घर › टायर और पहिए › अंकगणितीय प्रगति के अंतर के लिए सूत्र। अंकगणितीय प्रगति के पहले एन-शर्तों का योग

अंकगणितीय प्रगति के अंतर के लिए सूत्र। अंकगणितीय प्रगति के पहले एन-शर्तों का योग

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं का एक क्रम नाम दें (एक प्रगति के सदस्य)

जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले वाले से स्टील शब्द से भिन्न होता है, जिसे भी कहा जाता है कदम या प्रगति अंतर.

इस प्रकार, प्रगति के चरण और उसके पहले पद को निर्धारित करके, आप सूत्र का उपयोग करके इसके किसी भी तत्व का पता लगा सकते हैं

एक अंकगणितीय प्रगति के गुण

1) अंकगणितीय श्रेणी का प्रत्येक सदस्य, दूसरी संख्या से शुरू होकर, श्रेणी के पिछले और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है

इसका उलटा भी सच है। यदि प्रगति के पड़ोसी विषम (सम) सदस्यों का अंकगणितीय माध्य उस सदस्य के बराबर है जो उनके बीच खड़ा है, तो संख्याओं का यह क्रम अंकगणितीय प्रगति है। इस अभिकथन से किसी भी अनुक्रम की जाँच करना बहुत आसान है।

साथ ही अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति द्वारा, उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है

यदि हम पदों को समान चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं तो इसे सत्यापित करना आसान होता है

समस्याओं में गणना को सरल बनाने के लिए इसका प्रयोग अक्सर अभ्यास में किया जाता है।

2) अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को अच्छी तरह याद रखें, यह गणना में अनिवार्य है और सरल जीवन स्थितियों में काफी सामान्य है।

3) यदि आपको संपूर्ण योग नहीं, बल्कि इसके k -th सदस्य से शुरू होने वाले अनुक्रम का एक भाग ज्ञात करना है, तो निम्नलिखित योग सूत्र आपके काम आएगा

4) k वें नंबर से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग ज्ञात करना व्यावहारिक रुचि है। ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

इस पर सैद्धांतिक सामग्रीसमाप्त होता है और हम सामान्य व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1. समांतर श्रेढ़ी 4;7;... का चालीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शर्त के अनुसार, हमारे पास है

प्रगति चरण को परिभाषित करें

सुप्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम श्रेढ़ी का चालीसवाँ पद ज्ञात करते हैं

उदाहरण 2। अंकगणितीय प्रगतिइसके तीसरे और सातवें सदस्यों द्वारा दिया जाता है। श्रेढ़ी का पहला पद और दस का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम प्रगति के दिए गए तत्वों को सूत्रों के अनुसार लिखते हैं

हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं, परिणामस्वरूप हम प्रगति चरण पाते हैं

अंकगणितीय प्रगति का पहला पद ज्ञात करने के लिए पाया गया मान किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है

प्रगति के पहले दस पदों के योग की गणना करें

जटिल गणनाओं को लागू किए बिना, हमें सभी आवश्यक मान मिले।

उदाहरण 3. एक अंकगणितीय श्रेढ़ी हर और उसके सदस्यों में से एक द्वारा दी गई है। श्रेढ़ी का पहला पद, 50 से शुरू करते हुए इसके 50 पदों का योग और पहले 100 का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए प्रगति के सौवें तत्व के लिए सूत्र लिखें

और पहले का पता लगाएं

पहले के आधार पर, हम श्रेढ़ी का 50वाँ पद ज्ञात करते हैं

प्रगति के हिस्से का योग ढूँढना

और पहले 100 का योग

प्रगति का योग 250 है।

उदाहरण 4

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या ज्ञात करें यदि:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

समाधान:

हम पहले पद और प्रगति के चरण के संदर्भ में समीकरण लिखते हैं और उन्हें परिभाषित करते हैं

योग में शब्दों की संख्या निर्धारित करने के लिए हम प्राप्त मूल्यों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

सरलीकरण करना

और द्विघात समीकरण को हल करें

प्राप्त दो मानों में से केवल 8 अंक ही समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त है। इस प्रकार श्रेढ़ी के पहले आठ पदों का योग 111 है।

उदाहरण 5

प्रश्न हल करें

1+3+5+...+x=307.

