चार आयामी घन। साइबरक्यूब - चौथे आयाम में पहला कदम

मानव मस्तिष्क का विकास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में हुआ। इसलिए, हमारे लिए तीन से अधिक आयामों वाले रिक्त स्थान की कल्पना करना कठिन है। वास्तव में, मानव मस्तिष्क तीन से अधिक आयामों वाली ज्यामितीय वस्तुओं की कल्पना नहीं कर सकता है। और साथ ही, हम आसानी से ज्यामितीय वस्तुओं की कल्पना कर सकते हैं, न केवल तीन आयामों के साथ, बल्कि दो और एक आयामों के साथ भी।

एक-आयामी और द्वि-आयामी रिक्त स्थान के बीच अंतर और समानता, और द्वि-आयामी और त्रि-आयामी रिक्त स्थान के बीच अंतर और समानता हमें रहस्य की स्क्रीन को थोड़ा खोलने की अनुमति देती है जो हमें उच्च आयामों के रिक्त स्थान से दूर करती है। यह समझने के लिए कि इस समानता का उपयोग कैसे किया जाता है, एक बहुत ही सरल चार-आयामी वस्तु पर विचार करें - एक हाइपरक्यूब, यानी चार-आयामी घन। आइए, निश्चितता के लिए, मान लें कि हम एक विशिष्ट समस्या को हल करना चाहते हैं, अर्थात, चार-आयामी घन के वर्गाकार चेहरों की संख्या की गणना करना। नीचे दिए गए सभी विचार बहुत ढीले होंगे, बिना किसी सबूत के, विशुद्ध रूप से सादृश्य द्वारा।

यह समझने के लिए कि एक साधारण घन से एक हाइपरक्यूब कैसे बनाया जाता है, पहले यह देखना चाहिए कि एक साधारण वर्ग से एक साधारण घन कैसे बनाया जाता है। इस सामग्री की प्रस्तुति की मौलिकता के लिए, हम यहां एक साधारण वर्ग SubCube कहेंगे (और हम इसे सक्कुबस के साथ भ्रमित नहीं करेंगे)।

एक उपघन से एक घन का निर्माण करने के लिए, उपघन को तीसरे आयाम की दिशा में उपघन के तल के लंबवत दिशा में विस्तारित करना आवश्यक है। साथ ही, प्रारंभिक उपक्यूब के प्रत्येक तरफ से एक उपक्यूब बढ़ेगा, जो घन का एक द्वि-आयामी पक्ष चेहरा है, जो घन की त्रि-आयामी मात्रा को चार तरफ से सीमित करेगा, प्रत्येक दिशा में दो लंबवत सबक्यूब का विमान। और नए तीसरे अक्ष के साथ, दो उपक्यूब भी हैं जो घन के त्रि-आयामी आयतन को सीमित करते हैं। यह द्वि-आयामी चेहरा है जहां हमारा उप-घन मूल रूप से स्थित था और घन का द्वि-आयामी चेहरा जहां घन निर्माण के अंत में उप-घन आया था।

आपने अभी जो पढ़ा है वह अत्यधिक विस्तार और बहुत सारे स्पष्टीकरणों के साथ निर्धारित किया गया है। और अनायास नहीं। अब हम एक ऐसी ट्रिक करेंगे, पिछले टेक्स्ट के कुछ शब्दों को हम औपचारिक रूप से इस तरह से रिप्लेस करेंगे:
क्यूब -> हाइपरक्यूब
उपघन -> घन
विमान -> मात्रा
तीसरा -> चौथा
2डी -> 3डी
चार -> छह
त्रि-आयामी -> चार-आयामी
दो -> तीन
विमान -> अंतरिक्ष

नतीजतन, हमें निम्नलिखित अर्थपूर्ण पाठ मिलता है, जो अब बहुत विस्तृत नहीं लगता है।

क्यूब से हाइपरक्यूब बनाने के लिए, आपको क्यूब को चौथे आयाम की दिशा में क्यूब के आयतन के लम्बवत् दिशा में खींचना होगा। साथ ही, मूल घन के प्रत्येक तरफ से एक घन बढ़ेगा, जो हाइपरक्यूब का पार्श्व त्रि-आयामी चेहरा है, जो हाइपरक्यूब की चार-आयामी मात्रा को छह तरफ से सीमित करेगा, प्रत्येक दिशा में तीन लंबवत घन का स्थान। और नई चौथी धुरी के साथ, दो क्यूब भी हैं जो हाइपरक्यूब के चार-आयामी आयतन को सीमित करते हैं। यह त्रि-आयामी चेहरा है जहां हमारा क्यूब मूल रूप से स्थित था और हाइपरक्यूब का त्रि-आयामी चेहरा, जहां क्यूब हाइपरक्यूब के निर्माण के अंत में आया था।

हमें इतना यकीन क्यों है कि हमें हाइपरक्यूब के निर्माण का सही विवरण मिला है? हां, क्योंकि शब्दों के ठीक उसी औपचारिक प्रतिस्थापन से हमें एक वर्ग के निर्माण के विवरण से घन के निर्माण का विवरण मिलता है। (इसे आप खुद जांचें।)

अब यह स्पष्ट है कि यदि घन के प्रत्येक पक्ष से एक और त्रि-आयामी घन बढ़ना चाहिए, तो प्रारंभिक घन के प्रत्येक किनारे से एक चेहरा बढ़ना चाहिए। कुल मिलाकर, घन के 12 किनारे हैं, जिसका अर्थ है कि उन 6 घनों के लिए अतिरिक्त 12 नए चेहरे (सबक्यूब्स) होंगे जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों के साथ चार-आयामी मात्रा को सीमित करते हैं। और दो और घन हैं जो इस चार आयामी मात्रा को नीचे से और ऊपर से चौथे अक्ष के साथ सीमित करते हैं। इनमें से प्रत्येक घन के 6 फलक हैं।

कुल मिलाकर हम पाते हैं कि हाइपरक्यूब के 12+6+6=24 वर्गाकार फलक हैं।

निम्न चित्र हाइपरक्यूब की तार्किक संरचना को दर्शाता है। यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर हाइपरक्यूब के प्रक्षेपण जैसा है। इस मामले में, पसलियों का त्रि-आयामी फ्रेम प्राप्त होता है। आकृति में, निश्चित रूप से, आप इस फ्रेम के प्रक्षेपण को एक विमान पर भी देखते हैं।

इस फ्रेम पर, आंतरिक घन, जैसा कि प्रारंभिक घन था, जिससे निर्माण शुरू हुआ और जो नीचे से चौथे अक्ष के साथ हाइपरक्यूब की चार-आयामी मात्रा को सीमित करता है। हम इस प्रारंभिक घन को चौथे आयाम अक्ष के साथ ऊपर खींचते हैं और यह बाहरी घन में जाता है। तो इस आकृति से बाहरी और भीतरी घन हाइपरक्यूब को चौथे आयाम अक्ष के साथ सीमित करते हैं।

और इन दो घनों के बीच 6 और नए घन दिखाई दे रहे हैं, जो आम चेहरों द्वारा पहले दो के संपर्क में हैं। ये छह क्यूब्स हमारे हाइपरक्यूब को त्रि-आयामी अंतरिक्ष के तीन अक्षों के साथ सीमित करते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, वे न केवल पहले दो क्यूब्स के संपर्क में हैं, जो इस त्रि-आयामी फ्रेम पर आंतरिक और बाहरी हैं, बल्कि वे अभी भी एक-दूसरे के संपर्क में हैं।

आप सीधे आंकड़े में गणना कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि हाइपरक्यूब में वास्तव में 24 चेहरे हैं। लेकिन यहाँ सवाल आता है। यह 3डी हाइपरक्यूब फ्रेम बिना किसी अंतराल के आठ 3डी क्यूब्स से भरा है। हाइपरक्यूब के इस 3डी प्रक्षेपण से वास्तविक हाइपरक्यूब बनाने के लिए, इस फ्रेम को अंदर बाहर करना आवश्यक है ताकि सभी 8 क्यूब्स 4डी वॉल्यूम को सीमित कर सकें।

यह इस प्रकार किया जाता है। हम चार-आयामी अंतरिक्ष के निवासी को यात्रा करने के लिए आमंत्रित करते हैं और उससे हमारी मदद करने के लिए कहते हैं। यह इस ढांचे के आंतरिक घन को पकड़ लेता है और इसे चौथे आयाम की ओर ले जाता है, जो हमारे 3D अंतरिक्ष के लंबवत है। हम अपने त्रि-आयामी अंतरिक्ष में इसे ऐसे देखते हैं जैसे कि पूरा आंतरिक ढांचा गायब हो गया हो और केवल बाहरी घन का ढांचा रह गया हो।

इसके बाद, हमारा 4डी सहायक दर्द रहित जन्म के लिए प्रसूति अस्पतालों में मदद करने की पेशकश करता है, लेकिन हमारी गर्भवती महिलाएं पेट से बच्चे के बस गायब होने और समानांतर 3डी स्थान में समाप्त होने की संभावना से घबरा जाती हैं। इसलिए, चतुर्भुज को विनम्रता से मना कर दिया जाता है।

और हम सोच रहे हैं कि जब हाइपरक्यूब फ्रेम को अंदर से बाहर कर दिया गया तो हमारे कुछ क्यूब्स फंस गए या नहीं। आखिरकार, अगर हाइपरक्यूब के आस-पास के कुछ त्रि-आयामी क्यूब्स फ्रेम पर अपने पड़ोसियों को छूते हैं, तो क्या वे भी उसी चेहरे को छूएंगे यदि चार-आयामी फ्रेम को अंदर बाहर कर देता है।

आइए हम फिर से निम्न आयाम वाले स्थानों के साथ सादृश्य की ओर मुड़ें। हाइपरक्यूब वायरफ्रेम की छवि की तुलना निम्न चित्र में दिखाए गए विमान पर 3डी क्यूब के प्रक्षेपण के साथ करें।

द्वि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों ने एक विमान पर एक घन प्रक्षेपण की रूपरेखा का निर्माण किया और इस ढांचे को अंदर बाहर करने के लिए हमें, त्रि-आयामी निवासियों को आमंत्रित किया। हम आंतरिक वर्ग के चार कोने लेते हैं और उन्हें समतल के लंबवत ले जाते हैं। इसी समय, द्वि-आयामी निवासी पूरे आंतरिक फ्रेम के पूर्ण गायब होने को देखते हैं, और उनके पास केवल बाहरी वर्ग का फ्रेम होता है। इस तरह के एक ऑपरेशन के साथ, सभी वर्ग जो उनके किनारों के संपर्क में थे, पहले की तरह उसी किनारों के साथ स्पर्श करना जारी रखते हैं।

इसलिए, हम आशा करते हैं कि हाइपरक्यूब फ्रेम के अंदर बाहर होने पर हाइपरक्यूब की तार्किक योजना का भी उल्लंघन नहीं होगा, और हाइपरक्यूब के वर्गाकार चेहरों की संख्या नहीं बढ़ेगी और 24 के बराबर रहेगी। यह, निश्चित रूप से है कोई प्रमाण नहीं है, लेकिन सादृश्य द्वारा विशुद्ध रूप से एक अनुमान है।

यहां सब कुछ पढ़ने के बाद, आप आसानी से पांच-आयामी घन के तार्किक ढांचे को खींच सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि इसमें कितने कोने, किनारे, चेहरे, घन और हाइपरक्यूब हैं। यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

यदि आप एवेंजर्स फिल्मों के प्रशंसक हैं, तो "टेसेरैक्ट" शब्द सुनते ही आपके दिमाग में सबसे पहली चीज जो आती है वह है इन्फिनिटी स्टोन का पारदर्शी घन के आकार का बर्तन जिसमें असीम शक्ति होती है।

मार्वल यूनिवर्स के प्रशंसकों के लिए, टेसेरैक्ट एक चमकता हुआ नीला घन है जिसके बारे में न केवल पृथ्वी के लोग, बल्कि अन्य ग्रह भी पागल हो जाते हैं। इसलिए सभी एवेंजर्स ग्राउंडर्स को टेसरैक्ट की बेहद विनाशकारी ताकतों से बचाने के लिए एक साथ आए हैं।

हालाँकि, यह कहने की आवश्यकता है: एक टेसरेक्ट एक वास्तविक ज्यामितीय अवधारणा है, विशेष रूप से, एक आकृति जो 4D में मौजूद है। यह एवेंजर्स का सिर्फ एक नीला घन नहीं है... यह एक वास्तविक अवधारणा है।

एक टेसेरैक्ट 4 आयामों में एक वस्तु है। लेकिन इससे पहले कि हम इसे विस्तार से समझाएं, आइए शुरुआत से शुरू करते हैं।

"माप" क्या है?

सभी ने 2डी और 3डी शब्द सुने हैं, जो क्रमशः अंतरिक्ष की द्वि-आयामी या त्रि-आयामी वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। लेकिन ये आयाम क्या हैं?

एक आयाम बस एक दिशा है जिस पर आप जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप कागज के एक टुकड़े पर एक रेखा खींच रहे हैं, तो आप या तो बाएँ/दाएँ (x-अक्ष) या ऊपर/नीचे (y-अक्ष) जा सकते हैं। इसलिए हम कहते हैं कि कागज द्वि-आयामी है क्योंकि आप केवल दो दिशाओं में चल सकते हैं।

3डी में गहराई का अहसास होता है।

अभी इसमें असली दुनियाऊपर उल्लिखित दो दिशाओं (बाएं/दाएं और ऊपर/नीचे) के अलावा, आप "अंदर/बाहर" भी जा सकते हैं। नतीजतन, 3 डी अंतरिक्ष में गहराई की भावना जुड़ जाती है। इसलिए हम ऐसा कहते हैं वास्तविक जीवनत्रिविम दृश्यन।

एक बिंदु 0 आयामों का प्रतिनिधित्व कर सकता है (क्योंकि यह किसी भी दिशा में नहीं चलता है), एक रेखा 1 आयाम (लंबाई) का प्रतिनिधित्व करती है, एक वर्ग 2 आयामों (लंबाई और चौड़ाई) का प्रतिनिधित्व करता है, और एक घन 3 आयामों (लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई) का प्रतिनिधित्व करता है ).

एक 3D घन लें और प्रत्येक फलक (जो वर्तमान में एक वर्ग है) को एक घन से बदलें। इसलिए! आपको जो आकार मिलता है वह टेसरेक्ट है।

एक टेसरैक्ट क्या है?

सीधे शब्दों में कहें, एक टेसरैक्ट 4-आयामी अंतरिक्ष में एक घन है। आप यह भी कह सकते हैं कि यह घन का 4D समतुल्य है। यह एक 4D आकार है जहाँ प्रत्येक फलक एक घन है।

दो ऑर्थोगोनल विमानों के चारों ओर दोहरा घुमाव करते हुए टेसरैक्ट का एक 3डी प्रक्षेपण।
छवि: जेसन हाइज

यहाँ आयामों की संकल्पना करने का एक सरल तरीका है: एक वर्ग द्वि-आयामी है; इसलिए इसके प्रत्येक कोने में 2 रेखाएँ हैं जो एक दूसरे से 90 डिग्री पर फैली हुई हैं। घन 3D है, इसलिए इसके प्रत्येक कोने से 3 रेखाएँ निकलती हैं। इसी तरह, टेसरेक्ट एक 4D आकार है, इसलिए प्रत्येक कोने में 4 रेखाएँ फैली हुई हैं।

टेसरेक्ट की कल्पना करना कठिन क्यों है?

क्योंकि हम मनुष्यों के रूप में वस्तुओं को तीन आयामों में देखने के लिए विकसित हुए हैं, जो कुछ भी अतिरिक्त आयामों जैसे 4D, 5D, 6D, आदि में जाता है, उसका हमारे लिए कोई अर्थ नहीं है। बहुत बढ़िया भावनाक्योंकि हम उनकी कल्पना ही नहीं कर सकते। हमारा मस्तिष्क अंतरिक्ष में चौथे आयाम को नहीं समझ सकता। हम इसके बारे में सोच ही नहीं सकते।

हालांकि, सिर्फ इसलिए कि हम बहुआयामी रिक्त स्थान की अवधारणा को नहीं देख सकते हैं इसका मतलब यह नहीं है कि यह अस्तित्व में नहीं हो सकता है।

19 सितंबर, 2009
Tesseract (अन्य ग्रीक τέσσερες ἀκτῖνες - चार किरणों से) - एक चार-आयामी हाइपरक्यूब - चार-आयामी अंतरिक्ष में एक घन का एक एनालॉग।

छवि एक प्रक्षेपण (परिप्रेक्ष्य) है चार आयामी घनत्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए।

ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार, "टेसेरैक्ट" शब्द 1888 में चार्ल्स हावर्ड हिंटन (1853-1907) ने अपनी पुस्तक में गढ़ा और इस्तेमाल किया था। नया युगविचार"। बाद में, कुछ लोगों ने उसी आकृति को "टेट्राक्यूब" कहा।

ज्यामिति

यूक्लिडियन चार-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य टेसरैक्ट को बिंदुओं के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया गया है (±1, ±1, ±1, ±1)। दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है:

Tesseract आठ हाइपरप्लेन द्वारा सीमित है, जिसका Tesseract के साथ प्रतिच्छेदन ही इसके त्रि-आयामी चेहरों (जो साधारण क्यूब्स हैं) को परिभाषित करता है। गैर-समानांतर 3D फलकों का प्रत्येक जोड़ा 2D फलकों (वर्गों) का निर्माण करने के लिए प्रतिच्छेद करता है, इत्यादि। अंत में, एक टेसरैक्ट में 8 3D चेहरे, 24 2D, 32 किनारे और 16 कोने होते हैं।

लोकप्रिय विवरण

आइए कल्पना करने की कोशिश करें कि त्रि-आयामी स्थान को छोड़े बिना हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा।

एक-आयामी "अंतरिक्ष" में - एक रेखा पर - हम लंबाई L के एक खंड AB का चयन करते हैं। AB से L की दूरी पर एक द्वि-आयामी तल पर, हम इसके समानांतर एक खंड DC खींचते हैं और उनके सिरों को जोड़ते हैं। वर्ग ABCD प्राप्त करें। एक तल के साथ इस संक्रिया को दोहराते हुए, हमें एक त्रिविमीय घन ABCDHEFG प्राप्त होता है। और घन को चौथे आयाम (पहले तीन के लम्बवत्) में दूरी L से स्थानांतरित करने पर, हमें हाइपरक्यूब ABCDEFGHIJKLMNOP मिलता है।
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

एक-आयामी खंड AB द्वि-आयामी वर्ग ABCD के एक पक्ष के रूप में कार्य करता है, वर्ग घन ABCDHEFG का पक्ष है, जो बदले में, चार-आयामी हाइपरक्यूब का पक्ष होगा। एक सीधी रेखा के खंड में दो सीमा बिंदु होते हैं, एक वर्ग में चार शीर्ष होते हैं, और एक घन में आठ होते हैं। इस प्रकार, एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में, 16 शिखर होंगे: मूल घन के 8 कोने और चौथे आयाम में 8 कोने स्थानांतरित होंगे। इसके 32 किनारे हैं - 12 प्रत्येक मूल घन की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति देते हैं, और 8 और किनारे इसके आठ शीर्षों को "आकर्षित" करते हैं जो चौथे आयाम में स्थानांतरित हो गए हैं। हाइपरक्यूब के चेहरों के लिए भी यही तर्क दिया जा सकता है। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, यह एक (स्वयं वर्ग) है, घन में उनमें से 6 हैं (स्थानांतरित वर्ग से दो चेहरे और चार और इसके पक्षों का वर्णन करेंगे)। एक चार-आयामी हाइपरक्यूब में 24 वर्ग चेहरे होते हैं - मूल घन के 12 वर्ग दो स्थितियों में और इसके किनारों के बारह से 12 वर्ग।

इसी तरह, हम बड़ी संख्या में आयामों के हाइपरक्यूब के तर्क को जारी रख सकते हैं, लेकिन यह देखना अधिक दिलचस्प है कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष के निवासियों के लिए एक चार-आयामी हाइपरक्यूब कैसा दिखेगा। आइए हम इसके लिए उपमाओं की पहले से ही परिचित विधि का उपयोग करें।

टेसरैक्ट सामने आ रहा है

आइए वायर क्यूब ABCDHEFG लें और इसे चेहरे की तरफ से एक आंख से देखें। हम समतल पर दो वर्गों (इसके निकट और दूर के चेहरे) को देखेंगे और खींच सकते हैं, जो चार रेखाओं - पार्श्व किनारों से जुड़े हुए हैं। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक चार-आयामी हाइपरक्यूब एक दूसरे में डाले गए दो घन "बक्से" की तरह दिखेगा और आठ किनारों से जुड़ा होगा। इस मामले में, "बक्से" स्वयं - त्रि-आयामी चेहरे - "हमारे" स्थान पर प्रक्षेपित किए जाएंगे, और उन्हें जोड़ने वाली रेखाएं चौथे आयाम में फैलेंगी। आप प्रक्षेपण में नहीं, बल्कि स्थानिक छवि में घन की कल्पना करने का भी प्रयास कर सकते हैं।

जिस तरह एक त्रि-आयामी घन एक चेहरे की लंबाई से स्थानांतरित वर्ग द्वारा बनता है, चौथे आयाम में स्थानांतरित एक घन एक हाइपरक्यूब बनाएगा। यह आठ क्यूब्स द्वारा सीमित है, जो भविष्य में कुछ सुंदर दिखाई देगा जटिल आंकड़ा. इसका हिस्सा, "हमारे" स्थान में शेष है, खींचा गया है ठोस रेखाएँ, और जो हाइपरस्पेस में चला गया वह बिंदीदार है। चार-आयामी हाइपरक्यूब में अनंत संख्या में क्यूब्स होते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक त्रि-आयामी क्यूब को अनंत संख्या में समतल वर्गों में "कट" किया जा सकता है।

त्रि-आयामी घन के छह चेहरों को काटकर, कोई भी इसे विघटित कर सकता है सपाट आंकड़ा- झाडू। इसमें मूल चेहरे के प्रत्येक तरफ एक वर्ग होगा, साथ ही एक और - इसके विपरीत चेहरा। चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी विकास में मूल क्यूब, छह क्यूब्स शामिल होंगे जो इससे "बढ़ते" हैं, साथ ही एक और - अंतिम "हाइपरफेस"।

Tesseract के गुण गुणों का एक विस्तार हैं ज्यामितीय आकारनिचले आयाम को चार-आयामी अंतरिक्ष में।

अनुमान

द्वि-आयामी अंतरिक्ष के लिए

इस संरचना की कल्पना करना मुश्किल है, लेकिन टेसरैक्ट को 2डी या 3डी स्पेस में प्रोजेक्ट करना संभव है। इसके अलावा, एक विमान पर प्रक्षेपण से हाइपरक्यूब के शीर्षों के स्थान को समझना आसान हो जाता है। इस तरह, छवियों को प्राप्त किया जा सकता है जो अब टेसेरैक्ट के भीतर स्थानिक संबंधों को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं, लेकिन जो निम्नलिखित उदाहरणों में वर्टेक्स लिंक संरचना का वर्णन करते हैं:


त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए

त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर टेसरैक्ट का प्रक्षेपण दो नेस्टेड त्रि-आयामी क्यूब्स हैं, जिनमें से संबंधित कोने खंडों से जुड़े हुए हैं। भीतरी और बाहरी घन है विभिन्न आकार 3डी अंतरिक्ष में, लेकिन 4डी अंतरिक्ष में वे बराबर घन हैं। टेसेरैक्ट के सभी क्यूब्स की समानता को समझने के लिए, टेसेरैक्ट का एक घूर्णन मॉडल बनाया गया था।



Tesseract के किनारों के साथ छह छंटे हुए पिरामिड बराबर छह क्यूब्स की छवियां हैं।
स्टीरियो जोड़ी

एक टेसेरैक्ट की एक स्टीरियो जोड़ी को त्रि-आयामी अंतरिक्ष पर दो अनुमानों के रूप में दर्शाया गया है। टेसरैक्ट के इस चित्रण को चौथे आयाम के रूप में गहराई का प्रतिनिधित्व करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। स्टीरियो जोड़ी को देखा जाता है ताकि प्रत्येक आंख इन छवियों में से केवल एक को देख सके, एक त्रिविम चित्र उत्पन्न होता है जो टेसरैक्ट की गहराई को पुन: उत्पन्न करता है।

टेसरैक्ट सामने आ रहा है

एक टेसरेक्ट की सतह को आठ क्यूब्स में खोला जा सकता है (इसी तरह एक क्यूब की सतह को छह वर्गों में कैसे खोला जा सकता है)। टेसरेक्ट के 261 अलग-अलग खुलासे हैं। एक टेसरैक्ट के खुलासे की गणना ग्राफ़ पर जुड़े हुए कोनों को प्लॉट करके की जा सकती है।

कला में टेसरैक्ट

एडविन ए. एबट के न्यू प्लेन में, हाइपरक्यूब कथावाचक है।
द एडवेंचर्स ऑफ़ जिमी न्यूट्रॉन: "बॉय जीनियस" के एक एपिसोड में, जिमी ने हेनलीन की 1963 ग्लोरी रोड से फोल्डबॉक्स के समान एक चार-आयामी हाइपरक्यूब का आविष्कार किया।
रॉबर्ट ई. हेनलीन ने कम से कम तीन विज्ञान कथा कहानियों में हाइपरक्यूब्स का उल्लेख किया है। द हाउस ऑफ फोर डायमेंशन्स (द हाउस दैट टील बिल्ट) (1940) में, उन्होंने एक घर का वर्णन एक टेसेरैक्ट के खुलासा के रूप में किया।
हेनलीन के उपन्यास ग्लोरी रोड में, अति-आकार के व्यंजनों का वर्णन किया गया है जो बाहर की तुलना में अंदर से बड़े थे।
हेनरी कुट्नर की लघु कहानी "मिम्सी वेयर द बोरोगोव्स" दूर के भविष्य के बच्चों के लिए एक शैक्षिक खिलौना का वर्णन करती है, जो टेसेरैक्ट की संरचना के समान है।
एलेक्स गारलैंड (1999) के उपन्यास में, "टेसरैक्ट" शब्द का प्रयोग हाइपरक्यूब के बजाय चार-आयामी हाइपरक्यूब के त्रि-आयामी खुलासा के लिए किया जाता है। यह एक रूपक है जो यह दिखाने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि संज्ञानात्मक प्रणाली संज्ञेय से अधिक व्यापक होनी चाहिए।
क्यूब 2 की साजिश: हाइपरक्यूब एक "हाइपरक्यूब", या कनेक्टेड क्यूब्स के नेटवर्क में फंसे आठ अजनबियों पर केंद्रित है।
टीवी श्रृंखला एंड्रोमेडा एक षड्यंत्र उपकरण के रूप में टेसेरैक्ट जेनरेटर का उपयोग करती है। वे मुख्य रूप से अंतरिक्ष और समय को नियंत्रित करने के लिए अभिप्रेत हैं।
सल्वाडोर डाली (1954) द्वारा पेंटिंग "क्रूसिफिक्सन" (कॉर्पस हाइपरक्यूबस)
नेक्स्टवेव कॉमिक बुक में एक वाहन को दर्शाया गया है जिसमें 5 टेसरैक्ट जोन शामिल हैं।
एल्बम वोवोड नथिंगफेस में, गीतों में से एक को "इन माई हाइपरक्यूब" कहा जाता है।
एंथनी पियर्स के उपन्यास रूट क्यूब में, आईडीए के कक्षीय चंद्रमाओं में से एक को एक टेसरैक्ट कहा जाता है जिसे 3 आयामों में संकुचित किया गया है।
"स्कूल" श्रृंखला में ब्लैक होल"" तीसरे सीज़न में एक एपिसोड "टेसरैक्ट" है। लुकास गुप्त बटन दबाता है और स्कूल गणितीय टेसरैक्ट की तरह आकार लेना शुरू कर देता है।
शब्द "टेसेरैक्ट" और उससे प्राप्त शब्द "टेसे" मेडेलीन ल'एंगल की कहानी "रिंकल ऑफ टाइम" में पाया जाता है।

ज्यामिति में अतिविम- यह एनएक वर्ग का आयामी सादृश्य ( एन= 2) और घन ( एन= 3). यह एक बंद उत्तल आकृति है, जिसमें आकृति के विपरीत किनारों पर स्थित समांतर रेखाओं के समूह होते हैं, और समकोण पर एक दूसरे से जुड़े होते हैं।

यह आंकड़ा के रूप में भी जाना जाता है tesseract(टेसरैक्ट)। टेसरेक्ट घन के लिए है क्योंकि घन वर्ग के लिए है। अधिक औपचारिक रूप से, एक टेसरैक्ट को एक नियमित उत्तल चार-आयामी पॉलीटॉप (पॉलीटॉप) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसकी सीमा में आठ घन कोशिकाएं होती हैं।

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के अनुसार, "टेसरेक्ट" शब्द 1888 में चार्ल्स हॉवर्ड हिंटन द्वारा गढ़ा गया था और उनकी पुस्तक ए न्यू एरा ऑफ थॉट में इसका इस्तेमाल किया गया था। यह शब्द ग्रीक "τεσσερες ακτινες" ("चार किरणें") से बना है, जो चार समन्वय अक्षों के रूप में है। इसके अलावा, कुछ सूत्रों में एक ही आंकड़ा कहा जाता था टेट्राक्यूब(टेट्राक्यूब)।

एन-आयामी हाइपरक्यूब भी कहा जाता है एन-घन.

एक बिंदु आयाम 0 का एक हाइपरक्यूब है। यदि आप एक बिंदु को लंबाई की एक इकाई से स्थानांतरित करते हैं, तो आपको इकाई लंबाई का एक खंड मिलता है - आयाम 1 का एक हाइपरक्यूब। खंड की दिशा में, आपको एक घन मिलता है - आयाम 2 का एक हाइपरक्यूब। वर्ग के विमान के लंबवत दिशा में लंबाई की एक इकाई द्वारा वर्ग को स्थानांतरित करना, एक घन प्राप्त होता है - आयाम 3 का एक हाइपरक्यूब। यह प्रक्रिया आयामों की संख्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप चौथे आयाम में एक घन को लंबाई की एक इकाई से स्थानांतरित करते हैं, तो आपको एक टेसरैक्ट मिलता है।

हाइपरक्यूब्स का परिवार कुछ नियमित पॉलीहेड्रा में से एक है जिसे किसी भी आयाम में प्रदर्शित किया जा सकता है।

हाइपरक्यूब तत्व

आयाम हाइपरक्यूब एन 2 है एन"पक्ष" (एक-आयामी रेखा में 2 बिंदु होते हैं; द्वि-आयामी वर्ग - 4 भुजाएँ; त्रि-आयामी घन - 6 चेहरे; चार-आयामी टेसरैक्ट - 8 कोशिकाएँ)। हाइपरक्यूब के शीर्षों (बिंदुओं) की संख्या 2 है एन(उदाहरण के लिए, घन के लिए - 2 3 कोने)।

मात्रा एमसीमा पर आयामी हाइपरक्यूब एन- घन बराबर

उदाहरण के लिए, एक हाइपरक्यूब की सीमा पर 8 घन, 24 वर्ग, 32 किनारे और 16 कोने होते हैं।

हाइपरक्यूब्स के तत्व

एन-घन	नाम	शिखर (0 चेहरा)	किनारा (1-चेहरा)	किनारा (2-चेहरा)	कक्ष (3-फेस)	(चार मुख वाला)	(5-चेहरा)	(छह मुख वाला)	(सात मुख)	(8 मुखी)
0-घन	डॉट	1
1-घन	रेखा खंड	2	1
2-घन	वर्ग	4	4	1
3-घन	घनक्षेत्र	8	12	6	1
4-घन	tesseract	16	32	24	8	1
5-घन	पेंटरैक्ट	32	80	80	40	10	1
6-घन	हेक्सरैक्ट	64	192	240	160	60	12	1
7-घन	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-घन	ऑक्ट्रेक्ट	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-घन	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

विमान प्रक्षेपण

हाइपरक्यूब के गठन को निम्न तरीके से दर्शाया जा सकता है:

• दो बिंदुओं A और B को रेखाखंड AB बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।
• दो समानांतर खंडों AB और CD को एक वर्ग ABCD बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।
• घन ABCDEFGH बनाने के लिए दो समानांतर वर्गों ABCD और EFGH को जोड़ा जा सकता है।
• दो समानांतर क्यूब्स ABCDEFGH और IJKLMNOP को हाइपरक्यूब ABCDEFGHIJKLMNOP बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

बाद की संरचना की कल्पना करना आसान नहीं है, लेकिन इसके प्रक्षेपण को दो या तीन आयामों पर चित्रित करना संभव है। इसके अलावा, अनुमानित शीर्षों की स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करके 2D तल पर अनुमान अधिक उपयोगी हो सकते हैं। इस मामले में, छवियों को प्राप्त किया जा सकता है जो अब टेसेरैक्ट के भीतर तत्वों के स्थानिक संबंधों को प्रतिबिंबित नहीं करते हैं, लेकिन शीर्ष कनेक्शन की संरचना को स्पष्ट करते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में है।

पहला दृष्टांत दिखाता है कि सिद्धांत रूप में दो घनों को जोड़कर टेसरैक्ट कैसे बनाया जाता है। यह योजना दो वर्गों से घन बनाने की योजना के समान है। दूसरा आरेख दिखाता है कि टेसरेक्ट के सभी किनारों की लंबाई समान है। यह योजना एक दूसरे से जुड़े क्यूब्स को देखने के लिए भी मजबूर है। तीसरे आरेख में, टेसरैक्ट के कोने नीचे बिंदु के सापेक्ष चेहरों के साथ दूरी के अनुसार स्थित हैं। यह योजना दिलचस्प है क्योंकि इसका उपयोग समानांतर कंप्यूटिंग के आयोजन में कनेक्टिंग प्रोसेसर के नेटवर्क टोपोलॉजी के लिए मूल योजना के रूप में किया जाता है: किसी भी दो नोड्स के बीच की दूरी 4 किनारे की लंबाई से अधिक नहीं होती है, और लोड को संतुलित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं।

कला में हाइपरक्यूब

हाइपरक्यूब 1940 के बाद से विज्ञान कथाओं में प्रकट हुआ है, जब रॉबर्ट हेनलिन ने "द हाउस दैट टील बिल्ट" ("एंड हे बिल्ट ए क्रुक्ड हाउस") कहानी में एक टेसेरैक्ट के आकार में बने घर का वर्णन किया। कहानी में, यह आगे, यह घर मुड़ा हुआ है, चार आयामी टेसरैक्ट में बदल रहा है। उसके बाद, हाइपरक्यूब कई किताबों और उपन्यासों में दिखाई देता है।

क्यूब 2: हाइपरक्यूब आठ लोगों के बारे में है जो हाइपरक्यूब के नेटवर्क में फंसे हुए हैं।

सल्वाडोर डाली द्वारा 1954 में बनाई गई पेंटिंग क्रूसीफिकेशन (कॉर्पस हाइपरक्यूबस), यीशु को एक टेसरैक्ट स्कैन पर सूली पर चढ़ाए जाने को दर्शाती है। इस पेंटिंग को न्यूयॉर्क के म्यूजियम ऑफ आर्ट (मेट्रोपॉलिटन म्यूजियम ऑफ आर्ट) में देखा जा सकता है।

निष्कर्ष

हाइपरक्यूब सबसे सरल चार-आयामी वस्तुओं में से एक है, जिसके उदाहरण पर आप चौथे आयाम की सभी जटिलता और असामान्यता देख सकते हैं। और जो तीन आयामों में असंभव दिखता है वह चार में संभव है, उदाहरण के लिए, असंभव आंकड़े। इसलिए, उदाहरण के लिए, चार आयामों में एक असंभव त्रिभुज की पट्टियाँ समकोण पर जुड़ी होंगी। और यह आंकड़ा सभी दृष्टिकोणों से ऐसा दिखेगा, और विकृत नहीं होगा, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में असंभव त्रिकोण के कार्यान्वयन के विपरीत (चित्र देखें।