अंश परिभाषा की तुलना। साधारण अंशों की तुलना

इस पाठ में हम सीखेंगे कि भिन्नों की आपस में तुलना कैसे की जाती है। यह एक बहुत ही उपयोगी कौशल है जिसकी आवश्यकता अधिक जटिल समस्याओं की एक पूरी कक्षा को हल करने के लिए होती है।

सबसे पहले, मैं आपको भिन्नों की समानता की परिभाषा की याद दिलाता हूं:

अंश ए / बी और सी / डी को बराबर कहा जाता है यदि विज्ञापन = बीसी।

1. 5/8 = 15/24 क्योंकि 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 क्योंकि 3 18 = 2 27 = 54।

अन्य सभी मामलों में, भिन्न असमान हैं, और निम्नलिखित में से एक कथन उनके लिए सत्य है:

1. भिन्न a /b, भिन्न c /d से बड़ा है;
2. भिन्न a /b, भिन्न c /d से कम है।

भिन्न a /b को भिन्न c /d से अधिक कहा जाता है यदि a /b - c /d > 0.

एक अंश x /y को भिन्न s /t से कम कहा जाता है यदि x /y - s /t< 0.

पद का नाम:

इस प्रकार, अंशों की तुलना उनके घटाव तक कम हो जाती है। प्रश्न: "से अधिक" (>) और "से कम" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. चेक का विस्तार करने वाला हिस्सा हमेशा बड़ी संख्या की ओर निर्देशित होता है;
2. जैकडॉ की नुकीली नाक हमेशा कम संख्या का संकेत देती है।

अक्सर ऐसे कार्यों में जहां आप संख्याओं की तुलना करना चाहते हैं, वे उनके बीच "∨" चिह्न लगाते हैं। यह अपनी नाक के साथ एक जैकडॉ है, जो कि जैसा था, संकेत देता है: बड़ी संख्या अभी तक निर्धारित नहीं की गई है।

काम। संख्याओं की तुलना करें:

परिभाषा के बाद, हम अंशों को एक दूसरे से घटाते हैं:

प्रत्येक तुलना में, हमें भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने की आवश्यकता थी। विशेष रूप से, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करना और कम से कम सामान्य गुणन ज्ञात करना। मैंने जानबूझकर इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो "भिन्नों का जोड़ और घटाव" पाठ पर एक नज़र डालें - यह बहुत आसान है।

दशमलव तुलना

दशमलव अंशों के मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। यहाँ कुछ भी घटाने की आवश्यकता नहीं है - केवल अंकों की तुलना करें। यह याद रखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है। उन लोगों के लिए जो भूल गए हैं, मैं "दशमलव अंशों का गुणन और विभाजन" पाठ को दोहराने का सुझाव देता हूं - इसमें भी कुछ मिनट लगेंगे।

एक धनात्मक दशमलव X एक धनात्मक दशमलव Y से बड़ा होता है यदि इसमें दशमलव स्थान ऐसा हो कि:

1. अंश X में इस अंक का अंक अंश Y में संबंधित अंक से बड़ा है;
2. भिन्न X और Y में दिए गए अंकों से पुराने सभी अंक समान हैं।

1. 12.25 > 12.16। पहले दो अंक समान हैं (12 = 12), और तीसरा बड़ा है (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

दूसरे शब्दों में, हम क्रमिक रूप से दशमलव स्थानों को देख रहे हैं और अंतर की तलाश कर रहे हैं। जिसमें उच्च आंकड़ाएक बड़े अंश से भी मेल खाता है।

हालाँकि, इस परिभाषा को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव बिंदु तक अंकों को कैसे लिखें और उनकी तुलना कैसे करें? याद रखें: दशमलव रूप में लिखी गई किसी भी संख्या को बाईं ओर कितने भी शून्य दिए जा सकते हैं। यहाँ कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (हम बात कर रहे हैंवरिष्ठ स्तर के बारे में)।
2. 2300.5 > 0.0025, क्योंकि 0.0025 = 0000.0025 - बाईं ओर तीन शून्य जोड़े। अब आप देख सकते हैं कि अंतर पहले बिट से शुरू होता है: 2> 0।

बेशक, शून्य के साथ दिए गए उदाहरणों में एक स्पष्ट गणना थी, लेकिन अर्थ बिल्कुल यही है: बाईं ओर लापता अंक भरें, और फिर तुलना करें।

काम। अंशों की तुलना करें:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

1. 0.029 > 0.007। पहले दो अंक समान हैं (00 = 00), फिर अंतर शुरू होता है (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003 > 0.0000099। यहां आपको शून्यों को ध्यान से गिनने की जरूरत है। दोनों अंशों में पहले 5 अंक शून्य हैं, लेकिन आगे पहले अंश में 3 है, और दूसरे में - 0. जाहिर है, 3 > 0;
4. 1700.1 > 0.99501। आइए दूसरे अंश को 0000.99501 के रूप में फिर से लिखते हैं, बाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं। अब सब कुछ स्पष्ट है: 1 > 0 - पहले अंक में अंतर पाया जाता है।

दुर्भाग्य से, दशमलव अंशों की तुलना करने की उपरोक्त योजना सार्वभौमिक नहीं है। यह विधि केवल तुलना कर सकती है सकारात्मक संख्या. सामान्य स्थिति में, कार्य का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. एक धनात्मक भिन्न हमेशा एक ऋणात्मक भिन्न से बड़ी होती है;
2. उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार दो सकारात्मक अंशों की तुलना की जाती है;
3. दो ऋणात्मक भिन्नों की एक ही तरह से तुलना की जाती है, लेकिन अंत में असमानता का चिन्ह उल्टा कर दिया जाता है।

अच्छा, क्या यह कमजोर नहीं है? अब विचार करें ठोस उदाहरण- और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

काम। अंशों की तुलना करें:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0.192 > -0.39। भिन्न ऋणात्मक हैं, 2 अंक भिन्न हैं। 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. सकारात्मक संख्याहमेशा अधिक नकारात्मक;
4. 19.032 > 0.091। 00.091 के रूप में दूसरे अंश को फिर से लिखना पर्याप्त है यह देखने के लिए कि अंतर पहले से ही 1 अंक में है;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45। अंतर पहली श्रेणी में है।

हम अंशों का अध्ययन करना जारी रखते हैं। आज हम उनकी तुलना के बारे में बात करेंगे। विषय रोचक और उपयोगी है। यह नौसिखियों को एक सफेद कोट में एक वैज्ञानिक की तरह महसूस करने की अनुमति देगा।

भिन्नों की तुलना करने का सार यह पता लगाना है कि दो भिन्नों में से कौन सी भिन्न अधिक या कम है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि दो भिन्नों में से कौन सी भिन्न अधिक या कम है, जैसे अधिक (>) या कम (<).

गणितज्ञों ने पहले से ही तैयार नियमों का ध्यान रखा है जो आपको इस सवाल का तुरंत जवाब देने की अनुमति देते हैं कि कौन सा अंश बड़ा है और कौन सा छोटा है। इन नियमों को सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है।

हम इन सभी नियमों को देखेंगे और जानने की कोशिश करेंगे कि ऐसा क्यों होता है।

पाठ सामग्री

समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना करना

तुलना किए जाने वाले अंश अलग-अलग आते हैं। सबसे सफल मामला तब होता है जब अंशों में समान भाजक होते हैं, लेकिन अलग-अलग अंश होते हैं। इस मामले में, निम्नलिखित नियम लागू होता है:

समान भाजक वाली दो भिन्नों में से बड़ा भिन्न वह है जिसका अंश बड़ा है। और तदनुसार, छोटा अंश होगा, जिसमें अंश छोटा है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और उत्तर दें कि इनमें से कौन सी भिन्न बड़ी है। यहाँ हर समान हैं, लेकिन अंश भिन्न हैं। एक भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। तो भिन्न से अधिक है। तो हम जवाब देते हैं। अधिक आइकन (>) का उपयोग करके उत्तर दें

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज्जा के बारे में सोचें जो चार भागों में विभाजित है। पिज्जा से ज्यादा पिज्जा:

हर कोई इस बात से सहमत होगा कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना

अगला मामला हम प्राप्त कर सकते हैं जब अंशों के अंश समान होते हैं, लेकिन भाजक अलग होते हैं। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटे हर वाली भिन्न बड़ी होती है। बड़े भाजक वाला अंश इसलिए छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों और की तुलना करें। इन भिन्नों का अंश समान होता है। एक भिन्न का हर एक भिन्न से छोटा होता है। अतः भिन्न, भिन्न से बड़ी है। तो हम जवाब देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज्जा के बारे में सोचें जो तीन और चार भागों में विभाजित है। पिज्जा से ज्यादा पिज्जा:

हर कोई इस बात से सहमत है कि पहला पिज़्ज़ा दूसरे से बड़ा है।

अलग-अलग अंश और अलग-अलग भाजक वाले भिन्नों की तुलना करना

अक्सर ऐसा होता है कि आपको अलग-अलग अंशों और अलग-अलग हर वाले भिन्नों की तुलना करनी पड़ती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों और की तुलना करें। इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इनमें से कौन सा भिन्न अधिक या कम है, आपको उन्हें समान (सामान्य) भाजक में लाने की आवश्यकता है। तब यह निर्धारित करना आसान हो जाएगा कि कौन सा अंश बड़ा या छोटा है।

आइए भिन्नों को समान (उभयनिष्ठ) हर में लाएं। दोनों भिन्नों के हर (LCM) ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक और वह संख्या 6 है।

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखण्ड ज्ञात करते हैं। LCM को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 6 है, और पहले भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 3 का एक अतिरिक्त गुणनखंड मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब दूसरा अतिरिक्त गुणक ज्ञात करते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। लघुत्तम समापवर्तक संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2 का एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है। हम इसे दूसरे भिन्न पर लिखते हैं:

अंशों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करें:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गईं जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों की तुलना कैसे करें। समान भाजक वाली दो भिन्नों में से वह भिन्न बड़ी होती है जिसका अंश बड़ा होता है:

नियम तो नियम है, और हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि . ऐसा करने के लिए, अंश में पूर्णांक भाग का चयन करें। भिन्न में कुछ भी चुनने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह भिन्न पहले से ही सही है।

भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करने के बाद, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

अब आप आसानी से समझ सकते हैं कि . आइए इन अंशों को पिज़्ज़ा के रूप में बनाएँ:

2 पूरे पिज्जा और पिज्जा, पिज्जा से ज्यादा।

मिश्रित संख्याओं का घटाव। कठिन मामले।

मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, कभी-कभी आप पाते हैं कि चीजें उतनी सहजता से नहीं चलतीं जितनी आप चाहते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी उदाहरण को हल करते समय उत्तर वह नहीं होता जो उसे होना चाहिए।

संख्याओं को घटाते समय, लघुअंड, उपवर्ग से अधिक होना चाहिए। केवल इस मामले में एक सामान्य प्रतिक्रिया प्राप्त होगी।

उदाहरण के लिए, 10−8=2

10 - घटाया हुआ

8 - घटाया गया

2 - अंतर

माइनस 10 घटाए गए 8 से अधिक है, इसलिए हमें सामान्य उत्तर 2 मिला।

अब देखते हैं कि क्या होता है अगर माइनुएंड सबट्रेंड से कम हो। उदाहरण 5−7=−2

5 - घटाया हुआ

7 - घटाया गया

-2 अंतर है

इस मामले में, हम उन संख्याओं से आगे निकल जाते हैं जिनके हम अभ्यस्त हैं और खुद को नकारात्मक संख्याओं की दुनिया में पाते हैं, जहां हमारे लिए चलना बहुत जल्दी है, और यहां तक ​​कि खतरनाक भी। ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने के लिए, आपको उपयुक्त गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, जो हमें अभी तक प्राप्त नहीं हुई है।

यदि, घटाव के उदाहरणों को हल करते समय, आप पाते हैं कि माइनस सबट्रेंड से कम है, तो आप अभी के लिए ऐसे उदाहरण को छोड़ सकते हैं। उनका अध्ययन करने के बाद ही ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करने की अनुमति है।

भिन्नों के साथ भी यही स्थिति है। मीन्युंड, सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में सामान्य उत्तर प्राप्त करना संभव होगा। और यह समझने के लिए कि घटाया गया अंश घटाए गए अंश से अधिक है या नहीं, आपको इन भिन्नों की तुलना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए एक उदाहरण हल करें।

यह घटाव का उदाहरण है। इसे हल करने के लिए, आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि घटाया गया अंश घटाए गए अंश से बड़ा है या नहीं। इससे अधिक

इसलिए हम सुरक्षित रूप से उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे हल कर सकते हैं:

अब इस उदाहरण को हल करते हैं

जांचें कि घटाया गया अंश घटाए गए अंश से अधिक है या नहीं। हम पाते हैं कि यह कम है:

इस मामले में, रुकना और आगे की गणना जारी नहीं रखना अधिक उचित है। जब हम ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करेंगे तो हम इस उदाहरण पर वापस लौटेंगे।

घटाव से पहले मिश्रित संख्याओं की जांच करना भी वांछनीय है। उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, जांचें कि घटाई गई मिश्रित संख्या घटाई गई संख्या से अधिक है या नहीं। ऐसा करने के लिए, हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग भाजक के साथ अंश मिले। ऐसे भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें समान (उभयनिष्ठ) हर में लाना होगा। यह कैसे करना है, हम विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। अगर आपको परेशानी हो रही है, तो दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को समान हर में घटाने पर, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

अब हमें भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। ये समान भाजक वाले भिन्न हैं। समान भाजक वाली दो भिन्नों में से बड़ा भिन्न वह है जिसका अंश बड़ा है।

एक भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। अतः भिन्न, भिन्न से बड़ी है।

इसका मतलब यह है कि लघु अंत घटा से अधिक है।

तो हम अपने उदाहरण पर वापस जा सकते हैं और साहसपूर्वक इसे हल कर सकते हैं:

उदाहरण 3एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

जांचें कि क्या लघु अंत उपखंड से अधिक है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हमें अलग-अलग अंश और अलग-अलग भाजक के साथ अंश मिले। हम इन भिन्नों को समान (उभयनिष्ठ) हर में लाते हैं।

एक ही भाजक वाली दो भिन्नों में, जिसका अंश बड़ा होता है वह बड़ी होती है और जिसका अंश छोटा होता है वह छोटी होती है।. वास्तव में, आखिरकार, भाजक दिखाता है कि कितने भागों में एक पूरे मूल्य को विभाजित किया गया था, और अंश दिखाता है कि ऐसे कितने भागों को लिया गया था।

यह पता चला है कि प्रत्येक पूरे वृत्त को एक ही संख्या से विभाजित किया गया था 5 , लेकिन उन्होंने अलग-अलग भागों को लिया: उन्होंने अधिक लिया - एक बड़ा अंश और यह निकला।

एक ही अंश वाले दो भिन्नों में से, जिस भिन्न का हर छोटा होता है वह बड़ा होता है और जिसका हर बड़ा होता है वह छोटा होता है।ठीक है, वास्तव में, अगर हम एक वृत्त को विभाजित करते हैं 8 भागों और अन्य 5 भागों और प्रत्येक मंडल से एक हिस्सा लें। कौन सा हिस्सा बड़ा होगा?

बेशक, द्वारा विभाजित एक सर्कल से 5 भागों! अब कल्पना कीजिए कि उन्होंने हलकों को नहीं, बल्कि केक को साझा किया। आप कौन सा टुकड़ा पसंद करेंगे, अधिक सटीक, कौन सा हिस्सा: पांचवां या आठवां?

अलग-अलग अंशों और अलग-अलग भाजकों के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको भिन्नों को निम्नतम सामान्य भाजक तक कम करने की आवश्यकता है, और फिर समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना करें।

उदाहरण। साधारण अंशों की तुलना करें:

आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे आम ​​भाजक में लाएं। एनओजेड (4 ; 6)=12. हम प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारक पाते हैं। पहले अंश के लिए, एक अतिरिक्त गुणक 3 (12: 4=3 ). दूसरे अंश के लिए, एक अतिरिक्त गुणक 2 (12: 6=2 ). अब हम समान हर वाले दो परिणामी भिन्नों के अंशों की तुलना करते हैं। चूँकि पहले भिन्न का अंश दूसरे भिन्न के अंश से कम है ( 9<10) , तब पहला भिन्न स्वयं दूसरे भिन्न से छोटा होता है।

यह लेख भिन्नों की तुलना से संबंधित है। यहां हम यह पता लगाएंगे कि कौन सा अंश अधिक या कम है, नियम लागू करें और समाधान के उदाहरणों का विश्लेषण करें। समान और भिन्न भाजक वाले भिन्नों की तुलना करें। आइए एक साधारण अंश की तुलना एक प्राकृतिक संख्या से करें।

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समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना करना

समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना करते समय, हम केवल अंश के साथ कार्य करते हैं, जिसका अर्थ है कि हम किसी संख्या के भिन्नों की तुलना करते हैं। यदि कोई भिन्न 3 7 है, तो उसके 3 भाग 1 7 हैं, तो भिन्न 8 7 में ऐसे 8 भाग हैं। दूसरे शब्दों में, यदि भाजक समान है, तो इन भिन्नों के अंशों की तुलना की जाती है, अर्थात 3 7 और 8 7 की संख्या 3 और 8 की तुलना की जाती है।

इसका तात्पर्य एक ही भाजक के साथ अंशों की तुलना करने के नियम से है: समान संकेतकों के साथ उपलब्ध अंशों में, बड़ा वह माना जाता है जिसका अंश बड़ा होता है और इसके विपरीत।

इससे पता चलता है कि आपको अंशों पर ध्यान देना चाहिए। ऐसा करने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

दिए गए भिन्नों 65 126 और 87 126 की तुलना कीजिए।

समाधान

चूँकि भिन्नों के हर समान होते हैं, चलिए अंशों की ओर बढ़ते हैं। संख्या 87 और 65 से स्पष्ट है कि 65 कम है। समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना करने के नियम के आधार पर, हमारे पास 87126 65126 से अधिक है।

उत्तर: 87 126 > 65 126 .

विभिन्न भाजक वाले भिन्नों की तुलना करना

ऐसे अंशों की तुलना समान घातांक वाले भिन्नों की तुलना से की जा सकती है, लेकिन एक अंतर है। अब हमें भिन्नों को एक सामान्य भाजक में कम करने की आवश्यकता है।

यदि अलग-अलग हर वाले अंश हैं, तो उनकी तुलना करने के लिए आपको चाहिए:

• एक सामान्य भाजक खोजें;
• अंशों की तुलना करें।

आइए इन चरणों को एक उदाहरण के साथ देखें।

उदाहरण 2

भिन्न 5 12 और 9 16 की तुलना करें।

समाधान

पहला कदम भिन्नों को एक आम भाजक में लाना है। यह इस तरह से किया जाता है: एलसीएम पाया जाता है, जो कि सबसे छोटा है सामान्य विभाजक, 12 और 16। यह संख्या 48 है। प्रथम भिन्न 5 12 में अतिरिक्त गुणनखंड अंकित करना आवश्यक है, यह संख्या भागफल 48: 12 = 4 से प्राप्त होती है, दूसरे भिन्न 9 16 - 48: 16 = 3 के लिए। आइए इसे इस तरह लिखते हैं: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 और 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48।

भिन्नों की तुलना करने पर, हमें वह 20 48 प्राप्त होता है< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

उत्तर: 5 12 < 9 16 .

अलग-अलग भाजक वाले भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका है। यह एक सामान्य भाजक में कमी के बिना किया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें। भिन्नों a b और c d की तुलना करने के लिए, हम एक सामान्य भाजक को घटाते हैं, फिर b · d, यानी इन हरों का गुणनफल। तब भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पड़ोसी भिन्न के हर होंगे। इसे a · d b · d और c · b d · b के रूप में लिखा जाता है। समान भाजक वाले नियम का उपयोग करते हुए, हमारे पास यह है कि अंशों की तुलना उत्पादों a · d और c · b की तुलना में कम कर दी गई है। यहाँ से हमें विभिन्न हरों वाले भिन्नों की तुलना करने का नियम मिलता है: यदि a d > b c, तो a b > c d, लेकिन यदि a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

उदाहरण 3

भिन्न 5 18 और 23 86 की तुलना करें।

समाधान

इस उदाहरण में a = 5, b = 18, c = 23 और d = 86 है। फिर a · d और b · c की गणना करना आवश्यक है। इससे यह पता चलता है कि a d = 5 86 = 430 और b c = 18 23 = 414 है। लेकिन 430 > 414, तो दिया गया भिन्न 5 18 23 86 से बड़ा है।

उत्तर: 5 18 > 23 86 .

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना

यदि अंशों में समान अंश और विभिन्न भाजक हैं, तो आप पिछले पैराग्राफ के अनुसार तुलना कर सकते हैं। उनके हरों की तुलना करने पर तुलना का परिणाम संभव है।

समान अंशों वाले भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है : समान अंश वाले दो भिन्नों में से, बड़ा भिन्न वह होता है जिसका हर छोटा होता है, और इसके विपरीत।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

भिन्न 54 19 और 54 31 की तुलना करें।

समाधान

हमारे पास यह है कि अंश समान हैं, जिसका अर्थ है कि 19 के भाजक वाला एक अंश 31 के भाजक वाले भिन्न से बड़ा है। यह नियम से स्पष्ट है।

उत्तर: 54 19 > 54 31 .

अन्यथा, आप एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं। दो प्लेट हैं जिस पर 1 2 पाई, आना दूसरी 1 16 . यदि आप 1 2 पाई खाते हैं, तो आप केवल 1 16 की तुलना में तेजी से पूर्ण होंगे। इसलिए यह निष्कर्ष कि भिन्नों की तुलना करते समय समान अंशों वाला सबसे बड़ा हर सबसे छोटा होता है।

भिन्न की तुलना प्राकृतिक संख्या से करना

एक प्राकृतिक संख्या के साथ एक साधारण अंश की तुलना फॉर्म 1 में लिखे गए भाजक के साथ दो भिन्नों की तुलना के समान है। आइए अधिक विवरण के लिए नीचे एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

63 8 और 9 की तुलना करना आवश्यक है।

समाधान

संख्या 9 को भिन्न 9 1 के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है। फिर हमें भिन्नों 63 8 और 9 1 की तुलना करने की आवश्यकता है। इसके बाद अतिरिक्त कारकों को ढूंढकर एक सामान्य भाजक में कमी की जाती है। इसके बाद, हम देखते हैं कि हमें समान हर 63 8 और 72 8 वाले भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता है। तुलना नियम के आधार पर, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

उत्तर: 63 8 < 9 .

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में रोजमर्रा की जिंदगीहमें अक्सर भिन्नात्मक मानों की तुलना करनी पड़ती है। अधिकांश समय इससे कोई समस्या नहीं होती है। दरअसल, हर कोई समझता है कि आधा सेब एक चौथाई से बड़ा होता है। लेकिन जब इसे गणितीय व्यंजक के रूप में लिखना आवश्यक हो, तो यह कठिन हो सकता है। निम्नलिखित गणितीय नियमों को लागू करके आप इस समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं।

समान भाजक वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें

इन भिन्नों की तुलना करना सबसे आसान है। इस स्थिति में, नियम का उपयोग करें:

एक ही भाजक लेकिन भिन्न अंश वाली दो भिन्नों में से वह बड़ी है जिसका अंश बड़ा है और छोटी वह है जिसका अंश छोटा है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 3/8 और 5/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में हर बराबर हैं, इसलिए हम इस नियम को लागू करते हैं। 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

दरअसल, अगर आप दो पिज्जा को 8 स्लाइस में काटते हैं, तो 3/8 स्लाइस हमेशा 5/8 से कम होते हैं।

समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना करना

इस मामले में, भाजक शेयरों के आकार की तुलना की जाती है। आवेदन करने का नियम है:

यदि दो भिन्नों का अंश समान है, तो बड़ी भिन्न वह होगी जिसका हर छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, भिन्न 3/4 और 3/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में, अंश बराबर हैं, इसलिए हम दूसरे नियम का उपयोग करते हैं। 3/4 भिन्न का भाजक 3/8 भिन्न से छोटा होता है। इसलिए 3/4>3/8

वास्तव में, यदि आप पिज्जा के 3 स्लाइस को 4 भागों में विभाजित करके खाते हैं, तो आप 8 भागों में विभाजित पिज्जा के 3 स्लाइस खाने की तुलना में अधिक भरे हुए होंगे।

भिन्न अंशों और हरों वाले भिन्नों की तुलना करना

हम तीसरा नियम लागू करते हैं:

विभिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना समान हर वाले भिन्नों से की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको अंशों को एक सामान्य भाजक में लाना होगा और पहले नियम का उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। बड़ा अंश निर्धारित करने के लिए, हम इन दो भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाते हैं:

• अब आइए दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें: 6:3=2। हम इसे दूसरे भिन्न पर लिखते हैं: