Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης από μια εξίσωση. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε μια κλειστή περιοχή
Μια μινιατούρα και μάλλον απλή εργασία του είδους που χρησιμεύει ως σανίδα σωτηρίας για έναν πλωτό μαθητή. Στη φύση, το νυσταγμένο βασίλειο των μέσων Ιουλίου, οπότε ήρθε η ώρα να ηρεμήσετε με ένα φορητό υπολογιστή στην παραλία. Έπαιξε νωρίς το πρωί ηλιαχτίδαθεωρία για να επικεντρωθεί σύντομα στην πρακτική, η οποία, παρά την υποτιθέμενη ελαφρότητά της, περιέχει θραύσματα γυαλιού στην άμμο. Από αυτή την άποψη, συνιστώ να εξετάσετε ευσυνείδητα μερικά παραδείγματα αυτής της σελίδας. Για να λύσετε πρακτικές εργασίες, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε παράγωγακαι να κατανοήσουν το υλικό του άρθρου Διαστήματα μονοτονίας και άκρα μιας συνάρτησης.
Πρώτον, εν συντομία για το κύριο πράγμα. Σε ένα μάθημα για συνέχεια λειτουργίαςΈδωσα τον ορισμό της συνέχειας σε ένα σημείο και της συνέχειας σε ένα διάστημα. Διατυπώνεται η υποδειγματική συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα ομοίως. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα τμήμα εάν:
1) είναι συνεχής στο διάστημα ?
2) συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιάκαι στο σημείο αριστερά.
Η δεύτερη παράγραφος ασχολείται με τα λεγόμενα μονομερής συνέχειαλειτουργεί σε ένα σημείο. Υπάρχουν πολλές προσεγγίσεις για τον ορισμό του, αλλά θα παραμείνω στη γραμμή που ξεκίνησε νωρίτερα:
Η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο στα δεξιά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το δεξί όριο συμπίπτει με την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο: 
. Είναι συνεχής στο σημείο αριστερά, εάν ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και το αριστερό του όριο είναι ίσο με την τιμή σε αυτό το σημείο: 
Φανταστείτε ότι οι πράσινες κουκκίδες είναι τα καρφιά στα οποία είναι στερεωμένο το μαγικό λάστιχο:
Πάρτε διανοητικά την κόκκινη γραμμή στα χέρια σας. Προφανώς, όσο και αν τεντώσουμε το γράφημα πάνω-κάτω (κατά μήκος του άξονα), η συνάρτηση θα παραμείνει περιορισμένος- ένας φράκτης από πάνω, ένας φράκτης κάτω, και το προϊόν μας βόσκει σε μια μάντρα. Ετσι, μια συνάρτηση συνεχής σε ένα τμήμα οριοθετείται σε αυτό. Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης, αυτό το φαινομενικά απλό γεγονός δηλώνεται και αποδεικνύεται αυστηρά Το πρώτο θεώρημα του Weierstrass.... Πολλοί άνθρωποι ενοχλούνται που οι στοιχειώδεις δηλώσεις τεκμηριώνονται κουραστικά στα μαθηματικά, αλλά υπάρχει σημαντικό νόημα. Ας υποθέσουμε ότι κάποιος κάτοικος του μεσαίωνα τράβηξε το γράφημα στον ουρανό πέρα από τα όρια της ορατότητας, αυτό εισήχθη. Πριν από την εφεύρεση του τηλεσκοπίου, η περιορισμένη λειτουργία στο διάστημα δεν ήταν καθόλου εμφανής! Αλήθεια, πώς ξέρεις τι μας περιμένει πέρα από τον ορίζοντα; Άλλωστε, κάποτε η Γη θεωρούνταν επίπεδη, έτσι σήμερα ακόμη και η συνηθισμένη τηλεμεταφορά απαιτεί απόδειξη =)
Σύμφωνα με δεύτερο θεώρημα Weierstrass, συνεχής στο τμήμαη λειτουργία φτάνει σε αυτήν ακριβή επάνω άκρηκαι το δικό του ακριβές κάτω άκρο .
Ο αριθμός καλείται επίσης τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμακαι συμβολίζεται με , και τον αριθμό - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο διάστημασημαδεμένο .
Στην περίπτωσή μας: 
Σημείωση
: θεωρητικά, οι εγγραφές είναι κοινές 
.
Στο περίπου, υψηλότερη τιμήβρίσκεται όπου το υψηλό σημείογραφικά, και το μικρότερο - πού είναι το χαμηλότερο σημείο.
Σπουδαίος!Όπως έχει ήδη επισημανθεί στο άρθρο σχετικά με άκρα της συνάρτησης, τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησηςΚαι μικρότερη τιμή συνάρτησης – ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ, Τι μέγιστη λειτουργίαΚαι ελάχιστη λειτουργία. Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός είναι το ελάχιστο της συνάρτησης, αλλά όχι η ελάχιστη τιμή.
Παρεμπιπτόντως, τι συμβαίνει εκτός τμήματος; Ναι, ακόμα και η πλημμύρα, στο πλαίσιο του εξεταζόμενου προβλήματος, αυτό δεν μας ενδιαφέρει καθόλου. Η εργασία περιλαμβάνει μόνο την εύρεση δύο αριθμών 
και τέλος!
Επιπλέον, η λύση είναι καθαρά αναλυτική, επομένως, δεν χρειάζεται να σχεδιάσετε!
Ο αλγόριθμος βρίσκεται στην επιφάνεια και προτείνεται από το παραπάνω σχήμα:
1) Βρείτε τις τιμές συνάρτησης στο κρίσιμα σημεία, που ανήκουν σε αυτό το τμήμα.
Πιάσε ακόμα ένα καλό: δεν χρειάζεται να ελέγξεις μια επαρκή συνθήκη για ακραίο, καθώς, όπως μόλις παρουσιάστηκε, η παρουσία ενός ελάχιστου ή μέγιστου δεν είναι ακόμη εγγυημένηποια είναι η ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή. Η συνάρτηση επίδειξης φτάνει στο μέγιστο της και, κατά τη θέληση της μοίρας, ο ίδιος αριθμός είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα . Αλλά, φυσικά, μια τέτοια σύμπτωση δεν συμβαίνει πάντα.
Έτσι, στο πρώτο βήμα, είναι πιο γρήγορος και ευκολότερος ο υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν στο τμήμα, χωρίς να ενοχλείται αν έχουν ακρότατα ή όχι.
2) Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος.
3) Μεταξύ των τιμών της συνάρτησης που βρίσκονται στην 1η και 2η παράγραφο, επιλέγουμε τη μικρότερη και την πιο μεγάλος αριθμός, γράψτε την απάντηση.
Καθόμαστε στην ακτή της γαλάζιας θάλασσας και χτυπάμε τα τακούνια σε ρηχά νερά:
Παράδειγμα 1
Βρείτε το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες στο διάστημα
Λύση:
1) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία που ανήκουν σε αυτό το τμήμα:
Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεύτερο κρίσιμο σημείο:
2) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος: 
3) Λήφθηκαν «τολμηρά» αποτελέσματα με εκθετικές τιμές και λογάριθμους, γεγονός που περιπλέκει σημαντικά τη σύγκριση τους. Για το λόγο αυτό, θα οπλιστούμε με μια αριθμομηχανή ή το Excel και θα υπολογίσουμε τις κατά προσέγγιση τιμές, χωρίς να ξεχνάμε ότι: 
Τώρα όλα είναι ξεκάθαρα.
Απάντηση:
Κλασματικό-ορθολογικό παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση:
Παράδειγμα 6
Βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα
Η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) αποδεκτή τιμή της τεταγμένης στο εξεταζόμενο διάστημα.
Για να βρείτε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει:
- Ελέγξτε ποια ακίνητα σημεία περιλαμβάνονται στο συγκεκριμένο τμήμα.
- Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε σταθερά σημεία από το βήμα 3
- Επιλέξτε από τα αποτελέσματα που ελήφθησαν τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή.
Για να βρείτε τους μέγιστους ή ελάχιστους βαθμούς, πρέπει:
- Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f"(x)$
- Βρείτε σταθερά σημεία λύνοντας την εξίσωση $f"(x)=0$
- Παραγοντοποιήστε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Σχεδιάστε μια γραμμή συντεταγμένων, τοποθετήστε ακίνητα σημεία πάνω της και προσδιορίστε τα σημάδια της παραγώγου στα διαστήματα που προκύπτουν, χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία της ενότητας 3.
- Βρείτε τα μέγιστα ή τα ελάχιστα σημεία σύμφωνα με τον κανόνα: εάν σε ένα σημείο η παράγωγος αλλάξει πρόσημο από συν σε μείον, τότε αυτό θα είναι το μέγιστο σημείο (αν από μείον σε συν, τότε αυτό θα είναι το ελάχιστο σημείο). Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την εικόνα των βελών στα διαστήματα: στο διάστημα όπου η παράγωγος είναι θετική, το βέλος τραβιέται προς τα πάνω και αντίστροφα.
Πίνακας παραγώγων ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων:
| Λειτουργία | Παράγωγο |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-six$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $αμαρτ^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης
1. Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Η παράγωγος του αθροίσματος και της διαφοράς είναι ίση με την παράγωγο κάθε όρου
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Παράγωγο προϊόντος.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Παράγωγος του πηλίκου
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Βρείτε την παράγωγο $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της παραγώγου της εξωτερικής συνάρτησης και της παραγώγου της εσωτερικής συνάρτησης
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Βρείτε το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Βρείτε το ODZ της συνάρτησης: $x+11>0; x>-11$
2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Βρείτε ακίνητα σημεία εξισώνοντας την παράγωγο με μηδέν
$(2x+21)/(x+11)=0$
Ένα κλάσμα είναι μηδέν αν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν
$2x+21=0; x≠-11$
4. Σχεδιάστε μια γραμμή συντεταγμένων, τοποθετήστε πάνω της ακίνητα σημεία και προσδιορίστε τα πρόσημα της παραγώγου στα διαστήματα που προκύπτουν. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην παράγωγο οποιονδήποτε αριθμό από την άκρα δεξιά περιοχή, για παράδειγμα, μηδέν.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, το σημείο -10,5$ είναι το ελάχιστο σημείο.
Απάντηση: -10,5$
Βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης $y=6x^5-90x^3-5$ στο τμήμα $[-5;1]$
1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης $y′=30x^4-270x^2$
2. Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν και βρείτε ακίνητα σημεία
$30x^4-270x^2=0$
Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα $30x^2$
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Ορίστε κάθε παράγοντα ίσο με μηδέν
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Επιλέξτε σταθερά σημεία που ανήκουν στο συγκεκριμένο τμήμα $[-5;1]$
Τα σταθερά σημεία $x=0$ και $x=-3$ είναι κατάλληλα για εμάς
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε σταθερά σημεία από το στοιχείο 3
Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο;
Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.
Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (άκρο) της συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχει.
Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να εξαφανιστεί, να πάει στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.
Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);
Πρώτη προϋπόθεση:
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής εδώ.
Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης:
Έστω στο σημείο x = και η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανίζεται. αν η δεύτερη παράγωγος f??(α) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε ένα ελάχιστο.
Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;
Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε, χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει, είναι κρίσιμα σημεία, δηλ. οι τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο . Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται διακοπές.
Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο της παραβολής.
Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Παράγωγος συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2
Λύνουμε την εξίσωση: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
ΣΕ αυτή η υπόθεσητο κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Για αυτήν την τιμή του ορίσματος έχει η συνάρτηση ακραίο. Να το πάρεις εύρημα, αντικαθιστούμε τον αριθμό που βρέθηκε στην έκφραση για τη συνάρτηση αντί του "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές του;
Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από «συν» σε «πλην» όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0, τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάξει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:
Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμο σημείο: x = -1
Όταν x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y; (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή, το σύμβολο μείον).
Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1
Για x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή, το σύμβολο συν).
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διέλευση από το κρίσιμο σημείο, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή του x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα(στο τμήμα) βρίσκονται με την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου μεσοδιαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης
y (x) \u003d 3 αμαρτία (x) - 0,5x
κατά διαστήματα:
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± τόξο (0,16667) + 2πk.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
και το μικρότερο - στο x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι y = 5,398.
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
y = 5,398 σε x = -4,88
η μικρότερη τιμή είναι
y = 1,077 σε x = -3
Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε τις πλευρές της κυρτότητας και της κοιλότητας;
Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της γραμμής y \u003d f (x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν , άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει κλίση.
Οι ρίζες της εξίσωσης f ? (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη εδώ προς τα πάνω και αν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.
Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;
Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x, y), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή της ανάθεσής της, χρειάζεστε:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό, λύστε το σύστημα των εξισώσεων
fx; (x,y) = 0, fy; (x,y) = 0
2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b), διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο
για όλα τα σημεία (x; y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά διατηρεί θετικό πρόσημο, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε ένα μέγιστο. Αν η διαφορά δεν διατηρήσει το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει άκρο στο σημείο Р0.
Παρομοίως, τα άκρα της συνάρτησης προσδιορίζονται για μεγαλύτερο αριθμό ορισμάτων.
Τι είναι το Shrek Forever After;
Κινούμενα σχέδια: Shrek Forever Μετά Έτος κυκλοφορίας: 2010 Πρεμιέρα (Ρωσία): 20 Μαΐου 2010 Χώρα: ΗΠΑ Σκηνοθεσία: Michael Pitchel Σενάριο: Josh Klausner, Darren Lemke Είδος: οικογενειακή κωμωδία, φαντασία, περιπέτεια Επίσημη ιστοσελίδα: www.shrekforeverafter.com plot μουλάρι
Μπορώ να δωρίσω αίμα κατά τη διάρκεια της περιόδου μου;
Οι γιατροί δεν συνιστούν την αιμοδοσία κατά την έμμηνο ρύση, γιατί. η απώλεια αίματος, αν και όχι σε σημαντική ποσότητα, είναι γεμάτη με μείωση των επιπέδων αιμοσφαιρίνης και επιδείνωση της ευημερίας της γυναίκας. Κατά τη διαδικασία αιμοδοσίας, η κατάσταση με την ευημερία μπορεί να επιδεινωθεί μέχρι την ανακάλυψη αιμορραγίας. Ως εκ τούτου, οι γυναίκες πρέπει να απέχουν από την αιμοδοσία κατά τη διάρκεια της εμμήνου ρύσεως. Και ήδη την 5η μέρα αφού τελείωσαν
Πόσες kcal/ώρα καταναλώνονται κατά το πλύσιμο των δαπέδων
Είδη σωματική δραστηριότηταΚατανάλωση ενέργειας, kcal/h Μαγείρεμα 80 Ντύσιμο 30 Οδήγηση 50 Ξεσκόνισμα 80 Φαγητό 30 Κηπουρική 135 Σιδέρωμα 45 Στρώσιμο κρεβατιού 130 Ψώνια 80 Καθιστική εργασία 75 Κόψιμο ξύλου 300 Πλύσιμο δαπέδων 130 Φύλο 100-150 Χαμηλό χορό
Τι σημαίνει η λέξη «απατεώνας»;
Ένας απατεώνας είναι ένας κλέφτης που ασχολείται με μικροκλοπές ή ένας απατεώνας επιρρεπής σε δόλια κόλπα. Επιβεβαίωση αυτού του ορισμού περιέχεται στο ετυμολογικό λεξικό του Κρίλοφ, σύμφωνα με το οποίο η λέξη «απατεώνας» σχηματίζεται από τη λέξη «απατεώνας» (κλέφτης, απατεώνας), παρόμοια με το ρήμα &la
Πώς ονομάζεται η τελευταία δημοσιευμένη ιστορία των αδελφών Strugatsky
Μια μικρή ιστορία Arkady and Boris Strugatsky "On the question of cyclotation" δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά τον Απρίλιο του 2008 στην ανθολογία επιστημονικής φαντασίας "Noon. XXI αιώνα" (συμπλήρωμα στο περιοδικό "Vokrug sveta", που εκδόθηκε υπό την επιμέλεια του Boris Strugatsky). Η έκδοση ήταν αφιερωμένη στην 75η επέτειο του Boris Strugatsky.
Πού μπορώ να διαβάσω τις ιστορίες των συμμετεχόντων στο πρόγραμμα Work And Travel USA
Το Work and Travel USA (εργασία και ταξίδι στις ΗΠΑ) είναι ένα δημοφιλές πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών όπου μπορείτε να περάσετε το καλοκαίρι στην Αμερική, εργαζόμενος νόμιμα στον τομέα των υπηρεσιών και ταξιδεύοντας. Το πρόγραμμα History of the Work & Travel αποτελεί μέρος του προγράμματος Cultural Exchange Pro των διακυβερνητικών ανταλλαγών
Αυτί. Γαστρονομική και ιστορική αναφορά Για περισσότερους από δυόμισι αιώνες, η λέξη «ukha» χρησιμοποιείται για να δηλώσει σούπες ή αφέψημα φρέσκου ψαριού. Υπήρξε όμως μια εποχή που αυτή η λέξη ερμηνεύτηκε ευρύτερα. Δήλωναν σούπα - όχι μόνο ψάρι, αλλά και κρέας, μπιζέλι και ακόμη και γλυκό. Έτσι στο ιστορικό ντοκουμέντο - "
Πύλες πληροφοριών και στρατολόγησης Superjob.ru - Η πύλη πρόσληψης Superjob.ru λειτουργεί ρωσική αγορά online πρόσληψη από το 2000 και κατέχει ηγετική θέση μεταξύ των πόρων που προσφέρουν αναζήτηση εργασίας και στελέχωση. Περισσότερα από 80.000 βιογραφικά ειδικών και περισσότερες από 10.000 κενές θέσεις προστίθενται καθημερινά στη βάση δεδομένων του ιστότοπου.
Τι είναι κίνητρο
Ορισμός του κινήτρου Motivation (από το λατ. moveo - κινούμαι) - μια παρόρμηση για δράση. μια δυναμική διαδικασία ενός φυσιολογικού και ψυχολογικού σχεδίου που ελέγχει την ανθρώπινη συμπεριφορά, καθορίζει την κατεύθυνση, την οργάνωση, τη δραστηριότητα και τη σταθερότητά της. την ικανότητα του ανθρώπου να ικανοποιεί τις ανάγκες του μέσω της εργασίας. Motivac
Ποιος είναι ο Μπομπ Ντίλαν
Ο Μπομπ Ντύλαν (eng. Bob Dylan, πραγματικό όνομα - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; γεννημένος στις 24 Μαΐου 1941) είναι Αμερικανός τραγουδοποιός που - σύμφωνα με δημοσκόπηση του περιοδικού Rolling Stone - είναι ο δεύτερος (
Πώς να μεταφέρετε φυτά εσωτερικού χώρου
Μετά την αγορά φυτά εσωτερικού χώρου, ο κηπουρός έρχεται αντιμέτωπος με το καθήκον να παραδώσει τα εξωτικά λουλούδια που αγοράστηκαν χωρίς να βλάψουν. Η γνώση των βασικών κανόνων για τη συσκευασία και τη μεταφορά φυτών εσωτερικού χώρου θα βοηθήσει στην επίλυση αυτού του προβλήματος. Τα φυτά πρέπει να συσκευάζονται για να μεταφερθούν ή να μεταφερθούν. Ανεξάρτητα από το πόσο μικρή απόσταση μεταφέρονται τα φυτά, μπορεί να καταστραφούν, να στεγνώσουν και το χειμώνα και μ.
Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο;
Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.
Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (άκρο) της συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχει.
Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να εξαφανιστεί, να πάει στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.
Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);
Πρώτη προϋπόθεση:
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής εδώ.
Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης:
Έστω στο σημείο x = και η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανίζεται. αν η δεύτερη παράγωγος f??(α) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε ένα ελάχιστο.
Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;
Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε, χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει, είναι κρίσιμα σημεία, δηλ. οι τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο . Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται διακοπές.
Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο της παραβολής.
Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Παράγωγος συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2
Λύνουμε την εξίσωση: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Σε αυτή την περίπτωση, το κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Για αυτήν την τιμή του ορίσματος έχει η συνάρτηση ακραίο. Να το πάρεις εύρημα, αντικαθιστούμε τον αριθμό που βρέθηκε στην έκφραση για τη συνάρτηση αντί του "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές του;
Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από «συν» σε «πλην» όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0, τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάξει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:
Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμου σημείου: x = -1
Όταν x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y; (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή, το σύμβολο μείον).
Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1
Για x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή, το σύμβολο συν).
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διέλευση από το κρίσιμο σημείο, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή του x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα(στο τμήμα) βρίσκονται με την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου μεσοδιαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης
y (x) \u003d 3 αμαρτία (x) - 0,5x
κατά διαστήματα:
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± τόξο (0,16667) + 2πk.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
και το μικρότερο - στο x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι y = 5,398.
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
y = 5,398 σε x = -4,88
η μικρότερη τιμή είναι
y = 1,077 σε x = -3
Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε τις πλευρές της κυρτότητας και της κοιλότητας;
Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της γραμμής y \u003d f (x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν , άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει κλίση.
Οι ρίζες της εξίσωσης f ? (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη εδώ προς τα πάνω και αν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.
Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;
Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x, y), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή της ανάθεσής της, χρειάζεστε:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό, λύστε το σύστημα των εξισώσεων
fx; (x,y) = 0, fy; (x,y) = 0
2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b), διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο
για όλα τα σημεία (x; y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά διατηρεί θετικό πρόσημο, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε ένα μέγιστο. Αν η διαφορά δεν διατηρήσει το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει άκρο στο σημείο Р0.
Παρομοίως, τα άκρα της συνάρτησης προσδιορίζονται για μεγαλύτερο αριθμό ορισμάτων.
Πώς να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα;
Για αυτό ακολουθούμε τον γνωστό αλγόριθμο:
1 . Βρίσκουμε συναρτήσεις ODZ.
2 . Εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης
3 . Εξισώστε την παράγωγο με μηδέν
4 . Βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της και από αυτά προσδιορίζουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης:
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν στο διάστημα I η παράγωγος της συνάρτησης , τότε η συνάρτηση μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
5 . Βρίσκουμε μέγιστο και ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
ΣΕ το μέγιστο σημείο της συνάρτησης, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "+" σε "-".
ΣΕ ελάχιστο σημείο της συνάρτησηςτο παράγωγο αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+".
6 . Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος,
- τότε συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα μέγιστα σημεία, και επιλέξτε το μεγαλύτερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
- ή συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα ελάχιστα σημεία, και επιλέξτε το μικρότερο από αυτά εάν θέλετε να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης
Ωστόσο, ανάλογα με το πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση στο διάστημα, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να μειωθεί σημαντικά.
Εξετάστε τη συνάρτηση 
. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό:
Ας δούμε μερικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από ανοιχτή τράπεζαεργασίες για
1 . Εργασία B15 (#26695)
Στην τομή.
1. Η συνάρτηση ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x
Προφανώς, αυτή η εξίσωση δεν έχει λύσεις και η παράγωγος είναι θετική για όλες τις τιμές του x. Επομένως, η συνάρτηση αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξιό άκρο του διαστήματος, δηλαδή στο x=0.
Απάντηση: 5.
2 . Εργασία B15 (Αρ. 26702)
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης 
στο τμήμα.
Συνάρτηση 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Η παράγωγος είναι μηδέν στο , ωστόσο, σε αυτά τα σημεία δεν αλλάζει πρόσημο:
Επομένως, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} αυξάνεται και παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή στο δεξί άκρο του διαστήματος, στο .
Για να καταστεί σαφές γιατί η παράγωγος δεν αλλάζει πρόσημο, μετατρέπουμε την έκφραση για την παράγωγο ως εξής:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Απάντηση: 5.
3 . Εργασία B15 (#26708)
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα .
1. Συναρτήσεις ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Ας τοποθετήσουμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.
Το διάστημα περιέχει δύο αριθμούς: και
Ας βάλουμε τα σημάδια. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε το πρόσημο της παραγώγου στο σημείο x=0: 
. Όταν διέρχεται από τα σημεία και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.
Ας απεικονίσουμε την αλλαγή των προσημάτων της παραγώγου της συνάρτησης στη γραμμή συντεταγμένων:
Προφανώς, το σημείο είναι ένα ελάχιστο σημείο (όπου η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από "-" σε "+") και για να βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο διάστημα, πρέπει να συγκρίνετε τις τιμές της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο και στο αριστερό άκρο του τμήματος, .
