Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων i j k. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων που δίνονται με συντεταγμένες

Πριν δώσουμε την έννοια του διανυσματικού γινόμενου, ας στραφούμε στο ζήτημα του προσανατολισμού του διατεταγμένου τριπλού των διανυσμάτων a → , b → , c → στον τρισδιάστατο χώρο.

Αρχικά, ας αφήσουμε στην άκρη τα διανύσματα a → , b → , c → από ένα σημείο. Ο προσανατολισμός του τριπλού a → , b → , c → είναι δεξιός ή αριστερός, ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος c → . Από την κατεύθυνση στην οποία γίνεται η συντομότερη στροφή από το διάνυσμα a → στο b → από το τέλος του διανύσματος c → , θα προσδιοριστεί η μορφή του τριπλού a → , b → , c →.

Εάν η συντομότερη περιστροφή είναι αριστερόστροφα, τότε το τριπλό των διανυσμάτων a → , b → , c → ονομάζεται σωστάαν δεξιόστροφα - αριστερά.

Στη συνέχεια, πάρτε δύο μη γραμμικά διανύσματα a → και b → . Ας αναβάλουμε λοιπόν τα διανύσματα A B → = a → και A C → = b → από το σημείο A. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A D → = c → , το οποίο είναι ταυτόχρονα κάθετο και στο A B → και στο A C → . Έτσι, όταν κατασκευάζουμε το διάνυσμα A D → = c →, μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα, δίνοντάς του είτε μία κατεύθυνση είτε την αντίθετη (βλ. εικόνα).

Το διατεταγμένο τρίο των διανυσμάτων a → , b → , c → μπορεί να είναι, όπως διαπιστώσαμε, δεξιά ή αριστερά ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος.

Από τα παραπάνω, μπορούμε να εισαγάγουμε τον ορισμό ενός διανυσματικού προϊόντος. Αυτός ο ορισμόςδίνεται για δύο διανύσματα που ορίζονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός 1

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a → και b → θα ονομάσουμε ένα τέτοιο διάνυσμα που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου έτσι ώστε:

• Εάν τα διανύσματα a → και b → είναι συγγραμμικά, θα είναι μηδέν.
• θα είναι κάθετο και στο διάνυσμα a →​​ και στο διάνυσμα b → δηλ. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• Το μήκος του καθορίζεται από τον τύπο: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• η τριάδα των διανυσμάτων a → , b → , c → έχει τον ίδιο προσανατολισμό με το δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

διανυσματικό προϊόντα διανύσματα a → και b → έχουν τον ακόλουθο συμβολισμό: a → × b → .

Διασταυρούμενες συντεταγμένες προϊόντων

Εφόσον οποιοδήποτε διάνυσμα έχει ορισμένες συντεταγμένες στο σύστημα συντεταγμένων, είναι δυνατό να εισαχθεί ένας δεύτερος ορισμός του γινομένου του διανύσματος, ο οποίος θα σας επιτρέψει να βρείτε τις συντεταγμένες του από τις δεδομένες συντεταγμένες των διανυσμάτων.

Ορισμός 2

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a → = (a x ; a y ; a z) και b → = (b x ; b y ; b z) καλούμε το διάνυσμα c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , όπου i → , j → , k → είναι διανύσματα συντεταγμένων.

Το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τρίτης τάξης, όπου η πρώτη σειρά είναι τα διανύσματα orta i → , j → , k → , η δεύτερη σειρά περιέχει τις συντεταγμένες του διανύσματος a → και η τρίτη είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος b → σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αυτή η ορίζουσα μήτρας μοιάζει με αυτό: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Επεκτείνοντας αυτήν την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, λαμβάνουμε την ισότητα: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b =y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων

Είναι γνωστό ότι το διανυσματικό γινόμενο στις συντεταγμένες αναπαρίσταται ως ορίζουσα του πίνακα c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , στη συνέχεια στη βάση καθοριστικές ιδιότητες μήτραςτο ακόλουθο ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος:

1. αντιμεταλλαξιμότητα a → × b → = - b → × a → ;
2. κατανομή a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ή a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. συσχετισμός λ a → × b → = λ a → × b → ή a → × (λ b →) = λ a → × b → , όπου λ είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός.

Αυτές οι ιδιότητες δεν έχουν περίπλοκες αποδείξεις.

Για παράδειγμα, μπορούμε να αποδείξουμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος.

Απόδειξη αντιμεταλλαξιμότητας

Εξ ορισμού, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z και b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Και αν δύο σειρές του πίνακα εναλλάσσονται, τότε η τιμή της ορίζουσας του πίνακα πρέπει να αλλάξει στο αντίθετο, επομένως, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , το οποίο και αποδεικνύει την αντιμεταλλαξιμότητα του γινομένου του διανύσματος.

Διανυσματικό προϊόν - Παραδείγματα και λύσεις

Στις περισσότερες περιπτώσεις, υπάρχουν τρεις τύποι εργασιών.

