προϋποθέσεις για μείωση ή αύξηση στο γράφημα.
Για να απαντήσετε με ακρίβεια στην ερώτηση "πώς να βρείτε το μέγιστο σημείο", πρέπει να ακολουθήσετε αυτές τις διατάξεις:
- Εύρεση της ακριβούς περιοχής ορισμού στο γράφημα.
- Αναζήτηση της παραγώγου μιας συνάρτησης και ενός ακραίου σημείου.
- Να λύσετε τυπικές ανισότητες για τον τομέα του επιχειρήματος.
- Να είναι σε θέση να αποδείξει σε ποιες συναρτήσεις ορίζεται και συνεχίζεται ένα σημείο σε ένα γράφημα.
Προσοχή!Η αναζήτηση για ένα κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης είναι δυνατή μόνο εάν υπάρχει παράγωγος τουλάχιστον δεύτερης τάξης, η οποία εξασφαλίζεται από ένα υψηλό ποσοστό παρουσίας ενός ακραίου σημείου.
Απαραίτητη προϋπόθεση για το άκρο της συνάρτησης
Για να υπάρχει ακραίο, είναι σημαντικό να υπάρχουν και ελάχιστοι και μέγιστοι πόντοι. Εάν ο κανόνας αυτός τηρηθεί μόνο εν μέρει, τότε παραβιάζεται η προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου.
Κάθε συνάρτηση σε οποιαδήποτε θέση πρέπει να διαφοροποιείται για να προσδιορίζονται οι νέες έννοιές της. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι η περίπτωση που ένα σημείο εξαφανίζεται δεν είναι η κύρια αρχή για την εύρεση ενός διαφοροποιήσιμου σημείου.
Ένα απότομο άκρο, καθώς και ένα ελάχιστο συνάρτησης, είναι μια εξαιρετικά σημαντική πτυχή της επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος χρησιμοποιώντας ακραίες τιμές. Για να κατανοήσετε καλύτερα αυτό το στοιχείο, είναι σημαντικό να ανατρέξετε στις τιμές του πίνακα για την εκχώρηση της συνάρτησης.
| Μια πλήρης εξερεύνηση του νοήματος | Σχεδίαση μιας αξίας |
| 1. Προσδιορισμός σημείων αύξησης και μείωσης των τιμών. 2. Εύρεση σημείων διακοπής, άκρου και τομής με άξονες συντεταγμένων. 3. Η διαδικασία προσδιορισμού των αλλαγών στη θέση στο γράφημα. 4. Προσδιορισμός του δείκτη και κατεύθυνσης κυρτότητας και κυρτότητας, λαμβάνοντας υπόψη την παρουσία ασυμπτωτών. 5. Δημιουργία συνοπτικού πίνακα της μελέτης ως προς τον προσδιορισμό των συντεταγμένων της. 6. Εύρεση διαστημάτων αύξησης και μείωσης ακραίων και οξέων σημείων. 7. Προσδιορισμός της κυρτότητας και της κοιλότητας της καμπύλης. 8. Η κατασκευή ενός γραφήματος με βάση τη μελέτη σάς επιτρέπει να βρείτε ένα ελάχιστο ή μέγιστο. |
Το κύριο στοιχείο, όταν είναι απαραίτητο να δουλέψουμε με άκρα, είναι η ακριβής κατασκευή του γραφήματος του. Οι δάσκαλοι του σχολείου δεν δίνουν συχνά τη μέγιστη προσοχή σε μια τόσο σημαντική πτυχή, η οποία αποτελεί κατάφωρη παραβίαση της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Το γράφημα δημιουργείται μόνο με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης λειτουργικών δεδομένων, τον ορισμό των αιχμηρών ακρών, καθώς και τα σημεία στο γράφημα. Τα αιχμηρά άκρα της παραγώγου μιας συνάρτησης εμφανίζονται σε ένα διάγραμμα ακριβών τιμών χρησιμοποιώντας την τυπική διαδικασία για τον προσδιορισμό των ασυμπτωμάτων. |
Το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης είναι το σημείο στον τομέα της συνάρτησης όπου η τιμή της συνάρτησης παίρνει μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή. Οι τιμές συνάρτησης σε αυτά τα σημεία ονομάζονται ακραίες (ελάχιστες και μέγιστες) της συνάρτησης.
Ορισμός. Τελεία Χ1 εύρος λειτουργίας φά(Χ) λέγεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης , εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή η ανισότητα φά(Χ0 ) > φά(Χ 0 + Δ Χ) Χ1 ανώτατο όριο.
Ορισμός. Τελεία Χ2 εύρος λειτουργίας φά(Χ) λέγεται ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη από τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία αρκετά κοντά σε αυτήν, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά της (δηλαδή η ανισότητα φά(Χ0 ) < φά(Χ 0 + Δ Χ) ). Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο σημείο Χ2 ελάχιστο.
