Kvadratni korijen broja. Korijen

činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmite neki nenegativan broj \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) korijen od broja \(a\) zove se takav nenegativan broj \(b\), kvadriranjem kojeg dobivamo broj \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizlazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ta su ograničenja važan uvjet za postojanje korijen I treba ih se sjećati!
Podsjetimo se da svaki broj kada se na kvadrat daje nenegativan rezultat. Odnosno, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Što je \(\sqrt(25)\) ? Znamo da \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Budući da po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, \(-5\) nije prikladno, dakle \(\sqrt(25)=5\) (jer \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se vađenjem kvadratnog korijena broja \(a\), a broj \(a\) naziva se korijenski izraz.
\(\bullet\) Na temelju definicije, izrazi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itd. nema smisla.

činjenica 2.
Za brze izračune bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodnih brojeva od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(niz)\]

činjenica 3.
Što se može učiniti s kvadratnim korijenom?
\(\metak\) Zbroj ili razlika kvadratni korijeni NIJE JEDNAK kvadratnom korijenu zbroja ili razlike, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Stoga, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ) i zatim ih zbrojite. Stoga, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći prilikom dodavanja \(\sqrt a+\sqrt b\), tada se takav izraz ne pretvara dalje i ostaje takav kakav jest. Na primjer, u zbroju \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) - to je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) ne može biti pretvoren na bilo koji način, Zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nadalje, ovaj se izraz, nažalost, ne može ni na koji način pojednostaviti.\(\bullet\) Umnožak/kvocijent kvadratnih korijena jednak je kvadratnom korijenu umnoška/kvocijenta, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uvjetom da oba dijela jednakosti imaju smisla)
Primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene velikih brojeva njihovim rastavljanjem na faktore.
Razmotrite primjer. Pronađite \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , tada \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (jer je zbroj njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle \(441:9=49\) , odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Dakle, dobili smo: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako upisati brojeve ispod znaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (skraćenica za izraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Budući da \(5=\sqrt(25)\) , tada \ Imajte na umu također da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Zašto je to? Objasnimo primjerom 1). Kao što ste već shvatili, ne možemo nekako pretvoriti broj \(\sqrt2\) . Zamislite da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa drugo nego \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\) ). I znamo da je to jednako četiri takva broja \(a\) , to jest \(4\sqrt2\) .

činjenica 4.
\(\bullet\) Često se kaže "ne može izvući korijen" kada nije moguće ukloniti predznak \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) pri pronalaženju vrijednosti nekog broja. Na primjer, možete korijeniti broj \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali izvaditi korijen iz broja \(3\) , odnosno pronaći \(\sqrt3\) , nemoguće je, jer ne postoji takav broj koji će na kvadrat dati \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tako dalje. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj “pi”, približno jednak \(3,14\) ), \(e\) (ovaj broj se naziva Eulerov broj, približno jednak \(2 ,7\) ) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će svaki broj biti ili racionalan ili iracionalan. A zajedno svi racionalni i svi iracionalni brojevi čine skup tzv skup realnih (realnih) brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da svi brojevi koji su ovaj trenutak znamo da se zovu realni brojevi.

činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od točke \(a\) do \(0\) na realnoj crta. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) jednaki su 3, jer su udaljenosti od točaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) isti i jednak \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, tada \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, tada \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul “pojede” minus, a pozitivne brojeve, kao i broj \(0\) , modul ostavlja nepromijenjenim.
ALI ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako ispod znaka modula imate nepoznanicu \(x\) (ili neku drugu nepoznanicu), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo je li pozitivna, jednaka nuli ili negativna, tada riješiti se modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje takav: \(|x|\) . \(\bullet\) Sljedeće formule vrijede: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( provided ) a\geqslant 0\]Često se pravi sljedeća pogreška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) iste stvari. Ovo je točno samo ako \(a\) - pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda to nije točno. Dovoljno je razmotriti takav primjer. Uzmimo broj \(-1\) umjesto \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (jer je nemoguće ispod znaka korijena staviti negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pozornost na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\lijevo(-\sqrt2\desno)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Budući da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se izvlači korijen iz broja koji je u nekom stupnju, taj se stupanj prepolovljuje.
Primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije postavljen, ispada da je korijen broja jednak \(-25 \) ; ali sjećamo se , što po definiciji korijena to ne može biti: kod izvlačenja korijena uvijek trebamo dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (budući da je svaki broj na parnu potenciju nenegativan)

