घातीय समीकरण शून्य है। घातीय समीकरण

समीकरणों को घातीय कहा जाता है यदि अज्ञात घातांक में समाहित है। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x \u003d a b, जहाँ a> 0, और 1, x एक अज्ञात है।

डिग्रियों के मुख्य गुण, जिनकी मदद से घातीय समीकरण रूपांतरित होते हैं: a>0, b>0।

निर्णय लेते समय घातीय समीकरणनिम्नलिखित गुणों का भी आनंद लें घातांक प्रकार्य: y = a x , a > 0, a1:

किसी संख्या को शक्ति के रूप में दर्शाने के लिए, आधार का उपयोग करें लघुगणकीय पहचान: बी =, ए> 0, ए 1, बी> 0।

"घातीय समीकरण" विषय पर कार्य और परीक्षण

• घातीय समीकरण

  पाठ: 4 सत्रीय कार्य: 21 परीक्षाएं: 1

• घातीय समीकरण - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय

  कार्य: 14

• घातीय और लघुगणकीय समीकरणों की प्रणाली - घातीय और लघुगणक कार्य ग्रेड 11

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 15 टेस्ट: 1

• §2.1। घातीय समीकरणों का समाधान

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 27

• §7 घातीय और लघुगणक समीकरण और असमानताएं - धारा 5. घातीय और लघुगणक कार्य ग्रेड 10

  पाठ: 1 सत्रीय कार्य: 17

के लिए सफल समाधानघातीय समीकरण आपको घातों के मूलभूत गुण, घातीय फलन के गुण, मूल लघुगणकीय पहचान की जानकारी होनी चाहिए।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
2. नई लाइनों की शुरूआत।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण। उन्हें समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाली घात में लाकर हल किया जाता है।

3x \u003d 9x - 2।

समाधान:

3 एक्स \u003d (3 2) एक्स - 2;
3x = 3 2x - 4;
एक्स = 2x -4;
एक्स = 4।

उत्तर: 4.

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में लगाकर हल किए गए समीकरण।

समाधान:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 एक्स - 2 एक्स 8 = 24
3 एक्स - 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3।

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन द्वारा हल किए गए समीकरण।

समाधान:

2 2x + 2 x - 12 = 0
हम 2 x \u003d y को निरूपित करते हैं।
वाई 2 + वाई - 12 = 0
वाई 1 = - 4; वाई 2 = 3।
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स > 0।
बी) 2 एक्स = 3; 2 एक्स = 2 लॉग 2 3; एक्स = लॉग 2 3।

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक दूसरे के लिए कम नहीं) आधारों वाली शक्तियों वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2।

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 एक्स - 2 × 23 = 5 एक्स - 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x– 2 = 1
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2।

उत्तर: 2.

5. समीकरण जो a x और b x के संबंध में सजातीय हैं।

सामान्य फ़ॉर्म: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x।

समाधान:

3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0।
निरूपित करें (3/2) x = y।
वाई 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
वाई 1 = 2; y2 = ½।

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2।

घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ भावों की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक्स संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए:

यह होगा समीकरण मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते। अभी हम उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे होंगे।

सबसे सरल घातीय समीकरणों का समाधान।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी बात से शुरू करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, सही !? कोई अन्य x मान रोल नहीं करता है। और अब आइए इस पेचीदा घातीय समीकरण के हल को देखें:

हमने क्या किया है? हम, वास्तव में, बस एक ही बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक देते हैं। पूरी तरह से बाहर कर दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

दरअसल, अगर घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं जो उसीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और समान घातांक। गणित अनुमति देता है। यह बहुत सरल समीकरण को हल करने के लिए बना हुआ है। यह अच्छा है, है ना?)

हालांकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहते हैं:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं निकाल सकते!

ठीक है, हम सबसे महत्वपूर्ण बात में महारत हासिल कर चुके हैं। दुष्ट घातीय व्यंजकों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"यहाँ वे समय हैं!" - आप बताओ। "नियंत्रण और परीक्षा पर इतना आदिम कौन देगा!"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहां जाना है। इसे ध्यान में रखना जरूरी है, जब वही आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित का क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें उन्हें सरलतम रूप में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाओ सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई।इन कार्यों के ज्ञान के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री वाले कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना चाहिए। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें एक स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में उदाहरण में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। इसे याद करने का समय आ गया है

दो और आठ डिग्री के रिश्तेदार हैं।) इसे लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(एन) एम = एक एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण ऐसा दिखाई देता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। ठिकानों को हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को कूटबद्ध करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय चाल है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। घातीय समीकरणों को हल करने के लिए यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणा तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अधिक बार यह आवश्यक है कि किसी शक्ति को न बढ़ाया जाए, बल्कि इसके विपरीत ... किस संख्या में किस हद तक 243 नंबर के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, हाँ ... क्या हम अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। निम्न-मध्यम वर्ग से भी शामिल है। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना अक्सर मदद करता है (हैलो टू ग्रेड 7!) आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - आधार पर! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही रहें। ठीक है, इस मामले में इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ क्रियाओं के समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है !? तीनों को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सभीगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकनाकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठकों के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणक स्पष्ट रूप से इसका संकेत देता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता रहता है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए, हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 नंबर हमें परेशान करता है। इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया है!

यह अंतिम उत्तर है।

हालाँकि, ऐसा होता है कि समान आधार पर टैक्सीिंग प्राप्त की जाती है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के चरघातांकी समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 x - 3 2 x +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। चलिए बेस पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी घुमाएँ। हमें शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके से प्राप्त करना होगा। यह कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम एक और, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी) लिखते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d टी 2

हम अपने समीकरण में x की सभी शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, यह शुरू हो गया है?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ, मुख्य बात यह नहीं है कि रुकना है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम एक्स पर लौटते हैं, यानी। एक प्रतिस्थापन बनाना। पहले टी 1 के लिए:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... लेफ्ट 2 x, राइट 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री के साथ क्रियाओं से, हाँ ...) कि एकता है कोईसंख्या से शून्य। कोई भी। आपको जो भी चाहिए, हम लगा देंगे। हमें दो चाहिए। साधन:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कुछ अजीब अभिव्यक्ति कभी-कभी प्राप्त होती है। प्रकार:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं... मैं यहां कैसे हो सकता हूं? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन वह व्यक्ति जो इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल संयम से मुस्कुराएं और दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या आवश्यक है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य को हाइलाइट करें।

प्रैक्टिकल टिप्स:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री। आइए देखें कि क्या उन्हें नहीं किया जा सकता है जो उसी।आइए इसे सक्रिय रूप से उपयोग करके करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ कार्रवाई।यह मत भूलो कि x के बिना संख्याओं को भी शक्तियों में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाएँ और दाएँ हैं जो उसीसंख्या किसी भी डिग्री के लिए। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडन।संख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम चर प्रतिस्थापन लागू करने का प्रयास करते हैं। नतीजा एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको "दृष्टि से" कुछ संख्याओं की डिग्री जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-x + 2 x = 9

घटित?

तो ठीक है सबसे कठिन उदाहरण(तय किया, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

क्या अधिक दिलचस्प है? तो यहां आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींच रहा है। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सभी गणितीय कार्यों को हल करने के लिए सरलता और सबसे सार्वभौमिक नियम बचाता है।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक उदाहरण सरल है):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

एक्स 3 एक्स - 9एक्स + 7 3 एक्स - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिन पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन्हें क्या माना जाए, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) समीकरण को हल करने के लिए यह पाठ काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!) ।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं है; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष खंड 555 में, इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने चरघातांकी समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है, वैसे...

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञात वाले समीकरण घातीय समीकरण कहलाते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a ≠ 1 है।

1) बी के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक मूल है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

चरघातांकी समीकरण, बीजगणितीय परिवर्तनों के माध्यम से, मानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि;

5) गुणनखंड विधि;

6) घातीय - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार कम करने की विधि।

विधि डिग्री के निम्नलिखित गुण पर आधारित है: यदि दो डिग्री समान हैं और उनके आधार समान हैं, तो उनके घातांक समान हैं, अर्थात, समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास किया जाना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

81 = 34 के रूप में समीकरण के दाहिने पक्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं और समीकरण को मूल 3 x = 34 के समतुल्य लिखते हैं; x = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; एक्स = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, √5, और 25 5 की घातें हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहां से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जिससे हम समाधान x = -1 पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35। उत्तर: लॉग 35।

6. 62x+4 = 33x. 2x+8।

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, अर्थात.png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: 4।

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. शक्तियों के गुणों का उपयोग करके, हम ई के रूप में समीकरण लिखते हैं। x+1 = 2, x =1। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1।

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1।

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
ए2 32x-8 = √3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए 5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए 6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 0 4) -2;1
ए 4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए 5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

जड़ प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता (घटता) है, संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एकल मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - एक्स।

समाधान। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण की जड़ है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 – x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

समाधान। हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, अतः x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - R पर घटता है, योग के रूप में घटते कार्यों की। अत: मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2। प्रश्न हल करें

ए) 4x + 1 = 6 - एक्स;

बी)

ग) 2x - 2 =1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है। एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> यानी..png" width="210" ऊंचाई = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> एक अपरिमेय समीकरण है। ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 ≤ 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर: 2.5।

समाधान। आइए समीकरण को फिर से इस रूप में लिखते हैं और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करते हैं। हमें समीकरण प्राप्त होता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, इसलिए..png" चौड़ाई="118" ऊंचाई="56">

जड़ों द्विघात समीकरण- टी 1 = 1 और टी 2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . हम फॉर्म में समीकरण को फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5।

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तरों के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
ए2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0।	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट # 4 उत्तरों के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए 5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , कहाँ से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

समाधान। आइए समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालें। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x मिलता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

3.

समाधान। हम कारक द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद के वर्ग का चयन करते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

ए2 3x+1 +3x-1 =270।

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए 4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए 5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

एक्सपोनेंशियल समीकरण तथाकथित एक्सपोनेंशियल-पॉवर इक्वेशन से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) ≠ 1, तो समीकरण, घातांक वाले की तरह, घातांक g(x) = f(x) को बराबर करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src =">

2.

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. पैरामीटर के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर पी के किन मूल्यों के लिए समीकरण 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) है केवल निर्णय?

समाधान। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय देते हैं, तब समीकरण (1) रूप लेगा t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0. (2)

समीकरण (2) का विविक्तकर D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अनूठा हल है यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात p = 1, तो समीकरण (2) का रूप t2 - 2t + 1 = 0 होगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p – 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो अलग-अलग मूल हैं t1 = p, t2 = 4p – 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

हमारे पास सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करना है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 – 6t – a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए हम उस पैरामीटर के मान का पता लगाएं जिसके लिए समीकरण की कम से कम एक जड़ (4) शर्त t> 0 को संतुष्ट करती है।

आइए फलन f(t) = t2 – 6t – a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2। समीकरण (4) का एक अनूठा सकारात्मक समाधान है यदि

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) का रूप ले लेगा (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1।

केस 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t > 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17)" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a₳ 0 पर समीकरण (4) का एक सकारात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अनूठा हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = - 9, तो x = - 1;

अगर एक  0, तो

आइए समीकरणों (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय एक द्विघात समीकरण में घटाया गया था, जिसका विविक्तकर एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को तुरंत द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाले गए। समीकरण (3) को द्विघात समीकरण (4) में घटा दिया गया है, जिसका विविक्तकर नहीं है पूर्ण वर्ग, इसलिए, समीकरण (3) को हल करते समय, वर्ग ट्रिनोमियल और ग्राफिकल मॉडल की जड़ों के स्थान पर प्रमेय का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वीटा प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

टास्क 3। समीकरण को हल करें

समाधान। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, तो परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समीकरण t2 + 2t – 13 – a = 0 का रूप ले लेगा। समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a  11, a  5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

ग्रंथ सूची।

1. शैक्षिक प्रौद्योगिकी की गुज़ीव नींव।

2. गुजीव प्रौद्योगिकी: स्वागत से लेकर दर्शन तक।

एम। "हेडमास्टर" नंबर 4, 1996

3. गुजीव और संगठनात्मक रूपसीखना।

4. गुजीव और अभिन्न शैक्षिक प्रौद्योगिकी का अभ्यास।

एम। "लोगों की शिक्षा", 2001

5. पाठ के रूपों से गुजीव - संगोष्ठी।

स्कूल नंबर 2, 1987, पीपी 9 - 11 पर गणित।

6. सेल्वको शैक्षिक प्रौद्योगिकियां।

एम। "लोगों की शिक्षा", 1998

7. एपिशेवा स्कूली बच्चे गणित सीखते हैं।

एम। "ज्ञान", 1990

8. इवानोव पाठ तैयार करने के लिए - कार्यशालाएँ।

स्कूल नंबर 6, 1990 में गणित, पी। 37-40।

9. गणित पढ़ाने का स्मिरनोव मॉडल।

स्कूल नंबर 1, 1997, पी पर गणित। 32-36।

10. तारासेंको व्यावहारिक कार्य के आयोजन के तरीके।

स्कूल नंबर 1, 1993, पी में गणित। 27 - 28।

11. एक प्रकार के व्यक्तिगत कार्य के बारे में।

स्कूल नंबर 2, 1994 में गणित, पीपी 63 - 64।

12. खज़ानकिन रचनात्मक कौशलस्कूली बच्चे।

स्कूल नंबर 2, 1989, पी में गणित। 10.

13. स्कैनवी। प्रकाशक, 1997

14. और अन्य बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। उपदेशात्मक सामग्रीके लिए

15. गणित में क्रिवोनोगोव कार्य।

एम। "फर्स्ट ऑफ़ सितंबर", 2002

16. चर्कासोव। हाई स्कूल के छात्रों के लिए हैंडबुक और

विश्वविद्यालयों में प्रवेश। "ए एस टी - प्रेस स्कूल", 2002

17. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए Zhevnyak।

मिन्स्क और आरएफ "समीक्षा", 1996

18. लिखित डी। गणित में परीक्षा की तैयारी। एम। रॉल्फ, 1999

19. और अन्य।समीकरणों और असमानताओं को हल करना सीखना।

एम। "इंटेलेक्ट - सेंटर", 2003

20. और अन्य। शैक्षिक - प्रशिक्षण सामग्रीई जी ई के लिए तैयार करने के लिए।

एम। "बुद्धि - केंद्र", 2003 और 2004

21 और अन्य। सीएमएम के वेरिएंट। रूसी संघ के रक्षा मंत्रालय का परीक्षण केंद्र, 2002, 2003

22. गोल्डबर्ग समीकरण। "क्वांटम" नंबर 3, 1971

23. वोलोविच एम। गणित को सफलतापूर्वक कैसे पढ़ाया जाए।

गणित, 1997 नंबर 3।

पाठ के लिए 24 ओकुनेव, बच्चों! एम। प्रबुद्धता, 1988

25. यकीमंस्काया - स्कूल में उन्मुख शिक्षा।

26. लिमेट्स पाठ में काम करते हैं। एम। ज्ञान, 1975

सभी नए वीडियो पाठों से अवगत होने के लिए हमारी साइट साइट के यूट्यूब चैनल पर।

सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a a … a = a n के रूप में लिख सकते हैं

1. एक 0 = 1 (एक ≠ 0)

3. एक एन एम = एक एन + एम

4. (एन) एम = एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये समीकरण हैं जिनमें चर शक्तियों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

में यह उदाहरणसंख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे होता है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी हल किया जा सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्षों के बराबर होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे किया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही मैदान(यानी, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्रियां हैं। हमें वह उत्तर मिला जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

अब हम अपने समाधान को सारांशित करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

चलिए सरल शुरू करते हैं।

बाएँ और दाएँ पक्ष के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: एक्स = 2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 । आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 मिलते हैं

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाएँ और दाएँ पक्षों के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार अलग-अलग दो और चार होते हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम चौगुनी को सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनके साथ क्या करना है? यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर कर सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर हैं। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में आप फैसला कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d टी 2

हम टी के साथ समीकरण में एक्स के साथ सभी डिग्री को प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12t + 27 \u003d 0
हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी 2 = 3

वेरिएबल को लौटें एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 x = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 एक्स
3 x = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1।

साइट पर आप रुचि के प्रश्न पूछने के लिए सहायता निर्णय अनुभाग में कर सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

एक समूह में शामिल हों

अधिकांश गणितीय समस्याओं का समाधान किसी न किसी तरह संख्यात्मक, बीजगणितीय या कार्यात्मक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से जुड़ा हुआ है। यह विशेष रूप से समाधान पर लागू होता है। गणित में यूएसई वेरिएंट में, इस प्रकार के कार्य में विशेष रूप से कार्य C3 शामिल है। C3 कार्यों को हल करना सीखना न केवल उद्देश्य के लिए महत्वपूर्ण है सफल प्रसवएकीकृत राज्य परीक्षा, बल्कि इस कारण से भी कि उच्च शिक्षा में गणित पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय यह कौशल उपयोगी होता है।

कार्यों को निष्पादित करना C3, आपको निर्णय लेना है विभिन्न प्रकारसमीकरण और असमानताएँ। उनमें तर्कसंगत, अपरिमेय, घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, युक्त मॉड्यूल (पूर्ण मान), साथ ही साथ संयुक्त हैं। यह लेख मुख्य प्रकार के घातीय समीकरणों और असमानताओं के साथ-साथ उन्हें हल करने के विभिन्न तरीकों पर चर्चा करता है। C3 समस्याओं को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित लेखों में "" शीर्षक के तहत अन्य प्रकार के समीकरणों और असमानताओं को हल करने के बारे में पढ़ें उपयोग के विकल्पअंक शास्त्र।

विशिष्ट के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले घातीय समीकरण और असमानताएँएक गणित शिक्षक के रूप में, मेरा सुझाव है कि आप कुछ पर ब्रश करें सैद्धांतिक सामग्रीजिसकी हमें आवश्यकता होगी।

घातांक प्रकार्य

एक घातीय कार्य क्या है?

समारोह देखें वाई = एक एक्स, कहाँ ए> 0 और ए≠ 1, कहा जाता है घातांक प्रकार्य.

मुख्य घातीय समारोह गुण वाई = एक एक्स:

एक घातीय समारोह का ग्राफ

चरघातांकी फलन का आलेख है प्रदर्शक:

घातीय कार्यों के रेखांकन (घातांक)

घातीय समीकरणों का समाधान

सूचकसमीकरण कहा जाता है जिसमें अज्ञात चर केवल किसी भी शक्ति के घातांक में पाया जाता है।

समाधान के लिए घातीय समीकरणआपको निम्नलिखित सरल प्रमेय को जानना और उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए:

प्रमेय 1।घातीय समीकरण ए एफ(एक्स) = ए जी(एक्स) (कहाँ ए > 0, ए≠ 1) समीकरण के बराबर है एफ(एक्स) = जी(एक्स).

इसके अलावा, मूल सूत्रों और क्रियाओं को डिग्री के साथ याद रखना उपयोगी है:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

उदाहरण 1प्रश्न हल करें:

समाधान:उपरोक्त सूत्रों और प्रतिस्थापन का उपयोग करें:

समीकरण तब बन जाता है:

प्राप्त द्विघात समीकरण का विविक्तकर धनात्मक है:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

इसका अर्थ है कि इस समीकरण के दो मूल हैं। हम उन्हें ढूंढते हैं:

प्रतिस्थापन पर वापस जा रहे हैं, हम प्राप्त करते हैं:

दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि परिभाषा के पूरे डोमेन पर घातीय कार्य सख्ती से सकारात्मक है। आइए दूसरा हल करें:

प्रमेय 1 में कही गई बातों को ध्यान में रखते हुए, हम समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ते हैं: एक्स= 3. यह कार्य का उत्तर होगा।

उत्तर: एक्स = 3.

उदाहरण 2प्रश्न हल करें:

समाधान:स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र पर समीकरण का कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि कट्टरपंथी अभिव्यक्ति किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है एक्स(घातांक प्रकार्य वाई = 9 4 -एक्ससकारात्मक और शून्य के बराबर नहीं)।

हम गुणन और शक्तियों के विभाजन के नियमों का उपयोग करके समतुल्य परिवर्तनों द्वारा समीकरण को हल करते हैं:

अंतिम संक्रमण प्रमेय 1 के अनुसार किया गया था।

उत्तर:एक्स= 6.

उदाहरण 3प्रश्न हल करें:

समाधान:मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 0.2 से विभाजित किया जा सकता है एक्स. यह संक्रमण समतुल्य होगा, क्योंकि यह व्यंजक किसी भी मान के लिए शून्य से अधिक है एक्स(घातीय कार्य अपने डोमेन पर सख्ती से सकारात्मक है)। तब समीकरण रूप लेता है:

उत्तर: एक्स = 0.

उदाहरण 4प्रश्न हल करें:

समाधान:लेख के आरंभ में दी गई घातों के विभाजन और गुणन के नियमों का उपयोग करते हुए समतुल्य रूपांतरणों द्वारा हम समीकरण को प्राथमिक रूप से सरल करते हैं:

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करना एक्स, जैसा कि पिछले उदाहरण में है, एक समतुल्य रूपांतरण है, क्योंकि यह व्यंजक किसी भी मान के लिए शून्य के बराबर नहीं है एक्स.

उत्तर: एक्स = 0.

उदाहरण 5प्रश्न हल करें:

समाधान:समारोह वाई = 3एक्स, समीकरण के बाईं ओर खड़ा है, बढ़ रहा है। समारोह वाई = —एक्स-2/3, समीकरण के दाईं ओर खड़ा है, घट रहा है। इसका अर्थ है कि यदि इन फलनों के आलेख प्रतिच्छेद करते हैं, तो अधिक से अधिक एक बिंदु पर। में इस मामले मेंयह अनुमान लगाना आसान है कि ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं एक्स= -1। कोई और जड़ नहीं होगी।

उत्तर: एक्स = -1.

उदाहरण 6प्रश्न हल करें:

समाधान:हर जगह यह ध्यान में रखते हुए कि घातीय फलन किसी भी मान के लिए शून्य से अधिक है, हम समतुल्य रूपांतरणों द्वारा समीकरण को सरल करते हैं एक्सऔर लेख की शुरुआत में दिए गए उत्पाद और आंशिक शक्तियों की गणना के लिए नियमों का उपयोग करना:

उत्तर: एक्स = 2.

घातीय असमानताओं को हल करना

सूचकअसमानताएँ कहलाती हैं जिनमें अज्ञात चर केवल कुछ घातों के घातांकों में निहित होता है।

समाधान के लिए घातीय असमानताएँनिम्नलिखित प्रमेय का ज्ञान आवश्यक है:

प्रमेय 2।अगर ए> 1, फिर असमानता ए एफ(एक्स) > ए जी(एक्स) समान अर्थ वाली असमानता के समतुल्य है: एफ(एक्स) > जी(एक्स). अगर 0< ए < 1, то показательное неравенство ए एफ(एक्स) > ए जी(एक्स) विपरीत अर्थ की असमानता के बराबर है: एफ(एक्स) < जी(एक्स).

उदाहरण 7असमानता को हल करें:

समाधान:रूप में मूल असमानता का प्रतिनिधित्व करें:

इस असमानता के दोनों भागों को 3 2 से विभाजित करें एक्स, और (फ़ंक्शन की सकारात्मकता के कारण वाई= 3 2एक्स) असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा:

आइए एक प्रतिस्थापन का उपयोग करें:

तब असमानता रूप लेती है:

तो, असमानता का समाधान अंतराल है:

रिवर्स प्रतिस्थापन से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

चरघातांकी फलन की सकारात्मकता के कारण बाईं असमानता स्वतः पूर्ण हो जाती है। लघुगणक की प्रसिद्ध संपत्ति का उपयोग करते हुए, हम समतुल्य असमानता को पास करते हैं:

चूंकि डिग्री का आधार एक से अधिक संख्या है, समतुल्य (प्रमेय 2 द्वारा) निम्नलिखित असमानता के लिए संक्रमण होगा:

तो हम अंत में प्राप्त करते हैं उत्तर:

उदाहरण 8असमानता को हल करें:

समाधान:गुणन और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम असमानता को रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए एक नया चर पेश करते हैं:

इस प्रतिस्थापन के साथ, असमानता रूप लेती है:

भिन्न के अंश और हर को 7 से गुणा करने पर, हमें निम्नलिखित तुल्य असमानता प्राप्त होती है:

अत: असमानता चर के निम्न मानों से संतुष्ट होती है टी:

फिर, प्रतिस्थापन पर वापस जाकर, हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि यहां डिग्री का आधार एक से अधिक है, यह असमानता को पास करने के लिए समकक्ष (प्रमेय 2 द्वारा) है:

अंत में हमें मिलता है उत्तर:

उदाहरण 9असमानता को हल करें:

समाधान:

हम असमानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति से विभाजित करते हैं:

यह हमेशा शून्य से अधिक होता है (क्योंकि घातीय फलन धनात्मक होता है), इसलिए असमानता के चिह्न को बदलने की आवश्यकता नहीं होती है। हम पाते हैं:

टी, जो अंतराल में हैं:

रिवर्स प्रतिस्थापन के पास जाने पर, हम पाते हैं कि मूल असमानता दो मामलों में विभाजित हो जाती है:

घातीय फलन की धनात्मकता के कारण पहली असमानता का कोई हल नहीं है। आइए दूसरा हल करें:

उदाहरण 10असमानता को हल करें:

समाधान:

परवलय की शाखाएँ वाई = 2एक्स+2-एक्स 2 को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, इसलिए यह ऊपर से उस मान से घिरा होता है जो इसके शीर्ष पर पहुंचता है:

परवलय की शाखाएँ वाई = एक्स 2 -2एक्स+2, जो संकेतक में है, ऊपर की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है कि यह नीचे से उस मूल्य तक सीमित है जो इसके शीर्ष पर पहुंचता है:

साथ ही, फ़ंक्शन नीचे से बाध्य हो जाता है वाई = 3 एक्स 2 -2एक्स+2 समीकरण के दाईं ओर। वह उसके पास पहुंचती है सबसे छोटा मूल्यघातांक में परवलय के समान बिंदु पर, और यह मान 3 1 = 3 है। इसलिए, मूल असमानता केवल तभी सत्य हो सकती है जब बाईं ओर का फलन और दाईं ओर का फलन एक बिंदु पर मान 3 लेते हैं (द्वारा इन कार्यों की सीमाओं को पार करना केवल यही संख्या है)। यह स्थिति एक बिंदु पर संतुष्ट होती है एक्स = 1.

उत्तर: एक्स= 1.

हल करना सीखें घातीय समीकरण और असमानताएं,आपको उनके समाधान में लगातार प्रशिक्षित करने की आवश्यकता है। इस कठिन मामले में विभिन्न शिक्षण में मददगार सामग्री, प्रारंभिक गणित में समस्या पुस्तकें, प्रतिस्पर्धी समस्याओं का संग्रह, स्कूल में गणित की कक्षाएं, साथ ही साथ व्यक्तिगत सत्रएक पेशेवर शिक्षक के साथ। मैं ईमानदारी से आपकी तैयारी में सफलता और परीक्षा में शानदार परिणाम की कामना करता हूं।

सर्गेई वेलेरिविच

अनुलेख प्रिय अतिथि! कृपया टिप्पणियों में अपने समीकरणों को हल करने के लिए अनुरोध न लिखें। दुर्भाग्य से, मेरे पास इसके लिए बिल्कुल भी समय नहीं है। इस तरह के संदेशों को हटा दिया जाएगा। कृपया लेख पढ़ें। शायद इसमें आपको उन सवालों के जवाब मिलेंगे जो आपको अपने काम को अपने दम पर हल करने की अनुमति नहीं देते थे।