Stupnjevna mjera upisanih i središnjih kutova. Kružnica i upisani kut

Kut ABC je upisani kut. Oslanja se na luk AC, zatvoren između njegovih stranica (sl. 330).

Teorema. Upisani kut mjeri se polovicom luka koji presječe.

To treba shvatiti na sljedeći način: upisani kut sadrži onoliko kutnih stupnjeva, minuta i sekundi koliko lučnih stupnjeva, minuta i sekundi sadrži polovica luka na koju se oslanja.

U dokazivanju ovog teorema trebamo razmotriti tri slučaja.

Prvi slučaj. Središte kružnice leži na stranici upisanog kuta (sl. 331).

Neka je ∠ABC upisani kut i središte kružnice O leži na stranici BC. Potrebno je dokazati da se mjeri polovicom luka AC.

Spojite točku A sa središtem kruga. Dobivamo jednakokračnik \(\Delta\)AOB, u kojem je AO = OB, kao polumjere iste kružnice. Stoga je ∠A = ∠B.

∠AOC je vanjski trokutu AOB, pa je ∠AOC = ∠A + ∠B, a kako su kutovi A i B jednaki, ∠B je 1/2 ∠AOC.

Ali ∠AOC se mjeri lukom AC, stoga se ∠B mjeri polovicom luka AC.

Na primjer, ako \(\breve(AC)\) sadrži 60°18', tada ∠B sadrži 30°9'.

Drugi slučaj. Središte kružnice nalazi se između stranica upisanog kuta (sl. 332).

Neka je ∠ABD upisani kut. Središte kruga O nalazi se između njegovih stranica. Potrebno je dokazati da se ∠ABD mjeri polovicom luka AD.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo promjer BC. Kut ABD podijeljen je na dva kuta: ∠1 i ∠2.

∠1 se mjeri polovicom luka AC, a ∠2 se mjeri polovicom luka CD, prema tome, cijeli ∠ABD se mjeri 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), tj. pola luka AD.

Na primjer, ako \(\breve(AD)\) sadrži 124°, tada ∠B sadrži 62°.

Treći slučaj. Središte kružnice nalazi se izvan upisanog kuta (sl. 333).

Neka je ∠MAD upisani kut. Središte kruga O je izvan kuta. Potrebno je dokazati da se ∠MAD mjeri polovicom luka MD.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo promjer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Ali ∠MAB mjeri 1/2 \(\breve(MB)\), a ∠DAB mjeri 1/2 \(\breve(DB)\).

Stoga ∠MAD mjeri 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, tj. 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Na primjer, ako \(\breve(MD)\) sadrži 48° 38", tada ∠MAD sadrži 24° 19' 8".

Posljedice
1. Svi upisani kutovi koji se temelje na istom luku međusobno su jednaki jer se mjere polovicom istog luka (Slika 334, a).

2. Upisani kut temeljen na promjeru je pravi kut jer se temelji na polukružnici. Polovica kruga sadrži 180 lučnih stupnjeva, što znači da kut koji se temelji na promjeru sadrži 90 kutnih stupnjeva (slika 334, b).

Pojam upisanog i središnjeg kuta

Uvedimo najprije pojam središnjeg kuta.

Napomena 1

Imajte na umu da stupnjevna mjera središnjeg kuta jednaka je stupnjskoj mjeri luka koji on siječe.

Sada uvodimo pojam upisanog kuta.

Definicija 2

Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku istu kružnicu nazivamo upisanim kutom (slika 2).

Slika 2. Upisani kut

Teorem o upisanom kutu

Teorem 1

Mjera upisanog kuta je polovica mjere luka koji on siječe.

Dokaz.

Neka nam je dana kružnica sa središtem u točki $O$. Označimo pripisani kut $ACB$ (sl. 2). Moguća su sljedeća tri slučaja:

• Zraka $CO$ poklapa se s nekom stranom kuta. Neka ovo bude stranica $CB$ (slika 3).