činjenica 6.
Kako usporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Točno za kvadratne korijene: ako \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrimjer:
1) usporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo transformiramo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, budući da \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\) ?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Usporedite \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Pretpostavimo \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodajte jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat oba dijela))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netočnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila pogrešna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja objema stranama nejednadžbe ne utječe na njezin predznak. Množenje/dijeljenje oba dijela nejednadžbe s pozitivnim brojem također ne utječe na njen predznak, ali množenje/dijeljenje s negativnim brojem obrće predznak nejednadžbe!
Obje strane jednadžbe/nejednadžbe mogu se kvadrirati SAMO AKO su obje strane nenegativne. Na primjer, u nejednadžbi iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednadžbi \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Imajte na umu da \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \kraj(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam pri uspoređivanju brojeva! \(\bullet\) Da biste izvukli korijen (ako se izvuče) iz nekog velikog broja koji nije u tablici kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se “stotica” nalazi, zatim između kojih “desetica”, a zatim odredi posljednju znamenku ovog broja. Pokažimo na primjeru kako to funkcionira.
Uzmite \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) i tako dalje. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Stoga je \(\sqrt(28224)\) između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se “desetica” nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\) ). Iz tablice kvadrata također znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Stoga je broj \(\sqrt(28224)\) između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju znamenku. Prisjetimo se koje jednoznamenkaste brojeve pri kvadriranju daju na kraju \ (4 \) ? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će završavati s 2 ili 8. Provjerimo ovo. Pronađite \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stoga \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Kako bi se ispit iz matematike adekvatno riješio, prije svega je potrebno proučiti teoretsko gradivo koje uvodi brojne teoreme, formule, algoritme itd. Na prvi pogled može se činiti da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena jednostavno i razumljivo za studente s bilo kojom razinom obuke zapravo je prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronaći osnovne formule za ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno učiti teoriju iz matematike, ne samo za one koji izlaze na ispit?

1. Jer proširuje vaše horizonte. Proučavanje teoretskog materijala iz matematike korisno je za svakoga tko želi dobiti odgovore na širok raspon pitanja vezanih uz poznavanje svijeta. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. Upravo se to ogleda u znanosti kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Jer razvija intelekt. Proučavajući referentne materijale za ispit iz matematike, kao i rješavajući razne probleme, osoba uči razmišljati i zaključivati ​​logično, pravilno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generaliziranja, zaključivanja.

Pozivamo Vas da osobno procijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnih materijala.

Prije pojave kalkulatora, učenici i učitelji su ručno računali kvadratne korijene. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena broja. Neki od njih nude samo približno rješenje, drugi daju točan odgovor.

Koraci

Rastavljanje na proste faktore

Rastavite korijenski broj na faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o broju korijena, dobit ćete približan ili točan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može izvaditi cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju izvorni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da je 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, budući da je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratni faktori su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo pokušajte rastaviti korijen broja na kvadratne faktore.

• Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv s 25 - ovo je kvadratni broj. Dijeljenjem 400 s 25 dobivate 16. Broj 16 također je kvadratni broj. Dakle, 400 se može rastaviti na kvadratne faktore 25 i 16, to jest, 25 x 16 = 400.
• To se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratni korijen umnoška nekih članova jednak je umnošku kvadratnih korijena svakog člana, to jest, √(a x b) = √a x √b. Upotrijebite ovo pravilo i izvadite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate kako biste pronašli odgovor.

   • U našem primjeru, uzmite kvadratni korijen iz 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ako se radikalni broj ne rastavlja na dva kvadratna faktora (a čini se u većini slučajeva), nećete moći pronaći točan odgovor kao cijeli broj. Ali možete pojednostaviti problem rastavljanjem korijena broja na kvadratni faktor i obični faktor (broj iz kojeg se ne može izvući cijeli kvadratni korijen). Zatim ćete izvaditi kvadratni korijen kvadratnog faktora i izvadit ćete korijen običnog faktora.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 ne može se rastaviti na dva faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) uspoređujući ga s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne crte) korijenu broja. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti s brojem iza znaka korijena.

   • Vratimo se našem primjeru. Korijen broja je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Dakle, vrijednost √3 leži između 1 i 2. Budući da je vrijednost √3 vjerojatno bliža 2 nego 1, naša je procjena: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo s brojem u znaku korijena: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobit ćete 12,13, što je prilično blizu našem odgovoru.
     • Ova metoda funkcionira i s velikim brojevima. Na primjer, razmotrite √35. Korijen broja je 35. Njemu najbliži kvadratni brojevi su brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 leži između 5 i 6. Budući da je vrijednost √35 puno bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6. Provjera kalkulatorom daje nam odgovor 5,92 – bili smo u pravu.

4. Drugi način je rastavljanje korijenskog broja na proste faktore. Prosti faktori su brojevi koji su djeljivi samo s 1 i sami sa sobom. Napiši redom proste faktore i pronađi parove istih faktora. Takvi faktori mogu se izvući iz znaka korijena.

   • Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Rastavljamo korijen broja na proste faktore: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Dakle, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi iz znaka korijena: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
   • Razmotrite još jedan primjer: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelja 2; uzmi par njih i izvadi ih iz znaka korijena.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možemo procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.

   Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

   Korištenje podjele stupaca

   1. Ova metoda uključuje proces sličan dugom dijeljenju i daje točan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu crtu koja dijeli list na dvije polovice, a zatim povucite vodoravnu crtu udesno i malo ispod gornjeg ruba lista do okomite crte. Sada podijelite korijenski broj u parove brojeva, počevši od razlomka nakon decimalne točke. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije crte (kao što je prikazano na slici) i napišite broj u gornjem lijevom kutu kao "7 80, 14". Normalno je da je prva znamenka slijeva neparena znamenka. Odgovor (korijen zadanog broja) bit će ispisan gore desno.

   2. Zadan je prvi par brojeva (ili jedan broj) slijeva, pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak dotičnom paru brojeva (ili jednom broju). Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži, ali manji od prvog para brojeva (ili jednog broja) slijeva, i izvucite kvadratni korijen tog kvadratnog broja; dobit ćete broj n. Gore desno zapišite pronađeni n, a dolje desno kvadratić n.

      • U našem slučaju, prvi broj s lijeve strane bit će broj 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli od prvog para brojeva (ili jednog broja) slijeva. Rezultat izračuna upiši ispod subtrahenda (kvadrat broja n).

      • U našem primjeru oduzmite 4 od 7 da biste dobili 3.

   4. Skinite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj gore desno i zapišite rezultat dolje desno s dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim, udvostručenje broja s gornje desne strane daje 4. Napišite "4_×_=" s donje desne strane.

   5. Ispunite prazna mjesta s desne strane.

      • U našem slučaju, ako umjesto crtica stavimo broj 8, tada je 48 x 8 \u003d 384, što je više od 380. Dakle, 8 je preveliki broj, ali 7 je u redu. Napišite 7 umjesto crtica i dobit ćete: 47 x 7 \u003d 329. Napišite 7 s gornje desne strane - ovo je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.

   6. Oduzmite dobiveni broj od trenutnog broja s lijeve strane. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetog.

      • U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.

   7. Ponovite korak 4. Ako je srušeni par brojeva razlomački dio izvornog broja, tada razdjelnik (zarez) cijelog i razlomačkog dijela stavite u željeni kvadratni korijen s gornje desne strane. S lijeve strane prenesite sljedeći par brojeva prema dolje. Udvostručite broj gore desno i zapišite rezultat dolje desno s dodatkom "_×_=".

      • U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji će se rušiti bit će razlomački dio broja 780,14, stoga stavite razdjelnik cijelog i razlomačkog dijela u željeni kvadratni korijen s gornje desne strane. Srušite 14 i zapišite dolje lijevo. Dvostruki gornji desni (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.

   8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite najveći broj umjesto crtica s desne strane (umjesto crtica trebate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju s lijeve strane.

      • U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja s lijeve strane (5114). Gore desno napišite 9 i rezultat množenja oduzmite od trenutnog broja lijevo: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, napišite par nula pokraj trenutnog broja s lijeve strane i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete točnost odgovora koji vam je potreban (broj decimalna mjesta).

   Razumijevanje procesa

   Da biste svladali ovu metodu, zamislite broj čiji kvadratni korijen trebate pronaći kao površinu kvadrata S. U ovom slučaju, tražit ćete duljinu stranice L takvog kvadrata. Izračunajte vrijednost L za koju je L² = S.

   Unesite slovo za svaku znamenku u svom odgovoru. Označimo s A prvu znamenku u vrijednosti L (željeni kvadratni korijen). B će biti druga znamenka, C treća i tako dalje.

   Navedite slovo za svaki par vodećih znamenki. Označimo sa S a prvi par znamenki u vrijednosti S, sa S b drugi par znamenki i tako dalje.

   Objasnite vezu ove metode s dugim dijeljenjem. Kao u operaciji dijeljenja, gdje nas svaki put zanima samo jedna sljedeća znamenka djeljivog broja, kada računamo kvadratni korijen, radimo s parom znamenki u nizu (kako bismo dobili sljedeću jednu znamenku u vrijednosti kvadratnog korijena) .

   1. Promotrite prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađite njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A tražene vrijednosti kvadratnog korijena bit će takva znamenka čiji je kvadrat manji ili jednak S a (to jest, tražimo takav A koji zadovoljava nejednakost A² ≤ sub< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu znamenku djeljivog broja 88962 (8) i odabiremo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji vrijedi nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno duljinu stranice kvadrata čija je površina S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete to napisati i drugačije: 10A + B \u003d L (za dvojku -znamenkasti broj) ili 100A + 10B + C \u003d L (za troznamenkasti broj) i tako dalje.

      • Neka (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj čiji B označava jedinice, a A označava desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A² je površina velikog unutarnjeg kvadrata, B² je površina malog unutarnjeg kvadrata, 10A×B je površina svakog od dva pravokutnika. Dodavanjem područja opisanih figura, pronaći ćete područje izvornog kvadrata.

Izračunavanje (ili vađenje) kvadratnog korijena može se napraviti na nekoliko načina, ali svi oni nisu vrlo jednostavni. Lakše je, naravno, pribjeći pomoći kalkulatoru. Ali ako to nije moguće (ili želite razumjeti bit kvadratnog korijena), mogu vam savjetovati da idete na sljedeći način, njegov algoritam je sljedeći:

Ako nemate snage, želje ili strpljenja za tako dugotrajne izračune, možete pribjeći grubom odabiru, njegov plus je što je nevjerojatno brz i, uz dužnu domišljatost, točan. Primjer:

Kad sam bio u školi (ranih 60-ih), učili su nas vaditi kvadratni korijen bilo kojeg broja. Tehnika je jednostavna, izvana slična podjeli po stupcu, ali da je ovdje navedemo, trebat će vam pola sata vremena i 4-5 tisuća znakova teksta. Ali zašto ti to treba? Imate li telefon ili neki gadget, postoji kalkulator u nm. U svakom računalu postoji kalkulator. Osobno preferiram ovakav izračun u Excelu.

Često se u školi traži pronaći kvadratni korijen različitih brojeva. Ali ako smo navikli stalno koristiti kalkulator za to, tada neće biti takve prilike na ispitima, pa morate naučiti kako tražiti korijen bez pomoći kalkulatora. I to je u načelu moguće učiniti.

Algoritam je:

Prvo pogledajte zadnju znamenku svog broja:

Na primjer,

Sada trebate približno odrediti vrijednost za korijen iz krajnje lijeve skupine

U slučaju kada broj ima više od dvije grupe, tada trebate pronaći korijen ovako:

Ali sljedeći broj bi trebao biti točno najveći, trebate ga pokupiti ovako:

Sada trebamo formirati novi broj A dodavanjem gore dobivenog ostatka sljedeće skupine.

U našim primjerima:

Kolona najna, a kad je potrebno više od petnaest znakova, tada računala i telefoni s kalkulatorima najčešće miruju. Ostaje provjeriti hoće li opis metodologije uzeti 4-5 tisuća znakova.

Berm bilo koji broj, od zareza brojimo parove znamenki desno i lijevo

Na primjer, 1234567890.098765432100

Par znamenki je kao dvoznamenkasti broj. Korijen dvoznamenkastog broja je jedan prema jedan. Odaberemo jednu s jednom vrijednošću, čiji je kvadrat manji od prvog para znamenki. U našem slučaju to je 3.

Kao i kod dijeljenja stupcem, ispod prvog para ispisujemo ovaj kvadrat i oduzimamo od prvog para. Rezultat je podcrtan. 12 - 9 = 3. Ovoj razlici dodajte drugi par znamenki (to će biti 334). Lijevo od broja bermi, udvostručena vrijednost dijela rezultata koji je već pronađen dopunjena je znamenkom (imamo 2 * 6 = 6), tako da kada se pomnoži s brojem koji nije primljen, to čini ne prelazi broj s drugim parom znamenki. Dobivamo da je pronađena brojka pet. Opet nalazimo razliku (9), rušimo sljedeći par znamenki, dobivamo 956, ponovno ispisujemo udvostručeni dio rezultata (70), ponovno dodajemo potrebnu znamenku i tako dalje dok ne stane. Ili na potrebnu točnost izračuna.

Prvo, da biste izračunali kvadratni korijen, morate dobro poznavati tablicu množenja. Najjednostavniji primjeri su 25 (5 sa 5 = 25) i tako dalje. Ako uzmemo kompliciranije brojeve, onda možemo koristiti ovu tablicu, gdje su vodoravno jedinice, a okomito desetice.



Postoji dobar način da pronađete korijen broja bez pomoći kalkulatora. Da biste to učinili, trebat će vam ravnalo i šestar. Suština je da na ravnalu pronađete vrijednost koju imate ispod korijena. Na primjer, stavite oznaku blizu 9. Vaš zadatak je podijeliti taj broj na jednak broj segmenata, odnosno na dvije crte od po 4,5 cm, i to na jednaki segment. Lako je pogoditi da ćete na kraju dobiti 3 segmenta od 3 centimetra.

Metoda nije jednostavna i neće raditi za velike brojeve, ali se smatra bez kalkulatora.

bez pomoći kalkulatora, metoda vađenja kvadratnog korijena učila se u sovjetsko vrijeme u školi u 8. razredu.

Da biste to učinili, trebate rastaviti višeznamenkasti broj s desna na lijevo na lica od 2 znamenke :

Prva znamenka korijena je cijeli korijen lijeve strane, u ovom slučaju 5.

Oduzmite 5 na kvadrat od 31, 31-25=6 i dodajte sljedeće lice šestici, imamo 678.

Sljedeća znamenka x je odabrana da udvostruči pet tako da

10x*x bio je maksimum, ali manji od 678.

x=6 jer je 106*6=636,

sada izračunavamo 678 - 636 = 42 i dodamo sljedeće lice 92, imamo 4292.

Opet tražimo maksimalni x, takav da je 112x*x lt; 4292.

Odgovor: korijen je 563

Tako da možete nastaviti koliko god želite.

U nekim slučajevima možete pokušati proširiti korijen broja na dva ili više kvadratnih faktora.

