Το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος και του εαυτού του. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων που δίνονται με συντεταγμένες

Αγγλικά:Η Wikipedia κάνει τον ιστότοπο πιο ασφαλή. Χρησιμοποιείτε ένα παλιό πρόγραμμα περιήγησης ιστού που δεν θα μπορεί να συνδεθεί στη Wikipedia στο μέλλον. Ενημερώστε τη συσκευή σας ή επικοινωνήστε με τον διαχειριστή IT.

中文: 维基 百科 正 在 使 使 网站 安全 您 在 使用 旧 的 浏览器 浏览器 浏览器 在 在 在 无法 百科。 更新 您 您 的 的 设备 设备 或 将来 维基 百科。 更新 更 的 的 的 ς英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英 英语

Ισπανία:Η Βικιπαίδεια είναι η αρχή της κατάστασης. Χρησιμοποιείται για την πλοήγηση στον ιστό και δεν έχει οριστεί για τη δημιουργία μιας Wikipedia στο μέλλον. Πραγματοποίηση διαθέσιμων πληροφοριών ή επικοινωνία με έναν διαχειριστή. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais:Η Wikipedia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Οι συμπληρωματικές πληροφορίες και οι τεχνικές και οι διαθέσιμες πληροφορίες στην αγγλική γλώσσα.

日本語: ウィキペディア で は サイト の の セキュリティ 高 め て。 ご 利用 の の ブラウザ ブラウザ は が 、 、 ウィキペディア に 接続 でき でき なく なく なる 性 あり か ウィキペディア ウィキペディア 接続 接続 でき でき でき なく なる 性 の か ウィキペディア 、 に 接続 でき でき なく なく なく なる あり。 か 、 に 接続 でき でき でき なく なく なる 技術 の ς詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい い い い ます ます ます ます ます ます ます ます ます ます

Γερμανός: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Ιταλικά:Η Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα περιήγησης στο web και να μην σαρά στο στάδιο της σύνδεσης μιας Wikipedia στο μέλλον. Ανάλογα με το aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in English.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Σουηδία:Η Βικιπαίδεια είναι σαν να είναι εδώ. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Ενημέρωση για τον διαχειριστή πληροφορικής. Det finns en längre och mer Teknisk förklaring på English längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Καταργούμε την υποστήριξη για μη ασφαλείς εκδόσεις πρωτοκόλλου TLS, συγκεκριμένα TLSv1.0 και TLSv1.1, στις οποίες βασίζεται το λογισμικό του προγράμματος περιήγησής σας για τη σύνδεση με τους ιστότοπούς μας. Αυτό συνήθως προκαλείται από ξεπερασμένα προγράμματα περιήγησης ή παλαιότερα smartphone Android. Ή μπορεί να είναι παρεμβολές από εταιρικό ή προσωπικό λογισμικό "Web Security", το οποίο στην πραγματικότητα υποβαθμίζει την ασφάλεια σύνδεσης.

Πρέπει να αναβαθμίσετε το πρόγραμμα περιήγησής σας ή να διορθώσετε με άλλο τρόπο αυτό το πρόβλημα για να αποκτήσετε πρόσβαση στους ιστότοπούς μας. Αυτό το μήνυμα θα παραμείνει μέχρι την 1η Ιανουαρίου 2020. Μετά από αυτήν την ημερομηνία, το πρόγραμμα περιήγησής σας δεν θα μπορεί να δημιουργήσει σύνδεση με τους διακομιστές μας.

Ορισμός. Το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος a (πολλαπλασιαστής) από ένα διάνυσμα (πολλαπλασιαστής) που δεν είναι συγγραμμικό με αυτό είναι το τρίτο διάνυσμα c (προϊόν), το οποίο κατασκευάζεται ως εξής:

1) ο συντελεστής του είναι αριθμητικά ίσος με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου στο σχ. 155), χτισμένο σε διανύσματα, δηλ. ισούται με την κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του αναφερόμενου παραλληλογράμμου.

3) σε αυτήν την περίπτωση, η κατεύθυνση του διανύσματος c επιλέγεται (από δύο πιθανές) έτσι ώστε τα διανύσματα c να σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα (§ 110).

Ονομασία: ή

Προσθήκη στον ορισμό. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε θεωρώντας το σχήμα ως (υπό όρους) παραλληλόγραμμο, είναι φυσικό να εκχωρήσουμε μηδενικό εμβαδόν. Να γιατί διανυσματικό προϊόντα συγγραμμικά διανύσματα θεωρείται ίσο με το μηδενικό διάνυσμα.

Εφόσον στο μηδενικό διάνυσμα μπορεί να εκχωρηθεί οποιαδήποτε κατεύθυνση, αυτή η σύμβαση δεν έρχεται σε αντίθεση με τα στοιχεία 2 και 3 του ορισμού.

Παρατήρηση 1. Στον όρο «διανυσματικό γινόμενο», η πρώτη λέξη δηλώνει ότι το αποτέλεσμα μιας ενέργειας είναι ένα διάνυσμα (σε αντίθεση με ένα κλιμακωτό γινόμενο· βλ. § 104, παρατήρηση 1).

Παράδειγμα 1. Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο όπου τα κύρια διανύσματα του δεξιού συστήματος συντεταγμένων (Εικ. 156).

1. Δεδομένου ότι τα μήκη των κύριων διανυσμάτων είναι ίσα με τη μονάδα κλίμακας, το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (τετράγωνο) είναι αριθμητικά ίσο με ένα. Επομένως, ο συντελεστής του διανυσματικού γινομένου είναι ίσος με ένα.

2. Εφόσον η κάθετη στο επίπεδο είναι ο άξονας, το επιθυμητό διανυσματικό γινόμενο είναι ένα διάνυσμα συγγραμμικό προς το διάνυσμα k. και επειδή και οι δύο έχουν συντελεστή 1, το απαιτούμενο διασταυρούμενο γινόμενο είναι είτε k είτε -k.

3. Από αυτά τα δύο πιθανά διανύσματα πρέπει να επιλεγεί το πρώτο, αφού τα διανύσματα k σχηματίζουν ένα δεξιό σύστημα (και τα διανύσματα σχηματίζουν ένα αριστερό).

Παράδειγμα 2. Βρείτε το σταυρωτό γινόμενο

Λύση. Όπως στο παράδειγμα 1, συμπεραίνουμε ότι το διάνυσμα είναι είτε k είτε -k. Τώρα όμως πρέπει να επιλέξουμε -k, αφού τα διανύσματα σχηματίζουν το σωστό σύστημα (και τα διανύσματα το αριστερό). Ετσι,

Παράδειγμα 3 Τα διανύσματα έχουν μήκη 80 και 50 cm, αντίστοιχα, και σχηματίζουν γωνία 30°. Λαμβάνοντας ένα μέτρο ως μονάδα μήκους, βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου α

Λύση. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα είναι ίσο με Το μήκος του επιθυμητού διανυσματικού γινόμενου είναι ίσο με

Παράδειγμα 4. Να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινομένου των ίδιων διανυσμάτων, λαμβάνοντας ένα εκατοστό ως μονάδα μήκους.

Λύση. Δεδομένου ότι η περιοχή του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα ισούται με το μήκος του γινομένου του διανύσματος είναι 2000 cm, δηλ.

Η σύγκριση των παραδειγμάτων 3 και 4 δείχνει ότι το μήκος του διανύσματος εξαρτάται όχι μόνο από τα μήκη των παραγόντων, αλλά και από την επιλογή της μονάδας μήκους.

Η φυσική σημασία του διανυσματικού προϊόντος.Από τα πολλά φυσικά μεγέθη που αντιπροσωπεύονται από το διανυσματικό γινόμενο, θα εξετάσουμε μόνο τη στιγμή της δύναμης.

Έστω Α το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Η ροπή δύναμης σε σχέση με το σημείο Ο ονομάζεται διανυσματικό γινόμενο. Εφόσον η μονάδα αυτού του γινομένου του διανύσματος είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (Εικ. 157), το δομοστοιχείο της ροπής είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης κατά το ύψος, δηλαδή τη δύναμη πολλαπλασιασμένη με την απόσταση από το σημείο Ο έως την ευθεία γραμμή κατά μήκος της οποίας δρα η δύναμη.

Στη μηχανική, αποδεικνύεται ότι για την ισορροπία ενός άκαμπτου σώματος είναι απαραίτητο όχι μόνο το άθροισμα των διανυσμάτων που αντιπροσωπεύουν τις δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σώμα, αλλά και το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων να είναι ίσο με μηδέν. Στην περίπτωση που όλες οι δυνάμεις είναι παράλληλες στο ίδιο επίπεδο, η πρόσθεση των διανυσμάτων που αντιπροσωπεύουν τις ροπές μπορεί να αντικατασταθεί από την πρόσθεση και την αφαίρεση των συντελεστών τους. Αλλά για αυθαίρετες κατευθύνσεις δυνάμεων, μια τέτοια αντικατάσταση είναι αδύνατη. Σύμφωνα με αυτό, το διασταυρούμενο γινόμενο ορίζεται ακριβώς ως διάνυσμα και όχι ως αριθμός.

ο ηλεκτρονική αριθμομηχανήυπολογίζει το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων. Δίνεται αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων, εισαγάγετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στα κελιά και κάντε κλικ στο "Υπολογισμός".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων

Πριν προχωρήσετε στον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, εξετάστε τις έννοιες διατεταγμένο τριπλό διανυσμάτων, αριστερό τριπλό διανυσμάτων, δεξιό τριπλό διανυσμάτων.

Ορισμός 1. Λέγονται τρία διανύσματα παρήγγειλε τριπλό(ή τριπλό) αν υποδεικνύεται ποιο από αυτά τα διανύσματα είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ποιο το τρίτο.

Εγγραφή cba- σημαίνει - το πρώτο είναι διάνυσμα ντο, το δεύτερο είναι το διάνυσμα σικαι το τρίτο είναι το διάνυσμα ένα.

Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν μειωθεί σε μια κοινή αρχή, αυτά τα διανύσματα είναι διατεταγμένα όπως είναι αντίστοιχα μεγάλα, μη λυγισμένος δείκτης και μεσαία δάχτυλαδεξί (αριστερό) χέρι.

Ο ορισμός 2 μπορεί να διατυπωθεί με άλλο τρόπο.

Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν ανάγεται σε κοινή αρχή, το διάνυσμα ντοπου βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα έναΚαι σι, από όπου και η συντομότερη στροφή από έναΠρος την σιεκτελείται αριστερόστροφα (δεξιόστροφα).

Διάνυσμα τρίο αλφάβητοφαίνεται στο σχ. Το 1 είναι σωστό και τριπλό αλφάβητοφαίνεται στο σχ. 2 απομένει.

Εάν δύο τριάδες διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά, τότε λέγεται ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Διαφορετικά, λέγεται ότι έχουν αντίθετο προσανατολισμό.

Ορισμός 3. Ένα καρτεσιανό ή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν τα τρία βασικά διανύσματα σχηματίζουν ένα δεξιό (αριστερό) τριπλό.

Για λόγους βεβαιότητας, σε αυτό που ακολουθεί θα εξετάσουμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων.

Ορισμός 4. διανυσματική τέχνηδιάνυσμα έναανά διάνυσμα σιπου ονομάζεται διάνυσμα Με, που υποδηλώνεται με το σύμβολο c=[αβ] (ή c=[α, β], ή c=a×b) και πληρούν τις ακόλουθες τρεις απαιτήσεις:

• διανυσματικό μήκος Μεείναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων έναΚαι σιστο ημίτονο της γωνίας φ μεταξυ τους:

|ντο|=|[αβ]|=|ένα||σι|sinφ;

(1)

• διάνυσμα Μεορθογώνιο σε κάθε ένα από τα διανύσματα έναΚαι σι;
• διάνυσμα ντοσκηνοθετημένο έτσι ώστε οι τρεις αλφάβητοειναι σωστο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• [αβ]=−[βα] (αντιμεταβλητότηταπαράγοντες)·
• [(λα)σι]=λ [αβ] (συμβατότητασε σχέση με τον αριθμητικό παράγοντα).
• [(α+β)ντο]=[έναντο]+[σιντο] (διανομήσε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων).
• [αα]=0 για οποιοδήποτε διάνυσμα ένα.

Γεωμετρικές ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου διανυσμάτων

Θεώρημα 1. Για να είναι δύο διανύσματα συγγραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Απόδειξη. Ανάγκη. Αφήστε τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Τότε η γωνία μεταξύ τους είναι 0 ή 180° και sinφ=αμαρτία180=αμαρτία 0=0. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (1), το μήκος του διανύσματος ντοισούται με μηδέν. Επειτα ντομηδενικό διάνυσμα.

Επάρκεια. Έστω το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σιπλοήγηση στο μηδέν: [ αβ]=0. Ας αποδείξουμε ότι τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα έναΚαι σιμηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά (επειδή το μηδενικό διάνυσμα έχει απροσδιόριστη διεύθυνση και μπορεί να θεωρηθεί συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα).

Αν και τα δύο διανύσματα έναΚαι σιμη μηδενικό, τότε | ένα|>0, |σι|>0. Στη συνέχεια από [ αβ]=0 και από το (1) προκύπτει ότι sinφ=0. Εξ ου και τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 2. Το μήκος (μέτρο) του διανυσματικού γινομένου [ αβ] ισούται με το εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο χτισμένο σε διανύσματα που ανάγεται σε μια κοινή αρχή έναΚαι σι.

Απόδειξη. Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των γειτονικών πλευρών αυτού του παραλληλογράμμου και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Ως εκ τούτου:

Τότε το διασταυρούμενο γινόμενο αυτών των διανυσμάτων έχει τη μορφή:

Επεκτείνοντας την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, παίρνουμε την αποσύνθεση του διανύσματος α×ββάση i, j, k, που ισοδυναμεί με τον τύπο (3).

Απόδειξη του Θεωρήματος 3. Να συνθέσετε όλα τα πιθανά ζεύγη διανυσμάτων βάσης i, j, kκαι να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο τους. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα διανύσματα βάσης είναι αμοιβαία ορθογώνια, σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό και έχουν μήκος μονάδας (με άλλα λόγια, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Εγώ={1, 0, 0}, ι={0, 1, 0}, κ=(0, 0, 1)). Τότε έχουμε:

Από την τελευταία ισότητα και σχέσεις (4), λαμβάνουμε:

Συνθέστε έναν πίνακα 3×3, του οποίου η πρώτη σειρά είναι τα βασικά διανύσματα i, j, k,και οι υπόλοιπες σειρές γεμίζουν με στοιχεία διανυσμάτων έναΚαι σι.

Πριν δώσουμε την έννοια του διανυσματικού γινόμενου, ας στραφούμε στο ζήτημα του προσανατολισμού του διατεταγμένου τριπλού των διανυσμάτων a → , b → , c → στον τρισδιάστατο χώρο.

Αρχικά, ας αφήσουμε στην άκρη τα διανύσματα a → , b → , c → από ένα σημείο. Ο προσανατολισμός του τριπλού a → , b → , c → είναι δεξιός ή αριστερός, ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος c → . Από την κατεύθυνση στην οποία γίνεται η συντομότερη στροφή από το διάνυσμα a → στο b → από το τέλος του διανύσματος c → , θα προσδιοριστεί η μορφή του τριπλού a → , b → , c →.

Εάν η συντομότερη περιστροφή είναι αριστερόστροφα, τότε το τριπλό των διανυσμάτων a → , b → , c → ονομάζεται σωστάαν δεξιόστροφα - αριστερά.

Στη συνέχεια, πάρτε δύο μη γραμμικά διανύσματα a → και b → . Ας αναβάλουμε λοιπόν τα διανύσματα A B → = a → και A C → = b → από το σημείο A. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A D → = c → , το οποίο είναι ταυτόχρονα κάθετο και στο A B → και στο A C → . Έτσι, όταν κατασκευάζουμε το διάνυσμα A D → = c →, μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα, δίνοντάς του είτε μία κατεύθυνση είτε την αντίθετη (βλ. εικόνα).

Το διατεταγμένο τρίο των διανυσμάτων a → , b → , c → μπορεί να είναι, όπως διαπιστώσαμε, δεξιά ή αριστερά ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος.

Από τα παραπάνω, μπορούμε να εισαγάγουμε τον ορισμό ενός διανυσματικού προϊόντος. Αυτός ο ορισμόςδίνεται για δύο διανύσματα που ορίζονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός 1

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a → και b → θα ονομάσουμε ένα τέτοιο διάνυσμα που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου έτσι ώστε:

• Εάν τα διανύσματα a → και b → είναι συγγραμμικά, θα είναι μηδέν.
• θα είναι κάθετο και στο διάνυσμα a →​​ και στο διάνυσμα b → δηλ. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• Το μήκος του καθορίζεται από τον τύπο: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• η τριάδα των διανυσμάτων a → , b → , c → έχει τον ίδιο προσανατολισμό με το δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων a → και b → έχει τον ακόλουθο συμβολισμό: a → × b → .

Διασταυρούμενες συντεταγμένες προϊόντων

Εφόσον οποιοδήποτε διάνυσμα έχει ορισμένες συντεταγμένες στο σύστημα συντεταγμένων, είναι δυνατό να εισαχθεί ένας δεύτερος ορισμός του γινομένου του διανύσματος, ο οποίος θα σας επιτρέψει να βρείτε τις συντεταγμένες του από τις δεδομένες συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Ορισμός 2

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a → = (a x ; a y ; a z) και b → = (b x ; b y ; b z) καλούμε το διάνυσμα c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , όπου i → , j → , k → είναι διανύσματα συντεταγμένων.

Το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τρίτης τάξης, όπου η πρώτη σειρά είναι τα διανύσματα orta i → , j → , k → , η δεύτερη σειρά περιέχει τις συντεταγμένες του διανύσματος a → και η τρίτη είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος b → σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αυτή η ορίζουσα μήτρας μοιάζει με αυτό: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Επεκτείνοντας αυτήν την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε την ισότητα: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b =y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων

Είναι γνωστό ότι το διανυσματικό γινόμενο στις συντεταγμένες αναπαρίσταται ως ορίζουσα του πίνακα c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , στη συνέχεια στη βάση καθοριστικές ιδιότητες μήτραςτο ακόλουθο ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος:

1. αντιμεταλλαξιμότητα a → × b → = - b → × a → ;
2. κατανομή a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ή a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. συσχετισμός λ a → × b → = λ a → × b → ή a → × (λ b →) = λ a → × b → , όπου λ είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.

Αυτές οι ιδιότητες δεν έχουν περίπλοκες αποδείξεις.

Για παράδειγμα, μπορούμε να αποδείξουμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος.

Απόδειξη αντιμεταλλαξιμότητας

Εξ ορισμού, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z και b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Και αν δύο σειρές του πίνακα εναλλάσσονται, τότε η τιμή της ορίζουσας του πίνακα πρέπει να αλλάξει στο αντίθετο, επομένως, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , το οποίο και αποδεικνύει την αντιμεταλλαξιμότητα του γινομένου του διανύσματος.

Διανυσματικό προϊόν - Παραδείγματα και λύσεις

Στις περισσότερες περιπτώσεις, υπάρχουν τρεις τύποι εργασιών.

Στα προβλήματα του πρώτου τύπου, συνήθως δίνονται τα μήκη δύο διανυσμάτων και η γωνία μεταξύ τους, αλλά πρέπει να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → αν είναι γνωστό το a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μήκους του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων a → και b →, λύνουμε αυτό το πρόβλημα: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Απάντηση: 15 2 2 .

Οι εργασίες του δεύτερου τύπου έχουν σύνδεση με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, περιέχουν ένα διανυσματικό γινόμενο, το μήκος του κ.λπ. αναζήτηση μέσω γνωστών συντεταγμένων δεδομένων διανυσμάτων a → = (a x ; a y ; a z) Και b → = (b x ; b y ; b z) .

Για αυτόν τον τύπο εργασίας, μπορείτε να λύσετε πολλές επιλογές για εργασίες. Για παράδειγμα, όχι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων a → και b → , αλλά οι επεκτάσεις τους σε διανύσματα συντεταγμένων της μορφής b → = b x i → + b y j → + b z k → και c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ή τα διανύσματα a → και b → μπορούν να δοθούν από τις συντεταγμένες τους σημεία έναρξης και λήξης.

Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα.

Παράδειγμα 2

Δύο διανύσματα τίθενται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο τους.

Λύση

Σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό, βρίσκουμε το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε δεδομένες συντεταγμένες: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Αν γράψουμε το διασταυρούμενο γινόμενο ως προς την ορίζουσα μήτρας, τότε η λύση αυτό το παράδειγμαμοιάζει με αυτό: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Απάντηση: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου των διανυσμάτων i → - j → και i → + j → + k → , όπου i → , j → , k → - ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Λύση

Αρχικά, ας βρούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου διανυσματικού γινομένου i → - j → × i → + j → + k → στο δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Είναι γνωστό ότι τα διανύσματα i → - j → και i → + j → + k → έχουν συντεταγμένες (1 ; - 1 ; 0) και (1 ; 1 ; 1) αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου χρησιμοποιώντας την ορίζουσα του πίνακα, τότε έχουμε i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Επομένως, το διανυσματικό γινόμενο i → - j → × i → + j → + k → έχει συντεταγμένες (- 1 ; - 1 ; 2) στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Βρίσκουμε το μήκος του γινομένου του διανύσματος με τον τύπο (δείτε την ενότητα για την εύρεση του μήκους του διανύσματος): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Απάντηση: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Παράδειγμα 4

Οι συντεταγμένες των τριών σημείων A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3), C (1 , 4 , 2) δίνονται σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Βρείτε κάποιο διάνυσμα κάθετο σε A B → και A C → ταυτόχρονα.

Λύση

Τα διανύσματα A B → και A C → έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες (- 1 ; 2 ; 2) και (0 ; 4 ; 1) αντίστοιχα. Έχοντας βρει το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων A B → και A C → , είναι προφανές ότι είναι εξ ορισμού κάθετο διάνυσμα τόσο στο A B → όσο και στο A C →, δηλαδή είναι η λύση στο πρόβλημά μας. Βρείτε το A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Απάντηση: - 6 i → + j → - 4 k → . είναι ένα από τα κάθετα διανύσματα.

Τα προβλήματα του τρίτου τύπου επικεντρώνονται στη χρήση των ιδιοτήτων του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων. Αφού εφαρμόσουμε το οποίο, θα λάβουμε μια λύση στο δεδομένο πρόβλημα.

Παράδειγμα 5

Τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα και τα μήκη τους είναι 3 και 4 αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Λύση

Με την ιδιότητα κατανομής του διανυσματικού γινόμενου, μπορούμε να γράψουμε 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Με την ιδιότητα της συσχέτισης, αφαιρούμε τους αριθμητικούς συντελεστές πέρα ​​από το πρόσημο των διανυσματικών γινομένων στην τελευταία παράσταση: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Τα διανυσματικά γινόμενα a → × a → και b → × b → είναι ίσα με 0, αφού a → × a → = a → a → sin 0 = 0 και b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , τότε 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Από την αντιμεταλλαξιμότητα του διανυσματικού γινομένου προκύπτει - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διανυσματικού γινόμενου, λαμβάνουμε την ισότητα 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Κατά συνθήκη, τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα, δηλαδή η μεταξύ τους γωνία είναι ίση με π 2 . Τώρα μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στους αντίστοιχους τύπους: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → αμαρτία (a →, b →) = 5 3 4 αμαρτία π 2 = 60.

Απάντηση: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Το μήκος του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων εξ ορισμού είναι a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Δεδομένου ότι είναι ήδη γνωστό (από το σχολικό μάθημα) ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των μηκών των δύο πλευρών του πολλαπλασιασμένο με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών. Επομένως, το μήκος του διανυσματικού γινομένου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου - ενός διπλασιασμένου τριγώνου, δηλαδή, το γινόμενο των πλευρών με τη μορφή των διανυσμάτων a → και b → , που απομακρύνονται από ένα σημείο, από το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας sin ∠ a → , b → .

Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου.

Η φυσική σημασία του διανυσματικού προϊόντος

Στη μηχανική, έναν από τους κλάδους της φυσικής, χάρη στο διανυσματικό γινόμενο, μπορείτε να προσδιορίσετε τη στιγμή της δύναμης σε σχέση με ένα σημείο του χώρου.

Ορισμός 3

Κάτω από τη ροπή της δύναμης F → , που εφαρμόζεται στο σημείο B , σε σχέση με το σημείο A θα κατανοήσουμε το ακόλουθο διανυσματικό γινόμενο A B → × F → .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ιδιότητες προϊόντος με κουκκίδες

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, ορισμός, ιδιότητες

Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.

Διανύσματα, βασικές έννοιες, ορισμοί, γραμμικές πράξεις πάνω τους

Ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος των σημείων του, ενώ το πρώτο σημείο ονομάζεται αρχή και το δεύτερο τέλος - του διανύσματος

Δύο διανύσματα ονομάζονται ίσα αν είναι ίσα και συμκατευθυντικά.

Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ονομάζονται συμκατευθυντικά εάν είναι συμκατευθυντικά με κάποιο από το ίδιο διάνυσμα που δεν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή.

Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες ονομάζονται συγγραμμικά και τα συγγραμμικά αλλά όχι συμκατευθυνόμενα ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα.

Τα διανύσματα που βρίσκονται σε κάθετες ευθείες ονομάζονται ορθογώνια.

Ορισμός 5.4. άθροισμα α+β φορείς ένα Και σι ονομάζεται το διάνυσμα που προέρχεται από την αρχή του διανύσματος ΕΝΑ μέχρι το τέλος του διανύσματος σι , εάν η αρχή του διανύσματος σι συμπίπτει με το τέλος του διανύσματος ΕΝΑ .

Ορισμός 5.5. διαφορά α - β φορείς ΕΝΑ Και σι ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται Με , που μαζί με το διάνυσμα σι δίνει ένα διάνυσμα ΕΝΑ .

Ορισμός 5.6. δουλειάκ ένα διάνυσμα ΕΝΑ ανά αριθμό κπου ονομάζεται διάνυσμα σι , συγγραμμικό διάνυσμα ΕΝΑ , το οποίο έχει ενότητα ίση με | κ||ένα |, και μια κατεύθυνση που είναι ίδια με την κατεύθυνση ΕΝΑ στο κ>0 και αντίθετα ΕΝΑ στο κ<0.

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό:

Ιδιοκτησία 1. κ(α+β ) = κ ένα+ κ σι.

Ιδιοκτησία 2. (k+m)ένα = κ ένα+ m ένα.

Ιδιοκτησία 3. k(m ένα) = (χλμ)ένα .

Συνέπεια. Αν μη μηδενικά διανύσματα ΕΝΑ Και σι είναι συγγραμμικές, τότε υπάρχει ένας αριθμός κ, Τι b= κ ένα.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων έναΚαι σιονομάζεται αριθμός (βαθμωτός) ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας φ. Το κλιμακωτό γινόμενο μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα, όπως αβ, ένα · σι, (ένα , σι), (ένα · σι). Άρα το προϊόν με τελείες είναι:

ένα · σι = |ένα| · | σι| cos φ

Εάν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα είναι ίσο με μηδέν, τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Ιδιότητα μετάθεσης: ένα · σι = σι · ένα(το κλιμακωτό γινόμενο δεν αλλάζει από τη μετάθεση παραγόντων).

ιδιοκτησία διανομής: ένα · ( σι · ντο) = (ένα · σι) · ντο(το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά πολλαπλασιασμού).

Ιδιότητα συνδυασμού (σε σχέση με τον βαθμωτό παράγοντα): (λ ένα) · σι = λ ( ένα · σι).

Ιδιότητα ορθογωνικότητας (καθετότητα): αν το διάνυσμα έναΚαι σιμη μηδενικό, τότε το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν μόνο όταν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια (κάθετα μεταξύ τους) ένα ┴ σι;

Τετράγωνη ιδιοκτησία: ένα · ένα = ένα 2 = |ένα| 2 (το κλιμακωτό γινόμενο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι ίσο με το τετράγωνο του συντελεστή του).

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ένα=(x 1 , y 1 , z 1 ) και σι=(x 2 , y 2 , z 2 ), τότε το βαθμωτό γινόμενο είναι ένα · σι= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Διάνυσμα κρατώντας διανύσματα. Ορισμός: Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και νοείται ως διάνυσμα για το οποίο:

Το δομοστοιχείο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα, δηλ. , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στα πολλαπλασιασμένα διανύσματα, δηλ.

Εάν τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά, τότε σχηματίζουν ένα δεξιό τρίποντο διανυσμάτων.

Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων:

1. Όταν αλλάζει η σειρά των παραγόντων, το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, διατηρώντας τη μονάδα, δηλ.

2 .Το διάνυσμα τετράγωνο ισούται με μηδενικό διάνυσμα, δηλ.

3 .Ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος, δηλ.

4 .Για οποιαδήποτε τρία διανύσματα, η ισότητα

5 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων και :