Slika 3

U ovom slučaju luk $AB$ manji je od $(180)^(()^\circ )$, stoga je središnji kut $AOB$ jednak luku $AB$. Kako je $AO=OC=r$, trokut $AOC$ je jednakokračan. Dakle, bazni kutovi $CAO$ i $ACO$ su jednaki. Prema teoremu o vanjskom kutu trokuta imamo:

• Zraka $CO$ dijeli unutarnji kut na dva kuta. Neka siječe kružnicu u točki $D$ (sl. 4).

Slika 4

Dobivamo

• Zraka $CO$ ne dijeli unutarnji kut na dva kuta i ne podudara se ni s jednom njegovom stranom (slika 5).

Slika 5

Promotrimo odvojeno kutove $ACD$ i $DCB$. Prema dokazanom u točki 1. dobivamo

Dobivamo

Teorem je dokazan.

Donesimo posljedice iz ove teoreme.

Korolar 1: Upisani kutovi koji sijeku isti luk su jednaki.

Korolar 2: Upisani kut koji siječe promjer je pravi kut.

Pojam upisanog i središnjeg kuta

Uvedimo najprije pojam središnjeg kuta.

Napomena 1

Imajte na umu da stupnjevna mjera središnjeg kuta jednaka je stupnjskoj mjeri luka koji on siječe.

Sada uvodimo pojam upisanog kuta.

Definicija 2

Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku istu kružnicu nazivamo upisanim kutom (slika 2).

Slika 2. Upisani kut

Teorem o upisanom kutu

Teorem 1

Mjera upisanog kuta je polovica mjere luka koji on siječe.

Dokaz.

Neka nam je dana kružnica sa središtem u točki $O$. Označimo pripisani kut $ACB$ (sl. 2). Moguća su sljedeća tri slučaja:

• Zraka $CO$ poklapa se s nekom stranom kuta. Neka ovo bude stranica $CB$ (slika 3).

Slika 3

U ovom slučaju luk $AB$ manji je od $(180)^(()^\circ )$, stoga je središnji kut $AOB$ jednak luku $AB$. Kako je $AO=OC=r$, trokut $AOC$ je jednakokračan. Dakle, bazni kutovi $CAO$ i $ACO$ su jednaki. Prema teoremu o vanjskom kutu trokuta imamo:

• Zraka $CO$ dijeli unutarnji kut na dva kuta. Neka siječe kružnicu u točki $D$ (sl. 4).

Slika 4

Dobivamo

• Zraka $CO$ ne dijeli unutarnji kut na dva kuta i ne podudara se ni s jednom njegovom stranom (slika 5).

Slika 5

Promotrimo odvojeno kutove $ACD$ i $DCB$. Prema dokazanom u točki 1. dobivamo

Dobivamo

Teorem je dokazan.

Donesimo posljedice iz ove teoreme.

Korolar 1: Upisani kutovi koji sijeku isti luk su jednaki.

Korolar 2: Upisani kut koji siječe promjer je pravi kut.

Upisani kut, teorija problema. Prijatelji! U ovom ćemo članku govoriti o zadacima za čije je rješavanje potrebno poznavati svojstva upisanog kuta. To je cijela grupa zadataka, oni su uključeni u ispit. Većina ih se rješava vrlo jednostavno, u jednom koraku.

Ima težih zadataka, ali oni vam neće predstavljati velike poteškoće, morate znati svojstva upisanog kuta. Postupno ćemo analizirati sve prototipove zadataka, pozivam vas na blog!

Sada potrebna teorija. Prisjetite se što je središnji i upisani kut, tetiva, luk, na koje se ti kutovi oslanjaju:

Središnji kut u krugu naziva se ravnim kutom savrhunac u svom središtu.

Dio kruga koji se nalazi unutar ravnog kutanaziva se luk kruga.

Mjera stupnja kružnog luka je mjera stupnjaodgovarajući središnji kut.

Kut se naziva upisanim u krug ako vrh kuta ležina kružnici, a stranice kuta sijeku ovu kružnicu.

Odsječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva seakord. Najduža tetiva prolazi središtem kružnice i naziva sepromjer.

Za rješavanje problema za kutove upisane u krug,morate znati sljedeća svojstva:

1. Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta koji se temelji na istom luku.

2. Svi upisani kutovi koji se temelje na istom luku su jednaki.

3. Svi upisani kutovi koji se temelje na istoj tetivi, čiji vrhovi leže na istoj strani te tetive, jednaki su.

4. Bilo koji par kutova koji se temelje na istoj tetivi, čiji vrhovi leže na suprotnim stranama tetive, daje zbroj 180°.

Posljedica: zbroj nasuprotnih kutova četverokuta upisanog u krug iznosi 180 stupnjeva.

5. Svi upisani kutovi na temelju promjera su ravni.

Općenito, ovo svojstvo je posljedica svojstva (1), ovo je njegovo poseban slučaj. Pogledajte - središnji kut je jednak 180 stupnjeva (a ovaj razvijeni kut nije ništa drugo nego promjer), što znači da je prema prvom svojstvu upisani kut C jednak svojoj polovici, odnosno 90 stupnjeva.

Poznavanje ovog svojstva pomaže u rješavanju mnogih problema i često vam omogućuje da izbjegnete nepotrebne izračune. Nakon što ga dobro savladate, moći ćete usmeno riješiti više od polovice zadataka ove vrste. Dvije posljedice koje se mogu napraviti:

Posljedica 1: ako je trokut upisan u krug i jedna njegova stranica se podudara s promjerom tog kruga, tada je trokut pravokutan (vrh pravog kuta leži na krugu).

Korolar 2: središte opisanog o pravokutni trokut krug se poklapa sa središtem svoje hipotenuze.

Mnogi prototipovi stereometrijskih problema također se rješavaju korištenjem ovog svojstva i ovih korolara. Zapamtite samu činjenicu: ako je promjer kruga stranica upisanog trokuta, onda je taj trokut pravokutan (kut nasuprot promjeru je 90 stupnjeva). Sve ostale zaključke i posljedice možete izvući sami, ne trebate ih podučavati.

U pravilu se polovica zadataka za opisani kut daje sa skicom, ali bez notnog zapisa. Da bismo razumjeli proces razmišljanja pri rješavanju problema (ispod u članku), uvode se oznake vrhova (kutova). Na ispitu to ne možete učiniti.Razmotrite zadatke:

Što je šiljasti upisani kut koji siječe tetivu jednaku polumjeru kružnice? Odgovorite u stupnjevima.

Izgradimo središnji kut za dati upisani kut, označimo vrhove:

Prema svojstvu kuta upisanog u krug:

Kut AOB jednak je 60 0 jer je trokut AOB jednakostraničan, a kod jednakostraničnog trokuta svi su kutovi jednaki 60 0 . Stranice trokuta su jednake, jer uvjet kaže da je tetiva jednaka polumjeru.

Dakle, upisani kut DIA je 30 0 .

Odgovor: 30

Odredi tetivu na kojoj počiva kut 30 0 upisan u kružnicu polumjera 3.

Ovo je u biti inverzni problem (od prethodnog). Izgradimo središnji kut.

Dvaput je veći od upisanog, odnosno kut AOB je 60 0 . Iz ovoga možemo zaključiti da je trokut AOB jednakostraničan. Dakle, tetiva je jednaka polumjeru, odnosno tri.

Odgovor: 3

Polumjer kružnice je 1. Odredite vrijednost tupog upisanog kuta na temelju tetive jednake korijenu iz dva. Odgovorite u stupnjevima.

Izgradimo središnji kut:

Poznavajući radijus i tetivu, možemo pronaći središnji kut DIA. To se može učiniti korištenjem zakona kosinusa. Poznavajući središnji kut, lako možemo pronaći upisani kut ACB.

Kosinusni teorem: kvadrat bilo koje stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice, bez udvostručenja umnoška tih stranica puta kosinusa kuta između njih.

Dakle, drugi središnji kut je 360 ​​0 – 90 0 = 270 0 .

Prema svojstvu upisanog kuta, kut DIA jednak je svojoj polovici, odnosno 135 stupnjeva.

Odgovor: 135

Pronađite tetivu na kojoj je kut od 120 stupnjeva, korijen iz tri, upisan u kružnicu polumjera.

Spojite točke A i B sa središtem kruga. Nazovimo to O:

Poznajemo polumjer i upisani kut DIA. Možemo pronaći središnji kut AOB (veći od 180 stupnjeva), zatim pronaći kut AOB u trokutu AOB. I zatim, koristeći teorem kosinusa, izračunajte AB.

Po svojstvu upisanog kuta središnji kut AOB (koji je veći od 180 stupnjeva) bit će jednak dvostrukom upisanom kutu, odnosno 240 stupnjeva. To znači da je kut AOB u trokutu AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Prema zakonu kosinusa:

Odgovor:3

Nađi upisani kut na temelju luka koji čini 20% kružnice. Odgovorite u stupnjevima.

Po svojstvu upisanog kuta, on je pola veličine središnjeg kuta koji se temelji na istom luku, u ovaj slučaj Govorimo o luku AB.

Kaže se da je luk AB 20 posto opsega. To znači da je središnji kut AOB također 20 posto od 360 0 .* Krug je kut od 360 stupnjeva. Sredstva,

Dakle, upisani kut ACB iznosi 36 stupnjeva.

Odgovor: 36

luk kruga AC, koji ne sadrži točke B, iznosi 200 stupnjeva. I luk kružnice BC, koji ne sadrži točke A, iznosi 80 stupnjeva. Nađi pripisani kut ACB. Odgovorite u stupnjevima.

Označimo radi jasnoće lukove čije su kutne mjere zadane. Luk koji odgovara 200 stupnjeva - Plava boja, luk koji odgovara 80 stupnjeva je crven, ostatak kruga je žut.

Dakle, stupanjska mjera luka AB (žuto), a time i središnjeg kuta AOB je: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Upisani kut DAB je polovica središnjeg kuta AOB, odnosno jednak je 40 stupnjeva.

Odgovor: 40

Koliki je upisani kut na temelju promjera kruga? Odgovorite u stupnjevima.

Ovo je kut koji čine dva akordi koja potječe iz jedne točke na kružnici. Kaže se da je upisani kut oslanja se na luku zatvorenom između njegovih stranica.

Upisani kut jednaka polovici luka na kojem počiva.

Drugim riječima, upisani kut uključuje onoliko stupnjeva, minuta i sekundi koliko stupnjevi luka, minute i sekunde su zatvorene u polovici luka na koji se oslanja. Radi opravdanja analiziramo tri slučaja:

Prvi slučaj:

Središte O nalazi se sa strane upisani kut ABS. Crtanjem polumjera AO dobivamo ΔABO, u kojem je OA = OB (kao polumjeri) i prema tome ∠ABO = ∠BAO. U odnosu na ovo trokut, kut AOC je vanjski. I tako, jednak je zbroju kutova ABO i BAO, odnosno jednak dvostrukom kutu ABO. Dakle, ∠ABO je pola središnji kut AOC. Ali ovaj kut se mjeri lukom AC. Odnosno, upisani kut ABC mjeri se polovicom luka AC.

Drugi slučaj:

Središte O nalazi se između stranica upisani kut ABC.Nacrtavši promjer BD, kut ABC podijelit ćemo na dva kuta, od kojih se prema utvrđenom u prvom slučaju jedan mjeri polovicom lukovi AD, a druga polovica luka CD. I prema tome, kut ABC mjeri se s (AD + DC) / 2, tj. 1/2 AC.

Treći slučaj:

Centar O nalazi se izvana upisani kut ABS. Nakon što nacrtamo promjer BD, imat ćemo: ∠ABS = ∠ABD - ∠CBD . Ali kutovi ABD i CBD se mjere na temelju prethodno potkrijepljenih polovica lukovi AD i CD. A budući da se ∠ABS mjeri (AD-CD)/2, odnosno pola AC luka.

Posljedica 1. Bilo koji , na temelju istog luka su isti, odnosno međusobno su jednaki. Budući da se svaki od njih mjeri polovicom istog lukovi .

Posljedica 2. Upisani kut, na temelju promjera - pravi kut. Budući da se svaki takav kut mjeri pola polukruga i, prema tome, sadrži 90 °.