दो संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात करना। लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृतिक संख्या एक प्राकृतिक संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का विभाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणक कहा जाता है।

$a$ और $b$ को प्राकृतिक संख्या होने दें। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

संख्या $a$ और $b$ के सामान्य विभाजक का सेट परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से अधिक नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन विभाजकों में सबसे बड़ा है, जिसे $a$ और $b$ संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक कहा जाता है, और इसे निरूपित करने के लिए अंकन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (ए; बी) \ ​​या \ डी \ (ए; बी) $

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए:

1. चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित महत्तम समापवर्तक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132.$ संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं का चयन करें जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित महत्तम समापवर्तक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

मोनोमियल $63$ और $81$ का GCD ज्ञात करें।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य विभाजक होगा।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के विभाजकों के सेट का उपयोग करके दो नंबरों का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$ के विभाजकों का समूह ज्ञात करें: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

अब आइए $60$:$\ \बाएं\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$ के विभाजकों का सेट ढूंढें

आइए इन सेटों का प्रतिच्छेदन खोजें: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट संख्या $48$ और $60 के सामान्य भाजक का सेट निर्धारित करेगा $। इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ होगा। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $12$ है।

एनओसी की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य गुणक$a$ और $b$ एक प्राकृतिक संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणक है।

संख्याओं के सामान्य गुणक वे संख्याएँ होती हैं जो बिना शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ संख्याओं के लिए, सामान्य गुणज संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

लघुत्तम समापवर्त्य को लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाएगा और LCM$(a;b)$ या K$(a;b).$ द्वारा निरूपित किया जाएगा।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखें जो पहली संख्या का हिस्सा हैं और उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर न जाएं

उदाहरण 4

संख्या $99$ और $77$ का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में सम्मिलित कारकों को लिखिए

उन कारकों को जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर न जाएं

चरण 2 में मिली संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्तक होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के विभाजकों की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। GCD को खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिथम कहा जाता है।

कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

अगर $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं जैसे कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम क्रमिक रूप से विचाराधीन संख्याओं को कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुँच जाते हैं, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य है। तब इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य विभाजक होगा।

जीसीडी और एलसीएम के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$- प्राकृतिक संख्या, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

अगर $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणक है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य विभाजक $D(a;b)$ का भाजक है

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे कम सामान्य बहु महत्वपूर्ण अंकगणितीय अवधारणाएँ हैं जो आपको सहजता से संचालित करने की अनुमति देती हैं साधारण अंश. एलसीएम और अक्सर कई अंशों के सामान्य भाजक को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का विभाजक एक और पूर्णांक Y है जिससे X शेष के बिना विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 4 का विभाजक 2 है, और 36 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का एक गुणक एक संख्या Y है जो बिना शेषफल के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3, 15 का गुणज है, और 6, 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी युग्म के लिए, हम उनके सार्व भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणक 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़े में कई विभाजक और गुणक हो सकते हैं, इसलिए गणना में जीसीडी का सबसे बड़ा विभाजक और एलसीएम का सबसे छोटा गुणक उपयोग किया जाता है। .

सबसे छोटा भाजक समझ में नहीं आता है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक होता है। सबसे बड़ा बहु भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणकों का क्रम अनंत तक जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए कई तरीके हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• विभाजकों की क्रमिक गणना, एक जोड़ी के लिए सामान्य का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• अविभाज्य कारकों में संख्याओं का अपघटन;
• यूक्लिड का एल्गोरिदम;
• बाइनरी एल्गोरिदम।

आज इस समय शिक्षण संस्थानोंसबसे लोकप्रिय प्रमुख गुणनखंड विधियाँ और यूक्लिड के एल्गोरिथ्म हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने में उपयोग किया जाता है: पूर्णांक में इसे हल करने की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने के लिए जीसीडी की खोज आवश्यक है।

एनओसी ढूँढना

कम से कम सामान्य गुणक भी पुनरावृत्त गणना या अविभाज्य कारकों में कारक द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा विभाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है, तो LCM को खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीएम (एक्स, वाई) = एक्स × वाई / जीसीएम (एक्स, वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि gcd(15,18) = 3, तो LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90। LCM का सबसे स्पष्ट उपयोग आम भाजक को खोजने के लिए है, जो कि कम से कम सामान्य बहु है। दिए गए अंश।

कोप्राइम नंबर

यदि संख्याओं के किसी युग्म का कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसी जोड़ियों के लिए GCM हमेशा एक के बराबर होता है, और विभाजक और गुणकों के संबंध के आधार पर, कोप्राइम के लिए GCM उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 25 और 28 सहअभाज्य हैं, क्योंकि उनके पास कोई सामान्य विभाजक नहीं है, और एलसीएम (25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाता है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ सदैव सहअभाज्य होंगी।

सामान्य विभाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर से आप चुनने के लिए किसी भी संख्या के लिए GCD और LCM की गणना कर सकते हैं। सामान्य विभाजक और गुणकों की गणना के कार्य ग्रेड 5, 6 के अंकगणित में पाए जाते हैं, हालाँकि, GCD और LCM - महत्वपूर्ण अवधारणाएंगणित और संख्या सिद्धांत, समतलमिति और संचारी बीजगणित में उपयोग किया जाता है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

अंशों का सामान्य भाजक

कई भिन्नों के सामान्य विभाजक को खोजने के लिए लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए एक अंकगणितीय समस्या में 5 भिन्नों का योग करना आवश्यक है:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, अभिव्यक्ति को एक सामान्य भाजक में घटाना चाहिए, जो LCM खोजने की समस्या को कम कर देता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 नंबरों का चयन करें और उपयुक्त कोशिकाओं में भाजक मान दर्ज करें। कार्यक्रम LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जो LCM के भाजक के अनुपात के रूप में परिभाषित हैं। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेंगे:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

उसके बाद, हम सभी अंशों को संबंधित अतिरिक्त कारक से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों को आसानी से जोड़ सकते हैं और 159/360 के रूप में परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। हम अंश को 3 से घटाते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान

रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप के भाव हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। पूर्णांक हल की संभावना के लिए आइए कुछ समीकरणों की जाँच करें। सबसे पहले, समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम gcd (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 को विभाजित करें। संख्या पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जाँच करें। gcd (1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, पूर्णांक गुणांक में डायोफैंटाइन समीकरण हल करने योग्य है .

निष्कर्ष

GCD और LCM संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाएँ स्वयं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। किसी भी संख्या के सबसे बड़े विभाजक और सबसे छोटे गुणकों की गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य सीधे उन संख्याओं के महत्तम समापवर्तक से संबंधित होता है। यह जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्त्य a और b के गुणनफल के बराबर होता है जो a और b के महत्तम समापवर्तक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी).

सबूत।

होने देना M संख्या a और b का कुछ गुणक है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k है जैसे कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो a k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। फिर हम समानताएँ a=a 1 ·d और b=b 1 ·d लिख सकते हैं, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएँ होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, इसे निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b 1 से विभाज्य है।

हमें विचारित प्रमेय से दो महत्वपूर्ण परिणाम लिखने की भी आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणज के समान होते हैं।

यह सत्य है, क्योंकि M संख्याओं a और b का कोई भी उभयनिष्ठ गुणज कुछ पूर्णांक मान t के लिए समानता M=LCM(a, b) t द्वारा परिभाषित किया गया है।

कोप्राइम का कम से कम आम गुणक सकारात्मक संख्याए और बी उनके उत्पाद के बराबर है।

इस तथ्य का तर्क बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तब gcd(a, b)=1 , इसलिए, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) = ए बी: 1 = ए बी.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने को क्रमशः दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए कम किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है a 1 , a 2 , ..., a k संख्याओं के सामान्य गुणकों m k-1 और a k के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूंकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणक स्वयं संख्या m k है, तो संख्याओं a 1 , a 2 , ..., a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल तत्व।
• मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई. और अन्य बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकी और गणित के छात्रों के लिए। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

यह समझने के लिए कि LCM की गणना कैसे की जाती है, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का एक गुणक एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना शेष के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, और इसी तरह 5 के गुणक माने जा सकते हैं।

किसी विशेष संख्या के विभाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत संख्या में गुणक होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज वह संख्या होती है जो बिना शेषफल के उनसे विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणकों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न हो जाए। गुणक रिकॉर्ड में दर्शाते हैं बड़ा अक्षरको।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

के (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य संख्या 24 है। यह प्रविष्टि निम्नानुसार की जाती है:

ल.स.प.(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात करें, तो LCM की गणना करने के लिए दूसरे तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्या का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में, कारकों की एक अलग संख्या हो सकती है।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में, पहले के विस्तार में अनुपस्थित कारकों पर जोर दिया जाना चाहिए। एक लंबी संख्याऔर फिर उन्हें इसमें जोड़ें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्तक की गणना कर सकते हैं।

लघुत्तम समापवर्त्य (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों और दूसरी संख्या के गुणनखंडों का गुणनफल, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, लघुत्तम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का ल.स.प. ज्ञात करने के लिए, उन सभी को पिछले मामले की तरह प्रमुख कारकों में विघटित किया जाना चाहिए।

एक उदाहरण के रूप में, आप 16, 24, 36 संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य पा सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस को एक बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं किया गया (एक चौबीस के अपघटन में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

लघुत्तम समापवर्त्य के निर्धारण की विशेष स्थितियाँ हैं। इसलिए, यदि संख्याओं में से एक को बिना शेषफल के दूसरी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि समान विभाजक वाले सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है, तो उनका लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (10, 11) = 110।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य के बारे में चर्चा जारी रखें जिसे हमने LCM - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण खंड में शुरू किया था। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के तरीके देखेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें।

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जीसीडी के माध्यम से कम से कम सामान्य बहु (एलसीएम) की गणना

हम पहले ही लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाता है। सबसे पहले, देखते हैं कि धनात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करना है।

परिभाषा 1

आप LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) सूत्र का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े सामान्य विभाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से लघुत्तम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 का GCD ढूँढता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथ्म की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , इसलिए gcd (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

संख्या 68 और 34 की नोक ज्ञात कीजिए।

समाधान

जीसीडी में इस मामले मेंइसे खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

प्राइम फैक्टर में फैक्टरिंग नंबरों द्वारा एलसीएम ढूँढना

आइए अब LCM ज्ञात करने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटाने के बाद प्राप्त गुणनफल दी गई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं का गुणन a और b उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं। इस मामले में, दो नंबरों का GCD उन सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ इन दो नंबरों के गुणनखंडों में मौजूद हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस प्रकार निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको यह मिलता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंडों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का गुणनफल प्राप्त होता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 और 700 , दोनों संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना।

समाधान

आइए स्थिति में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का उत्पाद इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारकों को खोजें। यह संख्या 7 है। आइए इसका बहिष्कार करें सामान्य उत्पाद: 2 2 3 3 5 5 7 7. पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के लिए सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंड जोड़ें;
• हमें गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित ल.स.प. होगा।

उदाहरण 5

आइए संख्या 75 और 210 पर वापस जाएं, जिसके लिए हमने पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की खोज की है। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. कारकों 3, 5 और के उत्पाद के लिए 5 संख्या 75 लापता कारकों को जोड़ें 2 और 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

उदाहरण 6

संख्या 84 और 648 के LCM की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए संख्याओं को स्थिति से प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7और 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनफल में 2 , 2 , 3 और जोड़ें 7 संख्या 84 लापता कारक 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक है।

उत्तर:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

भले ही हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथम हमेशा समान रहेगा: हम लगातार दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करेंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं एक 1, एक 2, …, एक कश्मीर. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम केइन नंबरों की अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) ।

अब देखते हैं कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140, 9, 54 और के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करें। हमें मिलता है: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

अब उसी एल्गोरिथ्म के अनुसार गणना करते हैं m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) । गणना के दौरान, हमें एम 3 = 3 780 मिलता है।

यह हमारे लिए मीटर 4 \u003d एलसीएम (एम 3, ए 4) \u003d एलसीएम (3 780, 250) की गणना करने के लिए बनी हुई है। हम उसी एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण की स्थिति से चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94500 है।

उत्तर:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए, आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लापता गुणनखंड जोड़ें;
• पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में तीसरे नंबर के लापता कारकों को जोड़ें, आदि;
• परिणामी गुणनफल शर्त से सभी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

उदाहरण 8

पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 । प्रमुख संख्या, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ प्रमुख कारकों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विभाजित किया है। ये कारक पहले नंबर के उत्पाद में पहले से ही हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, जिसमें प्रमुख कारकों के गुणनफल से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का सरल गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं में से लघुत्तम समापवर्तक है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिन्ह वाली संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) और LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) ।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है एऔर - ए- विपरीत संख्याएँ
फिर गुणकों का सेट एकिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

नकारात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 और − 45 .

समाधान

चलिए नंबर बदलते हैं − 145 और − 45 उनकी विपरीत संख्या के लिए 145 और 45 . अब, एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD निर्धारित किया था।

हम पाते हैं कि संख्याओं का LCM - 145 और − 45 के बराबर होती है 1 305 .

उत्तर:ल.स.प. (-145 , -45) = 1 305 ।

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