Ας πούμε την ουσία Χ1 - μέγιστο σημείο της λειτουργίας φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ1 η λειτουργία αυξάνεται, άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά "(Χ) > 0 ), και στο διάστημα μετά Χ1 η συνάρτηση μειώνεται, άρα παράγωγο συνάρτησηςλιγότερο από μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ). Тогда в точке Χ1
Ας υποθέσουμε επίσης ότι το σημείο Χ2 - ελάχιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) . Στη συνέχεια στο διάστημα μέχρι Χ2 η συνάρτηση είναι φθίνουσα και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ), а в интервале после Χ2 η συνάρτηση αυξάνεται και η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά "(Χ) > 0 ). Σε αυτή την περίπτωση και στο σημείο Χ2 η παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.
Θεώρημα Fermat (απαραίτητο κριτήριο για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης). Αν σημείο Χ0 - ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ), τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ( φά "(Χ) = 0 ) ή δεν υπάρχει.
Ορισμός. Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει λέγονται κρίσιμα σημεία .
Παράδειγμα 1Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση.
Στο σημείο Χ= 0 η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σημείο Χ= 0 είναι το κρίσιμο σημείο. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης, αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού, οπότε το σημείο ΧΤο = 0 δεν είναι ακραίο σημείο αυτής της συνάρτησης.
Έτσι, οι συνθήκες ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα άκρο, αλλά όχι επαρκείς, αφού μπορούν να δοθούν άλλα παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες ικανοποιούνται αυτές οι προϋποθέσεις, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ακρότατο στο αντίστοιχο σημείο. Να γιατί πρέπει να έχει επαρκείς ενδείξεις, που καθιστούν δυνατό να κρίνουμε αν υπάρχει ακρότατο σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο και ποιο - μέγιστο ή ελάχιστο.
Θεώρημα (το πρώτο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 φά(Χ), αν η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο όταν διέρχεται από αυτό το σημείο και αν το πρόσημο αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το μέγιστο σημείο και αν από "μείον" σε "συν", τότε το ελάχιστο σημείο .
Αν είναι κοντά στο σημείο Χ0 , στα αριστερά και στα δεξιά της, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε αυξάνεται μόνο σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ0 . Στην προκειμένη περίπτωση, στο σημείο Χ0 δεν υπάρχει ακρότητα.
Ετσι, για να προσδιορίσετε τα ακραία σημεία της συνάρτησης, πρέπει να κάνετε τα εξής :
- Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και προσδιορίστε τα κρίσιμα σημεία.
- Σημειώστε νοερά ή σε χαρτί τα κρίσιμα σημεία στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα που προκύπτουν. Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το κρίσιμο σημείο είναι το μέγιστο σημείο και αν από "μείον" σε "συν", τότε το κρίσιμο σημείο είναι το ελάχιστο σημείο.
- Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.
Παράδειγμα 2Βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης 
.
Λύση. Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:
Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν για να βρείτε τα κρίσιμα σημεία:
.
Δεδομένου ότι για οποιεσδήποτε τιμές του "x" ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε εξισώνουμε τον αριθμητή με μηδέν:
Έχει ένα κρίσιμο σημείο Χ= 3. Καθορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα που οριοθετούνται από αυτό το σημείο:
στην περιοχή από μείον άπειρο έως 3 - σύμβολο μείον, δηλαδή, η συνάρτηση μειώνεται,
στην περιοχή από 3 έως συν άπειρο - ένα σύμβολο συν, δηλαδή, η συνάρτηση αυξάνεται.
Σημείο δηλαδή Χ= 3 είναι το ελάχιστο σημείο.
Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο:
Έτσι, το ακραίο σημείο της συνάρτησης βρίσκεται: (3; 0) , και είναι το ελάχιστο σημείο.
Θεώρημα (το δεύτερο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ), αν η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν είναι ίση με μηδέν ( φά ""(Χ) ≠ 0 ), επιπλέον, εάν η δεύτερη παράγωγος είναι μεγαλύτερη από το μηδέν ( φά ""(Χ) > 0 ), τότε το μέγιστο σημείο και αν η δεύτερη παράγωγος είναι μικρότερη από το μηδέν ( φά ""(Χ) < 0 ), то точкой минимума.
Παρατήρηση 1. Αν σε ένα σημείο Χ0 τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο παράγωγο εξαφανίζονται, τότε σε αυτό το σημείο είναι αδύνατο να κριθεί η παρουσία ενός άκρου με βάση το δεύτερο επαρκές πρόσημο. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το πρώτο επαρκές κριτήριο για το άκρο της συνάρτησης.
Παρατήρηση 2. Το δεύτερο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης είναι επίσης ανεφάρμοστο όταν η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει στο ακίνητο σημείο (τότε δεν υπάρχει ούτε η δεύτερη παράγωγος). Σε αυτή την περίπτωση, είναι επίσης απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί το πρώτο επαρκές κριτήριο για το άκρο της συνάρτησης.
Η τοπική φύση των άκρων της συνάρτησης
Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το άκρο μιας συνάρτησης είναι τοπικής φύσης - αυτή είναι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές.
Ας υποθέσουμε ότι εξετάζετε τα κέρδη σας σε χρονικό διάστημα ενός έτους. Εάν τον Μάιο κερδίσατε 45.000 ρούβλια και τον Απρίλιο 42.000 ρούβλια και τον Ιούνιο 39.000 ρούβλια, τότε τα κέρδη Μαΐου είναι το μέγιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές. Αλλά τον Οκτώβριο κερδίσατε 71.000 ρούβλια, τον Σεπτέμβριο 75.000 ρούβλια και τον Νοέμβριο 74.000 ρούβλια, επομένως τα κέρδη Οκτωβρίου είναι το ελάχιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές τιμές. Και μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το μέγιστο μεταξύ των τιμών του Απριλίου-Μαΐου-Ιουνίου είναι μικρότερο από το ελάχιστο του Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου-Νοεμβρίου.
Σε γενικές γραμμές, μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα σε ένα διάστημα και μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε μέγιστο. Έτσι, για τη συνάρτηση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, .
Δηλαδή, δεν πρέπει να πιστεύουμε ότι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης είναι, αντίστοιχα, οι μέγιστες και ελάχιστες τιμές της σε ολόκληρο το υπό εξέταση τμήμα. Στο σημείο μέγιστου, η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο σε σύγκριση με εκείνες τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο και στο ελάχιστο σημείο, τη μικρότερη τιμή μόνο σε σύγκριση με αυτές τις τιμές ότι έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο ελάχιστο σημείο.
Επομένως, μπορούμε να βελτιώσουμε την έννοια των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης που δόθηκε παραπάνω και να ονομάσουμε τα ελάχιστα σημεία τοπικά ελάχιστα σημεία και τα μέγιστα σημεία - τοπικά μέγιστα σημεία.
Ψάχνουμε μαζί τα άκρα της συνάρτησης
Παράδειγμα 3
Λύση Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στην ακέραια αριθμητική γραμμή. Το παράγωγό του 
υπάρχει επίσης σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Επομένως, σε αυτή η υπόθεσημόνο εκείνα στα οποία, δηλ. , από πού και . Κρίσιμα σημεία και διαιρέστε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε τρία διαστήματα μονοτονίας: . Επιλέγουμε ένα σημείο ελέγχου σε καθένα από αυτά και βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο.
Για το διάστημα, το σημείο αναφοράς μπορεί να είναι: βρίσκουμε . Παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, παίρνουμε , και παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, έχουμε . Έτσι, στα διαστήματα και , και στο διάστημα . Σύμφωνα με το πρώτο επαρκές πρόσημο ενός άκρου, δεν υπάρχει άκρο στο σημείο (καθώς η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της στο διάστημα ) και η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο σημείο (αφού η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν όταν περνά μέσα από αυτό το σημείο). Βρείτε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης: , και . Στο διάστημα, η συνάρτηση μειώνεται, αφού σε αυτό το διάστημα , και στο διάστημα αυξάνεται, αφού σε αυτό το διάστημα.
Για να διευκρινίσουμε την κατασκευή του γραφήματος, βρίσκουμε τα σημεία τομής του με τους άξονες συντεταγμένων. Όταν λαμβάνουμε μια εξίσωση της οποίας βρίσκονται οι ρίζες και, δηλ., δύο σημεία (0; 0) και (4; 0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που λάβαμε, κατασκευάζουμε ένα γράφημα (δείτε στην αρχή του παραδείγματος).
Παράδειγμα 4Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης και φτιάξτε τη γραφική παράσταση της.
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, εκτός από το σημείο, δηλ. .
Για να συντομεύσουμε τη μελέτη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού 
. Επομένως, η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oyκαι η μελέτη μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για το μεσοδιάστημα .
Εύρεση της παραγώγου 
και κρίσιμα σημεία της συνάρτησης:
1) 
;
2) 
,
αλλά η συνάρτηση υφίσταται διακοπή σε αυτό το σημείο, επομένως δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο.
Έτσι, η δεδομένη συνάρτηση έχει δύο κρίσιμα σημεία: και . Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, ελέγχουμε μόνο το σημείο από το δεύτερο επαρκές πρόσημο του άκρου. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο 
και προσδιορίστε το πρόσημο του στο : παίρνουμε . Αφού και , τότε είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, ενώ 
.
Για να έχουμε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του γραφήματος της συνάρτησης, ας μάθουμε τη συμπεριφορά της στα όρια του τομέα ορισμού:
(εδώ το σύμβολο υποδηλώνει την επιθυμία Χστο μηδέν στα δεξιά, και Χπαραμένει θετικό? ομοίως σημαίνει φιλοδοξία Χστο μηδέν στα αριστερά, και Χπαραμένει αρνητικό). Έτσι, εάν , τότε . Στη συνέχεια, βρίσκουμε
,
εκείνοι. αν τότε .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τους άξονες. Η εικόνα βρίσκεται στην αρχή του παραδείγματος.
Συνεχίζουμε να ψάχνουμε για άκρα της συνάρτησης μαζί
Παράδειγμα 8Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης .
Λύση. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης. Εφόσον η ανισότητα πρέπει να ισχύει, λαμβάνουμε από .
Ας βρούμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης:
Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.