Također je korisno zapamtiti tablicu (ili barem dio nje) - kvadrate prirodnih brojeva od 10 do 99.



Predlažem varijantu vađenja kvadratnog korijena u stupac koju sam izmislio. Razlikuje se od poznatih, osim po izboru brojeva. Ali kako sam kasnije saznao, ova metoda je postojala već mnogo godina prije mog rođenja. Veliki Isaac Newton to je opisao u svojoj knjizi General Arithmetic ili knjizi o aritmetičkoj sintezi i analizi. Dakle, ovdje predstavljam svoju viziju i obrazloženje za algoritam Newtonove metode. Ne morate pamtiti algoritam. Možete jednostavno koristiti dijagram na slici kao vizualnu pomoć ako je potrebno.







Uz pomoć tablica ne možete izračunati, već pronaći kvadratne korijene samo iz brojeva koji se nalaze u tablicama. Najlakši način izračunavanja korijena nije samo kvadrat, već i drugi stupnjevi, metodom uzastopnih aproksimacija. Na primjer, izračunamo kvadratni korijen od 10739, zamijenimo posljednje tri znamenke nulama i izvučemo korijen od 10000, dobijemo 100 s nedostatkom, pa uzmemo broj 102 i kvadriramo ga, dobijemo 10404, što je također manje od navedenog, opet uzimamo 103*103=10609 s nedostatkom, uzimamo 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, uzimamo još više 103,6 * 103,6 \u003d 10732, uzimamo 103,7 * 103,7 \u003d 10753,69, što je već u višak. Možete uzeti kvadratni korijen od 10739 da bude približno jednak 103,6. Točnije 10739=103.629... . . Slično izračunavamo kubni korijen, prvo od 10000 dobivamo otprilike 25 * 25 * 25 = 15625, što je višak, uzimamo 22 * ​​​​22 * ​​22 = 10,648, uzimamo nešto više od 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, što je vrlo blizu zadanog.

korijen n potenciju prirodnog broja a broj se zove nčija je th snaga jednaka a. Korijen se označava na sljedeći način: . Simbol √ se zove znak korijena ili znak radikala, broj a - korijenski broj, n - korijenski eksponent.

Radnja kojom se nalazi korijen zadanog stupnja naziva se vađenje korijena.

Budući da prema definiciji pojma korijena n ti stupanj

Da vađenje korijena- radnja, suprotna stepenovanju, pomoću koje se prema zadanom stupnju i prema zadanom eksponentu nalazi osnovica stupnja.

Korijen

Kvadratni korijen broja a je broj čiji je kvadrat a.

Operacija kojom se izračunava kvadratni korijen naziva se vađenje kvadratnog korijena.

Vađenje kvadratnog korijena- radnja suprotna od kvadriranja (ili dizanja broja na drugu potenciju). Kada kvadrirate broj, morate pronaći njegov kvadrat. Kod vađenja kvadratnog korijena, kvadrat broja je poznat, potrebno je iz njega pronaći sam broj.

Stoga, da biste provjerili ispravnost poduzete radnje, možete podići pronađeni korijen na drugi stupanj, a ako je stupanj jednak broju korijena, tada je korijen ispravno pronađen.

Razmotrite vađenje kvadratnog korijena i njegovu provjeru na primjeru. Izračunavamo ili (korijen eksponenta s vrijednošću 2 obično se ne piše, jer je 2 najmanji eksponent i treba imati na umu da ako nema eksponenta iznad predznaka korijena, onda se eksponent 2 podrazumijeva), za to nam je potrebno da bismo pronašli broj, kada se podigne na sekundu, stupanj će biti 49. Očito, ovaj broj je 7, jer

7 7 = 7 2 = 49.

Izračunavanje kvadratnog korijena

Ako je zadani broj 100 ili manji, tada se njegov kvadratni korijen može izračunati pomoću tablice množenja. Na primjer, kvadratni korijen iz 25 je 5 jer je 5 x 5 = 25.

Sada razmislite o tome kako pronaći kvadratni korijen bilo kojeg broja bez korištenja kalkulatora. Na primjer, uzmimo broj 4489 i počnimo računati korak po korak.

1. Odredimo od kojih se znamenki treba sastojati željeni korijen. Budući da je 10 2 = 10 10 = 100, a 100 2 = 100 100 = 10000, postaje jasno da željeni korijen mora biti veći od 10 i manji od 100, tj. sastoje se od desetica i jedinica.
2. Odredite broj desetica korijena. Množenjem desetica dobivamo stotine, naš je broj 44, pa korijen mora sadržavati toliko desetica da kvadrat desetica daje približno 44 stotine. Dakle, u korijenu bi trebalo biti 6 desetica, jer 60 2 \u003d 3600, a 70 2 \u003d 4900 (ovo je previše). Tako smo saznali da naš korijen sadrži 6 desetica i nekoliko jedinica, jer je u rasponu od 60 do 70.
3. Tablica množenja pomoći će odrediti broj jedinica u korijenu. Gledajući broj 4489, vidimo da je zadnja znamenka u njemu 9. Sada pogledamo tablicu množenja i vidimo da se 9 jedinica može dobiti samo kvadriranjem brojeva 3 i 7. Dakle, korijen broja će biti 63 ili 67.
4. Dobivene brojeve 63 i 67 provjeravamo kvadriranjem: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Na krugu je pokazala kako se mogu izvući kvadratni korijeni u stupcu. Možete izračunati korijen s proizvoljnom preciznošću, pronaći onoliko znamenki koliko želite u njegovom decimalnom zapisu, čak i ako se pokaže da je iracionalan. Algoritam je zapamćen, ali pitanja su ostala. Nije bilo jasno otkud metoda i zašto daje točan rezultat. Ovo nije bilo u knjigama, ili sam možda samo tražio u krivim knjigama. Kao rezultat toga, kao i mnogo toga što danas znam i mogu, sam sam to iznio. Ovdje dijelim svoje znanje. Usput, još uvijek ne znam gdje je dano obrazloženje za algoritam)))

Dakle, prvo vam na primjeru kažem “kako sustav funkcionira”, a zatim objasnim zašto zapravo funkcionira.

Uzmimo broj (broj je uzet "sa stropa", samo mi je pao na pamet).

1. Njegove brojeve dijelimo u parove: one koji su lijevo od decimalne točke grupiramo po dva s desna na lijevo, a one desno - po dva s lijeva na desno. Dobivamo .

2. Iz prve skupine znamenki s lijeve strane izvlačimo kvadratni korijen - u našem slučaju jest (jasno je da se ne može izvući točan korijen, uzimamo broj čiji je kvadrat što bliži našem broju koji tvorimo prva skupina znamenki, ali je ne prelazi). U našem slučaju, to će biti broj. Pišemo kao odgovor - ovo je najveća znamenka korijena.

3. Podižemo broj koji je već u odgovoru - to je - na kvadrat i oduzimamo od prve grupe brojeva lijevo - od broja. U našem slučaju ostaje

4. Desno pripisujemo sljedeću grupu od dva broja: . Broj koji je već u odgovoru pomnožimo s , dobivamo .

5. Sada pažljivo promatrajte. Broju s desne strane trebamo dodati jednu znamenku i broj pomnožiti s , odnosno istom zadanom znamenkom. Rezultat bi trebao biti što bliži , ali opet ne više od ovog broja. U našem slučaju, to će biti broj, pišemo ga kao odgovor pored, s desne strane. Ovo je sljedeća znamenka u decimalnom zapisu za naš kvadratni korijen.

6. Oduzimajući proizvod od , dobivamo .

7. Zatim ponavljamo poznate operacije: dodijelimo sljedeću grupu znamenki s desne strane, množimo s, dobivenom broju > dodijelimo jednu znamenku s desne strane, tako da kada se pomnoži s njom, dobijemo broj manji, ali najbliži to - ovo je broj - sljedeća znamenka u decimalnom zapisu korijena.

Izračuni će biti napisani na sljedeći način:

A sada obećano objašnjenje. