ज्यामितीय प्रगति के उदाहरण. हमेशा मूड में रहें

अंकगणित के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति, एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन ग्रेड 9 में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर पर विचार करेंगे, और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

आरंभ करने के लिए, हम इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा देते हैं। ज्यामितीय प्रगति तर्कसंगत संख्याओं की एक श्रृंखला है जो इसके पहले तत्व को हर नामक एक स्थिर संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करने पर बनती है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला 3, 6, 12, 24, ... में संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि हम 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें 6 मिलता है। यदि हम 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें मिलता है 12, इत्यादि.

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणित की भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: an = bn-1 * a1, जहां b हर है। इस सूत्र को जांचना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो an = b * a1, और हम फिर से विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। इसी प्रकार का तर्क जारी रखा जा सकता है बड़े मूल्यएन।

ज्यामितीय प्रगति का हर

संख्या b पूरी तरह से निर्धारित करती है कि संपूर्ण संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। हर बी धनात्मक, ऋणात्मक या एक से अधिक या एक से कम हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प अलग-अलग अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

• b > 1. परिमेय संख्याओं की बढ़ती हुई श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो संपूर्ण अनुक्रम केवल मॉड्यूलो में बढ़ेगा, लेकिन संख्याओं के चिह्न को ध्यान में रखते हुए घट जाएगा।
• बी = 1. अक्सर ऐसे मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि इसमें समान तर्कसंगत संख्याओं की एक सामान्य श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4.

योग के लिए सूत्र

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने से पहले, इसके पहले एन तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र है: एसएन = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1)।

यदि आप प्रगति के सदस्यों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप यह अभिव्यक्ति स्वयं प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में, पदों की मनमानी संख्या का योग ज्ञात करने के लिए केवल पहला तत्व और हर जानना पर्याप्त है।

अनन्त रूप से घटता हुआ क्रम

ऊपर यह बताया गया था कि यह क्या है। अब, Sn का सूत्र जानकर, आइए इसे इस संख्या श्रृंखला पर लागू करें। चूंकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं है, बड़ी घात तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, अर्थात, b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का चिह्न विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अब हम कई समस्याओं पर विचार करेंगे, जहां हम दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

कार्य संख्या 1। प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसके 7वें और 10वें पद क्या होंगे, और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। इसलिए, संख्या n वाले तत्व की गणना करने के लिए, हम अभिव्यक्ति a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10वें सदस्य के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

हम योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करते हैं। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

कार्य संख्या 2। प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

मान लीजिए -2 घातांकीय प्रगति bn-1 * 4 का हर है, जहां n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक का योग ज्ञात करना आवश्यक है।

प्रस्तुत समस्या को ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। संपूर्णता के लिए, हम दोनों प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1. इसका विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करनी होगी, और फिर एक से दूसरे को घटाना होगा। छोटी राशि की गणना करें: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम हिसाब लगाते हैं बड़ी रकम: एस4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20। ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में, केवल 4 शब्दों का सारांश दिया गया था, क्योंकि 5वाँ पहले से ही उस योग में शामिल है जिसे समस्या की स्थिति के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप प्रश्नाधीन श्रृंखला के पदों m और n के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम बिल्कुल उसी तरह से कार्य करते हैं जैसे विधि 1 में, केवल हम पहले योग के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करते हैं। हमारे पास है: एसएनएम = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1) - (बीएम-1 - 1) * ए1 / (बी - 1) = ए1 * (बीएन - बीएम-1) / (बी - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

टास्क नंबर 3. हर क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती हुई श्रृंखला है।

समस्या की स्थिति के अनुसार यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि उसे हल करने के लिए किस सूत्र का प्रयोग किया जाना चाहिए। निस्संदेह, अनंत रूप से घटती प्रगति के योग के लिए। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहां से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞. यह ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 या -0.333 (3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए, मापांक बी को 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए किसी संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात सदस्य के लिए संबंधित अभिव्यक्ति लिखनी होगी। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब हम दूसरे व्यंजक को पहले से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहां से हम समस्या की स्थिति से ज्ञात सदस्यों के अनुपात की पांचवीं डिग्री की जड़, बी = 1.148698 लेकर हर का निर्धारण करते हैं। हम परिणामी संख्या को ज्ञात तत्व के किसी एक भाव में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

इस प्रकार, हमने पाया है कि प्रगति bn का हर क्या है, और ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 17.2304966 = an, जहां b = 1.148698 है।

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

यदि व्यवहार में इस संख्यात्मक श्रृंखला का कोई अनुप्रयोग नहीं होता, तो इसका अध्ययन विशुद्ध सैद्धांतिक रुचि तक ही सीमित रह जाता। लेकिन एक ऐसी एप्लीकेशन है.

3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें फुर्तीला अकिलिस धीमे कछुए को नहीं पकड़ सकता है, को संख्याओं के अनंत रूप से घटते अनुक्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
• यदि शतरंज की बिसात की प्रत्येक कोशिका पर गेहूं के दाने इस प्रकार रखे जाएं कि पहली कोशिका पर 1 दाना, दूसरी पर 2, तीसरी पर 3, और इसी प्रकार आगे भी रखा जाए, तो सभी कोशिकाओं को भरने के लिए 18446744073709551615 दानों की आवश्यकता होगी। बोर्ड!
• गेम "टॉवर ऑफ़ हनोई" में, डिस्क को एक रॉड से दूसरे रॉड में पुनर्व्यवस्थित करने के लिए, 2n - 1 ऑपरेशन करना आवश्यक है, अर्थात, उपयोग की गई डिस्क n की संख्या से उनकी संख्या तेजी से बढ़ती है।

ज्यामितीय अनुक्रमगणित में अंकगणित से कम महत्वपूर्ण नहीं। ज्यामितीय प्रगति संख्याओं b1, b2,..., b[n] का एक ऐसा क्रम है जिसका प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक को एक स्थिर संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह संख्या, जो प्रगति की वृद्धि या कमी की दर को भी दर्शाती है, कहलाती है ज्यामितीय प्रगति का हरऔर निरूपित करें

के लिए पूरा कार्यज्यामितीय प्रगति, हर के अलावा, इसके पहले पद को जानना या निर्धारित करना आवश्यक है। हर के सकारात्मक मान के लिए, प्रगति एक मोनोटोन अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह क्रम एकरस रूप से घट रहा है और एकरस रूप से बढ़ रहा है। ऐसा मामला जब हर एक के बराबर होता है तो व्यवहार में उस पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि हमारे पास समान संख्याओं का एक क्रम है, और उनका योग व्यावहारिक हित में नहीं है।

ज्यामितीय प्रगति का सामान्य शब्दसूत्र के अनुसार गणना की गई

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योगसूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

आइए हम शास्त्रीय ज्यामितीय प्रगति समस्याओं के समाधान पर विचार करें। आइए समझने में सबसे सरल से शुरू करें।

उदाहरण 1. ज्यामितीय प्रगति का पहला पद 27 है, और इसका हर 1/3 है। ज्यामितीय प्रगति के पहले छह पद ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम समस्या की स्थिति को फॉर्म में लिखते हैं

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर, हम प्रगति के अज्ञात सदस्यों को ढूंढते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करना मुश्किल नहीं है। प्रगति स्वयं इस प्रकार दिखाई देगी

उदाहरण 2. ज्यामितीय प्रगति के पहले तीन सदस्य दिए गए हैं: 6; -12; 24. हर और सातवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम इसकी परिभाषा के आधार पर ज्यामितीय प्रगति के हर की गणना करते हैं

हमें एक प्रत्यावर्ती ज्यामितीय अनुक्रम मिला जिसका हर -2 है। सातवें पद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस पर कार्य हल हो गया है।

उदाहरण 3. एक ज्यामितीय प्रगति इसके दो सदस्यों द्वारा दी गई है . प्रगति का दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए दिए गए मानों को सूत्रों के माध्यम से लिखें

नियमों के अनुसार, हर को ढूंढना आवश्यक होगा, और फिर वांछित मूल्य की तलाश करें, लेकिन दसवें पद के लिए हमारे पास है

इनपुट डेटा के साथ सरल हेरफेर के आधार पर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। हम श्रृंखला के छठे पद को दूसरे से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है

यदि परिणामी मान को छठे पद से गुणा किया जाए, तो हमें दसवां पद प्राप्त होता है

इस प्रकार, ऐसी समस्याओं के लिए, सरल परिवर्तनों की सहायता से तेज़ तरीकाआप सही समाधान पा सकते हैं.

उदाहरण 4. ज्यामितीय प्रगति आवर्ती सूत्रों द्वारा दी गई है

ज्यामितीय प्रगति का हर और पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम दिए गए डेटा को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं

दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करके हर को व्यक्त करें

पहले समीकरण से प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए

ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित पाँच पदों की गणना करें

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया नौवाँ सदस्यदृश्यों , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य अनुक्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम साथ दिया जाता है nवाँ पद सूत्र , यानी, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , फिर संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को इस प्रकार सेट किया गया है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्या अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . एक अवरोही क्रम है. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ घटते नहीं हैं, या, इसके विपरीत, बढ़ते नहीं हैं, कहलाते हैं नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - कुछ संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर अंकगणितीय प्रगतिहमेशा स्थिर:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसका एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)घ= 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c किसी अंकगणितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

ए एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य पदों की संख्या से अंतिम पदों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि शर्तों का योग करना आवश्यक है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तो पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या.

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का हर.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और हर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसका एन -वाँ पद सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 .

उदाहरण के लिए,

एक ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = बी 1 · क्यू एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन मान्य है:

संख्याएँ a, b और c किसी ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो आवश्यक कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला कार्यकाल भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्र2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

दूसरे से शुरू होने वाली ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, इस प्रगति के उससे समान दूरी वाले सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ ज्यामितीय प्रगति के पद क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति संकेत-प्रत्यावर्ती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों में इसके पहले पद के समान चिह्न होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों में विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी एन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक इससे कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह बात फिट बैठती है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-प्रत्यावर्ती होता है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिसमें प्रथम का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रमनिकट से संबंधित हैं. आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , वह

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , वह

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

आइए एक शृंखला पर विचार करें.

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले से ठीक चार गुना अधिक है। तो यह शृंखला एक प्रगति है।

ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है मुख्य विशेषतायानी कि अगली संख्या को पिछली संख्या से किसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।

a z +1 =a z q, जहां z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, z ∈ N.

वह अवधि जब स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर इस प्रकार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही bz शून्य हो सकते हैं। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक तत्व शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या जानने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी पद और उनका योग ज्ञात करना संभव है।

किस्मों

Q और a 1 के आधार पर, इस प्रगति को कई प्रकारों में विभाजित किया गया है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ता है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• यदि |q| एक से कम, अर्थात उससे गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3 ... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• चिह्न-चर। यदि प्र<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• z-वें सदस्य का सूत्र. आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना किसी विशिष्ट संख्या के अंतर्गत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

समाधान:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• प्रथम तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक zसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - क्यू)≠ 0, इसलिए q, 1 के बराबर नहीं है।

ध्यान दें: यदि q=1, तो प्रगति एक अनंत रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2. एस 5 की गणना करें।

समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि यदि |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिये.

समाधान:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति. यदि निम्न शर्त किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक z 2 = एक z -1 · एz+1

• साथ ही, ज्यामितीय अनुक्रम की किसी भी संख्या का वर्ग किसी दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक z 2 = एक z - टी 2 + एक z + टी 2 , कहाँटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है.

• तत्वोंक्यू में अंतरएक बार।
• प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणितीय, यानी, उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से अधिक है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

बेहतर ढंग से समझने के लिए कि ज्यामितीय प्रगति क्या है, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

इस तरह,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

समाधान:ऐसा करने के लिए, पहला तत्व q ढूंढना और उसे सूत्र में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1 ,इसीलिए ए 1= 3

एस 6 = 189

• · ए 1 = 10, क्यू= -2. प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल मूल राशि में इसका 6% जोड़ देगा। 4 साल बाद खाते में कितने पैसे होंगे?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि इस प्रकार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल रकम 1.06 गुना बढ़ जाती है. इसका मतलब यह है कि 4 वर्षों के बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो कि 10 हजार के बराबर पहला तत्व और 1.06 के बराबर हर द्वारा दिया गया है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों का योग ज्ञात करें।

समाधान:

जिओम. प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से q गुना बड़ा है, अर्थात, योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी प्रकार, हमें खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

ए 1=2

एस 6 = 728.

ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक अगला पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा

ज्यामितीय प्रगति को b1,b2,b3, …, bn,… द्वारा दर्शाया जाता है।

ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात उसी संख्या के बराबर होता है, अर्थात, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = …। यह सीधे अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से अनुसरण करता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।

|q| के लिए अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग<1

ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने का एक तरीका इसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर निर्धारित करना है। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियाँ 4, -8, 16, -32,… की ज्यामितीय प्रगति देती हैं।

यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है (b1=2, q=2)।

यदि हर ज्यामितीय त्रुटि में q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे मामलों में, प्रगति को एक निरंतर अनुक्रम कहा जाता है।

संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृतिक संख्या N के सेट से संबंधित है।

अब आइए (Xn) - एक ज्यामितीय प्रगति रखें। ज्यामितीय प्रगति q का हर, |q|∞) के साथ।
यदि हम अब एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग को S से निरूपित करें, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य होगा:
S=x1/(1-q).

एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:

एक अनंत ज्यामितीय प्रगति 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... का योग ज्ञात कीजिए।

S को खोजने के लिए, हम अनंत अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.