हल: यह समीकरण अंकगणितीय श्रेढ़ी का योग है। हम इसका पहला पद लिखते हैं और श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात करते हैं

एक अंकगणितीय प्रगति का योग।

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में। लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। प्राथमिक से काफी ठोस तक।

सबसे पहले, योग के अर्थ और सूत्र से निपटते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे। आपकी अपनी खुशी के लिए।) योग का अर्थ कम करना जितना आसान है। अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको केवल इसके सभी सदस्यों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये शब्द कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत कुछ है ... जोड़ कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाता है।

योग सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ साफ हो जाएगा।

एस एन एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। जोड़ परिणाम सभीसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। बिल्कुल जोड़ो सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना अंतराल और कूद के। और, बिल्कुल, से शुरू पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, या पाँच से बीसवें पदों का योग खोजने में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराशाजनक होगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति के सदस्य। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है, यह सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति के सदस्य। अंतिम संख्यापंक्ति। बहुत जाना-पहचाना नाम नहीं है, लेकिन जब राशि के लिए लागू किया जाता है, तो यह बहुत उपयुक्त होता है। तब आप अपने लिए देखेंगे।

एन अंतिम सदस्य का नंबर है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सूत्र में यह संख्या जोड़े गए शब्दों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. भरने का प्रश्न: किस प्रकार का सदस्य होगा अंतिम,अगर दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?

एक आश्वस्त उत्तर के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और ... असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग खोजने के कार्य में, अंतिम शब्द हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए।अन्यथा, एक परिमित, विशिष्ट राशि बस मौजूद नहीं है।समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रकार की प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया जाता है: संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा, या nवें सदस्य के सूत्र द्वारा।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस प्रकार है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। कार्य में, यह सभी मूल्यवान जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ ... लेकिन कुछ भी नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करेंगे।)

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग के कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों का सही निर्धारण है।

असाइनमेंट के लेखक इन तत्वों को असीम कल्पना के साथ एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरना नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझने के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए एक वास्तविक जीआईए पर आधारित कार्य से शुरू करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छी नौकरी. आसान।) सूत्र के अनुसार राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम अवधि की संख्या एन।

अंतिम सदस्य संख्या कहाँ से प्राप्त करें एन? हाँ, उसी जगह, हालत में! यह कहते हैं कि योग खोजें पहले 10 सदस्य।अच्छा, वह कौन सा नंबर होगा अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, इसके बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, लेकिन इसके बजाय एन- दस। दोबारा, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या के समान होती है।

यह तय होना बाकी है एक 1और एक 10. यह nवें पद के सूत्र द्वारा आसानी से परिकलित किया जाता है, जो समस्या कथन में दिया गया है। पता नहीं कैसे करना है? पिछले पाठ पर जाएँ, इसके बिना - कुछ भी नहीं।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

एस एन = एस 10.

हमें अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता चला। यह उन्हें स्थानापन्न करने और गिनने के लिए बना हुआ है:

इसके लिए यही सब कुछ है। उत्तर : 75.

GIA पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 \u003d 2.3। पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी सदस्य का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक साधारण प्रतिस्थापन की तलाश कर रहे हैं:

एक 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

यह अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर: 423.

वैसे, योग सूत्र में अगर के बजाय एककेवल nवें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

हम समान देते हैं, हमें अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक नया सूत्र मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कोई ज़रूरत नहीं है nवाँ पद एक. कुछ कामों में यह सूत्र बहुत मदद करता है, जी हां... आप इस सूत्र को याद कर सकते हैं। और आप इसे सही समय पर वापस ले सकते हैं, जैसा कि यहाँ है। आखिरकार, योग के सूत्र और nवें पद के सूत्र को हर तरह से याद किया जाना चाहिए।)

अब संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में कार्य):

3. तीन के गुणक वाली सभी धनात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

कैसे! कोई पहला सदस्य नहीं, कोई अंतिम नहीं, कोई प्रगति नहीं... कैसे जीना है!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को स्थिति से बाहर निकालना होगा। दो अंकों की संख्या क्या होती है - हम जानते हैं। उनमें दो संख्याएँ होती हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी पहला? 10, संभवतः।) आखिरी बातदो अंकों की संख्या? 99, बिल्कुल! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे ...

तीन का गुणज... हम्म... ये ऐसी संख्याएँ हैं जो तीन से समान रूप से विभाज्य हैं, यहाँ! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ उभर रहा है। आप समस्या की स्थिति के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक शब्द पिछले एक से कड़ाई से तीन से भिन्न होता है। यदि पद में 2, या 4 जोड़ा जाता है, मान लीजिए परिणाम, अर्थात् एक नई संख्या अब 3 से विभाजित नहीं होगी। आप ढेर के लिए अंकगणितीय प्रगति के अंतर को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3।उपयोगी!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

नम्बर क्या होगा एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी सोचता है कि 99 गलत है ... संख्याएं - वे हमेशा एक पंक्ति में जाती हैं, और हमारे सदस्य शीर्ष तीन पर कूदते हैं। वे मेल नहीं खाते।

यहाँ दो समाधान हैं। एक तरीका सुपर मेहनती के लिए है। आप प्रगति को पेंट कर सकते हैं, संख्याओं की पूरी श्रृंखला, और अपनी उंगली से शब्दों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील के लिए है। आपको nवें पद के सूत्र को याद रखना होगा। यदि सूत्र को हमारी समस्या पर लागू किया जाता है, तो हम पाते हैं कि 99 श्रेढ़ी का तीसवां सदस्य है। वे। एन = 30।

हम अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं:

हम देखते हैं और आनन्दित होते हैं।) हमने समस्या की स्थिति से राशि की गणना के लिए आवश्यक सब कुछ निकाल लिया:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो बचता है वह प्राथमिक अंकगणित है। सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर: 1665

एक अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेलियाँ:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवीं से चौंतीसवीं तक की शर्तों का योग ज्ञात कीजिए।

हम योग सूत्र को देखते हैं और ... हम परेशान हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, योग की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं के बाद से ...फॉर्मूला काम नहीं करेगा।

आप निश्चित रूप से पूरी प्रगति को एक पंक्ति में चित्रित कर सकते हैं, और सदस्यों को 20 से 34 तक रख सकते हैं। लेकिन ... किसी तरह यह मूर्खतापूर्ण और लंबे समय के लिए निकलता है, है ना?)

एक और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान है। आइए हमारी श्रृंखला को दो भागों में तोड़ते हैं। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवीं तक।दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस।यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, इसे दूसरे भाग के सदस्यों के योग में जोड़ते हैं एस 20-34, हम पहले पद से चौंतीसवें पद की प्रगति का योग प्राप्त करते हैं एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे पता चलता है कि योग खोजने के लिए एस 20-34सरल घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर के दोनों योगों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। क्या हम शुरू कर रहे हैं?

हम कार्य की स्थिति से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5।

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम उन्हें nवें पद के सूत्र के अनुसार गिनते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

एक 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

वहाँ कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों के योग को घटाइए:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है। सीधी गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (S 20-34),हमने गिना क्या, ऐसा प्रतीत होता है, इसकी आवश्यकता नहीं है - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, पूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटाना। ऐसा "कानों के साथ झगड़ा" अक्सर बुरी पहेली में बचाता है।)

इस पाठ में, हमने उन समस्याओं की जाँच की जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। ठीक है, आपको कुछ सूत्रों को जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से दो मुख्य सूत्र तुरंत लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद का सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बताएंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है, किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के कार्य।

5. दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

कूल?) समस्या 4 के नोट में संकेत छिपा है। ठीक है, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 =-5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। पहले 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है। आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को अनदेखा न करें, ऐसी पहेलियाँ अक्सर GIA में पाई जाती हैं।

7. वासिया ने छुट्टी के लिए पैसे बचाए। जितना 4550 रूबल! और मैंने सबसे प्यारे व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को कुछ भी नकारे बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और बाद के प्रत्येक दिन पिछले एक की तुलना में 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा खत्म नहीं हो जाता। वास्या को कितने दिनों का सुख मिला?

क्या यह मुश्किल है?) कार्य 2 से एक अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्था में): 7, 3240, 6।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

बीजगणित का अध्ययन करते समय सामान्य शिक्षा विद्यालय(ग्रेड 9) में से एक महत्वपूर्ण विषयसंख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणितीय। इस लेख में, हम एक अंकगणितीय प्रगति और समाधान के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, विचाराधीन प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही उन मूल सूत्रों को भी देना चाहिए जिनका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

अंकगणित या क्रमबद्ध परिमेय संख्याओं का ऐसा समूह है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से कुछ स्थिर मूल्य से भिन्न होता है। इस मान को अंतर कहा जाता है। यही है, संख्याओं की क्रमबद्ध श्रृंखला के किसी भी सदस्य और अंतर को जानकर, आप संपूर्ण अंकगणितीय प्रगति को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। संख्याओं का अगला क्रम एक अंकगणितीय प्रगति होगी: 4, 8, 12, 16, ..., क्योंकि इस मामले में अंतर 4 है (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)। लेकिन संख्या 3, 5, 8, 12, 17 के समुच्चय को अब विचारित प्रकार की प्रगति के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए अंतर एक स्थिर मान नहीं है (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

महत्वपूर्ण सूत्र

अब हम अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक मूल सूत्र देते हैं। मान लीजिए a n अनुक्रम के nवें सदस्य को निरूपित करता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। आइए अंतर को निरूपित करें लैटिन पत्रडी। तब निम्नलिखित भाव सत्य हैं:

Nth शब्द का मान निर्धारित करने के लिए, सूत्र उपयुक्त है: a n \u003d (n-1) * d + a 1।
पहले n पदों का योग निर्धारित करने के लिए: S n = (a n + a 1)*n/2.

ग्रेड 9 में समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के किसी भी उदाहरण को समझने के लिए, इन दो सूत्रों को याद रखना पर्याप्त है, क्योंकि विचाराधीन प्रकार की कोई भी समस्या उनके उपयोग पर निर्मित होती है। साथ ही, यह न भूलें कि प्रगति अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: d = a n - a n-1 ।

उदाहरण #1: एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

हम अंकगणितीय प्रगति और हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों का एक सरल उदाहरण देते हैं।

क्रम 10, 8, 6, 4,... दिया है, इसमें पाँच पद ज्ञात करना आवश्यक है।

समस्या की स्थितियों से यह पहले से ही पता चलता है कि पहले 4 पद ज्ञात हैं। पांचवें को दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

आइए पहले अंतर की गणना करें। हमारे पास है: डी = 8 - 10 = -2। इसी तरह, एक दूसरे के बगल में खड़े होकर कोई भी दो अन्य शब्द ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, डी = 4 - 6 = -2। चूँकि यह ज्ञात है कि d \u003d a n - a n-1, फिर d \u003d a 5 - a 4, जहाँ से हमें मिलता है: a 5 \u003d a 4 + d। हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: a 5 = 4 + (-2) = 2।
दूसरी विधि में प्रश्न में प्रगति के अंतर के ज्ञान की भी आवश्यकता होती है, इसलिए आपको पहले इसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है (डी = -2)। यह जानते हुए कि प्रथम पद a 1 = 10, हम अनुक्रम की n संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। हमारे पास है: एक n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n। n = 5 को अंतिम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: a 5 = 12-2 * 5 = 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों समाधान एक ही परिणाम की ओर ले जाते हैं। ध्यान दें कि इस उदाहरण में प्रगति का अंतर d ऋणात्मक है। इस तरह के अनुक्रम को घटते हुए कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक क्रमिक शब्द पिछले एक से छोटा होता है।

उदाहरण #2: प्रगति अंतर

आइए अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं, एक अंकगणितीय प्रगति के अंतर को खोजने का उदाहरण दें।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजगणितीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7वां पद 18 के बराबर है। यह आवश्यक है कि अंतर को खोजा जाए और इस क्रम को 7वें पद पर पुनर्स्थापित किया जाए।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1 । हम स्थिति से ज्ञात डेटा को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात संख्या 1 और a 7, हमारे पास: 18 \u003d 6 + 6 * डी। इस अभिव्यक्ति से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया गया था।

7वें सदस्य के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको बीजगणितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: एक 1 = 6, एक 2 = 6 + 2 = 8, एक 3 = 8 + 2 = 10, एक 4 = 10 + 2 = 12, एक 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 और 7 = 18।

उदाहरण #3: प्रगति करना

आइए हम समस्या की स्थिति को और भी जटिल बना दें। अब आपको इस सवाल का जवाब देना है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें। हम निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए, 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याओं का क्या स्थान होगा। चूंकि उनके बीच तीन और पद होंगे, फिर 1 \u003d -4 और 5 \u003d 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम पिछले एक के समान कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं। फिर से, nवें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 \u003d a 1 + 4 * d। से: डी \u003d (ए 5 - ए 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25। यहाँ, अंतर एक पूर्णांक मान नहीं है, लेकिन यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब आइए पाए गए अंतर को 1 में जोड़ें और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करें। हमें मिलता है: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, जो समस्या की स्थिति के साथ मेल खाता है।

