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ज्यामितीय प्रगति के उदाहरण. अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति और ज़ेनो के विरोधाभास का योग

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्या अनुक्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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दोस्तों, आज हम एक और प्रकार की प्रगति से परिचित होंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

परिभाषा। एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक और कुछ निश्चित संख्या के उत्पाद के बराबर होता है, ज्यामितीय प्रगति कहलाता है।
आइए अपने अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करें: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
जहाँ b और q निश्चित संख्याएँ हैं। संख्या q को प्रगति का हर कहा जाता है।

उदाहरण। 1,2,4,8,16… ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला सदस्य एक के बराबर है, और $q=2$।

उदाहरण। 8,8,8,8… एक ज्यामितीय अनुक्रम जिसका पहला पद आठ है,
और $q=1$.

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3... एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद तीन है,
और $q=-1$.

ज्यामितीय प्रगति में एकरसता के गुण होते हैं।
यदि $b_(1)>0$, $q>1$,
फिर क्रम बढ़ता जा रहा है.
यदि $b_(1)>0$, $0 अनुक्रम को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$।

बिल्कुल अंकगणितीय प्रगति की तरह, यदि में ज्यामितीय अनुक्रमतत्वों की संख्या सीमित है, तो प्रगति को परिमित ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
ध्यान दें कि यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्ग पदों का अनुक्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है। दूसरे अनुक्रम में पहला पद $b_(1)^2$ और हर $q^2$ है।

ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

ज्यामितीय प्रगति को विश्लेषणात्मक रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए देखें कि यह कैसे करें:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
हम पैटर्न आसानी से देख सकते हैं: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
हमारे सूत्र को "ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र" कहा जाता है।

आइए अपने उदाहरणों पर वापस जाएँ।

उदाहरण। 1,2,4,8,16… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद एक के बराबर है,
और $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

उदाहरण। 16,8,4,2,1,1/2… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद सोलह है और $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

उदाहरण। 8,8,8,8… एक ज्यामितीय प्रगति जहां पहला पद आठ है और $q=1$।
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद तीन है और $q=-1$।
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

उदाहरण। एक ज्यामितीय प्रगति $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ दी गई है।
a) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ खोजें।
बी) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$। एन खोजें।
ग) यह ज्ञात है कि $q=-2, b_(6)=96$। $b_(1)$ खोजें।
d) यह ज्ञात है कि $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. क्यू खोजें.

समाधान।
ए) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
बी) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ चूँकि $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
सी) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$।

उदाहरण। गुणोत्तर श्रेणी के सातवें और पांचवें सदस्यों के बीच का अंतर 192 है, प्रगति के पांचवें और छठे सदस्यों का योग 192 है। इस प्रगति का दसवां सदस्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।
हम जानते हैं कि: $b_(7)-b_(5)=192$ और $b_(5)+b_(6)=192$।
हम यह भी जानते हैं: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
तब:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
समान करने पर, हमारे समीकरण प्राप्त होते हैं:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
हमें दो समाधान मिले q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
दूसरे समीकरण में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करें:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ कोई समाधान नहीं।
हमें वह मिल गया: $b_(1)=4, q=2$।
आइए दसवां पद खोजें: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

मान लीजिए कि हमारे पास एक सीमित ज्यामितीय प्रगति है। आइए, साथ ही अंकगणितीय प्रगति के लिए, इसके सदस्यों के योग की गणना करें।

मान लीजिए कि एक सीमित ज्यामितीय प्रगति दी गई है: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
आइए इसके सदस्यों के योग के लिए संकेतन का परिचय दें: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
उस स्थिति में जब $q=1$. ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले सदस्य के बराबर हैं, तो यह स्पष्ट है कि $S_(n)=n*b_(1)$।
अब $q≠1$ मामले पर विचार करें।
उपरोक्त राशि को q से गुणा करें.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
टिप्पणी:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

हमने एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र प्राप्त कर लिया है।

उदाहरण।
एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले सात पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका पहला पद 4 है और हर 3 है।

समाधान।
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ सदस्य ज्ञात कीजिए, जो ज्ञात है: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

समाधान।
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

दोस्तों, एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है। आइए इसके तीन लगातार सदस्यों पर विचार करें: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
हम वह जानते हैं:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
तब:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
यदि प्रगति सीमित है, तो यह समानता पहले और अंतिम को छोड़कर सभी पदों के लिए लागू होती है।
यदि यह पहले से ज्ञात नहीं है कि अनुक्रम किस प्रकार का है, लेकिन यह ज्ञात है कि: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
तब हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक ज्यामितीय प्रगति है।

कोई संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति तभी होता है जब उसके प्रत्येक पद का वर्ग प्रगति के उसके दो पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर हो। यह मत भूलिए कि एक सीमित प्रगति के लिए यह शर्त पहले और अंतिम पद के लिए पूरी नहीं होती है।

आइए इस पहचान को देखें: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ को a और b का ज्यामितीय माध्य कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मापांक उसके निकटवर्ती दो सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

उदाहरण।
x ऐसे खोजें कि $x+2; 2x+2; 3x+3$ एक ज्यामितीय प्रगति के लगातार तीन सदस्य थे।

समाधान।
आइए विशेषता गुण का उपयोग करें:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ और $x_(2)=-1$.
मूल अभिव्यक्ति में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करें, हमारे समाधान:
$x=2$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 4;6;9 $q=1.5$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।
$x=-1$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 1;0;0।
उत्तर: $x=2.$

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. गुणोत्तर श्रेणी 16; -8; 4; -2 .... का आठवां प्रथम सदस्य ज्ञात कीजिए।
2. गुणोत्तर श्रेणी 11,22,44... का दसवां सदस्य ज्ञात कीजिए।
3. यह ज्ञात है कि $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ खोजें।
4. यह ज्ञात है कि $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. एन खोजें।
5. ज्यामितीय प्रगति 3;12;48… के पहले 11 सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।
6. x इस प्रकार ज्ञात करें कि $3x+4; 2x+4; x+5$ एक ज्यामितीय प्रगति के तीन लगातार सदस्य हैं।

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।
कार्य:
सीमा के प्रारंभिक विचार का निरूपण संख्या क्रम;
अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके अनंत आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने के दूसरे तरीके से परिचित होना;
स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास, जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकन कार्यों की क्षमता, सामान्यीकरण;
गतिविधि की शिक्षा, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता, विषय में रुचि।

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संबंधित पाठ "असीम रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति" (बीजगणित, ग्रेड 10)

पाठ का उद्देश्य: छात्रों को एक नए प्रकार के अनुक्रम से परिचित कराना - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

कार्य:

संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा के प्रारंभिक विचार का निरूपण; अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र का उपयोग करके अनंत आवधिक अंशों को सामान्य अंशों में परिवर्तित करने के दूसरे तरीके से परिचित होना;

स्कूली बच्चों के व्यक्तित्व के बौद्धिक गुणों का विकास, जैसे तार्किक सोच, मूल्यांकन कार्यों की क्षमता, सामान्यीकरण;

गतिविधि की शिक्षा, पारस्परिक सहायता, सामूहिकता, विषय में रुचि।

उपकरण: कंप्यूटर क्लास, प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

पाठ का प्रकार: पाठ - एक नए विषय पर महारत हासिल करना।

कक्षाओं के दौरान

मैं. संगठन. पल। पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश.

द्वितीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

9वीं कक्षा में आपने अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया।

प्रशन

1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा.

(अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य,

दूसरे से शुरू करके, यह पिछले पद के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है)।

2. सूत्र n अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य

3. प्रथम के योग का सूत्रएन अंकगणितीय प्रगति के सदस्य।

( या )

4. ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा.

(एक ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है,

जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद से गुणा करने पर बराबर होता है

वही संख्या)।

5. सूत्र n एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद

6. प्रथम के योग का सूत्रएन एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य।

7. आप अभी भी कौन से सूत्र जानते हैं?

(, कहाँ ; ;

; , )

कार्य

1. अंकगणितीय प्रगति सूत्र द्वारा दी गई हैए एन = 7 - 4एन. 10 खोजें. (-33)

2. अंकगणितीय प्रगतिए 3 = 7 और ए 5 = 1। एक 4 खोजें. (4)

3. अंकगणितीय प्रगतिए 3 = 7 और ए 5 = 1। एक 17 खोजें. (-35)

4. अंकगणितीय प्रगतिए 3 = 7 और ए 5 = 1। एस 17 खोजें। (-187)

5. ज्यामितीय प्रगति के लिएपाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए।

6. ज्यामितीय प्रगति के लिए nवाँ पद ज्ञात कीजिए।

7. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। बी 4 खोजें। (4)

8. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। b 1 और q खोजें।

9. घातीय रूप सेबी 3 = 8 और बी 5 = 2। एस 5 खोजें। (62)

तृतीय. किसी नये विषय की खोज(प्रदर्शन प्रस्तुति).

1 के बराबर भुजा वाले एक वर्ग पर विचार करें। आइए एक और वर्ग बनाएं, जिसकी भुजा पहले वर्ग का आधा हो, फिर एक और, जिसकी भुजा दूसरे वर्ग का आधा हो, फिर अगला वर्ग बनाएं, और इसी तरह। हर बार नए वर्ग की भुजा पिछले वर्ग की आधी होती है।

परिणामस्वरूप, हमें वर्गों की भुजाओं का एक क्रम प्राप्त हुआहर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति बनाना.

और, जो बहुत महत्वपूर्ण है, हम जितना अधिक ऐसे वर्ग बनाएंगे, वर्ग की भुजा उतनी ही छोटी होगी।उदाहरण के लिए ,

वे। जैसे-जैसे संख्या n बढ़ती है, प्रगति की शर्तें शून्य के करीब पहुंचती हैं।

इस चित्र की सहायता से एक और क्रम पर विचार किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, वर्गों के क्षेत्रफलों का क्रम:

और, फिर से, यदि एन अनिश्चित काल तक बढ़ता है, फिर क्षेत्र मनमाने ढंग से शून्य के करीब पहुंच जाता है।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा 1 सेमी है। आइए त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय के अनुसार, पहले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्षों के साथ अगला त्रिभुज बनाएं - दूसरे की भुजा पहले की भुजा के आधे के बराबर है, तीसरे की भुजा पहले की भुजा के आधे के बराबर है दूसरा, आदि पुनः हमें त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई का एक क्रम प्राप्त होता है।

पर ।

यदि हम एक ऋणात्मक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करते हैं।

फिर, बढ़ती संख्या के साथएन प्रगति की शर्तें शून्य तक पहुंचती हैं।

आइए इन अनुक्रमों के हरों पर ध्यान दें। हर जगह विभाजक 1 मॉड्यूलो से कम थे।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घटती जाएगी यदि इसके हर का मापांक 1 से कम है।

सामने का काम.

परिभाषा:

एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इसके हर का मापांक एक से कम है।.

परिभाषा की सहायता से, इस प्रश्न को हल करना संभव है कि क्या ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है या नहीं।

काम

क्या अनुक्रम एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है यदि इसे सूत्र द्वारा दिया गया है:

समाधान:

आइये q खोजें।

; ; ; .

यह ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है।

बी) यह क्रम असीमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

1 के बराबर भुजा वाले एक वर्ग पर विचार करें। इसे आधे में विभाजित करें, आधे में से एक को फिर से आधा में विभाजित करें, और इसी तरह। सभी परिणामी आयतों के क्षेत्रफल एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं:

इस प्रकार प्राप्त सभी आयतों के क्षेत्रफलों का योग पहले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर और 1 के बराबर होगा।

लेकिन इस समानता के बाईं ओर अनंत पदों का योग है।

पहले n पदों के योग पर विचार करें।

सूत्र के अनुसार, ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग इसके बराबर होता है.

यदि एन फिर, अनिश्चित काल तक बढ़ता है

या । इसलिए, यानी .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगएक अनुक्रम सीमा हैएस 1 , एस 2 , एस 3 , …, एस एन , … .

उदाहरण के लिए, प्रगति के लिए,

अपने पास

क्योंकि

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योगसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है.

तृतीय. परावर्तन और समेकन(कार्यों का समापन)।

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

चतुर्थ. संक्षेपण।

आज आप किस क्रम से मिले?

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें।

कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है?

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए।

वी. होमवर्क.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

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स्लाइड कैप्शन:

हर किसी को लगातार सोचने, निर्णायक रूप से निर्णय लेने और गलत निष्कर्षों का खंडन करने में सक्षम होना चाहिए: एक भौतिक विज्ञानी और एक कवि, एक ट्रैक्टर चालक और एक रसायनज्ञ। ई. कोलमैन गणित में सूत्र नहीं, बल्कि सोचने की प्रक्रिया याद रखनी चाहिए। वीपी एर्माकोव किसी गणितज्ञ को मात देने की तुलना में वृत्त का वर्ग ज्ञात करना आसान है। ऑगस्टस डी मॉर्गन गणित से अधिक उत्कृष्ट, अधिक प्रशंसनीय, मानव जाति के लिए अधिक उपयोगी कौन सा विज्ञान हो सकता है? फ्रेंकलिन

अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति ग्रेड 10

मैं। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति. प्रश्न 1. अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा। अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है। 2. अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र। 3. अंकगणितीय प्रगति के प्रथम n सदस्यों के योग का सूत्र। 4. ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा. ज्यामितीय प्रगति गैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य को उसी संख्या 5 से गुणा करने के बराबर होता है। ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र। 6. ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग का सूत्र।

द्वितीय. अंकगणितीय प्रगति। कार्य अंकगणितीय प्रगति सूत्र a n = 7 – 4 n द्वारा दी गई है a 10 खोजें। (-33) 2. अंकगणितीय प्रगति में a 3 = 7 और a 5 = 1। एक 4 खोजें. (4) 3. अंकगणितीय प्रगति में a 3 = 7 और a 5 = 1। एक 17 खोजें. (-35) 4. अंकगणितीय प्रगति में a 3 = 7 और a 5 = 1। एस 17 खोजें। (-187)

द्वितीय. ज्यामितीय अनुक्रम। कार्य 5. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए। 6. एक ज्यामितीय प्रगति के लिए, nवाँ पद ज्ञात कीजिए। 7. ज्यामितीय प्रगति में b 3 = 8 और b 5 = 2. बी 4 खोजें। (4) 8. ज्यामितीय प्रगति में बी 3 = 8 और बी 5 = 2। b 1 और q खोजें। 9. ज्यामितीय प्रगति में b 3 = 8 और b 5 = 2. एस 5 खोजें। (62)

परिभाषा: एक ज्यामितीय प्रगति को अनंत रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इसके हर का मापांक एक से कम है।

समस्या संख्या 1 क्या अनुक्रम एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है, यदि यह सूत्र द्वारा दिया गया है: समाधान: ए) यह ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है। बी) यह क्रम असीमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति नहीं है।

एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग अनुक्रम S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … की सीमा है। उदाहरण के लिए, एक प्रगति के लिए, हमारे पास अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

कार्यों को पूरा करना पहले पद 3, दूसरे 0.3 के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात कीजिए। 2. क्रमांक 13; नंबर 14; पाठ्यपुस्तक, पृष्ठ 138 3. क्रमांक 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. नंबर 19; नंबर 20.

आज आप किस क्रम से मिले? असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति को परिभाषित करें। कैसे साबित करें कि एक ज्यामितीय प्रगति अनंत रूप से घट रही है? अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का सूत्र दीजिए। प्रशन

प्रसिद्ध पोलिश गणितज्ञ ह्यूगो स्टिंगहौस मजाक में दावा करते हैं कि एक कानून है जो इस प्रकार तैयार किया गया है: एक गणितज्ञ इसे बेहतर करेगा। अर्थात्, यदि आप दो लोगों को, जिनमें से एक गणितज्ञ है, कोई ऐसा कार्य करने का दायित्व सौंपते हैं जो वे नहीं जानते हैं, तो परिणाम हमेशा निम्नलिखित होगा: गणितज्ञ इसे बेहतर ढंग से करेगा। ह्यूगो स्टिंगहॉस 14.01.1887-25.02.1972

अनुदेश

10, 30, 90, 270...

ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात करना आवश्यक है।
समाधान:

1 विकल्प. आइए प्रगति का एक मनमाना सदस्य लें (उदाहरण के लिए, 90) और इसे पिछले वाले (30) से विभाजित करें: 90/30=3।

यदि एक ज्यामितीय प्रगति के कई सदस्यों का योग या घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का योग ज्ञात है, तो प्रगति के हर को खोजने के लिए, उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करें:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), जहां Sn ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योग है और
एस = बी1/(1-क्यू), जहां एस एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है (एक से कम हर के साथ प्रगति के सभी सदस्यों का योग)।
उदाहरण।

घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का पहला पद एक के बराबर है, और इसके सभी पदों का योग दो के बराबर है।

इस प्रगति के हर को निर्धारित करना आवश्यक है।
समाधान:

कार्य के डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें। पाना:
2=1/(1-q), जहां से – q=1/2.

प्रगति संख्याओं का एक क्रम है। एक ज्यामितीय प्रगति में, प्रत्येक आगामी पद को पिछले पद को एक निश्चित संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, जिसे प्रगति का हर कहा जाता है।

अनुदेश

यदि ज्यामितीय b(n+1) और b(n) के दो पड़ोसी सदस्य ज्ञात हैं, तो हर प्राप्त करने के लिए, बड़ी संख्या वाली संख्या को उसके पहले वाली संख्या से विभाजित करना आवश्यक है: q=b(n) +1)/बी(एन). यह प्रगति और उसके हर की परिभाषा से अनुसरण करता है। एक महत्वपूर्ण शर्त यह है कि प्रगति का पहला पद और हर शून्य के बराबर नहीं है, अन्यथा इसे अनिश्चित माना जाता है।

इस प्रकार, प्रगति के सदस्यों के बीच निम्नलिखित संबंध स्थापित होते हैं: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q। सूत्र b(n)=b1 q^(n-1) द्वारा ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य की गणना की जा सकती है, जिसमें हर q और सदस्य b1 ज्ञात हैं। साथ ही, प्रत्येक प्रगति मॉड्यूल अपने पड़ोसी सदस्यों के औसत के बराबर है: |b(n)|=√, इसलिए प्रगति को इसका प्राप्त हुआ।

ज्यामितीय प्रगति का एक एनालॉग सबसे सरल है घातांक प्रकार्य y=a^x, जहां x घातांक में है, a कुछ संख्या है। इस मामले में, प्रगति का हर पहले पद से मेल खाता है और संख्या a के बराबर है। फ़ंक्शन y का मान इस प्रकार समझा जा सकता है नौवाँ सदस्यप्रगति, यदि तर्क x को प्राकृतिक संख्या n (काउंटर) के रूप में लिया जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के लिए मौजूद है: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q)। यह सूत्र q≠1 के लिए मान्य है। यदि q=1, तो पहले n पदों के योग की गणना सूत्र S(n)=n b1 द्वारा की जाती है। वैसे, q के लिए एक से अधिक तथा धनात्मक b1 के लिए प्रगति को बढ़ना कहा जाएगा। जब प्रगति का हर, मापांक एक से अधिक न हो, तो प्रगति को घटती हुई कहा जाएगा।

विशेष मामलाज्यामितीय प्रगति - एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति (बी.यू.जी.पी.)। तथ्य यह है कि घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के सदस्य बार-बार घटेंगे, लेकिन कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचेंगे। इसके बावजूद, ऐसी प्रगति के सभी पदों का योग ज्ञात करना संभव है। यह सूत्र S=b1/(1-q) द्वारा निर्धारित किया जाता है। कुल n सदस्य अनंत हैं।

यह कल्पना करने के लिए कि आप अनंत संख्याओं को कैसे जोड़ सकते हैं और अनंत नहीं प्राप्त कर सकते हैं, एक केक बेक करें। इसका आधा हिस्सा काट दें. फिर आधे से आधा काट लें, इत्यादि। जो टुकड़े आपको मिलेंगे वे 1/2 के हर के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों से ज्यादा कुछ नहीं हैं। यदि आप इन सभी टुकड़ों को एक साथ रखते हैं, तो आपको असली केक मिलता है।

ज्यामिति की समस्याएँ हैं विशेष किस्मऐसे व्यायाम जिनमें स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। यदि आप ज्यामितीय हल नहीं कर सकते कामनीचे दिए गए नियमों का पालन करने का प्रयास करें.

अनुदेश

समस्या की स्थिति को बहुत ध्यान से पढ़ें, यदि आपको कुछ याद नहीं है या समझ में नहीं आ रहा है तो उसे दोबारा पढ़ें।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि यह किस प्रकार की ज्यामितीय समस्याएं हैं, उदाहरण के लिए: कम्प्यूटेशनल, जब आपको कुछ मूल्य खोजने की आवश्यकता होती है, तर्क की तार्किक श्रृंखला की आवश्यकता के लिए कार्य, कम्पास और शासक का उपयोग करके निर्माण के लिए कार्य। अधिक कार्य मिश्रित प्रकार. एक बार जब आप समस्या के प्रकार का पता लगा लें, तो तार्किक रूप से सोचने का प्रयास करें।

इस समस्या के लिए आवश्यक प्रमेय लागू करें, यदि कोई संदेह है या कोई विकल्प ही नहीं है, तो उस सिद्धांत को याद करने का प्रयास करें जो आपने संबंधित विषय पर पढ़ा था।

समस्या का एक प्रारूप भी बनायें। आवेदन करने का प्रयास करें ज्ञात तरीकेआपके समाधान की सत्यता की जाँच करना।

समस्या के समाधान को एक नोटबुक में बड़े करीने से पूरा करें, बिना दाग और स्ट्राइकथ्रू के, और सबसे महत्वपूर्ण बात - शायद पहली ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में समय और प्रयास लगेगा। हालाँकि, एक बार जब आप इस प्रक्रिया में पारंगत हो जाते हैं, तो आप कठिन कार्यों पर क्लिक करना शुरू कर देंगे और इसे करने में आनंद लेंगे!

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं b1, b2, b3, ..., b(n-1), b(n) का एक क्रम है जैसे कि b2=b1*q, b3=b2*q, ..., b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. दूसरे शब्दों में, प्रगति के प्रत्येक सदस्य को पिछले एक से प्रगति q के कुछ गैर-शून्य हर से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

अनुदेश

प्रगति पर समस्याओं को अक्सर प्रगति b1 के पहले पद और प्रगति q के हर के संबंध में एक प्रणाली को संकलित और उसका पालन करके हल किया जाता है। समीकरण लिखने के लिए कुछ सूत्रों को याद रखना उपयोगी होता है।

प्रगति के n-वें सदस्य को प्रगति के पहले सदस्य और प्रगति के हर के माध्यम से कैसे व्यक्त करें: b(n)=b1*q^(n-1)।

मामले पर अलग से विचार करें |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक अगला पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा

ज्यामितीय प्रगति को b1,b2,b3, …, bn,… द्वारा दर्शाया जाता है।

ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात उसी संख्या के बराबर होता है, अर्थात b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/बीएन = …. यह सीधे अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से अनुसरण करता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।

|q| के लिए अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग<1

ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने का एक तरीका इसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर निर्धारित करना है। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियाँ 4, -8, 16, -32,… की ज्यामितीय प्रगति देती हैं।

यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है (b1=2, q=2)।

यदि हर ज्यामितीय त्रुटि में q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे मामलों में, प्रगति को एक निरंतर अनुक्रम कहा जाता है।

संख्यात्मक अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृतिक संख्या N के सेट से संबंधित है।

अब आइए (Xn) - एक ज्यामितीय प्रगति रखें। ज्यामितीय प्रगति q का हर, |q|∞) के साथ।
यदि हम अब एक अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग को S से निरूपित करें, तो निम्नलिखित सूत्र मान्य होगा:
S=x1/(1-q).

एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:

एक अनंत ज्यामितीय प्रगति 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... का योग ज्ञात कीजिए।

S को खोजने के लिए, हम अनंत अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा और इसी तरह। संख्या एक बुलाया नौवाँ सदस्यदृश्यों , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य अनुक्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य ढूंढने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम साथ दिया जाता है nवाँ पद सूत्र , यानी, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

क्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, यानी, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , फिर संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को इस प्रकार सेट किया गया है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि इसमें सदस्यों की संख्या सीमित है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से अनेक सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

अभाज्य संख्या अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से छोटा है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . एक अवरोही क्रम है. ◄

वह अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ घटते नहीं हैं, या, इसके विपरीत, बढ़ते नहीं हैं, कहलाते हैं नीरस क्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें वही संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अंकगणितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ डी - कुछ संख्या.

इस प्रकार, किसी दिए गए अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसका एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)घ= 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-1 + ए एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्याएँ a, b और c किसी अंकगणितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

ए एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इस तरह,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन कोई पिछला भी एक क

एक = एक क + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-के + केडी,

एक = ए एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-के +ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल.

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, क्योंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस एन= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

पहला एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य पदों की संख्या से अंतिम पदों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि शर्तों का योग करना आवश्यक है

एक क, एक क +1 , . . . , एक,

तो पिछला सूत्र अपनी संरचना बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

अगर दिया जाए अंकगणितीय प्रगति, फिर मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से तीन मात्राओं के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो मात्राओं के संबंधित मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर होता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी एन, . . .

यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए यह एक ज्यामितीय प्रगति है एन शर्त पूरी होती है:

बी एन +1 = बी एन · क्यू,

कहाँ क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या.

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले पद से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी एन +1 / बी एन = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया ज्यामितीय प्रगति का हर.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और हर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पांच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

बी 1 = 1,

बी 2 = बी 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

बी 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = बी 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसका एन -वाँ पद सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 .

उदाहरण के लिए,

एक ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = बी 1 · क्यू एन -2 ,

बी एन = बी 1 · क्यू एन -1 ,

बी एन +1 = बी 1 · क्यू एन,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन -1 · बी एन +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर है।

चूँकि इसका विपरीत भी सत्य है, निम्नलिखित कथन मान्य है:

संख्याएँ a, b और c किसी ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी एन= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। अपने पास:

बी एन= -3 2 एन,

बी एन -1 = -3 2 एन -1 ,

बी एन +1 = -3 2 एन +1 .

इस तरह,

बी एन 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी एन -1 · बी एन +1 ,

जो आवश्यक कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन कोई पिछला कार्यकाल भी बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी एन = बी के · क्यू एन - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = बी 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · प्रश्न 3,

ख 5 = बी 3 · प्र2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी एन = बी के · क्यू एन - क,

बी एन = बी एन - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी एन 2 = बी एन - क· बी एन + क

दूसरे से शुरू होने वाली ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, इस प्रगति के उससे समान दूरी वाले सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी एन= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ एल.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , क्योंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस एन= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी एन

पहला एन हर के साथ ज्यामितीय प्रगति के पद क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस एन= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करने की आवश्यकता है

बी के, बी के +1 , . . . , बी एन,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस एन- एस के -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी एन = बी के ·	1 - क्यू एन - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मात्राएँ बी 1 , बी एन, क्यू, एनऔर एस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन मात्राओं का मान दिया गया है, तो अन्य दो मात्राओं के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित घटित होता है एकरसता गुण :

यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति कम हो रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति संकेत-प्रत्यावर्ती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों में इसके पहले पद के समान चिह्न होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों में विपरीत चिह्न होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी एन= बी 1 · बी 2 · बी 3 · . . . · बी एन = (बी 1 · बी एन) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक इससे कम होता है 1 , वह है

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटता क्रम नहीं हो सकता है। यह बात फिट बैठती है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-प्रत्यावर्ती होता है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताएं जिसमें प्रथम का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या सदैव परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है