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अंतर की अंकगणितीय प्रगति बनाएं। अंकगणितीय प्रगति - संख्या अनुक्रम

ऑनलाइन कैलकुलेटर.
अंकगणितीय प्रगति समाधान.
दिया गया: ए एन, डी, एन
खोजें: ए 1

यह गणित प्रोग्राम उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट संख्याओं $a_n, d $ और $n $ के आधार पर अंकगणितीय प्रगति का $a_1$ ढूंढता है।
संख्याओं $a_n$ और $d $ को न केवल पूर्णांक के रूप में, बल्कि भिन्न के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसके अलावा, एक भिन्नात्मक संख्या को दशमलव अंश (\ (2.5 \)) के रूप में और रूप में दर्ज किया जा सकता है सामान्य अंश($-5\frac(2)(7) $).

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान खोजने की प्रक्रिया भी प्रदर्शित करता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा विद्यालयतैयारी के लिए नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपना कार्य पूरा कर सकते हैं खुद का प्रशिक्षणऔर/या उनके छोटे भाइयों या बहनों का प्रशिक्षण, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ाया जाता है।

यदि आप संख्याएँ दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

संख्याएं दर्ज करने के नियम

संख्याओं $a_n$ और $d $ को न केवल पूर्णांक के रूप में, बल्कि भिन्न के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
संख्या $n$ केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो सकती है।

दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम.
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप 2.5 या 2.5 जैसे दशमलव दर्ज कर सकते हैं

साधारण भिन्न दर्ज करने के नियम.
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
इनपुट:
परिणाम: $-\frac(2)(3) $

पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट:
परिणाम: $-1\frac(2)(3) $

संख्याएँ a n , d, n दर्ज करें 1 खोजें

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थोड़ा सा सिद्धांत.

संख्यात्मक क्रम

क्रमांकन का प्रयोग अक्सर रोजमर्रा के व्यवहार में किया जाता है। विभिन्न वस्तुएँउनके आदेश को इंगित करने के लिए. उदाहरण के लिए, प्रत्येक सड़क पर मकान क्रमांकित हैं। लाइब्रेरी में, पाठकों की सदस्यता को क्रमांकित किया जाता है और फिर विशेष फ़ाइल कैबिनेट में निर्दिष्ट संख्याओं के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

बचत बैंक में, जमाकर्ता के व्यक्तिगत खाते की संख्या से, आप आसानी से इस खाते को ढूंढ सकते हैं और देख सकते हैं कि इसमें किस प्रकार की जमा राशि है। मान लें कि खाता संख्या 1 पर a1 रूबल की जमा राशि है, खाता संख्या 2 पर a2 रूबल की जमा राशि है, आदि। संख्यात्मक क्रम
ए 1, ए 2, ए 3, ..., ए एन
जहां N सभी खातों की संख्या है। यहां, 1 से N तक प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को एक संख्या a n दी गई है।

गणित की भी पढ़ाई होती है अनंत संख्या क्रम:
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , ... .
संख्या a 1 कहलाती है अनुक्रम का पहला सदस्य, संख्या ए 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य, संख्या ए 3 - अनुक्रम का तीसरा सदस्यवगैरह।
संख्या a n को कहा जाता है अनुक्रम का nवाँ (nth) सदस्य, और प्राकृत संख्या n इसकी है संख्या.

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम में 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... और 1 = 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है; और n = n 2 है नौवाँ सदस्यअनुक्रम; a n+1 = (n + 1) 2 अनुक्रम का (n + 1)वां (en प्लस पहला) सदस्य है। अक्सर किसी अनुक्रम को उसके nवें पद के सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ अनुक्रम देता है $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

अंकगणितीय प्रगति

एक वर्ष की अवधि लगभग 365 दिन होती है। अधिक सही मूल्य$365\frac(1)(4) $ दिन के बराबर होता है, इसलिए हर चार साल में एक दिन की त्रुटि जमा हो जाती है।

इस त्रुटि को ध्यान में रखते हुए, हर चौथे वर्ष में एक दिन जोड़ा जाता है, और बढ़े हुए वर्ष को लीप वर्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, तीसरी सहस्राब्दी में, लीप वर्ष 2004, 2008, 2012, 2016, ... हैं।

इस क्रम में, प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, समान संख्या 4 के साथ जोड़े जाने पर, पिछले सदस्य के बराबर होता है। ऐसे अनुक्रम कहलाते हैं अंकगणितीय प्रगति.

परिभाषा।
संख्यात्मक अनुक्रम a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... कहलाता है अंकगणितीय प्रगति, यदि सभी प्राकृतिक n समानता के लिए
$a_(n+1) = a_n+d, $
जहाँ d कोई संख्या है।

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि a n+1 - a n = d. संख्या d को अंतर कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति.

अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
कहाँ
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, जहां $n>1 $

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसके निकटवर्ती दो सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है। यह "अंकगणितीय" प्रगति नाम की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि यदि a 1 और d दिया गया है, तो अंकगणितीय प्रगति के शेष पदों की गणना पुनरावर्ती सूत्र a n+1 = a n + d का उपयोग करके की जा सकती है। इस तरह, प्रगति के पहले कुछ पदों की गणना करना मुश्किल नहीं है, हालांकि, उदाहरण के लिए, 100 के लिए, पहले से ही बहुत सारी गणनाओं की आवश्यकता होगी। आमतौर पर इसके लिए nवें पद सूत्र का उपयोग किया जाता है। अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
वगैरह।
बिलकुल,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
क्योंकि नौवाँ सदस्यअंकगणितीय प्रगति पहले पद से संख्या d में (n-1) गुना जोड़कर प्राप्त की जाती है।
इस सूत्र को कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र.

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

आइए 1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करें।
हम इस योग को दो प्रकार से लिखते हैं:
एस = एल + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
एस = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
हम इन समानताओं को पद दर पद जोड़ते हैं:
2एस = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101।
इस योग में 100 पद हैं।
इसलिए, 2S = 101 * 100, जहाँ से S = 101 * 50 = 5050।

अब एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , ...
मान लीजिए S n इस प्रगति के पहले n पदों का योग है:
एस एन = ए 1, ए 2, ए 3, ..., ए एन
तब एक अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग है
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

चूँकि $a_n=a_1+(n-1)d $, तो इस सूत्र में a n को प्रतिस्थापित करने पर, हमें खोजने के लिए एक और सूत्र मिलता है अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

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या अंकगणित - यह एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख इस प्रश्न पर विस्तार से चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात किया जाए।

यह प्रगति क्या है?

प्रश्न पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने लायक है कि क्या चर्चा की जाएगी।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी क्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या में कुछ मान जोड़ने (घटाने) से प्राप्त होता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाता है। गणित की भाषा में अनुवादित यह परिभाषा इस प्रकार है:

यहाँ i श्रृंखला के तत्व a i की क्रमिक संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या जानकर, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित समानता विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए है:

ए एन = ए 1 + डी * (एन - 1)।

अर्थात n-वें तत्व का मान क्रम से ज्ञात करने के लिए अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ें।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि के लिए सूत्र देने से पहले, एक सरल पर विचार करना उचित है विशेष मामला. 1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ पद हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ना।

एस 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55।

यह एक दिलचस्प बात पर विचार करने लायक है: चूँकि प्रत्येक पद अगले से समान मान d = 1 से भिन्न होता है, तो पहले का दसवें के साथ, दूसरे का नौवें के साथ, इत्यादि का जोड़ीवार योग एक ही परिणाम देगा। . वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 योग हैं, यानी श्रृंखला में तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करने पर आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर आ जायेंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

एस एन \u003d एन * (ए 1 + ए एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि सभी तत्वों को एक पंक्ति में जोड़ना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, यह पहले a 1 और अंतिम a n का मान जानने के लिए पर्याप्त है, और यह भी कुल गणनाशर्तें एन.

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में तब सोचा था जब वह अपने स्कूल शिक्षक द्वारा निर्धारित समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग करना।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिया गया सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देता है कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों का) का योग कैसे पाया जाए, लेकिन अक्सर कार्यों में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला का योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि mवें से nवें तक पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। ऐसे में प्रतिनिधित्व एम-वेंपद a m पहला होगा, और a n को n-(m-1) क्रमांकित किया जाएगा। इस मामले में, योग के लिए मानक सूत्र लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन = (एन - एम + 1) * (ए एम + ए एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे एक संख्यात्मक क्रम दिया गया है, आपको इसके सदस्यों का योग ज्ञात करना चाहिए, जो 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होता है:

दी गई संख्याएं दर्शाती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप प्रगति के 5वें और 12वें सदस्यों के मान पा सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 = ए 1 + डी * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
ए 12 = ए 1 + डी * 11 = -4 + 3 * 11 = 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानना, और यह भी जानना कि वे श्रृंखला में कौन से नंबरों पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। पाना:

एस 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग-अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, और फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं। .

क्या मुख्य मुद्दासूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से" एन" .

निःसंदेह, आपको पहला पद जानना आवश्यक है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या नकल करना) पर्याप्त नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मुझें नहीं पता। और यहां कैसे याद रखेंयदि आवश्यकता हुई तो मैं तुम्हें संकेत दूँगा। उन लोगों के लिए जो पाठ में अंत तक महारत हासिल करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र से निपटें।

सामान्य रूप से एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर क्या है - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से बताया गया है। यदि आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है. यह पता लगाना बाकी है कि क्या नौवाँ सदस्य.

में प्रगति सामान्य रूप से देखेंसंख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, ......

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, इत्यादि। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, यदि एक सौ बीसवाँ - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, एस कोईसंख्या? बहुत सरल! इस कदर:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य।अक्षर n के नीचे सभी सदस्यों की संख्याएँ एक साथ छिपी हुई हैं: 1, 2, 3, 4, इत्यादि।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक पत्र लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और प्रगति पर हल करने के लिए कार्यों का एक समूह। आप आगे देखेंगे.

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; ए 1 ; डीऔर एन. इन मापदंडों के आसपास, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

nवें पद सूत्र का उपयोग किसी विशिष्ट प्रगति को लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = 5 + (एन-1) 2.

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करने पर यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में क्या है ए 1 = 5, और डी = 2।

और यह और भी क्रोधित करने वाला हो सकता है!) यदि हम भी वही स्थिति लें: ए एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलें और समान दें? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए = 3 + 2एन.

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर ख़तरा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालाँकि वास्तव में पहला सदस्य पाँच है... थोड़ा नीचे हम ऐसे संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति हेतु कार्यों में एक और संकेतन है - एक एन+1. आपने अनुमान लगाया, यह प्रगति का "एन प्लस पहला" पद है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी समस्या में हम लेते हैं एकपाँचवाँ कार्यकाल, फिर एक एन+1छठे सदस्य होंगे. वगैरह।

बहुधा पदनाम एक एन+1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है. इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति के एक शब्द को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले वाले के माध्यम से.मान लीजिए कि हमें आवर्ती सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

ए एन+1 = ए एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पाँचवाँ - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवां पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वां पद ज्ञात नहीं है, 20वें की गिनती नहीं की जा सकती। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। पुनरावर्ती केवल के माध्यम से कार्य करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। संख्याओं की पूरी शृंखला को क्रम में नहीं गिनना।

अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से नियमित में बदला जा सकता है। लगातार पदों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला पद खोजें एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। जीआईए में ऐसे कार्य अक्सर मिलते रहते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) दी गई है। यदि 1 =3 और d=1/6 है तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर हल किया जा सकता है। जोड़ें, हाँ जोड़ें... एक या दो घंटे।)

और फॉर्मूले के मुताबिक समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा. आप इसे समयबद्ध कर सकते हैं।) हम निर्णय लेते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 = 3, डी = 1/6।यह देखना बाकी है कि क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

कृपया ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं एक सौ इक्कीस नंबर.ये हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

इसके लिए यही सब कुछ है। उतनी ही तेजी से कोई पांच सौ दसवां सदस्य और एक हजार तीसरा सदस्य भी ढूंढ सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनअक्षर की अनुक्रमणिका में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिला दूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को समझदारी से हल करें। मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित समस्या है:

यदि a 17 =-2 है तो अंकगणितीय प्रगति (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए; d=-0.5.

यदि आपको कोई कठिनाई हो तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। एक अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हां हां। हाथ से लिखें, सीधे अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखकर, हम समझते हैं कि हमारे पास कौन सा डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध d=-0.5,सत्रहवाँ सदस्य है... सब कुछ? यदि आप सोचते हैं कि बस इतना ही, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, हाँ...

हमारे पास भी एक नंबर है एन! हालत में ए 17 =-2छिपा हुआ दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और उसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन=17.यह "छोटी चीज़" अक्सर दिमाग से निकल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी चीज़" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालाँकि... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण ढंग से अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

ए 17 = ए 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलिए इसे डालते हैं:

-2 = ए 1 + (17-1) (-0.5)

संक्षेप में, यही सब कुछ है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करना और गणना करना बाकी है। आपको उत्तर मिलता है: ए 1 = 6.

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करती है। ठीक है, बेशक, आपको एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें!? इस कौशल के बिना गणित की पढ़ाई ही नहीं की जा सकती...

एक अन्य लोकप्रिय समस्या:

अंकगणितीय प्रगति (a n) का अंतर ज्ञात करें यदि a 1 =2; ए 15 =12.

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिखते हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 =2; ए 15 =12; और (विशेष आकर्षण!) एन=15. सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

आइए अंकगणित करें।)

12=2 + 14 दिन

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य ए एन , ए 1और डीतय। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ=3. इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिये.

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: ए एन और एन.लेकिन एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन...और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हमें उसका नंबर नहीं पता। एन,इसलिए इस नंबर को भी ढूंढना होगा. सूत्र में प्रगति पद 99 को प्रतिस्थापित करें:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन=30.

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगी:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

चलिए फिर से सूत्र लिखते हैं. क्या, कोई पैरामीटर नहीं हैं? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है. आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 = -3.6.अंतर डीश्रृंखला से निर्धारित किया जा सकता है? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हाँ, हमने सबसे सरल कार्य किया। यह एक अज्ञात नंबर से निपटना बाकी है एनऔर एक समझ से बाहर संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का पद था जो दिया गया था। लेकिन यहां तो हमें ये भी नहीं पता कि... कैसे बनें!? खैर, कैसे होना है, कैसे होना है... चालू करो रचनात्मक कौशल!)

हम कल्पना करनावह 117, आख़िरकार, हमारी प्रगति का एक सदस्य है। एक अज्ञात नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

पुनः हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!एक सौ डेढ़. और भिन्नात्मक संख्याएँ प्रगति में हैं हो नहीं सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य. यह 101वें और 102वें सदस्यों के बीच है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात्। धनात्मक पूर्णांक, तो संख्या पाई गई संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

जीआईए के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगतिशर्त द्वारा दिया गया:

ए एन \u003d -4 + 6.8 एन

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से निर्धारित किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र...ऐसा होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र भी!वह इजाजत भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं. जो सोचता है. कि पहला पद शून्य से चार है, यह पूरी तरह से गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।कुछ नहीं, हम इसे अभी ढूंढ लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन=1इस सूत्र में:

ए 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

यहाँ! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

इसी प्रकार, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

ए 10 = -4 + 6.8 10 = 64

इसके लिए यही सब कुछ है।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, जीआईए या यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की कठिन युद्ध स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए। कुछ मन में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से... चाहे एनवहाँ, या n+1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र प्राप्त करना आसान है. बहुत सख्त नहीं, लेकिन निश्चित रूप से आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाना है. विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष बनाते हैं और उस पर पहले वाले को अंकित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य. और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच. इस कदर:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा पद क्या है? तीसरापद प्रथम पद प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 =ए 1 + 2 डी

आपको समझ आया? मैं कुछ शब्दों को यूं ही बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा पद क्या है? चौथीपद प्रथम पद प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 =ए 1 + 3 डी

यह समझने का समय आ गया है कि अंतरालों की संख्या, अर्थात्। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक n, अंतराल की संख्याइच्छा एन-1.तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

ए एन = ए 1 + (एन-1)डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित की कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें. लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानताएं, सिस्टम, आदि। आप एक समीकरण में एक चित्र नहीं डाल सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य.

वार्म-अप के लिए:

1. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 2 =3; ए 5 = 5.1. एक 3 खोजें.

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाती है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। फर्क महसूस करो!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 = 19.1; a 236 =49, 3. a 3 खोजें।

क्या, चित्र बनाने में अनिच्छा?) फिर भी! बेहतर फ़ॉर्मूला, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में प्रगति आवर्ती तरीके से दी गई है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक गिनती... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की स्थिति के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे सकारात्मक और सबसे बड़े नकारात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य है। एक 14 खोजें.

सबसे आसान काम नहीं, हां...) यहां "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने होंगे और समीकरण हल करने होंगे।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

घटित? यह अच्छा है!)

सब कुछ काम नहीं करता? ह ाेती है। वैसे, में अंतिम कार्यएक सूक्ष्म बात है. समस्या को पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क.

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए फंतासी तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और एनवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित है। मेरा सुझाव है।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

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हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचय से परेशान नहीं करूंगा और तुरंत काम पर लगूंगा।

आरंभ करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं. लेकिन असल में कुछ तो है. अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से समान संख्या में भिन्न होता है.

अपने लिए जज करें. पहला सेट केवल क्रमागत संख्या है, प्रत्येक पिछले से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पांच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालाँकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। ऐसी स्थिति में प्रत्येक अगला तत्व बस $\sqrt(2)$ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या अपरिमेय है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगला पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है। जिस मात्रा से संख्याओं में अंतर होता है उसे प्रगति अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

संकेतन: $\left(((a)_(n)) \right)$ स्वयं प्रगति है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति पर ही विचार किया जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते.

दूसरे, अनुक्रम स्वयं सीमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक सीमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप आत्मा में कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही है अनंत प्रगति. चार के बाद का दीर्घवृत्त, मानो संकेत देता है कि बहुत सारी संख्याएँ आगे तक जाती हैं। उदाहरण के लिए, असीमित रूप से अनेक। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। यहां घटती प्रगति के उदाहरण दिए गए हैं:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है ठीक है: अंतिम उदाहरणअत्यधिक जटिल लग सकता है. लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

यदि प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा है तो बढ़ रहा है;

घट रहा है, यदि, इसके विपरीत, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम भी हैं - उनमें समान दोहराई जाने वाली संख्या शामिल है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहां सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिह्न पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति अंतर:

यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगतियों के लिए अंतर $d$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेना और दाईं ओर की संख्या से बाईं ओर की संख्या घटाना पर्याप्त है। यह इस तरह दिखेगा:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनमें क्या गुण हैं।

प्रगति और आवर्ती सूत्र के सदस्य

चूँकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों को आपस में बदला नहीं जा सकता, इसलिए उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \सही$\]

इस समुच्चय के व्यक्तिगत तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार दर्शाया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, इत्यादि।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\राइटएरो ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

संक्षेप में, प्रगति का $n$वां पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वां पद और अंतर $d$ जानना होगा। इस तरह के सूत्र को आवर्ती कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप किसी भी संख्या को केवल पिछले वाले (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर पा सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा फॉर्मूला है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

यह फ़ॉर्मूला शायद आपने पहले भी देखा होगा. वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

कार्य संख्या 1. अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखें $\left(((a)_(n)) \right)$ यदि $((a)_(1))=8,d=-5$.

समाधान। तो, हम पहला पद $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहला पद पहले से ही जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने यह सुनिश्चित किया कि पहले पद के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ सामान्य अंकगणित पर आ गया।

कार्य संख्या 2. किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि उसका सातवाँ पद −40 है और उसका सत्रहवाँ पद −50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(संरेखित करें) और ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(संरेखित) \दाएं।\]

\[\left\( \begin(संरेखित) और ((a)_(1))+6d=-40 \\ और ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम का चिन्ह इसलिए लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटा दें (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

ठीक वैसे ही, हमें प्रगति अंतर मिला! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बना हुआ है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरा और तीसरा पद ज्ञात करना बाकी है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

प्रगति के एक विचित्र गुण पर ध्यान दें जिसे हमने खोजा: यदि हम $n$वें और $m$वें पदों को लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे से घटाते हैं, तो हमें संख्या $n-m$ से गुणा की गई प्रगति का अंतर प्राप्त होता है:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानने की आवश्यकता है - इसकी मदद से आप कई समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। इसका एक प्रमुख उदाहरण यहां दिया गया है:

कार्य संख्या 3. अंकगणितीय प्रगति का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कोई प्रणाली बनाने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ केवल कुछ पंक्तियों में तय किया गया था।

आइए अब एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसका पहला पद नकारात्मक है, तो देर-सबेर इसमें सकारात्मक पद भी प्रकट होंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति की शर्तें देर-सबेर नकारात्मक हो जाएंगी।

साथ ही, तत्वों को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हुए, इस क्षण को "माथे पर" ढूंढना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना करने में कई शीट लग जाती हैं - हम तब तक सो जाते हैं जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

कार्य संख्या 4. एक अंकगणितीय प्रगति में कितने ऋणात्मक पद हैं -38.5; -35.8; …?

समाधान। तो, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद नकारात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा.

आइए यह पता लगाने का प्रयास करें: पदों की नकारात्मकता कितने समय तक (अर्थात, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) संरक्षित रहती है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n)) \lt 0\दायां तीर ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \दाएं। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\राइटएरो ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है. तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$. दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान ही हमारे लिए उपयुक्त होंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या निश्चित रूप से $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है।

कार्य संख्या 5. अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. इस प्रगति के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह बिल्कुल पिछली जैसी ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पांचवें पद को पहले और अंतर के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हम यह पता लगाते हैं कि हमारे अनुक्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\दायाँ तीर ((n)_(\min ))=56. \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमानता का न्यूनतम पूर्णांक समाधान संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता तक कम कर दिया गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमारे लिए उपयुक्त नहीं होगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं की ओर बढ़ते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति सीखें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं से बचाएगी। :)

अंकगणितीय माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार शब्दों पर विचार करें $\left(((a)_(n)) \right)$. आइए उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ को नोट किया है, न कि किसी $((a)_(1)) को, \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ आदि। क्योंकि नियम, जो मैं अब आपको बताऊंगा, वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान रूप से काम करता है।

और नियम बहुत सरल है. आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद रखें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि पद $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं . और यह दूरी $d$ के बराबर है. $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ के बारे में भी यही कहा जा सकता है - इन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ समान दूरी से $2d$ के बराबर। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अर्थ को अच्छी तरह से दर्शाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब यह है कि यदि पड़ोसी संख्याएँ ज्ञात हैं तो आप $((a)_(n))$ पा सकते हैं:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

हमने एक शानदार कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बायीं और दायीं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ कदम से विचलन कर सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

वे। यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, तो हम आसानी से कुछ $((a)_(150))$ पा सकते हैं, क्योंकि $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालाँकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई कार्यों को विशेष रूप से "तेज" किया जाता है। नज़र रखना:

कार्य संख्या 6. $x$ के सभी मान इस प्रकार ज्ञात करें कि संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ लगातार सदस्य हों एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूँकि ये संख्याएँ एक प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ को पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\begin(संरेखित करें) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह क्लासिक निकला द्विघात समीकरण. इसके मूल: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर:-3; 2.

कार्य संख्या 7. $$ का मान इस प्रकार ज्ञात करें कि संख्याएँ $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति बनायें (उसी क्रम में)।

समाधान। पुनः, हम मध्य पद को पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में व्यक्त करते हैं:

\[\begin(संरेखित) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण. और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर आंकड़े मिलते हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से आश्वस्त नहीं हैं, तो एक अद्भुत चाल है जो आपको जांचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया है?

मान लीजिए समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन संख्याएं हैं ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$), जिन्हें एक अंकगणितीय प्रगति बनाना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\begin(संरेखित करें) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित करें)\]

हमें संख्याएँ मिलीं -54; −2; 50 जो 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी यही होता है:

\[\begin(संरेखित करें) और x=2\दायां तीर \\ और -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित करें)\]

फिर से एक प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो लोग चाहें वे दूसरे कार्य की जाँच स्वयं कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछले कार्यों को हल करते समय, हम दूसरे पर ठोकर खा गए दिलचस्प तथ्य, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और आखिरी का औसत है, तो ये संख्याएँ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हमें समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" करने की अनुमति मिलेगी। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे तौर पर पहले से ही विचार किए गए से आता है।

तत्वों का समूहन और योग

चलिए फिर से संख्या रेखा पर वापस चलते हैं। हम वहां प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान देते हैं, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए "लेफ्ट टेल" को $((a)_(n))$ और $d$ के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें, और "राइट टेल" को $((a)_(k))$ और $ के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें डी$. यह बहुत सरल है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग बराबर हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस। \end(संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम शुरुआत के रूप में प्रगति के दो तत्वों पर विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए) कदम बढ़ाना शुरू करते हैं, तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$एस$. इसे रेखांकन द्वारा सर्वोत्तम रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है:

समान इंडेंट समान राशि देते हैं

समझ इस तथ्यहमें समस्याओं को मौलिक रूप से और अधिक हल करने की अनुमति देगा उच्च स्तरऊपर चर्चा की गई तुलना में जटिलता। उदाहरण के लिए, ये:

कार्य संख्या 8. एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पद का उत्पाद सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(संरेखित करें)\]

इसलिए, हम प्रगति $d$ का अंतर नहीं जानते हैं। दरअसल, पूरा समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(संरेखित करें)\]

टैंक में मौजूद लोगों के लिए: मैंने सामान्य गुणनखंड 11 को दूसरे ब्रैकेट से बाहर निकाल लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\begin(संरेखित करें) और f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद पर गुणांक 11 है - यह है सकारात्मक संख्या, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं वाले एक परवलय से निपट रहे हैं:

एक द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय
कृपया ध्यान दें: यह परवलय भुज $((d)_(0))$ के साथ अपने शीर्ष पर न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस भुज की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष परवलय की धुरी समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(संरेखित) और f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

इसीलिए मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ों को ढूंढना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजा गया नंबर क्या देता है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद लेता है सबसे छोटा मूल्य(वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है)। साथ ही, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें उत्तर मिल गया। :)

उत्तर:-36

कार्य संख्या 9. संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे एक अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। दरअसल, हमें पहले और के साथ पांच नंबरों का एक क्रम बनाने की जरूरत है अंतिम संख्यापहले से ही ज्ञात था। लुप्त संख्याओं को चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा निरूपित करें:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्याओं $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से समान दूरी पर है। (1)(6)$. और यदि संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति भिन्न होती है। अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब $y$ जानकर हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ अभी मिले $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करते हुए, हम शेष संख्या पाते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिल गए. आइए उन्हें उत्तर में उसी क्रम में लिखें जिस क्रम में उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10. संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ डालें, जो दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात हो कि डाली गई संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जिसे, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम ठीक से नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित करनी हैं। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि डालने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \दाएं$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम बढ़ाकर प्राप्त की जाती हैं , यानी . अनुक्रम के केंद्र में. और इसका मतलब ये है

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

लेकिन फिर उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानकर, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\दायां तीर d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को ढूंढना बाकी है:

\[\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाएँ छोर पर आएँगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ डालनी थीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूँगा। ठीक है, सरल कार्यों के रूप में: अधिकांश छात्र जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और ऊपर जो लिखा है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, गणित में ओजीई और यूएसई में ऐसे ही कार्य सामने आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित कर लें।

टास्क नंबर 11. टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक अगले महीने में उन्होंने पिछले महीने की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने भागों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के अनुसार चित्रित भागों की संख्या, बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\begin(संरेखित) और ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(संरेखित)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए, नवंबर में 202 पार्ट्स का निर्माण किया जाएगा।

कार्य संख्या 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबें बाइंड कीं, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 अधिक किताबें बाइंड कीं। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकें बाइंड की गईं?

समाधान। सब एक जैसे:

$\begin(संरेखित करें) और ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(संरेखित)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश में हैं:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये है जवाब - दिसंबर में 260 किताबों की बाइंडिंग हो जाएगी।

ठीक है, यदि आपने यहां तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देना चाहता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। आप सुरक्षित रूप से जा सकते हैं अगला पाठ, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का nवाँ सदस्य , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य अनुक्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम साथ दिया जाता है nवाँ पद सूत्र , यानी, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , फिर संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को इस प्रकार सेट किया गया है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्या अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . एक अवरोही क्रम है. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ घटते नहीं हैं, या, इसके विपरीत, बढ़ते नहीं हैं, कहलाते हैं नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - कुछ संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसका एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)घ= 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-1 + ए एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c किसी अंकगणितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-के + ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य पदों की संख्या से अंतिम पदों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि शर्तों का योग करना आवश्यक है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या.

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का हर.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और हर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसका एन -वाँ पद सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 .

उदाहरण के लिए,

एक ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = बी 1 · क्यू एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन मान्य है:

संख्याएँ a, b और c किसी ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो आवश्यक कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला कार्यकाल भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्र2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

दूसरे से शुरू होने वाली ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, इस प्रगति के उससे समान दूरी वाले सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ ज्यामितीय प्रगति के पद क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस एन- एस के -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी एन = बी के ·	1 - क्यू एन - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

अगर दिया जाए ज्यामितीय अनुक्रम, फिर मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता गुण :

यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति संकेत-प्रत्यावर्ती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों में इसके पहले पद के समान चिह्न होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों में विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी एन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक इससे कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह बात फिट बैठती है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-प्रत्यावर्ती होता है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिसमें प्रथम का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है