Usporedba definicija razlomaka. Usporedba običnih razlomaka

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako međusobno uspoređivati ​​razlomke. Ovo je vrlo korisna vještina koja je potrebna za rješavanje cijele klase složenijih problema.

Prvo da vas podsjetim na definiciju jednakosti razlomaka:

Razlomke a /b i c /d nazivamo jednakima ako je ad = bc.

1. 5/8 = 15/24 jer je 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 jer je 3 18 = 2 27 = 54.

U svim ostalim slučajevima razlomci su nejednaki i za njih vrijedi jedna od sljedećih tvrdnji:

1. Razlomak a /b je veći od razlomka c /d ;
2. Razlomak a /b je manji od razlomka c /d.

Razlomak a /b nazivamo većim od razlomka c /d ako je a /b − c /d > 0.

Razlomak x /y nazivamo manjim od razlomka s /t ako je x /y − s /t< 0.

Oznaka:

Tako se usporedba razlomaka svodi na njihovo oduzimanje. Pitanje: kako se ne zbuniti s oznakom "veće od" (>) i "manje od" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. Proširujući dio čeka uvijek je usmjeren prema većem broju;
2. Oštar nos čavke uvijek označava manji broj.

Često se u zadacima u kojima se žele usporediti brojevi između njih stavlja znak "∨". Ovo je čavka s nosom prema dolje, što, takoreći, nagovještava: veći od brojeva još nije utvrđen.

Zadatak. Usporedi brojeve:

Slijedeći definiciju, oduzimamo razlomke jedan od drugog:

U svakoj usporedbi morali smo razlomke dovesti na zajednički nazivnik. Konkretno, koristeći metodu križanja i pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika. Namjerno se nisam usredotočio na ove točke, ali ako nešto nije jasno, pogledajte lekciju " Zbrajanje i oduzimanje razlomaka" - vrlo je jednostavno.

Decimalna usporedba

U slučaju decimalnih frakcija, sve je puno jednostavnije. Ovdje nema potrebe ništa oduzimati - samo usporedite znamenke. Neće biti suvišno zapamtiti što je značajan dio broja. Za one koji su zaboravili, predlažem ponavljanje lekcije "Množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka" - također će trajati samo nekoliko minuta.

Pozitivni decimalni X veći je od pozitivnog decimalnog Y ako ima decimalno mjesto tako da:

1. Znamenka u ovoj znamenki u razlomku X veća je od odgovarajuće znamenke u razlomku Y;
2. Sve znamenke starije od danih u razlomcima X i Y su iste.

1. 12.25 > 12.16. Prve dvije znamenke su iste (12 = 12), a treća je veća (2 > 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

Drugim riječima, uzastopno gledamo decimalna mjesta i tražimo razliku. pri čemu viša brojka također odgovara velikom razlomku.

Međutim, ova definicija zahtijeva pojašnjenje. Na primjer, kako napisati i usporediti znamenke do decimalne točke? Upamtite: svakom broju napisanom u decimalnom obliku može se dodijeliti bilo koji broj nula s lijeve strane. Evo još nekoliko primjera:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (pričamo o višoj razini).
2. 2300,5 > 0,0025, jer 0,0025 = 0000,0025 - dodane tri nule s lijeve strane. Sada možete vidjeti da razlika počinje u prvom bitu: 2 > 0.

Naravno, u navedenim primjerima s nulama bilo je eksplicitnog nabrajanja, ali smisao je upravo ovaj: dopuniti znamenke koje nedostaju s lijeve strane, a zatim usporediti.

Zadatak. Usporedi razlomke:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

Po definiciji imamo:

1. 0,029 > 0,007. Prve dvije znamenke su iste (00 = 00), zatim počinje razlika (2 > 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0,00003 > 0,0000099. Ovdje morate pažljivo brojati nule. Prvih 5 znamenki u oba razlomka su nula, ali dalje u prvom razlomku je 3, au drugom - 0. Očito, 3 > 0;
4. 1700,1 > 0,99501. Prepišimo drugi razlomak kao 0000,99501, dodajući 3 nule lijevo. Sada je sve očito: 1 > 0 - razlika se nalazi u prvoj znamenki.

Nažalost, gornja shema za usporedbu decimalnih razlomaka nije univerzalna. Ova metoda može samo usporediti pozitivni brojevi. U općem slučaju, algoritam rada je sljedeći:

1. Pozitivan razlomak je uvijek veći od negativnog;
2. Dva pozitivna razlomka uspoređuju se prema gornjem algoritmu;
3. Dva negativna razlomka se uspoređuju na isti način, ali se na kraju znak nejednakosti obrne.

Pa zar nije slabo? Sada razmislite konkretni primjeri- i sve će postati jasno.

Zadatak. Usporedi razlomke:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0,192 > -0,39. Razlomci su negativni, 2 znamenke su različite. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0,15 > −11,3. pozitivan broj uvijek negativniji;
4. 19,032 > 0,091. Dovoljno je prepisati drugi razlomak u obliku 00,091 da vidimo da se razlika pojavljuje već u 1 znamenki;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. Razlika je u prvoj kategoriji.

Nastavljamo proučavati razlomke. Danas ćemo govoriti o njihovoj usporedbi. Tema je zanimljiva i korisna. Omogućit će početniku da se osjeća kao znanstvenik u bijeloj kuti.

Bit uspoređivanja razlomaka je pronaći koji je od dvaju razlomaka veći ili manji.

Da biste odgovorili na pitanje koji je od dva razlomka veći ili manji, upotrijebite više (>) ili manje (<).

Matematičari su se već pobrinuli za gotova pravila koja vam omogućuju da odmah odgovorite na pitanje koji je ulomak veći, a koji je manji. Ova se pravila mogu sigurno primijeniti.

Pogledat ćemo sva ova pravila i pokušati shvatiti zašto se to događa.

Sadržaj lekcije

Uspoređivanje razlomaka s istim nazivnicima

Frakcije koje treba usporediti su različite. Najuspješniji je slučaj kada razlomci imaju iste nazivnike, ali različite brojnike. U ovom slučaju vrijedi sljedeće pravilo:

Od dva razlomka s istim nazivnikom, veći je razlomak s većim brojnikom. I prema tome, manji će biti ulomak u kojem je brojnik manji.

Na primjer, usporedimo razlomke i i odgovorimo koji je od tih razlomaka veći. Ovdje su nazivnici isti, ali su brojnici različiti. Razlomak ima veći brojnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od . Pa odgovaramo. Odgovorite pomoću ikone više (>)

Ovaj primjer lako je razumjeti ako razmišljamo o pizzama koje su podijeljene u četiri dijela. više pizza nego pizza:

Svi će se složiti da je prva pizza veća od druge.

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnikom

Sljedeći slučaj u koji možemo ući je kada su brojnici razlomaka isti, ali su nazivnici različiti. Za takve slučajeve predviđeno je sljedeće pravilo:

Od dva razlomka s istim brojnikom veći je razlomak s manjim nazivnikom. Razlomak s većim nazivnikom je stoga manji.

Na primjer, usporedimo razlomke i . Ovi razlomci imaju isti brojnik. Razlomak ima manji nazivnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka. Pa odgovaramo:

Ovaj primjer je lako razumljiv ako razmišljamo o pizzama koje su podijeljene na tri i četiri dijela. više pizza nego pizza:

Svi se slažu da je prva pizza veća od druge.

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojnicima i različitim nazivnicima

Često se događa da morate uspoređivati ​​razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima.

Na primjer, usporedite razlomke i . Da biste odgovorili na pitanje koji je od ovih razlomaka veći ili manji, potrebno ih je dovesti na isti (zajednički) nazivnik. Tada će biti lako odrediti koji je razlomak veći ili manji.

Dovedimo razlomke na isti (zajednički) nazivnik. Nađi (LCM) nazivnike oba razlomka. LCM nazivnika razlomaka i taj broj je 6.

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Nađimo sada drugi dodatni faktor. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo dodatni faktor 2. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Pomnožite razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo uspoređivati. Od dva razlomka s istim nazivnicima, veći je razlomak s većim brojnikom:

Pravilo je pravilo, a mi ćemo pokušati dokučiti zašto više od . Da biste to učinili, odaberite cijeli broj u razlomku. U razlomku ne morate ništa birati jer je ovaj razlomak već pravilan.

Odabirom cijelog dijela u razlomku dobivamo sljedeći izraz:

Sada možete lako shvatiti zašto više od . Nacrtajmo ove razlomke u obliku pizza:

2 cijele pizze i pizze, više od pizza.

Oduzimanje mješovitih brojeva. Teški slučajevi.

Kad oduzimate mješovite brojeve, ponekad shvatite da stvari ne idu glatko kako biste željeli. Često se događa da prilikom rješavanja primjera odgovor nije onakav kakav bi trebao biti.

Kod oduzimanja brojeva umanjenik mora biti veći od umanjenika. Samo u ovom slučaju bit će primljen normalan odgovor.

Na primjer, 10−8=2

10 - smanjeno

8 - oduzeto

2 - razlika

Minus 10 je veći od oduzetog 8, pa smo dobili normalan odgovor 2.

Pogledajmo sada što se događa ako je umanjenik manji od umanjenika. Primjer 5−7=−2

5 - smanjeno

7 - oduzeto

−2 je razlika

U ovom slučaju izlazimo iz okvira brojeva na koje smo navikli i nalazimo se u svijetu negativnih brojeva u koji nam je prerano za hodanje, pa čak i opasno. Za rad s negativnim brojevima potrebna vam je odgovarajuća matematička predznanja, koju još nismo dobili.

Ako pri rješavanju primjera za oduzimanje ustanovite da je umanjenik manji od umanjenika, onda takav primjer za sada možete preskočiti. Dopušteno je raditi s negativnim brojevima tek nakon njihovog proučavanja.

Ista je situacija i s razlomcima. Minuend mora biti veći od subtrahenda. Samo u ovom slučaju bit će moguće dobiti normalan odgovor. A da biste razumjeli je li smanjeni ulomak veći od oduzetog, morate moći usporediti te ulomke.

Na primjer, riješimo primjer.

Ovo je primjer oduzimanja. Da biste ga riješili, potrebno je provjeriti je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. više od

tako da se možemo sigurno vratiti na primjer i riješiti ga:

Sada riješimo ovaj primjer

Provjerite je li smanjeni razlomak veći od oduzetog. Nalazimo da je manje:

U ovom slučaju, razumnije je zaustaviti se i ne nastaviti s daljnjim izračunom. Vratit ćemo se ovom primjeru kada budemo proučavali negativne brojeve.

Također je poželjno provjeriti mješovite brojeve prije oduzimanja. Na primjer, pronađimo vrijednost izraza.

Prvo provjerite je li smanjeni mješoviti broj veći od oduzetog. Da bismo to učinili, prevodimo mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Dobili smo razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima. Da biste usporedili takve razlomke, morate ih dovesti na isti (zajednički) nazivnik. Nećemo detaljno opisivati ​​kako to učiniti. Ako imate problema, svakako ponovite.

Svođenjem razlomaka na isti nazivnik dobivamo sljedeći izraz:

Sada trebamo usporediti razlomke i . To su razlomci s istim nazivnicima. Od dva razlomka s istim nazivnikom, veći je razlomak s većim brojnikom.

Razlomak ima veći brojnik od razlomka. Dakle, razlomak je veći od razlomka.

To znači da je umanjenik veći od umanjenika.

Dakle, možemo se vratiti našem primjeru i hrabro ga riješiti:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Provjerite je li umanjenik veći od umanjenika.

Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke:

Dobili smo razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima. Te razlomke dovodimo na isti (zajednički) nazivnik.

Od dvaju razlomaka s istim nazivnikom veći je onaj s većim brojnikom, a manji onaj s manjim.. Naime, uostalom, nazivnik pokazuje na koliko je dijelova podijeljena jedna cijela vrijednost, a brojnik koliko je takvih dijelova uzeto.

Ispada da je svaki cijeli krug podijeljen istim brojem 5 , ali uzeli su drugačiji broj dijelova: uzeli su više - veliku frakciju i ispalo je.

Od dva razlomka s istim brojnikom, onaj s manjim nazivnikom je veći, a onaj s većim nazivnikom je manji. Pa zapravo, ako jedan krug podijelimo na 8 dijelovi i drugo 5 dijelova i uzmite po jedan dio od svakog kruga. Koji dio će biti veći?

Naravno, iz kruga podijeljenog sa 5 dijelovi! Sada zamislite da nisu dijelili krugove, već kolače. Koje bi vam djelo bilo draže, točnije koji udio: peti ili osmi?

Da biste usporedili razlomke s različitim brojnicima i različitim nazivnicima, morate razlomke svesti na najmanji zajednički nazivnik, a zatim usporediti razlomke s istim nazivnicima.

Primjeri. Usporedi obične razlomke:

Svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik. NOZ(4 ; 6)=12. Pronalazimo dodatne faktore za svaki od razlomaka. Za 1. razlomak, dodatni množitelj 3 (12: 4=3 ). Za 2. razlomak, dodatni množitelj 2 (12: 6=2 ). Sada uspoređujemo brojnike dvaju dobivenih razlomaka s istim nazivnicima. Budući da je brojnik prvog razlomka manji od brojnika drugog razlomka ( 9<10) , onda je sam prvi razlomak manji od drugog razlomka.

Ovaj se članak bavi usporedbom razlomaka. Ovdje ćemo saznati koji je od razlomaka veći ili manji, primijeniti pravilo i analizirati primjere rješenja. Usporedi razlomke s istim i različitim nazivnicima. Usporedimo običan razlomak s prirodnim brojem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Uspoređivanje razlomaka s istim nazivnicima

Kad uspoređujemo razlomke s istim nazivnicima, radimo samo s brojnikom, što znači da uspoređujemo razlomke broja. Ako postoji razlomak 3 7 , onda on ima 3 dijela 1 7 , tada razlomak 8 7 ima 8 takvih dijelova. Drugim riječima, ako je nazivnik isti, uspoređuju se brojnici tih razlomaka, odnosno 3 7 i 8 7 uspoređuju se brojevi 3 i 8.

To podrazumijeva pravilo za usporedbu razlomaka s istim nazivnicima: od dostupnih razlomaka s istim pokazateljima, većim se smatra onaj čiji je brojnik veći i obrnuto.

Ovo sugerira da biste trebali obratiti pozornost na brojnike. Da biste to učinili, razmotrite primjer.

Primjer 1

Usporedi zadane razlomke 65 126 i 87 126 .

Riješenje

Budući da su nazivnici razlomaka isti, prijeđimo na brojnike. Iz brojeva 87 i 65 vidljivo je da je 65 manje. Na temelju pravila za usporedbu razlomaka s istim nazivnicima, imamo da je 87126 veće od 65126.

Odgovor: 87 126 > 65 126 .

Uspoređivanje razlomaka s različitim nazivnicima

Usporedba takvih razlomaka može se usporediti s usporedbom razlomaka s istim eksponentima, ali postoji razlika. Sada moramo razlomke svesti na zajednički nazivnik.

Ako postoje razlomci s različitim nazivnicima, za njihovu usporedbu potrebno je:

• pronaći zajednički nazivnik;
• usporediti razlomke.

Pogledajmo ove korake na primjeru.

Primjer 2

Usporedi razlomke 5 12 i 9 16 .

Riješenje

Prvi korak je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. To se radi na ovaj način: nalazi se LCM, odnosno najmanji zajednički djelitelj, 12 i 16 . Ovaj broj je 48. U prvi razlomak 5 12 potrebno je upisati dodatne faktore, ovaj broj se dobiva iz kvocijenta 48: 12 = 4, za drugi razlomak 9 16 - 48: 16 = 3. Zapišimo to ovako: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 i 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Nakon usporedbe razlomaka, dobivamo da je 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Odgovor: 5 12 < 9 16 .

Postoji još jedan način za usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima. Izvodi se bez svođenja na zajednički nazivnik. Pogledajmo primjer. Za usporedbu razlomaka a b i c d svedemo na zajednički nazivnik, zatim b · d, odnosno umnožak tih nazivnika. Tada će dodatni faktori za razlomke biti nazivnici susjednog razlomka. Ovo se piše kao a · d b · d i c · b d · b . Koristeći pravilo s istim nazivnicima, imamo da se usporedba razlomaka svela na usporedbu umnožaka a · d i c · b. Odavde dobivamo pravilo za usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima: ako je a d > b c, tada je a b > c d, ali ako je a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Primjer 3

Usporedi razlomke 5 18 i 23 86.

Riješenje

Ovaj primjer ima a = 5, b = 18, c = 23 i d = 86. Tada je potrebno izračunati a · d i b · c . Slijedi da je a d = 5 86 = 430 i b c = 18 23 = 414 . Ali 430 > 414 , tada je zadani razlomak 5 18 veći od 23 86 .

Odgovor: 5 18 > 23 86 .

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnikom

Ako razlomci imaju iste brojnike, a različite nazivnike, tada možete izvršiti usporedbu prema prethodnom odlomku. Rezultat usporedbe moguć je usporedbom njihovih nazivnika.

Postoji pravilo za usporedbu razlomaka s istim brojnicima : Od dva razlomka s istim brojnikom, veći je razlomak s manjim nazivnikom i obrnuto.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4

Usporedi razlomke 54 19 i 54 31.

Riješenje

Imamo da su brojnici isti, što znači da je razlomak s nazivnikom 19 veći od razlomka s nazivnikom 31. To je jasno iz pravila.

Odgovor: 54 19 > 54 31 .

Inače, možete razmotriti primjer. Postoje dva tanjura na kojima 1 2 pite, anna još 1 16 . Ako pojedete 12 pita, zasitit ćete se brže nego samo 116. Odatle zaključak da je najveći nazivnik s istim brojnicima najmanji pri usporedbi razlomaka.

Uspoređivanje razlomka s prirodnim brojem

Usporedba običnog razlomka s prirodnim brojem jednaka je usporedbi dvaju razlomaka čiji su nazivnici napisani u obliku 1. Pogledajmo primjer u nastavku za više pojedinosti.

Primjer 4

Potrebno je izvršiti usporedbu 63 8 i 9 .

Riješenje

Potrebno je broj 9 prikazati kao razlomak 9 1 . Tada imamo potrebu usporediti razlomke 63 8 i 9 1 . Zatim slijedi svođenje na zajednički nazivnik pronalaskom dodatnih faktora. Nakon toga vidimo da trebamo usporediti razlomke s istim nazivnicima 63 8 i 72 8 . Na temelju pravila usporedbe, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Odgovor: 63 8 < 9 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U Svakidašnjicačesto moramo uspoređivati ​​frakcijske vrijednosti. Većinu vremena to ne uzrokuje probleme. Doista, svi razumiju da je polovica jabuke veća od četvrtine. Ali kada je to potrebno zapisati kao matematički izraz, to može biti teško. Primjenom sljedećih matematičkih pravila možete lako riješiti ovaj problem.

Kako usporediti razlomke s istim nazivnikom

Ove razlomke je najlakše usporediti. U ovom slučaju upotrijebite pravilo:

Od dva razlomka s istim nazivnikom, ali različitim brojnikom, veći je onaj čiji je brojnik veći, a manji je onaj čiji je brojnik manji.

Na primjer, usporedite razlomke 3/8 i 5/8. Nazivnici u ovom primjeru su jednaki, stoga primjenjujemo ovo pravilo. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

Doista, ako dvije pizze izrežete na 8 kriški, tada je 3/8 kriški uvijek manje od 5/8.

Uspoređivanje razlomaka s istim brojnicima i različitim nazivnicima

U ovom slučaju uspoređuju se veličine udjela nazivnika. Pravilo koje treba primijeniti je:

Ako dva razlomka imaju isti brojnik, tada je veći razlomak onaj s manjim nazivnikom.

Na primjer, usporedite razlomke 3/4 i 3/8. U ovom primjeru brojnici su jednaki, pa koristimo drugo pravilo. Razlomak 3/4 ima manji nazivnik od razlomka 3/8. Stoga 3/4>3/8

Dapače, ako pojedete 3 kriške pizze podijeljene na 4 dijela, bit ćete sitiji nego da ste pojeli 3 kriške pizze podijeljene na 8 dijelova.

Uspoređivanje razlomaka s različitim brojnicima i nazivnicima

Primjenjujemo treće pravilo:

Usporedbu razlomaka s različitim nazivnicima treba usporediti s razlomcima s istim nazivnicima. Da biste to učinili, morate dovesti razlomke na zajednički nazivnik i koristiti prvo pravilo.

Na primjer, trebate usporediti razlomke i . Da bismo odredili veći razlomak, dovodimo ova dva razlomka na zajednički nazivnik:

• Nađimo sada drugi dodatni faktor: 6:3=2. Zapisujemo preko drugog razlomka: