किसी संख्या का लघुगणकीय प्रतिनिधित्व। लोगारित्म

a (a > 0, a ≠ 1) के आधार पर b (b > 0) का लघुगणकवह घातांक है जिस तक आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a बढ़ानी होगी।

b के आधार 10 लघुगणक को इस प्रकार लिखा जा सकता है लॉग (बी), और आधार e का लघुगणक (प्राकृतिक लघुगणक) - एलएन (बी).

लघुगणक के साथ समस्याओं को हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है:

लघुगणक के गुण

चार मुख्य हैं लघुगणक के गुण.

माना a > 0, a ≠ 1, x > 0 और y > 0.

संपत्ति 1. उत्पाद का लघुगणक

उत्पाद का लघुगणकलघुगणक के योग के बराबर है:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

संपत्ति 2। भागफल का लघुगणक

भागफल का लघुगणकलघुगणक के अंतर के बराबर है:

लॉग ए (एक्स / वाई) = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई

संपत्ति 3। डिग्री का लघुगणक

डिग्री लघुगणकडिग्री और लघुगणक के गुणनफल के बराबर है:

यदि लघुगणक का आधार घातांक में है, तो दूसरा सूत्र लागू होता है:

संपत्ति 4. जड़ का लघुगणक

यह संपत्ति डिग्री के लघुगणक की संपत्ति से प्राप्त की जा सकती है, क्योंकि nth डिग्री की जड़ 1/n की शक्ति के बराबर है:

एक आधार के लघुगणक से दूसरे आधार के लघुगणक तक जाने का सूत्र

लघुगणक के लिए विभिन्न कार्यों को हल करते समय इस सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

विशेष मामला:

लघुगणक की तुलना (असमानता)

मान लीजिए कि हमारे पास समान आधार वाले लघुगणक के अंतर्गत 2 फलन f(x) और g(x) हैं और उनके बीच असमानता का चिह्न है:

उनकी तुलना करने के लिए, आपको सबसे पहले लघुगणक a के आधार को देखना होगा:

• यदि a > 0, तो f(x) > g(x) > 0
• अगर 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

लघुगणक के साथ समस्याओं को कैसे हल करें: उदाहरण

लघुगणक के साथ कार्यटास्क 5 और टास्क 7 में ग्रेड 11 के लिए गणित में यूएसई में शामिल, आप उपयुक्त अनुभागों में हमारी वेबसाइट पर समाधान के साथ कार्य पा सकते हैं। साथ ही, गणित में कार्यों के बैंक में लघुगणक वाले कार्य पाए जाते हैं। आप साइट पर खोज कर सभी उदाहरण पा सकते हैं।

लघुगणक क्या है

लघुगणक को हमेशा माना जाता रहा है कठिन विषयस्कूल के गणित में। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और दुर्भाग्यपूर्ण का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल और स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। आइए इसके लिए एक टेबल बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं।

लघुगणक - गुण, सूत्र, कैसे हल करें

यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस पर आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए एक दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x का आधार वह शक्ति है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या a को उठाया जाना चाहिए।

अंकन: log a x \u003d b, जहाँ a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लघुगणक के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 भी लॉग कर सकते हैं, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती है। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणकों को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह तय करता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लघुगणक तर्कहीन हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित होते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस चित्र पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की जरूरत है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - तस्वीर में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा नीचे होता है! मैं अपने छात्रों को पहले ही पाठ में यह अद्भुत नियम बताता हूँ - और इसमें कोई भ्रम नहीं है।

लघुगणक कैसे गिनें

हमने परिभाषा निकाली - यह सीखना बाकी है कि लघुगणक को कैसे गिनना है, अर्थात। "लॉग" चिन्ह से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि दो महत्वपूर्ण तथ्य परिभाषा से अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से अधिक होना चाहिए। यह एक परिमेय प्रतिपादक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार को एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि किसी भी शक्ति की इकाई अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, सवाल "दो पाने के लिए किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" अर्थहीन है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: log 2 0.5 = -1, क्योंकि 0.5 = 2 −1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा गया है। लेकिन जब लघुगणकीय समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं, जो उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप नहीं हैं।

अब विचार करें सामान्य योजनालघुगणक गणना। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें जिसमें सबसे छोटा संभव आधार एक से अधिक हो। रास्ते में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b ;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक तर्कहीन हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही देखा जाएगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से अधिक हो बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणनाओं को बहुत सरल करता है। इसी तरह दशमलव अंशों के साथ: यदि आप उन्हें तुरंत साधारण में परिवर्तित करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. जवाब मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. जवाब मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया जाता है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

के लिए एक छोटा सा नोट अंतिम उदाहरण. यह कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक घातें हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घात होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का आधार 10 लघुगणक है, अर्थात एक्स प्राप्त करने के लिए जिस शक्ति को 10 तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजीएक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में।

x तर्क का आधार e का लघुगणक है, अर्थात वह घात जिस तक संख्या e को संख्या x प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएनएक्स।

बहुत से लोग पूछेंगे: संख्या ई क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है सही मूल्यखोजना और रिकॉर्ड करना असंभव है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459…

हम इस बात पर ध्यान नहीं देंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई आधार है प्राकृतिक:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: ln 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य होने वाले सभी नियम मान्य हैं।

यह सभी देखें:

लघुगणक। लघुगणक के गुण (लघुगणक की शक्ति)।

लघुगणक के रूप में किसी संख्या का प्रतिनिधित्व कैसे करें?

हम लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हैं।

लघुगणक उस शक्ति का सूचक है जिस पर लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत संख्या प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

इस प्रकार, आधार a के लघुगणक के रूप में एक निश्चित संख्या c का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको लघुगणक के संकेत के तहत लघुगणक के आधार के समान आधार के साथ एक डिग्री लगाने की आवश्यकता है, और इस संख्या c को घातांक में लिखें:

लघुगणक के रूप में, आप बिल्कुल किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं - धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक, भिन्नात्मक, परिमेय, अपरिमेय:

परीक्षण या परीक्षा की तनावपूर्ण स्थितियों में ए और सी को भ्रमित न करने के लिए, आप याद रखने के लिए निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं:

जो नीचे है वह नीचे जाता है, जो ऊपर है वह ऊपर जाता है।

उदाहरण के लिए, आप संख्या 2 को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना चाहते हैं।

हमारे पास दो संख्याएँ हैं - 2 और 3। ये संख्याएँ आधार और घातांक हैं, जिन्हें हम लघुगणक के चिन्ह के नीचे लिखेंगे। यह निर्धारित करना बाकी है कि इनमें से कौन सी संख्या डिग्री के आधार पर लिखी जानी चाहिए, और कौन सी - ऊपर, घातांक में।

लघुगणक के रिकॉर्ड में आधार 3 सबसे नीचे है, जिसका अर्थ है कि जब हम ड्यूस को 3 के आधार के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो हम 3 को आधार के नीचे भी लिखेंगे।

2 3 से अधिक है। और डिग्री के अंकन में, हम दो को तीन के ऊपर लिखते हैं, अर्थात घातांक में:

लघुगणक। प्रथम स्तर।

लघुगणक

लोगारित्म सकारात्मक संख्या बीवजह से ए, कहाँ ए> 0, ए ≠ 1, वह घातांक है जिस तक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए। ए, प्राप्त करने के लिए बी.

लघुगणक की परिभाषासंक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह समानता के लिए मान्य है बी> 0, ए> 0, ए ≠ 1।उसे आमतौर पर कहा जाता है लघुगणकीय पहचान।
किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है लघुगणक।

लघुगणक के गुण:

उत्पाद का लघुगणक:

विभाजन से भागफल का लघुगणक:

लघुगणक के आधार को बदलना:

डिग्री लघुगणक:

जड़ लघुगणक:

शक्ति आधार के साथ लघुगणक:

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक।

दशमलव लघुगणकसंख्याएँ उस संख्या के आधार 10 लघुगणक को बुलाती हैं और   lg लिखती हैं बी
प्राकृतिकसंख्याएँ इस संख्या के लघुगणक को आधार कहते हैं इ, कहाँ इएक अपरिमेय संख्या है, जो लगभग 2.7 के बराबर है। साथ ही वे ln लिखते हैं बी.

बीजगणित और ज्यामिति पर अन्य नोट्स

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूँकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, यहाँ नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं की जा सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - सब कुछ एक दिन में सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणकों का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणकों पर विचार करें: a x log करें और a y log करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स वाई);
2. लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स: वाई)।

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही मैदान. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 - log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 - log 3 5.

दोबारा, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135: 5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणकों से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक परीक्षण कागजात. हां, परीक्षा में नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश किए जाते हैं।

लघुगणक से घातांक को हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो तो क्या होगा? तब इस डिग्री के प्रतिपादक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

इसे देखना आसान है अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: a> 0, a ≠ 1, x> 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, अर्थात। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

यह वही है जो अक्सर आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि भाजक एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 72। अपने पास:

मुझे लगता है कि आखिरी उदाहरण को स्पष्टीकरण की जरूरत है। लघुगणक कहाँ गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल भाजक के साथ काम करते हैं। उन्होंने आधार और वहां खड़े लॉगरिदम के तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब मुख्य भिन्न को देखते हैं। अंश और हर में समान संख्या होती है: log 2 7. चूँकि log 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम का उत्तर है: 2।

एक नई नींव के लिए संक्रमण

लघुगणकों को जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे समान संख्या की सटीक शक्तियाँ नहीं हैं?

एक नए आधार में संक्रमण के सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

माना लघुगणक log a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x रखते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

यह दूसरे सूत्र से अनुसरण करता है कि लघुगणक के आधार और तर्क को बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र साधारण संख्यात्मक व्यंजकों में विरले ही पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव पर ले जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 5 16 log 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। चलो संकेतक निकालते हैं: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को पलटें:

चूँकि उत्पाद कारकों के क्रमचय से नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणकों का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर इसे हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिलकुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे इस प्रकार कहा जाता है:

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इस हद तक बढ़ा दिया जाए कि इस डिग्री में संख्या b संख्या a दे? यह सही है: यह वही संख्या है a। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इस पर "लटके" हैं।

नए बेस में जाने के फॉर्मूले की तरह, main लघुगणकीय पहचानकभी-कभी यह एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

ध्यान दें कि log 25 64 = log 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क निकाल लिया। समान आधार वाली शक्तियों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अगर किसी को पता नहीं है, तो यह यूनिफाइड स्टेट एग्जामिनेशन 🙂 से एक वास्तविक कार्य था

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो सर्वसमिकाएँ दूंगा जिन्हें गुण कहना मुश्किल है - बल्कि, ये लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए = 1 है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार a का लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
2. लॉग ए 1 = 0 है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य होता है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें व्यवहार में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, इसे प्रिंट करें और समस्याओं को हल करें।

लघुगणकीय भाव, उदाहरणों का समाधान। इस लेख में हम लघुगणकों को हल करने से संबंधित समस्याओं पर विचार करेंगे। कार्य अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने का प्रश्न उठाते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यूएसई के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करने, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

लघुगणक का अर्थ समझने के लिए यहां उदाहरण दिए गए हैं:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जिन्हें आपको हमेशा याद रखना चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है।

* * *

* भागफल (अंश) का लघुगणक कारकों के लघुगणक के अंतर के बराबर है।

* * *

* डिग्री का लघुगणक घातांक और उसके आधार के लघुगणक के गुणनफल के बराबर होता है।

* * *

*नए आधार में परिवर्तन

* * *

अधिक गुण:

* * *

कम्प्यूटिंग लघुगणक घातांक के गुणों का उपयोग करने से निकटता से संबंधित है।

हम उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करते हैं:

इस संपत्ति का सार यह है कि जब अंश को भाजक में स्थानांतरित किया जाता है और इसके विपरीत, घातांक का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति का परिणाम:

* * *

एक शक्ति को एक शक्ति में ऊपर उठाने पर, आधार समान रहता है, लेकिन घातांक गुणा हो जाते हैं।

* * *

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक की अवधारणा बहुत ही सरल है। मुख्य बात यह है कि अच्छे अभ्यास की आवश्यकता है, जो एक निश्चित कौशल प्रदान करता है। निश्चित रूप से सूत्रों का ज्ञान अनिवार्य है। यदि प्राथमिक लघुगणकों को परिवर्तित करने का कौशल नहीं बनता है, तो सरल कार्यों को हल करते समय कोई भी आसानी से गलती कर सकता है।

अभ्यास करें, पहले गणित के पाठ्यक्रम से सबसे सरल उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों की ओर बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "बदसूरत" लघुगणक कैसे हल किए जाते हैं, परीक्षा में ऐसा कोई नहीं होगा, लेकिन वे रुचि रखते हैं, इसे याद मत करो!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

पुनश्च: यदि आप सामाजिक नेटवर्क में साइट के बारे में बताते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

हम लघुगणक का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक की गणना, यह प्रक्रिया कहलाती है लोगारित्म. सबसे पहले, हम परिभाषा द्वारा लघुगणक की गणना से निपटेंगे। अगला, विचार करें कि लघुगणक के मान उनके गुणों का उपयोग करके कैसे पाए जाते हैं। उसके बाद, हम अन्य लघुगणकों के आरंभिक दिए गए मानों के माध्यम से लघुगणक की गणना पर ध्यान केन्द्रित करेंगे। अंत में, आइए जानें कि लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। संपूर्ण सिद्धांत विस्तृत समाधान के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

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परिभाषा द्वारा लघुगणक की गणना

सरलतम मामलों में, जल्दी और आसानी से प्रदर्शन करना संभव है परिभाषा द्वारा लघुगणक ढूँढना. आइए देखें कि यह प्रक्रिया कैसे होती है।

इसका सार संख्या b को a c के रूप में प्रस्तुत करना है, जहाँ से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, संख्या c लघुगणक का मान है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, लघुगणक ज्ञात करना समानता की निम्नलिखित श्रृंखला से मेल खाता है: log a b=log a c =c ।

तो, लघुगणक की गणना, परिभाषा के अनुसार, ऐसी संख्या c खोजने के लिए नीचे आती है कि a c \u003d b, और संख्या c स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले पैराग्राफ की जानकारी को देखते हुए, जब लघुगणक के चिह्न के तहत संख्या लघुगणक के आधार के कुछ डिग्री द्वारा दी जाती है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि लघुगणक किसके बराबर है - यह घातांक के बराबर है। आइए उदाहरण दिखाते हैं।

उदाहरण।

log 2 2 −3 ज्ञात कीजिये, और e 5.3 का प्राकृतिक लघुगणक भी परिकलित कीजिये।

समाधान।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि log 2 2 −3 = −3 । वास्तव में, लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या आधार 2 से -3 की शक्ति के बराबर है।

इसी तरह, हम दूसरा लघुगणक पाते हैं: lne 5.3 =5.3।

उत्तर:

log 2 2 −3 = −3 और 5.3 =5.3 ।

यदि लघुगणक के चिह्न के नीचे संख्या b को लघुगणक के आधार की शक्ति के रूप में नहीं दिया गया है, तो आपको सावधानी से विचार करने की आवश्यकता है कि क्या a c के रूप में संख्या b के प्रतिनिधित्व के साथ आना संभव है। अक्सर यह प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक के चिह्न के तहत संख्या 1, या 2, या 3 की शक्ति के आधार के बराबर होती है, ...

उदाहरण।

लॉगरिथम लॉग 5 25 और की गणना करें।

समाधान।

यह देखना आसान है कि 25=5 2 , यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: log 5 25=log 5 5 2 =2 ।

हम दूसरे लघुगणक की गणना के लिए आगे बढ़ते हैं। एक संख्या को 7 की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है: (यदि आवश्यक हो तो देखें)। इस तरह, .

आइए तीसरे लघुगणक को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें। अब आप इसे देख सकते हैं , जहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं . इसलिए, लघुगणक की परिभाषा द्वारा .

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

लॉग 5 25=2 , और .

जब पर्याप्त रूप से बड़ी प्राकृतिक संख्या लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत होती है, तो इसे प्रमुख कारकों में विघटित करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यह अक्सर लघुगणक के आधार की कुछ शक्ति के रूप में ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए, परिभाषा द्वारा इस लघुगणक की गणना करने के लिए।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक के मान को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक का गुण और आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण शामिल है: log 1 1=log a a 0 =0 और log a=log a a 1 =1 । यही है, जब संख्या 1 या संख्या एक लघुगणक के आधार के बराबर लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत होती है, तो इन मामलों में लघुगणक क्रमशः 0 और 1 होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और lg10 क्या हैं?

समाधान।

चूँकि , यह लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत संख्या 10 इसके आधार के साथ मेल खाता है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात, lg10=lg10 1 =1 ।

उत्तर:

और lg10=1।

ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना करना (जिस पर हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) समानता लॉग a a p = p का उपयोग करता है, जो लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या और लघुगणक के आधार को आसानी से किसी संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है , जो लघुगणक के गुणों में से एक के अनुरूप है। लघुगणक ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें, जो इस सूत्र के उपयोग को दर्शाता है।

उदाहरण।

के लघुगणक की गणना करें।

समाधान।

उत्तर:

.

ऊपर उल्लिखित लॉगरिदम के गुण भी गणना में उपयोग नहीं किए जाते हैं, लेकिन हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणकों के संदर्भ में लघुगणक ढूँढना

इस पैराग्राफ की जानकारी उनकी गणना में लघुगणक के गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहाँ मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को दूसरे लघुगणक के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मान ज्ञात होता है। स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण लेते हैं। मान लें कि हम जानते हैं कि log 2 3≈1.584963 , तो हम, उदाहरण के लिए, log 2 6 को लघुगणक के गुणों का उपयोग करके थोड़ा परिवर्तन करके पा सकते हैं: लॉग 2 6=लॉग 2 (2 3)=लॉग 2 2+लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे लिए उत्पाद के लघुगणक के गुण का उपयोग करना पर्याप्त था। हालाँकि, बहुत अधिक बार आपको दिए गए लोगों के संदर्भ में मूल लघुगणक की गणना करने के लिए लघुगणक के गुणों के व्यापक शस्त्रागार का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण।

आधार 60 पर 27 के लघुगणक की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि log 60 2=a और log 60 5=b है।

समाधान।

अतः हमें log 60 27 खोजने की आवश्यकता है। यह देखना आसान है कि 27=3 3 , और डिग्री के लघुगणक के गुण के कारण मूल लघुगणक को 3·log 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब देखते हैं कि log 60 3 को ज्ञात लघुगणक के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है। आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण आपको समानता लॉग 60 60=1 लिखने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, log 60 60=log60(2 2 3 5)= लॉग 60 2 2 +लॉग 60 3+लॉग 60 5= 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5 . इस प्रकार, 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5=1. इस तरह, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

अंत में, हम मूल लघुगणक की गणना करते हैं: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ख.

उत्तर:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ख.

फॉर्म के लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का अर्थ अलग से उल्लेख करने योग्य है . यह आपको किसी भी आधार के लघुगणक से एक विशिष्ट आधार के साथ लघुगणक तक जाने की अनुमति देता है, जिसके मान ज्ञात हैं या उन्हें खोजना संभव है। आमतौर पर, मूल लघुगणक से, संक्रमण सूत्र के अनुसार, वे आधार 2, ई या 10 में से एक में लघुगणक पर स्विच करते हैं, क्योंकि इन आधारों के लिए लघुगणक की तालिकाएँ होती हैं जो उन्हें एक निश्चित डिग्री की सटीकता के साथ गणना करने की अनुमति देती हैं। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक की तालिकाएँ, उनका उपयोग

लघुगणक के मूल्यों की अनुमानित गणना के लिए, कोई भी उपयोग कर सकता है लघुगणक तालिकाएँ. सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आधार 2 लघुगणक तालिका, प्राकृतिक लघुगणक तालिका और दशमलव लघुगणक तालिका है। दशमलव संख्या प्रणाली में काम करते समय, दस के आधार पर लघुगणक की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी सहायता से हम लघुगणक का मान ज्ञात करना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका एक दस-हजारवें की सटीकता के साथ, 1.000 से 9.999 (तीन दशमलव स्थानों के साथ) संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मानों को खोजने की अनुमति देती है। दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक का मान ज्ञात करने के सिद्धांत का विश्लेषण किया जाएगा विशिष्ट उदाहरण- इतना स्पष्ट। आइए lg1,256 खोजें।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएं कॉलम में हम संख्या 1.256 के पहले दो अंक पाते हैं, अर्थात, हम 1.2 पाते हैं (यह संख्या स्पष्टता के लिए नीले रंग में घेरी गई है)। संख्या 1.256 (संख्या 5) का तीसरा अंक पहली या अंतिम पंक्ति में दोहरी रेखा के बाईं ओर पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में परिक्रमा की जाती है)। मूल संख्या 1.256 (संख्या 6) का चौथा अंक पहली या अंतिम पंक्ति में दोहरी रेखा के दाईं ओर पाया जाता है (यह संख्या हरे रंग में परिक्रमा की जाती है)। अब हम चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के चौराहे पर लघुगणक की तालिका की कोशिकाओं में संख्याएँ पाते हैं (इन संख्याओं को हाइलाइट किया गया है नारंगी). चिह्नित संख्याओं का योग दशमलव के चौथे स्थान तक दशमलव लघुगणक का वांछित मान देता है, अर्थात, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

क्या यह संभव है, उपरोक्त तालिका का उपयोग करके, संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मानों को दशमलव बिंदु के बाद तीन अंकों से अधिक का पता लगाना और 1 से 9.999 तक की सीमा से परे जाना संभव है? हाँ आप कर सकते हैं। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे किया जाता है।

आइए lg102.76332 की गणना करें। पहले आपको लिखने की जरूरत है संख्या में आदर्श फॉर्म : 102.76332=1.0276332 10 2 । उसके बाद, मंटिसा को तीसरे दशमलव स्थान तक गोल किया जाना चाहिए, हमारे पास है 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक परिणामी संख्या के लघुगणक के लगभग बराबर है, अर्थात, हम lg102.76332≈lg1.028·10 2 लेते हैं। अब लघुगणक के गुणों को लागू करें: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. अंत में, हम दशमलव लघुगणक lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 की तालिका के अनुसार लघुगणक lg1.028 का मान ज्ञात करते हैं। नतीजतन, लघुगणक की गणना की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखती है: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके, आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मान की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लघुगणक पर जाने के लिए, तालिका में उनके मान खोजने और शेष गणना करने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आइए log 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है। दशमलव लघुगणकों की तालिका से हम lg3≈0.4771 और lg2≈0.3010 पाते हैं। इस प्रकार, .

ग्रंथ सूची।

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्डकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर प्रदर्शन दें समाधान उदाहरण.

अपने आप में, वे लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न को दर्शाते हैं। समाधान के लिए लघुगणक सूत्र लागू करने से पहले, हम आपके लिए सभी गुणों को याद करते हैं:

अब इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर हम दिखाते हैं लघुगणक को हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणकों को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a में एक धनात्मक संख्या b (चिह्नित लॉग a b) वह घातांक है जिस तक a को b > 0, a > 0, और 1 के साथ b प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

परिभाषा के अनुसार लॉग ए बी = एक्स, जो एक्स = बी के बराबर है, इसलिए लॉग ए एक्स = एक्स।

लघुगणक, उदाहरण:

लॉग 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2 क्योंकि 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणकएक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। lg के रूप में दर्शाया गया है।

लॉग 10 100 = 2 क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- सामान्य लघुगणक लघुगणक भी, लेकिन आधार ई (ई \u003d 2.71828 ... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में संदर्भित।

लघुगणक के सूत्रों या गुणों को याद रखना वांछनीय है, क्योंकि लघुगणक, लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय हमें बाद में उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ फिर से प्रत्येक सूत्र पर कार्य करें।

• बुनियादी लघुगणकीय पहचान
  एक लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लॉग 3 8.1 + लॉग 3 10 = लॉग 3 (8.1*10) = लॉग 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर है
  लॉग ए (बी / सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लॉग 5 50/9 लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 50- लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 25 = 9 2 = 81

• एक लघुगणकीय संख्या की डिग्री और लघुगणक के आधार के गुण

  एक लघुगणक संख्या का घातांक log a b m = mlog a b होता है

  बेस एक्सपोनेंट लघुगणक लॉगए एन बी = 1/एन * लॉग ए बी

  log a n b m = m/n*log a b,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b मिलता है

  लॉग 4 9 = लॉग 2 2 3 2 = लॉग 2 3

• एक नई नींव के लिए संक्रमण
  लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें log b b = 1 प्राप्त होता है

  तो log a b = 1/log b a

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने लगते हैं। अब, लघुगणकों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम लघुगणकीय समीकरणों की ओर बढ़ सकते हैं। हम लेख में अधिक विस्तार से लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे: ""। देखिये जरूर!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख में टिप्पणियों में लिखें।

नोट: एक विकल्प के रूप में विदेश में दूसरी कक्षा के अध्ययन की शिक्षा प्राप्त करने का निर्णय लिया।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहाँ हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत संकेतन दिखाएँगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, बुनियादी लघुगणकीय पहचान पर विचार करें।

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लघुगणक की परिभाषा

किसी समस्या को हल करते समय लघुगणक की अवधारणा उत्पन्न होती है एक निश्चित अर्थ मेंउलटा, जब आपको डिग्री के ज्ञात मान और ज्ञात आधार से एक्सपोनेंट खोजने की आवश्यकता होती है।

लेकिन पर्याप्त प्रस्तावना, यह "लघुगणक क्या है" प्रश्न का उत्तर देने का समय है? आइए हम एक उपयुक्त परिभाषा दें।

परिभाषा।

आधार a के लिए b का लघुगणक, जहाँ a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणाम के रूप में b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ानी होगी।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" को तुरंत दो आगामी प्रश्न उठाने चाहिए: "क्या संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, बस कोई लघुगणक नहीं है, लेकिन किसी आधार में केवल एक संख्या का लघुगणक है।

हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a के लिए संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। बेस e के लिए संख्या b के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने स्वयं के विशेष पदनाम lnb और lgb हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब आप ला सकते हैं: .
और रिकॉर्ड समझ में नहीं आता है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के चिह्न के तहत एक ऋणात्मक संख्या और आधार में एक इकाई।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग ए बी को "बी के लघुगणक को आधार ए" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 3 आधार 2 पर तीन का लघुगणक है, और आधार पर दो दशमलव दो तिहाई का लघुगणक है वर्गमूलपाँच में से। आधार e का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और अंकन lnb को "b का प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और अंकन lgb को "दशमलव लघुगणक b" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो बिंदु पचहत्तर सौवें का दशमलव लघुगणक है।

यह शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से रहने लायक है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए बताते हैं कि ये प्रतिबंध कहां से आए। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि one किसी भी घात के बराबर एक है, तो समानता केवल b=1 के लिए सत्य हो सकती है, लेकिन log 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।

आइए शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ ही संभव है। लेकिन तब log 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य की घात शून्य होती है। स्थिति a≠0 द्वारा इस अस्पष्टता से बचा जा सकता है। और ए के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि , और धनात्मक आधार a के साथ डिग्री का मान हमेशा धनात्मक होता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लघुगणक की ध्वनि परिभाषा आपको लघुगणक के मूल्य को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक के चिह्न के तहत संख्या आधार की एक निश्चित डिग्री होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=a p , तो आधार a की संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता log a a p = p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8 , फिर log 2 8=3 । हम इस बारे में लेख में अधिक बात करेंगे।