उदाहरण # 4: प्रगति का पहला सदस्य

हम समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति का उदाहरण देना जारी रखते हैं। पिछली सभी समस्याओं में, बीजगणितीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक भिन्न प्रकार की समस्या पर विचार करें: मान लीजिए कि दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ a 15 = 50 और a 43 = 37 है। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह क्रम किस संख्या से शुरू होता है।

अब तक उपयोग किए गए सूत्र 1 और d के ज्ञान को मानते हैं। समस्या की स्थिति में इन नंबरों के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, आइए प्रत्येक शब्द के लिए भाव लिखें जिसके बारे में हमारे पास जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। हमें दो समीकरण मिले हैं जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ हैं (a 1 और d)। इसका मतलब यह है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो जाती है।

यदि आप प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी व्यंजकों की तुलना करते हैं, तो निर्दिष्ट प्रणाली को हल करना सबसे आसान है। पहला समीकरण: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; दूसरा समीकरण: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d। इन भावों की बराबरी करते हुए, हमें मिलता है: 50 - 14 * डी \u003d 37 - 42 * डी, जहां से अंतर डी \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप a 1 के लिए ऊपर दिए गए 2 व्यंजकों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहले: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496।

यदि परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति के 43 वें सदस्य को निर्धारित करें, जो शर्त में निर्दिष्ट है। हमें मिलता है: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना में हजारवें भाग तक राउंडिंग का उपयोग किया गया था।

उदाहरण #5: योग

आइए अब अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

निम्नलिखित रूप की एक संख्यात्मक प्रगति दी जाए: 1, 2, 3, 4, ...,। इन संख्याओं में से 100 के योग की गणना कैसे करें?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल किया जा सकता है, अर्थात, क्रमिक रूप से सभी संख्याओं को जोड़ दें, जो कि जैसे ही कोई व्यक्ति Enter कुंजी दबाएगा, कंप्यूटर करेगा। हालाँकि, समस्या को मानसिक रूप से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करते हुए, हमें मिलता है: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान रखना उत्सुक है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, अभी भी केवल 10 साल की उम्र में, इसे कुछ ही सेकंड में अपने दिमाग में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर स्थित संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक ही परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूँकि ये योग बिल्कुल 50 (100/2) होंगे, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, 50 को 101 से गुणा करना पर्याप्त है।

उदाहरण # 6: n से m तक की शर्तों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि 8 से 14 तक इसकी शर्तों का योग क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना और फिर उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ना शामिल है। चूँकि कुछ शर्तें हैं, यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि से हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार यह है कि शब्द m और n के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त किया जाए, जहाँ n> m पूर्णांक हैं। दोनों स्थितियों के लिए, हम योग के लिए दो व्यंजक लिखते हैं:

एस एम \u003d एम * (ए एम + ए 1) / 2।
एस एन \u003d एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूँकि n > m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहला योग शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें m शब्द जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग S n से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + ए एन * एन / 2 + एम * (1- एम / 2)। इस अभिव्यक्ति में एन और एम के लिए सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। फिर हमें मिलता है: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन - 1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम - 1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन - 1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है, हालाँकि, योग S mn केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: S mn = 301।

जैसा कि उपरोक्त समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएं nवें पद के लिए व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग सूत्र पर आधारित हैं। इससे पहले कि आप इनमें से किसी भी समस्या को हल करना शुरू करें, यह अनुशंसा की जाती है कि आप स्थिति को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से समझें कि आप क्या खोजना चाहते हैं, और उसके बाद ही समाधान के साथ आगे बढ़ें।

एक और टिप सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको ठीक वैसा ही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम होती है। उदाहरण के लिए, समाधान संख्या 6 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, सूत्र S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m पर रुक सकता है, और विभाजित करें सामान्य कार्यअलग-अलग उप-कार्यों में (में इस मामले मेंपहले पद a n और a m ज्ञात कीजिए)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें, पता चला। एक बार जब आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं है।

चतुर्थ याकोवलेव | गणित पर सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, अंकगणितीय (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण अवधारणासंख्या अनुक्रम।

परिणाम को

स्क्रीन पर एक डिवाइस की कल्पना करें जिसमें कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : संख्याओं का ऐसा समूह अनुक्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार में रखा जाता है)। संख्या n वाली संख्या कहलाती है वां सदस्यक्रम।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, जो अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 द्वारा निरूपित किया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है जो अनुक्रम का पाँचवाँ सदस्य है, जिसे a5 निरूपित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, किसी अनुक्रम के nवें सदस्य को a (या bn , cn , आदि) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक बहुत ही सुविधाजनक स्थिति तब होती है जब अनुक्रम के nवें सदस्य को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम निर्दिष्ट करता है: 1; 1; 3; 5; 7; : : सूत्र a = (1)n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; 1; 1; 1; : : :

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं होता है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें पुनर्संख्यांकित करने के लिए ¾बहुत अधिक¿ संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के क्रम में सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू) पिछले पद के योग के बराबर होता है और कुछ निश्चित संख्या (अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; 5; 8; ग्यारह; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 2 और अंतर 3 है। क्रम 7; 2; 3; 8; : : : एक अंकगणितीय श्रेढ़ी है जिसका पहला पद 7 और अंतर 5 है। क्रम 3; 3; 3; : : : शून्य अंतर वाली अंकगणितीय श्रेढ़ी है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a+1 an एक स्थिर मान है (n पर निर्भर नहीं)।

एक अंकगणितीय प्रगति को बढ़ते हुए कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर नकारात्मक है तो घट रहा है।

1 और यहाँ एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का क्रम फलन f: N! आर।

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, अर्थात, जिसमें अनंत संख्याएँ होती हैं। लेकिन कोई भी परिमित अनुक्रमों पर विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1; 2; 3; 4; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

यह समझना आसान है कि अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: कैसे, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना पद ज्ञात करें?

समांतर श्रेढ़ी के nवें पद के लिए वांछित सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक

अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति d. अपने पास:
an+1 = a + d (n = 1; 2; : ::):
विशेष रूप से, हम लिखते हैं:
ए2 = ए1 + डी;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
और अब यह स्पष्ट हो गया है कि a का सूत्र है:
ए = ए1 + (एन 1)डी:

टास्क 1. अंकगणितीय प्रगति 2 में; 5; 8; ग्यारह; : : : nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवें पद की गणना कीजिए।

समाधान। सूत्र (1) के अनुसार हमारे पास है:

ए = 2 + 3(एन 1) = 3एन 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

संपत्ति और अंकगणितीय प्रगति का संकेत

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

	सबूत। अपने पास:
	एक n 1+ एक n+1		(ए डी) + (ए + डी)

जो कि आवश्यक था।

अधिक आम तौर पर, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

एक एन = एक एन के + एक एन + के

किसी भी n > 2 और किसी भी प्राकृतिक k के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक बल्कि एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए एक अनुक्रम के लिए पर्याप्त स्थिति भी है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n > 2 पर लागू होती है, तो अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को निम्नानुसार फिर से लिखें:

एक ना एन 1= एक एन+1एक एन:

इससे पता चलता है कि अंतर a+1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका मतलब यह है कि अनुक्रम a अंकगणितीय प्रगति है।

गुण और एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत एक बयान के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए, हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यह स्थिति अक्सर समस्याओं में होती है)।

एक अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c।

समस्या 2. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र के संकाय, 2007) निर्दिष्ट क्रम में तीन संख्याएं 8x, 3 x2 और 4 घटती अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। एक्स खोजें और इस प्रगति का अंतर लिखें।

समाधान। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1, तो 8, 2, 4 की घटती हुई श्रेढ़ी 6 के अंतर से प्राप्त होती है। यदि x = 5, तो 40, 22, 4 की वर्धमान श्रेढ़ी प्राप्त होती है; यह मामला काम नहीं करता।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती कहती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और चुपचाप अखबार पढ़ने बैठ गए। हालाँकि, कुछ ही मिनटों में, एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या हल कर दी है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के महानतम गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार यह था। होने देना

एस = 1 + 2 + 3 + : : : : + 98 + 99 + 100:

इस योग को उल्टे क्रम में लिखते हैं:

एस = 100 + 99 + 98 + : : : : + 3 + 2 + 1;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद 101 के बराबर है, और कुल 100 ऐसे पद हैं। इसलिए

2S = 101 100 = 10100;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए2 + : : : + ए + एन एन: (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन nवें पद a = a1 + (n 1)d के सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है: