व्युत्पन्न 5x 4. x की घात और घातीय फलन के लिए e का व्युत्पन्न

किसी पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति (x से a की पावर)। x से मूलों के व्युत्पन्नों पर विचार किया जाता है। उच्च क्रम पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण.

a की घात के लिए x का व्युत्पन्न शून्य से एक की घात के लिए x का गुना है:
(1) .

x के nवें मूल का mth घात से व्युत्पन्न है:
(2) .

पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

केस x > 0

घातांक a के साथ चर x के एक घात फलन पर विचार करें:
(3) .
यहाँ a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। आइए पहले मामले पर विचार करें।

फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्नलिखित रूप में बदलते हैं:
.

अब हम निम्न को लागू करके व्युत्पन्न ज्ञात करते हैं:
;
.
यहाँ ।

सूत्र (1) सिद्ध है।

x की घात n से घात m तक के मूल के अवकलज के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्नलिखित फॉर्म का मूल है:
(4) .

व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम मूल को एक पावर फ़ंक्शन में परिवर्तित करते हैं:
.
सूत्र (3) से तुलना करने पर हम देखते हैं
.
तब
.

सूत्र (1) द्वारा हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1) ;
;
(2) .

व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले जड़ों को पावर फ़ंक्शंस में परिवर्तित करना और फिर सूत्र (1) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव ढूंढना अधिक सुविधाजनक है (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें)।

केस x = 0

यदि, तो पावर फ़ंक्शन को वेरिएबल x = के मान के लिए भी परिभाषित किया गया है 0 . आइए x = के लिए फलन (3) का अवकलज ज्ञात करें 0 . ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
.

स्थानापन्न x = 0 :
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए।

तो हमने पाया:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि , .
पर , ।
पर , ।
यह परिणाम भी सूत्र (1) द्वारा प्राप्त किया जाता है:
(1) .
इसलिए, सूत्र (1) x = के लिए भी मान्य है 0 .

केस एक्स< 0

फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:
(3) .
स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए, इसे चर x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। अर्थात्, मान लीजिए a एक परिमेय संख्या है। तब इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
जहाँ m और n पूर्णांक हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

यदि n विषम है, तो चर x के नकारात्मक मानों के लिए घातीय फ़ंक्शन भी परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, जब n = 3 और एम = 1 हमारे पास x का घनमूल है:
.
इसे x के नकारात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।

आइए हम स्थिरांक a के तर्कसंगत मूल्यों के लिए और उसके लिए पावर फ़ंक्शन (3) का व्युत्पन्न खोजें, जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, हम x को निम्नलिखित रूप में दर्शाते हैं:
.
तब ,
.
हम व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकालकर और एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को लागू करके व्युत्पन्न ज्ञात करते हैं:

.
यहाँ । लेकिन
.
क्योंकि तब
.
तब
.
अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(1) .

उच्च आदेशों के व्युत्पन्न

अब हम पावर फ़ंक्शन के उच्च क्रम वाले डेरिवेटिव ढूंढते हैं
(3) .
हमने पहला ऑर्डर व्युत्पन्न पहले ही पा लिया है:
.

व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक a लेते हुए, हम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं:
.
इसी प्रकार, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
;

.

यहाँ से यह स्पष्ट है कि एक मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप है:
.

नोटिस जो यदि a एक प्राकृतिक संख्या है, , तो nवाँ अवकलज स्थिर है:
.
फिर बाद के सभी व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं:
,
पर ।

व्युत्पन्न उदाहरण

उदाहरण

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.

समाधान

आइए जड़ों को शक्तियों में बदलें:
;
.
फिर मूल फ़ंक्शन रूप लेता है:
.

हम डिग्रियों के व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है:
.

व्युत्पन्न की गणना अक्सर पाई जाती है उपयोग असाइनमेंट. इस पृष्ठ में डेरिवेटिव खोजने के लिए सूत्रों की एक सूची है।

विभेदन नियम

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. यदि y=F(u) और u=u(x), तो फ़ंक्शन y=f(x)=F(u(x)) को x का एक जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है। y′(x)=Fu′⋅ ux′ के बराबर है।
5. एक अंतर्निहित कार्य का व्युत्पन्न. फ़ंक्शन y=f(x) को संबंध F(x,y)=0 द्वारा दिया गया अंतर्निहित फ़ंक्शन कहा जाता है यदि F(x,f(x))≡0।
6. व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न. यदि g(f(x))=x, तो फ़ंक्शन g(x) को फ़ंक्शन y=f(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है।
7. पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। मान लीजिए x और y को चर t के फलन के रूप में दिया गया है: x=x(t), y=y(t)। ऐसा कहा जाता है कि y=y(x) अंतराल x∈ (a;b) पर एक पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन है यदि इस अंतराल पर समीकरण x=x(t) को t=t(x) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और फ़ंक्शन y=y(t(x))=y(x) को परिभाषित किया जा सकता है।
8. घातीय फलन का व्युत्पन्न. इसे लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के आधार पर ले जाकर पाया जाता है।

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आवेदन

छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए साइट से व्युत्पन्न का समाधान। यदि आप हमारी ऑनलाइन समस्या समाधान सेवा का उपयोग करते हैं तो कुछ सेकंड में किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल नहीं है। नेतृत्व करना विस्तृत विश्लेषणप्रत्येक तीसरा छात्र व्यावहारिक पाठ का गहन अध्ययन करने में सक्षम होगा। गणित को बढ़ावा देने के लिए अक्सर संबंधित विभाग के अधिकारी हमसे संपर्क करते हैं शिक्षण संस्थानोंदेशों. इस मामले में, ऑनलाइन व्युत्पन्न के समाधान का उल्लेख कैसे न करें बंद जगह संख्या क्रम. कई धनी व्यक्तियों को अपनी हैरानी व्यक्त करने की अनुमति है। लेकिन इस बीच गणितज्ञ शांत नहीं बैठते और कड़ी मेहनत करते हैं। रैखिक विशेषताओं के अनुसार इनपुट मापदंडों में परिवर्तन मुख्य रूप से क्यूब्स की अवरोही स्थिति के वर्चस्व के कारण डेरिवेटिव कैलकुलेटर द्वारा स्वीकार किया जाएगा। परिणाम सतह के रूप में अपरिहार्य है। प्रारंभिक डेटा के रूप में, ऑनलाइन व्युत्पन्न अनावश्यक कदम उठाने की आवश्यकता को समाप्त कर देता है। काल्पनिक होमवर्क को छोड़कर. इस तथ्य के अलावा कि डेरिवेटिव्स को ऑनलाइन हल करना गणित सीखने का एक आवश्यक और महत्वपूर्ण पहलू है, छात्रों को अक्सर अतीत की समस्याएं याद नहीं रहती हैं। विद्यार्थी एक आलसी प्राणी की तरह इस बात को समझता है। लेकिन छात्र मजाकिया लोग! या तो इसे नियमों के अनुसार करें, या एक झुके हुए विमान में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी भौतिक बिंदु पर त्वरण दे सकता है। आइए अवरोही स्थानिक किरण के वेक्टर को कहीं निर्देशित करें। वांछित उत्तर में, व्युत्पन्न ढूँढना अमूर्त लगता है सैद्धांतिक दिशागणितीय प्रणाली की अस्थिरता के कारण। अप्रयुक्त विकल्पों के अनुक्रम के रूप में संख्याओं के अनुपात के बारे में सोचें। संचार चैनल को घन के बंद द्विभाजन के बिंदु से अवरोही वेक्टर के साथ पांचवीं पंक्ति के साथ फिर से भर दिया गया था। घुमावदार स्थानों के तल पर, व्युत्पन्न को ऑनलाइन हल करने से हम उस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं जिसने हमें पिछली शताब्दी में सोचने पर मजबूर कर दिया था सबसे महान दिमागग्रह. गणित के क्षेत्र से घटनाओं के क्रम में, पाँच मौलिक रूप से महत्वपूर्ण कारक, चर की पसंद की स्थिति में सुधार में योगदान। तो अंकों के लिए कानून कहता है कि ऑनलाइन व्युत्पन्न की गणना हर मामले में विस्तार से नहीं की जाती है, केवल निष्ठापूर्वक प्रगति करने वाला क्षण ही अपवाद हो सकता है। पूर्वानुमान ने हमें आगे बढ़ाया नया दौरविकास। हमें नतीजा चाहिए. सतह के नीचे से गुजरने वाली गणितीय ढलान की रेखा में, मोड डेरिवेटिव का कैलकुलेटर झुकने वाले सेट पर उत्पादों के चौराहे के क्षेत्र में होता है। यह एप्सिलॉन पड़ोस के पास अपने स्वतंत्र बिंदु पर फ़ंक्शन के भेदभाव का विश्लेषण करने के लिए बना हुआ है। इसे व्यवहार में हर कोई देख सकता है। परिणामस्वरूप, प्रोग्रामिंग के अगले चरण में कुछ निर्णय लेना होगा। काल्पनिक अध्ययन का अभ्यास किए जाने के बावजूद, छात्र को हमेशा की तरह ऑनलाइन व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है। यह पता चला है कि फ़ंक्शन को एक स्थिरांक से गुणा करने पर ऑनलाइन व्युत्पन्न का समाधान नहीं बदलता है सामान्य दिशाकिसी भौतिक बिंदु की गति, लेकिन एक सीधी रेखा में गति में वृद्धि की विशेषता है। इस अर्थ में, हमारे व्युत्पन्न कैलकुलेटर को लागू करना और इसकी परिभाषा के पूरे सेट पर किसी फ़ंक्शन के सभी मानों की गणना करना उपयोगी होगा। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की बल तरंगों का अध्ययन करने की कोई आवश्यकता नहीं है। किसी भी स्थिति में ऑनलाइन व्युत्पन्न समाधान आउटगोइंग बीम का झुकाव नहीं दिखाएगा, लेकिन केवल दुर्लभ मामलों में, जब यह वास्तव में आवश्यक हो, विश्वविद्यालय के छात्र इसकी कल्पना कर सकते हैं। हम प्रिंसिपल की जांच करते हैं।' सबसे छोटे रोटर का मूल्य पूर्वानुमानित है। परिणाम पर दाहिनी ओर वाली रेखाएँ लागू करें जो गेंद का वर्णन करती हैं, लेकिन ऑनलाइन कैलकुलेटरडेरिवेटिव, यह विशेष ताकत और गैर-रेखीय निर्भरता के आंकड़ों का आधार है। गणित की प्रोजेक्ट रिपोर्ट तैयार है. व्यक्तिगत विशेषताओं में अंतर सबसे छोटी संख्याऔर y-अक्ष के अनुदिश फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसी फ़ंक्शन की अवतलता को ऊंचाई पर लाएगा। एक दिशा है - एक निष्कर्ष है. सिद्धांत को व्यवहार में लाना आसान है। पढ़ाई शुरू होने के समय को लेकर छात्रों की ओर से एक प्रस्ताव आया है. एक शिक्षक का उत्तर चाहिए. फिर से, पिछली स्थिति की तरह, गणितीय प्रणाली को किसी क्रिया के आधार पर विनियमित नहीं किया जाता है जो व्युत्पन्न को खोजने में मदद करेगा। निचले अर्ध-रैखिक संस्करण की तरह, ऑनलाइन व्युत्पन्न पतित सशर्त कानून के अनुसार समाधान की पहचान के बारे में विस्तार से संकेत देगा। बस सूत्रों की गणना का विचार सामने रखें। किसी फ़ंक्शन का रैखिक विभेदन केवल अप्रासंगिक सकारात्मक विविधताएं प्रस्तुत करके समाधान की सच्चाई को खारिज कर देता है। तुलना चिह्नों का महत्व अक्ष के अनुदिश फलन के निरंतर विच्छेद के रूप में माना जाएगा। छात्र के अनुसार, यह सबसे सचेत निष्कर्ष का महत्व है, जिसमें ऑनलाइन व्युत्पन्न गणितीय विश्लेषण के एक वफादार उदाहरण के अलावा कुछ और है। इसके विपरीत, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक घुमावदार वृत्त की त्रिज्या ने डेरिवेटिव के कैलकुलेटर को स्थिरता के लिए निर्णायक समस्याओं के आदान-प्रदान का एक प्राकृतिक प्रतिनिधित्व दिया। सबसे अच्छा तरीका मिल गया है. कार्य को समतल करना आसान था. मान लीजिए कि स्वतंत्र अंतर अनुपात की प्रयोज्यता ऑनलाइन डेरिवेटिव के समाधान की ओर ले जाती है। समाधान एक वृत्त की आकृति का वर्णन करते हुए, x-अक्ष के चारों ओर घूमता है। एक रास्ता है, और यह विश्वविद्यालय के छात्रों द्वारा सैद्धांतिक रूप से समर्थित अनुसंधान पर आधारित है, जिससे हर कोई सीखता है, और यहां तक ​​​​कि समय के उन क्षणों में भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। हमें प्रगति का रास्ता मिल गया और छात्रों ने इसकी पुष्टि की। हम गणितीय प्रणाली को बदलने के लिए एक अप्राकृतिक दृष्टिकोण से परे जाने के बिना व्युत्पन्न खोजने का जोखिम उठा सकते हैं। अनंत y-अक्ष पर रैखिक कारकों की अज्ञात परिस्थिति के कारण ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर के गणितीय प्रतिनिधित्व के रूप में बायां आनुपातिक चिह्न तेजी से बढ़ता है। दुनिया भर के गणितज्ञ असाधारण साबित हुए हैं उत्पादन प्रक्रिया. सिद्धांत के वर्णन के अनुसार वृत्त के अंदर सबसे छोटा वर्ग होता है। फिर से, ऑनलाइन व्युत्पन्न हमारे अनुमान को विस्तृत करेगा कि पहले स्थान पर सैद्धांतिक रूप से परिष्कृत राय को किस चीज़ ने प्रभावित किया होगा। जिस रिपोर्ट का हमने विश्लेषण किया उससे भिन्न प्रकृति की राय थीं। हमारे संकायों के छात्रों पर अलग से ध्यान नहीं दिया जा सकता है, लेकिन केवल स्मार्ट और उन्नत गणितज्ञों पर नहीं, जिनमें किसी फ़ंक्शन का विभेदन केवल एक बहाना है। व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ बहुत सरल है। उठाने वाले बल की गणना समय में नीचे की ओर झुके हुए स्थिर स्थानों के लिए एक ऑनलाइन व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। जाहिर है, डेरिवेटिव कैलकुलेटर एक अनाकार शरीर के रूप में कृत्रिम परिवर्तन की विकृति की समस्या का वर्णन करने की एक कठोर प्रक्रिया है। पहला व्युत्पन्न किसी भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन की बात करता है। डेरिवेटिव को ऑनलाइन हल करने के लिए विशेष रूप से प्रशिक्षित प्रौद्योगिकियों के संदर्भ में त्रि-आयामी स्थान स्पष्ट रूप से देखा जाता है, वास्तव में यह गणितीय अनुशासन के विषय पर हर वार्तालाप में होता है। दूसरा व्युत्पन्न किसी भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन को दर्शाता है और त्वरण निर्धारित करता है। एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के उपयोग पर आधारित मेरिडियन दृष्टिकोण इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से एक बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक नए स्तर पर ले जाता है। कार्य की चीजों की परिवर्तनीय व्यवस्था को छोड़कर, डेरिवेटिव का एक ऑनलाइन कैलकुलेटर कुछ मामलों में सही निष्पादन योग्य क्षण द्वारा संख्याओं और प्रतीकात्मक संकेतन के बिना नहीं हो सकता है। आश्चर्यजनक रूप से, किसी भौतिक बिंदु का दूसरा त्वरण होता है, यह त्वरण में परिवर्तन को दर्शाता है। कुछ ही समय में, हम व्युत्पन्न के समाधान का ऑनलाइन अध्ययन करना शुरू कर देंगे, लेकिन जैसे ही ज्ञान में एक निश्चित मील का पत्थर पहुंच जाएगा, हमारा छात्र इस प्रक्रिया को रोक देगा। नेटवर्किंग का सबसे अच्छा साधन गणितीय विषय पर लाइव चैट करना है। ऐसे सिद्धांत हैं जिनका किसी भी परिस्थिति में उल्लंघन नहीं किया जाना चाहिए, चाहे कार्य कितना भी कठिन क्यों न हो। समय पर और त्रुटियों के बिना व्युत्पन्न को ऑनलाइन ढूंढना उपयोगी है। इससे गणितीय अभिव्यक्ति की एक नई स्थिति सामने आएगी। सिस्टम स्थिर है. भौतिक अर्थव्युत्पन्न यांत्रिक जितना लोकप्रिय नहीं है। यह संभावना नहीं है कि किसी को याद हो कि कैसे ऑनलाइन व्युत्पन्न ने एक्स-अक्ष से सटे त्रिकोण से सामान्य तक फ़ंक्शन की रेखाओं की रूपरेखा को विस्तार से घटाया। पिछली शताब्दी के अनुसंधान में मनुष्य एक बड़ी भूमिका का हकदार है। आइए हम तीन प्रारंभिक चरणों में परिभाषा के क्षेत्र और अनंत दोनों बिंदुओं पर फ़ंक्शन का विभेदन करें। में होगा लिखनासिर्फ अध्ययन के क्षेत्र में, लेकिन गणित और संख्या सिद्धांत में मुख्य वेक्टर की जगह ले सकता है, जैसे ही जो होगा वह ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर को समस्या से जोड़ देगा। कोई कारण होगा, लेकिन समीकरण बनाने का कोई कारण होगा। सभी इनपुट पैरामीटर्स को ध्यान में रखना बहुत जरूरी है। सर्वश्रेष्ठ को हमेशा सिर माथे पर नहीं रखा जाता, इसके पीछे भारी मात्रा में श्रम होता है सबसे अच्छे दिमागकौन जानता था कि अंतरिक्ष में ऑनलाइन डेरिवेटिव की गणना कैसे की जाती है। तब से, उत्तलता को एक सतत फलन का गुण माना गया है। फिर भी, सबसे पहले कम से कम समय में डेरिवेटिव को ऑनलाइन हल करने का कार्य निर्धारित करना बेहतर है। इस प्रकार समाधान पूर्ण होगा. अधूरे मानदंडों के अलावा, इसे पर्याप्त नहीं माना जाता है। प्रारंभ में, लगभग हर छात्र एक सरल विधि सामने रखने का प्रस्ताव करता है कि कैसे किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक विवादास्पद विकास एल्गोरिदम का कारण बनता है। आरोही किरण की दिशा में. यह इस प्रकार समझ में आता है सामान्य स्थिति. पहले, वे एक विशिष्ट गणितीय क्रिया के पूरा होने की शुरुआत को चिह्नित करते थे, लेकिन आज यह दूसरा तरीका होगा। शायद व्युत्पन्न ऑनलाइन का समाधान इस मुद्दे को फिर से उठाएगा और हम शिक्षकों की बैठक की चर्चा में इसके संरक्षण पर एक आम राय स्वीकार करेंगे। हम बैठक में प्रतिभागियों के सभी पक्षों से समझ की उम्मीद करते हैं। समस्या के विचार की प्रस्तुति के अनुक्रम के बारे में संख्याओं की प्रतिध्वनि में डेरिवेटिव के कैलकुलेटर के वर्णन में तार्किक अर्थ निहित है, जिसका उत्तर पिछली शताब्दी में दुनिया के महान वैज्ञानिकों द्वारा दिया गया था। यह परिवर्तित अभिव्यक्ति से एक जटिल चर निकालने और उसी प्रकार की एक बड़ी कार्रवाई करने के लिए व्युत्पन्न को ऑनलाइन ढूंढने में मदद करेगा। सत्य अनुमान से कहीं बेहतर है। सबसे कम मूल्यरुझान में। सबसे सटीक स्थान के लिए एक अनूठी सेवा का उपयोग करने पर परिणाम आने में ज्यादा समय नहीं लगेगा, जिसके लिए विस्तार से एक ऑनलाइन व्युत्पन्न मौजूद है। परोक्ष रूप से, लेकिन इस बिंदु पर, जैसा कि एक बुद्धिमान व्यक्ति ने कहा, संघ के विभिन्न शहरों के कई छात्रों के अनुरोध पर एक ऑनलाइन डेरिवेटिव कैलकुलेटर बनाया गया था। यदि कोई अंतर है तो फिर दो बार निर्णय क्यों लें। निर्दिष्ट वेक्टरसामान्य के समान ही स्थित है। पिछली शताब्दी के मध्य में, किसी फ़ंक्शन का विभेदीकरण किसी भी तरह से नहीं माना जाता था जैसा कि आज है। प्रगति में विकास के लिए धन्यवाद, ऑनलाइन गणित सामने आया है। समय के साथ, छात्र गणितीय विषयों को श्रेय देना भूल जाते हैं। व्युत्पन्न ऑनलाइन का समाधान व्यावहारिक ज्ञान द्वारा समर्थित सिद्धांत के अनुप्रयोग पर आधारित हमारी थीसिस को चुनौती देगा। प्रेजेंटेशन फ़ैक्टर के मौजूदा मान से आगे बढ़ेंगे और फ़ंक्शन के लिए सूत्र को स्पष्ट रूप में लिखेंगे। ऐसा होता है कि आपको किसी भी कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना अभी ऑनलाइन व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, हालांकि, आप हमेशा छात्र की चाल का सहारा ले सकते हैं और फिर भी वेबसाइट जैसी सेवा का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार, छात्र ड्राफ्ट नोटबुक से उदाहरणों को अंतिम रूप में कॉपी करने में बहुत समय बचाएंगे। यदि कोई विरोधाभास नहीं है, तो ऐसे जटिल उदाहरणों के लिए चरण-दर-चरण समाधान सेवा का उपयोग करें।

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन व्युत्पन्न। व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

एक पहाड़ी क्षेत्र से होकर गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर-नीचे तो होता है, लेकिन दाएं-बाएं नहीं मुड़ता। यदि अक्ष को सड़क के साथ क्षैतिज रूप से और लंबवत रूप से निर्देशित किया जाता है, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर फ़ंक्शन के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र स्तर का उपयोग इसके रूप में करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम ऊपर-नीचे भी हो रहे हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (एब्सिस्सा अक्ष के साथ आगे बढ़ते हुए), फ़ंक्शन का मान बदलता है (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ आगे बढ़ता हुआ)। आइए अब सोचें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे किया जाए? यह मान क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी आगे बढ़ने पर ऊँचाई कितनी बदल जाएगी। दरअसल, सड़क के विभिन्न हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एब्सिस्सा के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (ऑर्डिनेट के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में ऊपर या नीचे गिरेंगे।

हम आगे की प्रगति को दर्शाते हैं ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) का प्रयोग आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन"। अर्थात् - यह परिमाण में परिवर्तन है, - एक परिवर्तन; ओर भला क्या? यह सही है, आकार में बदलाव।

महत्वपूर्ण: अभिव्यक्ति एक एकल इकाई, एक चर है। आपको कभी भी "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" नहीं हटाना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए, .

तो, हम क्षैतिज रूप से आगे बढ़ गए हैं। यदि हम किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ सड़क की रेखा की तुलना करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे दर्शाते हैं? निश्चित रूप से, । यानी आगे बढ़ते हुए हम और ऊंचे उठते जाते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंतिम बिंदु प्रारंभ बिंदु से नीचे निकला, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम आरोही नहीं हैं, बल्कि अवरोही हैं।

वापस "खड़ीपन" पर: यह एक मान है जो इंगित करता है कि प्रति इकाई दूरी पर आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (तेज) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किलोमीटर आगे बढ़ने पर सड़क किलोमीटर ऊपर उठ जाती है। तब इस स्थान पर ढलान बराबर होती है। और यदि सड़क, मी से आगे बढ़ने पर, किमी से डूबती है? तब ढलान बराबर है.

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप खंड की शुरुआत को आधा किलोमीटर ऊपर तक ले जाएं, और अंत - इसके आधे किलोमीटर बाद, तो आप देख सकते हैं कि ऊंचाई लगभग समान है।

अर्थात् हमारे तर्क के अनुसार यह पता चलता है कि यहाँ ढलान लगभग शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सत्य नहीं है। कुछ ही मील दूर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक अनुमान के लिए छोटे क्षेत्रों पर विचार करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर आगे बढ़ने पर ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई खंभा है, तो हम आसानी से उससे फिसल सकते हैं। तो फिर हमें कौन सी दूरी चुननी चाहिए? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

में वास्तविक जीवननिकटतम मिलीमीटर तक दूरी मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा थी बहुत छोता, अर्थात्, मॉड्यूलो मान किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक खरबवां! कितना कम? और आप इस संख्या को विभाजित करें - और यह और भी कम होगी। और इसी तरह। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान अपरिमित रूप से छोटा है, तो हम इस प्रकार लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है")। इसे समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य के बराबर नहीं है!लेकिन इसके बहुत करीब. इसका मतलब यह है कि इसे विभाजित किया जा सकता है।

अपरिमित रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा अपरिमित रूप से बड़ी है ()। जब आप असमानताओं पर काम कर रहे थे तो संभवतः आप पहले ही इसका सामना कर चुके होंगे: यह संख्या मापांक में आपके द्वारा सोची जा सकने वाली किसी भी संख्या से अधिक है। यदि आपको सबसे बड़ी संभावित संख्या मिलती है, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक प्राप्त होगा। और अनंत जो घटित होता है उससे भी अधिक है। वास्तव में, अपरिमित रूप से बड़े और अपरिमित रूप से छोटे एक-दूसरे के विपरीत हैं, अर्थात at, और इसके विपरीत: at।

अब वापस अपनी सड़क पर। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम छोटे खंड के लिए गणना की गई ढलान है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि असीम रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप एक पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब क्यों? सड़क, ढलान... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, बल्कि हम गणित सीख रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है, केवल अलग-अलग कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क की अनंत वृद्धि पर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धिगणित में परिवर्तन कहा जाता है. अक्ष के अनुदिश गति करने पर तर्क () कितना बदल गया है, इसे कहते हैं तर्क वृद्धितथा अक्ष के अनुदिश किसी दूरी से आगे बढ़ने पर फलन (ऊंचाई) में कितना बदलाव आया है, इसे निरूपित किया जाता है कार्य वृद्धिऔर चिन्हित किया गया है.

तो, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कब से संबंध है। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल ऊपर दाईं ओर से एक स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, आइए इन नोटेशनों का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के अनुरूप है, यहां, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है।

लेकिन क्या व्युत्पन्न शून्य के बराबर है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती। तो व्युत्पन्न के साथ: एक स्थिर फ़ंक्शन (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूँकि ऐसे फ़ंक्शन की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए पहाड़ी की चोटी का उदाहरण लें। यह पता चला कि खंड के सिरों को शीर्ष के विपरीत पक्षों पर इस तरह व्यवस्थित करना संभव था कि सिरों पर ऊंचाई समान हो, यानी खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े खंड गलत माप का संकेत हैं। हम अपने खण्ड को समानान्तर ऊपर उठायेंगे तो उसकी लम्बाई कम हो जायेगी।

अंत में, जब हम शीर्ष के असीम रूप से करीब होंगे, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई का अंतर शून्य के बराबर है (झुकता नहीं है, लेकिन बराबर है)। तो व्युत्पन्न

इसे इस प्रकार समझा जा सकता है: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, जब फ़ंक्शन बढ़ता है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और जब यह घटता है, तो यह नकारात्मक होता है। लेकिन यह बिना किसी छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क कहीं भी अपनी ढलान को तेजी से नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

घाटी के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां कार्य बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में थोड़ा और।

इसलिए हम तर्क को एक मान में बदलते हैं। हम किस मूल्य से बदलते हैं? वह (तर्क) अब क्या बन गया है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें. इसमें फ़ंक्शन का मान बराबर होता है. फिर हम वही वृद्धि करते हैं: समन्वय को बढ़ाएँ। अब क्या है तर्क? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, फ़ंक्शन वहां जाता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिससे फ़ंक्शन बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. तर्क की वृद्धि के बराबर एक बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें।
2. एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के लिए भी यही बात लागू होती है।

समाधान:

में अलग-अलग बिंदुतर्क की समान वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन की वृद्धि भिन्न होगी। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न का अपना होता है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग-अलग है)। इसलिए, जब हम व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें यह अवश्य बताना चाहिए कि किस बिंदु पर:

ऊर्जा समीकरण।

पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक (तार्किक, सही?) होता है।

और - किसी भी हद तक: .

सबसे सरल मामलाजब घातांक है:

आइए एक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो तर्क से बदल जाता है. फ़ंक्शन इंक्रीमेंट क्या है?

वृद्धि है. लेकिन किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन अपने तर्क के बराबर होता है। इसीलिए:

व्युत्पन्न है:

का व्युत्पन्न है:

बी) अब द्विघात फलन (): पर विचार करें।

अब आइए इसे याद करें. इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य को नजरअंदाज किया जा सकता है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य पद की पृष्ठभूमि के मुकाबले महत्वहीन है:

तो, हमारे पास एक और नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस अभिव्यक्ति को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहला ब्रैकेट खोलें, या घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और आइए इसे फिर से याद करें। इसका मतलब यह है कि हम इसमें शामिल सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं:

हम पाते हैं: ।

घ) बड़ी शक्तियों के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहां तक ​​कि एक पूर्णांक भी नहीं:

(2)

आप इन शब्दों के साथ नियम बना सकते हैं: "डिग्री को गुणांक के रूप में आगे लाया जाता है, और फिर घट जाती है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग बिल्कुल अंत में) सिद्ध करेंगे। अब आइए कुछ उदाहरण देखें. कार्यों का व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. . मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके पास "यह कैसा है?" जैसे प्रश्न हैं। और डिग्री कहाँ है?", विषय याद रखें" "!
   हाँ, हाँ, मूल भी एक डिग्री है, केवल एक भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूलएक घातांक के साथ सिर्फ एक डिग्री है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस बिंदु पर यह फिर से अस्पष्ट हो जाए, तो विषय "" दोहराएं!!! (एक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में)

2. . अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. . पिछले मामलों का संयोजन: .

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्च गणित से एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति.

आप संस्थान के पहले वर्ष में प्रमाण सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा अच्छी तरह से उत्तीर्ण करनी होगी)। अब मैं इसे ग्राफ़िक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - तो ग्राफ़ पर बिंदु पंचर हो जाता है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होगा, फ़ंक्शन उतना ही करीब होगा। यही "प्रयास" है।

इसके अतिरिक्त, आप इस नियम को कैलकुलेटर से भी जांच सकते हैं। हाँ, हाँ, शरमाओ मत, कैलकुलेटर ले लो, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें: ;

कैलकुलेटर को रेडियंस मोड पर स्विच करना न भूलें!

वगैरह। हम देखते हैं कि जितना छोटा होगा निकट का अर्थसे संबंध.

ए) एक फ़ंक्शन पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाते हैं:

आइए साइन के अंतर को एक उत्पाद में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय याद रखें ""):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें: . फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

और अब हम उसे अभिव्यक्ति के साथ याद करते हैं। और साथ ही, क्या होगा यदि योग में एक असीम रूप से छोटे मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है (अर्थात, पर)।

तो हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है:

ये बुनियादी ("तालिका") व्युत्पन्न हैं। यहां वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है।

अभ्यास:

1. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान:

1. सबसे पहले हम व्युत्पन्न पाते हैं सामान्य रूप से देखें, और उसके बाद इसके मान को प्रतिस्थापित करें:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फ़ंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने का प्रयास करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   ठीक है, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. . ईईईईईई…..यह क्या है????

ठीक है, आप सही हैं, हम अभी भी नहीं जानते कि ऐसे डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक.

गणित में एक ऐसा फ़ंक्शन होता है, जिसका व्युत्पन्न किसी के लिए फ़ंक्शन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिरांक - एक अनंत दशमलव अंश है, अर्थात, एक अपरिमेय संख्या (जैसे)। इसे "यूलर संख्या" कहा जाता है, यही कारण है कि इसे एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

तो नियम यह है:

इसे याद रखना बहुत आसान है.

खैर, हम ज्यादा दूर नहीं जाएंगे, हम तुरंत व्युत्क्रम फलन पर विचार करेंगे। घातांकीय फलन का व्युत्क्रम क्या है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

ऐसे लघुगणक (अर्थात, आधार वाला लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: हम इसके बजाय लिखते हैं।

किसके बराबर है? बिल्कुल, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: प्रदर्शक और प्राकृतिक- व्युत्पन्न के संदर्भ में फ़ंक्शन विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी भी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका विश्लेषण हम बाद में, विभेदन के नियमों से गुजरने के बाद करेंगे।

विभेदन नियम

क्या नियम? एक और नया शब्द, फिर से?!...

भेदभावव्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है.

केवल और सब कुछ. इस प्रक्रिया के लिए दूसरा शब्द क्या है? प्रोइज़्वोडनोवानी नहीं... गणित के अंतर को फ़ंक्शन की वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन के डिफरेंशिया - अंतर से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल मिलाकर 5 नियम हैं.

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से हटा दिया जाता है।

यदि - कोई अचर संख्या (स्थिर), तो.

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें. चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह है रैखिक प्रकार्य, याद करना?);

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करें।

समाधान:

घातीय फलन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी घातीय फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक का (क्या आप अभी तक भूल गए हैं कि यह क्या है?)।

तो कुछ नंबर कहां है.

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए आधार पर लाने का प्रयास करें:

इसके लिए हम प्रयोग करते हैं सरल नियम: . तब:

ख़ैर, यह काम कर गया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन जटिल है।

घटित?

यहां, स्वयं जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहा, केवल एक कारक दिखाई दिया, जो केवल एक संख्या है, लेकिन चर नहीं।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह महज एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती, यानी इससे ज्यादा लिखने का कोई तरीका नहीं है अराल तरीका. अत: उत्तर में इसे इसी रूप में छोड़ दिया गया है।

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

हमें इस लघुगणक को आधार पर लाना होगा। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब इसके स्थान पर हम लिखेंगे:

हर केवल एक अचर (एक अचर संख्या, बिना किसी चर के) निकला। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न परीक्षा में लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

"जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना कठिन हो सकता है (हालाँकि यदि लघुगणक आपको कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ ठीक हो जाएगा), लेकिन गणित के संदर्भ में, "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ कुछ क्रियाएं कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा उसे रिबन से बांधता है। यह ऐसी समग्र वस्तु निकलती है: एक चॉकलेट बार लपेटा हुआ और रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको विपरीत चरणों को उल्टे क्रम में करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, वे हमें एक नंबर (चॉकलेट) देते हैं, मैं उसका कोसाइन (रैपर) ढूंढता हूं, और फिर जो मुझे मिला उसे आप वर्गित कर देते हैं (इसे रिबन से बांध देते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी दूसरी क्रिया जो पहले के परिणामस्वरूप हुई उसके साथ करते हैं।

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में भी कर सकते हैं: पहले आप वर्ग बनाते हैं, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या ढूंढता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। महत्वपूर्ण विशेषताजटिल कार्य: जब आप क्रियाओं का क्रम बदलते हैं, तो कार्य बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जिसका तर्क एक अन्य फ़ंक्शन होता है: .

पहले उदाहरण के लिए, .

दूसरा उदाहरण: (वही)। .

हम जो अंतिम क्रिया करेंगे उसे कहा जाएगा "बाहरी" फ़ंक्शन, और क्रिया क्रमशः पहले की गई "आंतरिक" कार्य(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूँ)।

स्वयं यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों का पृथक्करण चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

1. हम पहले क्या कार्रवाई करेंगे? पहले हम ज्या की गणना करते हैं, और उसके बाद ही हम इसे घन तक बढ़ाते हैं। तो यह एक आंतरिक कार्य है, बाहरी नहीं।
   और मूल कार्य उनकी रचना है: .
2. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
3. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
4. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।
5. आंतरिक: ; बाहरी: ।
   इंतिहान: ।

हम वेरिएबल बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपनी चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलटी होती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंततः आधिकारिक नियम बनाएं:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों से जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

2) आंतरिक: ;

(अभी तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला गया है, याद है?)

3) आंतरिक: ;

बाहरी: ;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां एक तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और हम अभी भी इसमें से जड़ निकालते हैं, अर्थात, हम तीसरी क्रिया करते हैं (चॉकलेट को एक आवरण में और एक ब्रीफकेस में एक रिबन के साथ रखें)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोज्या में, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक में। और फिर हम इसे सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, कार्यों को क्रमांकित करना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रियाएं करेंगे? आइए एक उदाहरण देखें:

कार्रवाई जितनी देर से की जाएगी, संबंधित कार्य उतना ही अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले जैसा:

यहां घोंसला बनाना आम तौर पर 4-स्तरीय होता है। आइये कार्रवाई की दिशा तय करें.

1. उग्र अभिव्यक्ति. .

2. जड़. .

3. साइनस. .

4. चौकोर. .

5. यह सब एक साथ रखना:

व्युत्पन्न. संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क की अतिसूक्ष्म वृद्धि के साथ फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

विभेदन नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से हटा दिया जाता है:

योग का व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न उत्पाद:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं।
3. हम पहले और दूसरे बिंदु के परिणामों को गुणा करते हैं।

दिनांक: 11/20/2014

व्युत्पन्न क्या है?

व्युत्पन्न तालिका.

व्युत्पन्न उच्च गणित की मुख्य अवधारणाओं में से एक है। इस पाठ में हम इस अवधारणा का परिचय देंगे। आइए सख्त गणितीय सूत्रों और प्रमाणों के बिना परिचित हों।

यह परिचय आपको इसकी अनुमति देगा:

व्युत्पन्न के साथ सरल कार्यों का सार समझें;

इन्हें सबसे सफलतापूर्वक हल करें कठिन कार्य;

अधिक गंभीर व्युत्पन्न पाठों की तैयारी करें।

सबसे पहले, एक सुखद आश्चर्य.

व्युत्पन्न की सख्त परिभाषा सीमा के सिद्धांत पर आधारित है, और बात काफी जटिल है। यह परेशान करने वाला है. लेकिन व्युत्पन्न के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, एक नियम के रूप में, इतने व्यापक और गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है!

स्कूल और विश्वविद्यालय में अधिकांश कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, यह जानना ही पर्याप्त है बस कुछ शर्तें- कार्य को समझने के लिए, और बस कुछ नियम- इसे हल करने के लिए. और बस। यह मुझे आनंद देता है।

क्या हम एक दूसरे को जानेंगे?)

शर्तें और पदनाम.

प्रारंभिक गणित में कई गणितीय संक्रियाएँ होती हैं। जोड़, घटाव, गुणा, घातांक, लघुगणक, आदि। यदि इन संक्रियाओं में एक और संक्रिया जोड़ दी जाए तो प्रारंभिक गणित उच्चतर हो जाता है। यह नया ऑपरेशनबुलाया भेदभावइस ऑपरेशन की परिभाषा और अर्थ पर अलग-अलग पाठों में चर्चा की जाएगी।

यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि विभेदन किसी फ़ंक्शन पर केवल एक गणितीय संक्रिया है। हम कोई भी कार्य लेते हैं और कुछ नियमों के अनुसार उसे रूपांतरित करते हैं। परिणाम होगा नयी विशेषता. इस नए फ़ंक्शन को कहा जाता है: व्युत्पन्न.

भेदभाव- किसी फ़ंक्शन पर कार्रवाई.

यौगिकइस क्रिया का परिणाम है.

जैसे, उदाहरण के लिए, जोड़जोड़ का परिणाम है. या निजीविभाजन का परिणाम है.

शर्तों को जानकर, आप कम से कम कार्यों को समझ सकते हैं।) शब्दावली इस प्रकार है: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें; व्युत्पन्न ले लो; फ़ंक्शन को अलग करें; व्युत्पन्न की गणना करेंऔर इसी तरह। यह सब है वही।बेशक, अधिक जटिल कार्य हैं, जहां व्युत्पन्न (विभेदीकरण) खोजना कार्य को हल करने के चरणों में से एक होगा।

व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर दाईं ओर एक डैश द्वारा दर्शाया जाता है। इस कदर: य"या च"(x)या अनुसूचित जनजाति)और इसी तरह।

पढ़ना y स्ट्रोक, ef स्ट्रोक से x, es स्ट्रोक से te,ठीक है आप समझ गए...)

एक अभाज्य किसी विशेष फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भी निरूपित कर सकता है, उदाहरण के लिए: (2x+3)", (एक्स 3 )" , (सिनक्स)"वगैरह। अक्सर अवकलज को विभेदकों का उपयोग करके निरूपित किया जाता है, लेकिन हम इस पाठ में ऐसे अंकन पर विचार नहीं करेंगे।

मान लीजिए कि हमने कार्यों को समझना सीख लिया है। उन्हें हल करने का तरीका सीखने के लिए कुछ भी नहीं बचा है।) मैं आपको फिर से याद दिला दूं: व्युत्पन्न खोजना है कुछ नियमों के अनुसार किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन।ये नियम आश्चर्यजनक रूप से कम हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको केवल तीन चीज़ें जानने की आवश्यकता है। तीन स्तंभ जिन पर सभी भेदभाव टिके हुए हैं। यहाँ तीन व्हेल हैं:

1. डेरिवेटिव की तालिका (विभेदीकरण सूत्र)।

3. एक जटिल फलन का व्युत्पन्न।

आइए क्रम से शुरू करें। इस पाठ में, हम डेरिवेटिव की तालिका पर विचार करेंगे।

व्युत्पन्न तालिका.

संसार में अनंत प्रकार के कार्य हैं। इस सेट में ऐसे कार्य हैं जो सबसे महत्वपूर्ण हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग. ये कार्य प्रकृति के सभी नियमों में समाहित हैं। इन कार्यों से, ईंटों की तरह, आप अन्य सभी का निर्माण कर सकते हैं। कार्यों के इस वर्ग को कहा जाता है प्राथमिक कार्य.स्कूल में इन कार्यों का अध्ययन किया जाता है - रैखिक, द्विघात, अतिपरवलय, आदि।

कार्यों का विभेदन "शुरुआत से", अर्थात्। व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमा के सिद्धांत के आधार पर - काफी समय लेने वाली चीज़। और गणितज्ञ भी लोग हैं, हाँ, हाँ!) इसलिए उन्होंने अपने (और हमारे) जीवन को सरल बना दिया। उन्होंने हमसे पहले प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न की गणना की। परिणाम डेरिवेटिव की एक तालिका है, जहां सब कुछ तैयार है।)

यहाँ यह है, सबसे लोकप्रिय कार्यों के लिए यह प्लेट। बायां - प्राथमिक कार्य, दायां - इसका व्युत्पन्न।

	समारोह य	फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न य"
1	सी (स्थिर)	सी" = 0
2	एक्स	एक्स" = 1
3	x n (n कोई संख्या है)	(x n)" = nx n-1
	एक्स 2 (एन = 2)	(x 2)" = 2x
4	पाप एक्स	(sinx)"=cosx
	क्योंकि x	(क्योंकि x)" = - पाप x
	टीजी एक्स
	सीटीजी एक्स
5	आर्कसिन एक्स
	आर्ककोस एक्स
	आर्कटग एक्स
	आर्कसीटीजी एक्स
4	एएक्स
	इएक्स
5	लकड़ी का लट्ठा एएक्स
	एलएन एक्स ( ए = ई)

मैं डेरिवेटिव की इस तालिका में कार्यों के तीसरे समूह पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सबसे आम सूत्रों में से एक है, यदि सबसे आम नहीं है! क्या संकेत स्पष्ट है?) हां, डेरिवेटिव की तालिका को दिल से जानना वांछनीय है। वैसे, यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। अधिक उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें, तालिका स्वयं याद हो जाएगी!)

जैसा कि आप समझते हैं, व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान ज्ञात करना सबसे कठिन कार्य नहीं है। इसलिए, अक्सर ऐसे कार्यों में अतिरिक्त चिप्स होते हैं। या तो कार्य के निरूपण में, या मूल फ़ंक्शन में, जो तालिका में प्रतीत नहीं होता है...

आइए कुछ उदाहरण देखें:

1. फलन y = x का अवकलज ज्ञात कीजिए 3

तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है. लेकिन पावर फ़ंक्शन (तीसरे समूह) का एक सामान्य व्युत्पन्न है। हमारे मामले में, n=3. इसलिए हम n के स्थान पर त्रिक को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणाम को ध्यानपूर्वक लिखते हैं:

(एक्स 3) " = 3 एक्स 3-1 = 3x 2

इसके लिए यही सब कुछ है।

उत्तर: y" = 3x 2

2. बिंदु x = 0 पर फलन y = synx के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ है कि आपको पहले साइन का व्युत्पन्न खोजना होगा, और फिर मान को प्रतिस्थापित करना होगा एक्स = 0इसी व्युत्पन्न के लिए. यह उसी क्रम में है!अन्यथा, ऐसा होता है कि वे तुरंत मूल फ़ंक्शन में शून्य डाल देते हैं ... हमें मूल फ़ंक्शन का मान नहीं, बल्कि मान खोजने के लिए कहा जाता है इसका व्युत्पन्न.व्युत्पन्न, मैं आपको याद दिला दूं, पहले से ही एक नया फ़ंक्शन है।

प्लेट पर हम साइन और संबंधित व्युत्पन्न पाते हैं:

y" = (sinx)" = cosx

व्युत्पन्न में शून्य रखें:

y"(0) = cos 0 = 1

यही उत्तर होगा.

3. फ़ंक्शन को अलग करें:

क्या प्रेरित करता है?) डेरिवेटिव की तालिका में ऐसा फ़ंक्शन करीब भी नहीं है।

मैं आपको याद दिला दूं कि किसी फ़ंक्शन को अलग करने का मतलब केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना है। यदि आप प्राथमिक त्रिकोणमिति को भूल जाते हैं, तो हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजना काफी परेशानी भरा है। तालिका मदद नहीं करती...

लेकिन अगर हम देखें तो हमारा कार्य है दोहरे कोण की कोज्या, तो सब कुछ तुरंत बेहतर हो जाता है!

हां हां! याद रखें कि मूल फ़ंक्शन का परिवर्तन भेदभाव से पहलेबिल्कुल स्वीकार्य! और ऐसा होने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। दोहरे कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार:

वे। हमारा पेचीदा कार्य और कुछ नहीं है y = कॉक्स. और यह एक टेबल फ़ंक्शन है. हमें तुरंत मिलता है:

उत्तर: y" = - पाप x.

उन्नत स्नातकों और छात्रों के लिए उदाहरण:

4. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

निस्संदेह, डेरिवेटिव तालिका में ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है। लेकिन अगर आपको प्रारंभिक गणित, शक्तियों के साथ क्रियाएं याद हैं... तो इस फ़ंक्शन को सरल बनाना काफी संभव है। इस कदर:

और x से दसवें की घात पहले से ही एक सारणीबद्ध फलन है! तीसरा समूह, n=1/10. सीधे सूत्र के अनुसार लिखें:

बस इतना ही। यही उत्तर होगा.

मुझे आशा है कि भेदभाव की पहली व्हेल - डेरिवेटिव की तालिका - के साथ सब कुछ स्पष्ट है। शेष दो व्हेलों से निपटना बाकी है। अगले पाठ में हम विभेदन के नियम सीखेंगे।