Στα προβλήματα του πρώτου τύπου, συνήθως δίνονται τα μήκη δύο διανυσμάτων και η γωνία μεταξύ τους, αλλά πρέπει να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → αν είναι γνωστό το a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μήκους του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων a → και b →, λύνουμε αυτό το πρόβλημα: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Απάντηση: 15 2 2 .

Οι εργασίες του δεύτερου τύπου έχουν σύνδεση με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, περιέχουν ένα διανυσματικό γινόμενο, το μήκος του κ.λπ. αναζητούνται μέσω των γνωστών συντεταγμένων των δεδομένων διανυσμάτων a → = (a x ; a y ; a z) Και b → = (b x ; b y ; b z) .

Για αυτόν τον τύπο εργασίας, μπορείτε να λύσετε πολλές επιλογές για εργασίες. Για παράδειγμα, όχι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων a → και b → , αλλά οι επεκτάσεις τους σε διανύσματα συντεταγμένων της μορφής b → = b x i → + b y j → + b z k → και c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ή τα διανύσματα a → και b → μπορούν να δοθούν από τις συντεταγμένες τους σημεία έναρξης και λήξης.

Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα.

Παράδειγμα 2

Δύο διανύσματα τίθενται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο τους.

Λύση

Σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό, βρίσκουμε το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων σε δεδομένες συντεταγμένες: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Αν γράψουμε το διασταυρούμενο γινόμενο ως προς την ορίζουσα μήτρας, τότε η λύση αυτό το παράδειγμαμοιάζει με αυτό: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Απάντηση: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου των διανυσμάτων i → - j → και i → + j → + k → , όπου i → , j → , k → - ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Λύση

Αρχικά, ας βρούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου διανυσματικού γινομένου i → - j → × i → + j → + k → στο δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Είναι γνωστό ότι τα διανύσματα i → - j → και i → + j → + k → έχουν συντεταγμένες (1 ; - 1 ; 0) και (1 ; 1 ; 1) αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου χρησιμοποιώντας την ορίζουσα του πίνακα, τότε έχουμε i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Επομένως, το διανυσματικό γινόμενο i → - j → × i → + j → + k → έχει συντεταγμένες (- 1 ; - 1 ; 2) στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Βρίσκουμε το μήκος του γινομένου του διανύσματος με τον τύπο (δείτε την ενότητα για την εύρεση του μήκους του διανύσματος): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Απάντηση: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Παράδειγμα 4

Οι συντεταγμένες των τριών σημείων A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3), C (1 , 4 , 2) δίνονται σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Βρείτε κάποιο διάνυσμα κάθετο σε A B → και A C → ταυτόχρονα.

Λύση

Τα διανύσματα A B → και A C → έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες (- 1 ; 2 ; 2) και (0 ; 4 ; 1) αντίστοιχα. Έχοντας βρει το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων A B → και A C → , είναι προφανές ότι είναι εξ ορισμού κάθετο διάνυσμα τόσο στο A B → όσο και στο A C →, δηλαδή είναι η λύση στο πρόβλημά μας. Βρείτε το A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Απάντηση: - 6 i → + j → - 4 k → . είναι ένα από τα κάθετα διανύσματα.

Τα προβλήματα του τρίτου τύπου επικεντρώνονται στη χρήση των ιδιοτήτων του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων. Αφού εφαρμόσουμε το οποίο, θα λάβουμε μια λύση στο δεδομένο πρόβλημα.

Παράδειγμα 5

Τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα και τα μήκη τους είναι 3 και 4 αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Λύση

Με την ιδιότητα κατανομής του διανυσματικού γινόμενου, μπορούμε να γράψουμε 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Με την ιδιότητα της συσχέτισης, αφαιρούμε τους αριθμητικούς συντελεστές πέρα ​​από το πρόσημο των διανυσματικών γινομένων στην τελευταία παράσταση: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Τα διανυσματικά γινόμενα a → × a → και b → × b → είναι ίσα με 0, αφού a → × a → = a → a → sin 0 = 0 και b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , τότε 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Από την αντιμεταλλαξιμότητα του διανυσματικού γινομένου προκύπτει - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διανυσματικού γινόμενου, λαμβάνουμε την ισότητα 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Κατά συνθήκη, τα διανύσματα a → και b → είναι κάθετα, δηλαδή η μεταξύ τους γωνία είναι ίση με π 2 . Τώρα μένει μόνο να αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στους αντίστοιχους τύπους: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → αμαρτία (a →, b →) = 5 3 4 αμαρτία π 2 = 60.

Απάντηση: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Το μήκος του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων εξ ορισμού είναι a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Δεδομένου ότι είναι ήδη γνωστό (από το σχολικό μάθημα) ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των μηκών των δύο πλευρών του πολλαπλασιασμένο με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών. Επομένως, το μήκος του διανυσματικού γινομένου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου - ενός διπλασιασμένου τριγώνου, δηλαδή, το γινόμενο των πλευρών με τη μορφή των διανυσμάτων a → και b → , που απομακρύνονται από ένα σημείο, από το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας sin ∠ a → , b → .

Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου.

Η φυσική σημασία του διανυσματικού προϊόντος

Στη μηχανική, έναν από τους κλάδους της φυσικής, χάρη στο διανυσματικό γινόμενο, μπορείτε να προσδιορίσετε τη στιγμή της δύναμης σε σχέση με ένα σημείο του χώρου.

Ορισμός 3

Κάτω από τη ροπή της δύναμης F → , που εφαρμόζεται στο σημείο B , σε σχέση με το σημείο A θα κατανοήσουμε το ακόλουθο διανυσματικό γινόμενο A B → × F → .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

ο ηλεκτρονική αριθμομηχανήυπολογίζει το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων. Δίνεται αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων, εισαγάγετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στα κελιά και κάντε κλικ στο "Υπολογισμός".

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων

Πριν προχωρήσετε στον ορισμό του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων, εξετάστε τις έννοιες διατεταγμένο τριπλό διανυσμάτων, αριστερό τριπλό διανυσμάτων, δεξιό τριπλό διανυσμάτων.

Ορισμός 1. Λέγονται τρία διανύσματα παρήγγειλε τριπλό(ή τριπλό) αν υποδεικνύεται ποιο από αυτά τα διανύσματα είναι το πρώτο, ποιο το δεύτερο και ποιο το τρίτο.

Εγγραφή cba- σημαίνει - το πρώτο είναι διάνυσμα ντο, το δεύτερο είναι το διάνυσμα σικαι το τρίτο είναι το διάνυσμα ένα.

Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν μειωθεί σε μια κοινή αρχή, αυτά τα διανύσματα είναι διατεταγμένα όπως είναι αντίστοιχα μεγάλα, μη λυγισμένος δείκτης και μεσαία δάχτυλαδεξί (αριστερό) χέρι.

Ο ορισμός 2 μπορεί να διατυπωθεί με άλλο τρόπο.

Ορισμός 2. Τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων αλφάβητοονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν, όταν ανάγεται σε κοινή αρχή, το διάνυσμα ντοπου βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου που ορίζεται από τα διανύσματα έναΚαι σι, από όπου και η συντομότερη στροφή από έναΠρος την σιεκτελείται αριστερόστροφα (δεξιόστροφα).

Διάνυσμα τρίο αλφάβητοφαίνεται στο σχ. Το 1 είναι σωστό και τριπλό αλφάβητοφαίνεται στο σχ. 2 απομένει.

Εάν δύο τριάδες διανυσμάτων είναι δεξιά ή αριστερά, τότε λέγεται ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό. Διαφορετικά, λέγεται ότι έχουν αντίθετο προσανατολισμό.

Ορισμός 3. Ένα καρτεσιανό ή συγγενικό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται δεξιά (αριστερά) εάν τα τρία βασικά διανύσματα σχηματίζουν ένα δεξιό (αριστερό) τριπλό.

Για λόγους βεβαιότητας, σε αυτό που ακολουθεί θα εξετάσουμε μόνο δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων.

Ορισμός 4. διανυσματική τέχνηδιάνυσμα έναανά διάνυσμα σιπου ονομάζεται διάνυσμα Με, που υποδηλώνεται με το σύμβολο c=[αβ] (ή c=[α, β], ή c=a×b) και πληρούν τις ακόλουθες τρεις απαιτήσεις:

• διανυσματικό μήκος Μεισούται με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων έναΚαι σιστο ημίτονο της γωνίας φ μεταξυ τους:

|ντο|=|[αβ]|=|ένα||σι|sinφ;

(1)

• διάνυσμα Μεορθογώνιο σε κάθε ένα από τα διανύσματα έναΚαι σι;
• διάνυσμα ντοσκηνοθετημένο έτσι ώστε οι τρεις αλφάβητοειναι σωστο.

Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

• [αβ]=−[βα] (αντιμεταβλητότηταπαράγοντες)·
• [(λα)σι]=λ [αβ] (συμβατότητασε σχέση με τον αριθμητικό παράγοντα).
• [(α+β)ντο]=[έναντο]+[σιντο] (διανομήσε σχέση με το άθροισμα των διανυσμάτων).
• [αα]=0 για οποιοδήποτε διάνυσμα ένα.

Γεωμετρικές ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου διανυσμάτων

Θεώρημα 1. Για να είναι δύο διανύσματα συγγραμμικά, είναι απαραίτητο και αρκετό το διανυσματικό γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

Απόδειξη. Ανάγκη. Αφήστε τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Τότε η γωνία μεταξύ τους είναι 0 ή 180° και sinφ=αμαρτία180=αμαρτία 0=0. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (1), το μήκος του διανύσματος ντοισούται με μηδέν. Επειτα ντομηδενικό διάνυσμα.

Επάρκεια. Έστω το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σιπλοήγηση στο μηδέν: [ αβ]=0. Ας αποδείξουμε ότι τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική. Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα έναΚαι σιμηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά (επειδή το μηδενικό διάνυσμα έχει απροσδιόριστη διεύθυνση και μπορεί να θεωρηθεί συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα).

Αν και τα δύο διανύσματα έναΚαι σιμη μηδενικό, τότε | ένα|>0, |σι|>0. Στη συνέχεια από [ αβ]=0 και από το (1) προκύπτει ότι sinφ=0. Εξ ου και τα διανύσματα έναΚαι σισυγγραμμική.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Θεώρημα 2. Το μήκος (μέτρο) του διανυσματικού γινομένου [ αβ] ισούται με το εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο χτισμένο σε διανύσματα που ανάγεται σε μια κοινή αρχή έναΚαι σι.

Απόδειξη. Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των γειτονικών πλευρών αυτού του παραλληλογράμμου και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Ως εκ τούτου:

Τότε το διασταυρούμενο γινόμενο αυτών των διανυσμάτων έχει τη μορφή:

Επεκτείνοντας την ορίζουσα στα στοιχεία της πρώτης σειράς, παίρνουμε την αποσύνθεση του διανύσματος α×ββάση i, j, k, που ισοδυναμεί με τον τύπο (3).

Απόδειξη του Θεωρήματος 3. Να συνθέσετε όλα τα πιθανά ζεύγη διανυσμάτων βάσης i, j, kκαι να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο τους. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι τα διανύσματα βάσης είναι αμοιβαία ορθογώνια, σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό και έχουν μήκος μονάδας (με άλλα λόγια, μπορούμε να υποθέσουμε ότι Εγώ={1, 0, 0}, ι={0, 1, 0}, κ=(0, 0, 1)). Τότε έχουμε:

Από την τελευταία ισότητα και σχέσεις (4), λαμβάνουμε:

Συνθέστε έναν πίνακα 3×3, του οποίου η πρώτη σειρά είναι τα βασικά διανύσματα i, j, k,και οι υπόλοιπες σειρές γεμίζουν με στοιχεία διανυσμάτων έναΚαι σι:

Έτσι, το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων έναΚαι σιθα είναι ένα διάνυσμα:

.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων [ αβ], όπου το διάνυσμα ένααντιπροσωπεύεται από δύο τελείες. Σημείο εκκίνησης του διανύσματος α: , το τελικό σημείο του διανύσματος ένα: , διάνυσμα σιέχει τη μορφή .

Λύση Μετακινήστε το πρώτο διάνυσμα στην αρχή. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε από τις αντίστοιχες συντεταγμένες του τελικού σημείου τις συντεταγμένες του σημείου έναρξης:

Υπολογίζουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα επεκτείνοντάς τον στην πρώτη σειρά. Ως αποτέλεσμα αυτών των υπολογισμών, λαμβάνουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων έναΚαι σι.

διανυσματικό προϊόνείναι ένα ψευδοδιάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που κατασκευάζεται από δύο παράγοντες, το οποίο είναι το αποτέλεσμα της δυαδικής πράξης «πολλαπλασιασμός διανυσμάτων» σε διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Το διανυσματικό γινόμενο δεν έχει τις ιδιότητες της ανταλλαξιμότητας και της συσχέτισης (είναι αντιμεταθετικό) και, σε αντίθεση με το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, είναι διάνυσμα. Χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλές τεχνικές και φυσικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, η γωνιακή ορμή και η δύναμη Lorentz γράφονται μαθηματικά ως διασταυρούμενο γινόμενο. Το εγκάρσιο γινόμενο είναι χρήσιμο για τη «μέτρηση» της καθετότητας των διανυσμάτων - το μέτρο του εγκάρσιου γινομένου δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών τους αν είναι κάθετα και μειώνεται στο μηδέν εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Μπορείτε να ορίσετε ένα διανυσματικό γινόμενο με διαφορετικούς τρόπους και θεωρητικά, σε ένα χώρο οποιασδήποτε διάστασης n, μπορείτε να υπολογίσετε το γινόμενο n-1 διανυσμάτων, λαμβάνοντας ταυτόχρονα ένα μόνο διάνυσμα κάθετο σε όλα. Αλλά αν το γινόμενο περιορίζεται σε μη τετριμμένα δυαδικά προϊόντα με διανυσματικά αποτελέσματα, τότε το παραδοσιακό διανυσματικό γινόμενο ορίζεται μόνο σε τρισδιάστατους και επταδιάστατους χώρους. Το αποτέλεσμα του διανυσματικού γινόμενου, όπως και του βαθμωτό γινόμενο, εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδειου χώρου.

Σε αντίθεση με τον τύπο για τον υπολογισμό του κλιμακωτού γινομένου από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε ένα τρισδιάστατο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ο τύπος για το διανυσματικό γινόμενο εξαρτάται από τον προσανατολισμό του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων ή, με άλλα λόγια, από τη «χειρικότητά» του.

Ορισμός:
Το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος a και του διανύσματος b στο χώρο R 3 ονομάζεται διάνυσμα c που ικανοποιεί τις ακόλουθες απαιτήσεις:
το μήκος του διανύσματος c είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων a και b και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας φ:
|c|=|a||b|sin φ;
το διάνυσμα c είναι ορθογώνιο σε καθένα από τα διανύσματα a και b.
το διάνυσμα c κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων abc να είναι σωστό.
στην περίπτωση του χώρου R7 απαιτείται η συσχέτιση του τριπλού των διανυσμάτων a,b,c.
Ονομασία:
c===a×b

Ρύζι. 1. Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το μέτρο του εγκάρσιου γινομένου

Γεωμετρικές ιδιότητες του διασταυρούμενου προϊόντος:
Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι η ισότητα του διανυσματικού γινομένου τους προς το μηδέν.

Μονάδα πολλαπλών προϊόντων ισούται με εμβαδόν μικρόπαραλληλόγραμμο χτισμένο σε διανύσματα που ανάγεται σε μια κοινή αρχή έναΚαι σι(βλ. εικ. 1).

Αν μι- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς τα διανύσματα έναΚαι σικαι επιλέγεται έτσι ώστε το τριπλό α,β,ε- σωστά, και μικρό- το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο πάνω τους (μειώνεται σε κοινή αρχή), τότε ο ακόλουθος τύπος ισχύει για το διανυσματικό γινόμενο:
=S e

Εικ.2. Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου όταν χρησιμοποιείται το διάνυσμα και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. διακεκομμένες γραμμέςΔείξτε τις προβολές του διανύσματος c στο a × b και του διανύσματος a στο b × c, το πρώτο βήμα είναι να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα

Αν ντο- οποιοδήποτε διάνυσμα π - οποιοδήποτε επίπεδο που περιέχει αυτό το διάνυσμα, μι- μοναδιαίο διάνυσμα που βρίσκεται στο επίπεδο π και ορθογώνια προς γ, ζ- μοναδιαίο διάνυσμα ορθογώνιο ως προς το επίπεδο π και κατευθύνεται έτσι ώστε το τριπλό των διανυσμάτων ecgείναι σωστό, τότε για οποιοδήποτε ψέμα στο αεροπλάνο π διάνυσμα έναο σωστός τύπος είναι:
=Pr e a |c|g
όπου Pr e a είναι η προβολή του διανύσματος e στο a
|c|-μέτρο του διανύσματος γ

Όταν χρησιμοποιείτε διανυσματικά και κλιμακωτά γινόμενα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα μειωμένα σε μια κοινή αρχή α, βΚαι ντο. Ένα τέτοιο γινόμενο τριών διανυσμάτων ονομάζεται μικτό.
V=|a (b×c)|
Το σχήμα δείχνει ότι αυτός ο όγκος μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: το γεωμετρικό αποτέλεσμα διατηρείται ακόμη και όταν ανταλλάσσονται τα προϊόντα «βαθμωτό» και «διανυσματικό»:
V=a×b c=a b×c

Η τιμή του διασταυρούμενου γινόμενου εξαρτάται από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ των αρχικών διανυσμάτων, επομένως το εγκάρσιο γινόμενο μπορεί να θεωρηθεί ως ο βαθμός "καθετότητας" των διανυσμάτων, όπως το γινόμενο με τελείες μπορεί να θεωρηθεί ως ο βαθμός "παραλληλισμός". Το διασταυρούμενο γινόμενο δύο μονάδων διανυσμάτων είναι ίσο με 1 (μοναδιαίο διάνυσμα) εάν τα αρχικά διανύσματα είναι κάθετα και ίσο με 0 (μηδενικό διάνυσμα) εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα ή αντιπαράλληλα.

Έκφραση σταυροειδών προϊόντων σε καρτεσιανές συντεταγμένες
Αν δύο διανύσματα έναΚαι σιορίζονται από τις ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τους, ή ακριβέστερα, αναπαρίστανται σε ορθοκανονική βάση
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
και το σύστημα συντεταγμένων είναι σωστό, τότε το διανυσματικό γινόμενο τους έχει τη μορφή
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Για να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
i =∑ε ijk a j b k
Οπου ε ijk- το σύμβολο της Levi-Civita.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, συμβαίνει μερικές φορές ότι για πλήρη ευτυχία, εκτός από τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, χρειάζονται όλο και περισσότερα. Αυτός είναι ο διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να έχει κανείς την εντύπωση ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό είναι λάθος. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών, υπάρχουν γενικά λίγα καυσόξυλα, εκτός ίσως από αρκετά για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - σχεδόν πιο δύσκολο από το ίδιο κλιμακωτό προϊόν, ακόμη και θα υπάρχουν λιγότερες τυπικές εργασίες. Το κύριο πράγμα στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα δουν ή έχουν ήδη δει, είναι ΝΑ ΜΗΝ ΛΑΘΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)

Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες επιλεκτικά, προσπάθησα να συγκεντρώσω την πληρέστερη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά στο πρακτική δουλειά

Τι θα σε κάνει ευτυχισμένο; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν χρειάζεται καθόλου ταχυδακτυλουργία, αφού θα εξετάσουμε μόνο διανύσματα χώρου, και επίπεδα διανύσματα με δύο συντεταγμένες θα παραμείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Ήδη πιο εύκολο!

Σε αυτή τη λειτουργία, με τον ίδιο τρόπο όπως στο βαθμωτό γινόμενο, δύο διανύσματα. Ας είναι άφθαρτα γράμματα.

Η ίδια η δράση συμβολίζεταιμε τον εξής τρόπο: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να ορίζω το σταυρό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.

Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποιά είναι η διαφορά? Μια σαφής διαφορά, πρώτα απ 'όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:

Το αποτέλεσμα του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας ΑΡΙΘΜΟΣ:

Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, εξ ου και το όνομα της λειτουργίας. Σε διάφορα εκπαιδευτική βιβλιογραφίαο συμβολισμός μπορεί επίσης να ποικίλλει, θα χρησιμοποιήσω το γράμμα .

Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.

Ορισμός: σταυρωτό προϊόν μη γραμμικόφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, ονομάζεται ΔΙΑΝΥΣΜΑ, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό:

Αναλύουμε τον ορισμό με τα οστά, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα!

Έτσι, μπορούμε να επισημάνουμε τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:

1) Διανύσματα πηγής , που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.

2) Διανύσματα που λαμβάνονται σε αυστηρά ορισμένη σειρά : – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι "είναι" στο "α". Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ , το οποίο συμβολίζεται με μπλε. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν με αντίστροφη σειρά, τότε παίρνουμε διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (βυσσινί χρώμα). Δηλαδή την ισότητα .

3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του βυσσινί διανύσματος ) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο με μαύρο χρώμα.

Σημείωση : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του εγκάρσιου γινομένου δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.

Θυμόμαστε έναν από τους γεωμετρικούς τύπους: το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:

Τονίζω ότι στον τύπο μιλάμε για το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος, και όχι για το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι τέτοιο ώστε σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού προϊόντος:

Παίρνουμε τη δεύτερη σημαντική φόρμουλα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

4) Όχι λιγότερο από σημαντικό γεγονόςείναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο στα διανύσματα, δηλαδή, . Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βυσσινί βέλος) είναι επίσης ορθογώνιο στα αρχικά διανύσματα.

5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηΕχει σωστάπροσανατολισμός. Σε ένα μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΈχω μιλήσει αναλυτικά για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε ποιος είναι ο προσανατολισμός του χώρου. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξί χέρι. Συνδυάστε διανοητικά δείκτης με διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε στην παλάμη σας. Σαν άποτέλεσμα αντίχειρας- το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει προς τα πάνω. Αυτή είναι η σωστή βάση (είναι στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαία δάχτυλα) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα, ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Ίσως έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει ο αριστερός προσανατολισμός; «Αναθέστε» τα ίδια δάχτυλα αριστερόχειραςδιανύσματα , και λάβετε την αριστερή βάση και τον προσανατολισμό του αριστερού χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο πιο συνηθισμένος καθρέφτης αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου και εάν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από τον καθρέφτη", τότε γενικά δεν θα είναι δυνατό να συνδυάστε το με το «πρωτότυπο». Παρεμπιπτόντως, φέρτε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)

... πόσο καλό είναι αυτό που ξέρετε τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις κάποιων ομιλητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομερές =)

Διανυσματικό γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Ο ορισμός έχει επεξεργαστεί λεπτομερώς, μένει να μάθουμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςτο παραλληλόγραμμο είναι μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν

Έτσι, αν , τότε Και . Σημειώστε ότι το ίδιο το διασταυρούμενο γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφεται ότι είναι επίσης ίσο με μηδέν.

ειδική περίπτωσηείναι το διασταυρούμενο γινόμενο ενός διανύσματος και του εαυτού του:

Χρησιμοποιώντας το διασταυρούμενο γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και θα αναλύσουμε επίσης αυτό το πρόβλημα, μεταξύ άλλων.

Για την επίλυση πρακτικών παραδειγμάτων, μπορεί να είναι απαραίτητο τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.

Λοιπόν, ας βάλουμε φωτιά:

Παράδειγμα 1

α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν

β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα ίδια τα αρχικά δεδομένα στα στοιχεία συνθήκης. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!

α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί μήκοςδιάνυσμα (διανυσματικό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Αφού ρωτήθηκε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.

β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση απαιτείται να βρεθεί τετράγωνοπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του εγκάρσιου γινομένου:

Απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι στην απάντηση σχετικά με το διανυσματικό γινόμενο δεν γίνεται καθόλου συζήτηση, μας ρωτήθηκε περιοχή σχήματος, αντίστοιχα, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.

Εξετάζουμε πάντα ΤΙ απαιτείται να βρεθεί από την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε Σαφήαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν αρκετοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία με καλές πιθανότητες θα επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και αυτό δεν είναι ένα ιδιαίτερα τεταμένο τσίμπημα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματα ή/και δεν έχει κατανοήσει την ουσία της εργασίας. Αυτή η στιγμή πρέπει να διατηρείται πάντα υπό έλεγχο, λύνοντας οποιοδήποτε πρόβλημα στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «εν»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να κολλήσει επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω τον δίσκο, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι ο προσδιορισμός του ίδιου πράγματος.

Ένα δημοφιλές παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του διανυσματικού γινόμενου δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, το έργο είναι πολύ συνηθισμένο, τα τρίγωνα μπορούν γενικά να βασανιστούν.

Για να λύσουμε άλλα προβλήματα χρειαζόμαστε:

Ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου διανυσμάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.

Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν διακρίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.

2) - η ιδιοκτησία συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.

3) - συνδυασμός ή προσεταιριστικήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές αφαιρούνται εύκολα από τα όρια του γινομένου του διανύσματος. Αλήθεια, τι κάνουν εκεί;

4) - διανομή ή διανομήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.

Ως επίδειξη, εξετάστε ένα σύντομο παράδειγμα:

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν

Λύση:Κατά συνθήκη, απαιτείται και πάλι να βρεθεί το μήκος του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας:

(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, βγάζουμε τις σταθερές πέρα ​​από τα όρια του διανυσματικού γινομένου.

(2) Βγάζουμε τη σταθερά από τη μονάδα, ενώ η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

(3) Αυτό που ακολουθεί είναι σαφές.

Απάντηση:

Ήρθε η ώρα να ρίξουμε ξύλα στη φωτιά:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο . Το εμπόδιο είναι ότι τα διανύσματα "ce" και "te" αντιπροσωπεύονται από μόνα τους ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος. Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Ας το αναλύσουμε σε τρία βήματα για σαφήνεια:

1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του γινομένου του διανύσματος, στην πραγματικότητα, εκφράζουν το διάνυσμα ως προς το διάνυσμα. Δεν υπάρχουν λόγια για το μήκος ακόμα!

(1) Αντικαθιστούμε εκφράσεις διανυσμάτων .

(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.

(3) Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς νόμους, αφαιρούμε όλες τις σταθερές πέρα ​​από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, οι ενέργειες 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.

(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω της ευχάριστης ιδιότητας . Στον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας του γινομένου του διανύσματος:

(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί:

2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3:

3) Βρείτε το εμβαδόν του επιθυμητού τριγώνου:

Τα βήματα 2-3 του διαλύματος θα μπορούσαν να τακτοποιηθούν σε μία γραμμή.

Απάντηση:

Το εξεταζόμενο πρόβλημα είναι αρκετά κοινό σε εργασίες ελέγχου, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 5

Βρείτε αν

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

, που δίνεται στην ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:

Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: γράφουμε τα διανύσματα συντεταγμένων στην επάνω γραμμή της ορίζουσας, «πακετάρουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στη δεύτερη και τρίτη γραμμή και βάζουμε με αυστηρή σειρά- πρώτα, οι συντεταγμένες του διανύσματος "ve", μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος "double-ve". Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι γραμμές θα πρέπει επίσης να αλλάξουν:

Παράδειγμα 10

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ΕΝΑ)
σι)

Λύση: Το τεστ βασίζεται σε μία από τις προτάσεις σε αυτό το μάθημα: εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διασταυρούμενο γινόμενο τους είναι μηδέν (μηδέν διάνυσμα): .

α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)

Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα βασίζονται στον ορισμό, τη γεωμετρική σημασία και μερικές φόρμουλες εργασίας.

Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι προϊόν τριώνφορείς:

Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και περιμένουν, δεν μπορούν να περιμένουν μέχρι να υπολογιστούν.

Πρώτα πάλι ο ορισμός και η εικόνα:

Ορισμός: Μικτό προϊόν μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, λέγεται όγκος του παραλληλεπίπεδου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο "+" εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο "-" εάν η βάση είναι αριστερά.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με μια διακεκομμένη γραμμή:

Ας βουτήξουμε στον ορισμό:

2) Διανύσματα που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η μετάθεση των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν είναι χωρίς συνέπειες.

3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω το προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, ο σχεδιασμός μπορεί να είναι κάπως διαφορετικός, χρησιμοποίησα για να ορίσω ένα μικτό προϊόν μέσω και το αποτέλεσμα των υπολογισμών με το γράμμα "pe".

Α-πριό το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο του δεδομένου παραλληλεπίπεδου.

Σημείωση : Το σχέδιο είναι σχηματικό.

4) Ας μην ασχοληθούμε ξανά με την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, το μεικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα προκύπτει απευθείας από τον ορισμό.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Για να εισαγάγουμε την έννοια του διασταυρούμενου γινόμενου δύο διανυσμάτων, πρέπει πρώτα να ασχοληθούμε με μια τέτοια έννοια όπως η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων.

Ας μας δοθούν δύο διανύσματα $\overline(α)$ και $\overline(β)$. Ας πάρουμε κάποιο σημείο $O$ στο διάστημα και ας αφήσουμε στην άκρη τα διανύσματα $\overline(a)=\overline(OA)$ και $\overline(β)=\overline(OB)$ από αυτό, μετά τη γωνία $AOB Το $ θα ονομάζεται γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων (Εικ. 1).

Σημείωση: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Η έννοια του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων και ο τύπος για την εύρεση

Ορισμός 1

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα κάθετο και στα δύο δεδομένα διανυσμάτων και το μήκος του θα είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων, και αυτό το διάνυσμα με δύο αρχικά έχει το ίδιο προσανατολισμό ως καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Σημείωση: $\overline(α)х\overline(β)$.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(a),\overline(β))$ και $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ είναι με τον ίδιο προσανατολισμό (Εικ. 2)

Προφανώς, το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων θα ισούται με το μηδενικό διάνυσμα σε δύο περιπτώσεις:

1. Αν το μήκος ενός ή και των δύο διανυσμάτων είναι μηδέν.
2. Εάν η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι ίση με $180^\circ$ ή $0^\circ$ (γιατί στην περίπτωση αυτή το ημίτονο είναι ίσο με μηδέν).

Για να δείτε ξεκάθαρα πώς βρίσκεται το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων, εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα λύσεων.

Παράδειγμα 1

Βρείτε το μήκος του διανύσματος $\overline(δ)$, το οποίο θα είναι το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινόμενου διανυσμάτων, με συντεταγμένες $\overline(a)=(0,4,0)$ και $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Λύση.

Ας απεικονίσουμε αυτά τα διανύσματα στον καρτεσιανό χώρο συντεταγμένων (Εικ. 3):

Εικόνα 3. Διανύσματα στον Καρτεσιανό χώρο συντεταγμένων. Author24 - διαδικτυακή ανταλλαγή φοιτητικών εγγράφων

Βλέπουμε ότι αυτά τα διανύσματα βρίσκονται στους άξονες $Ox$ και $Oy$, αντίστοιχα. Επομένως, η γωνία μεταξύ τους θα είναι ίση με $90^\circ$. Ας βρούμε τα μήκη αυτών των διανυσμάτων:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Στη συνέχεια, με τον ορισμό 1, λαμβάνουμε την ενότητα $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Απάντηση: $12 $.

Υπολογισμός του διασταυρούμενου γινομένου με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

Ο ορισμός 1 υπονοεί αμέσως έναν τρόπο εύρεσης του διασταυρούμενου γινόμενου για δύο διανύσματα. Δεδομένου ότι ένα διάνυσμα, εκτός από μια τιμή, έχει και κατεύθυνση, είναι αδύνατο να το βρείτε μόνο χρησιμοποιώντας μια κλιμακωτή τιμή. Αλλά εκτός από αυτό, υπάρχει ένας άλλος τρόπος να βρούμε τα διανύσματα που μας δίνονται χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες.

Ας μας δοθούν τα διανύσματα $\overline(α)$ και $\overline(β)$, τα οποία θα έχουν συντεταγμένες $(α_1,α_2,α_3)$ και $(β_1,β_2,β_3)$, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, το διάνυσμα του διασταυρούμενου γινομένου (δηλαδή, οι συντεταγμένες του) μπορεί να βρεθεί με τον ακόλουθο τύπο:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Διαφορετικά, επεκτείνοντας την ορίζουσα, λαμβάνουμε τις παρακάτω συντεταγμένες

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Παράδειγμα 2

Βρείτε το διάνυσμα του διασταυρούμενου γινομένου των συγγραμμικών διανυσμάτων $\overline(α)$ και $\overline(β)$ με συντεταγμένες $(0,3,3)$ και $(-1,2,6)$.

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο. Παίρνω

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Απάντηση: $(12,-3,3)$.

Ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων

Για αυθαίρετα μικτά τρία διανύσματα $\overline(α)$, $\overline(β)$ και $\overline(γ)$, καθώς και για $r∈R$, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

Παράδειγμα 3

Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ και $(3,8,0) $.

Λύση.

Αρχικά, σχεδιάστε αυτό το παραλληλόγραμμο σε χώρο συντεταγμένων (Εικ. 5):

Εικόνα 5. Παραλληλόγραμμο σε χώρο συντεταγμένων. Author24 - διαδικτυακή ανταλλαγή φοιτητικών εγγράφων

Βλέπουμε ότι οι δύο πλευρές αυτού του παραλληλογράμμου κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας συγγραμμικά διανύσματα με συντεταγμένες $\overline(a)=(3,0,0)$ και $\overline(β)=(0,8,0)$. Χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα, παίρνουμε:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Βρείτε το διάνυσμα $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Ως εκ τούτου

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$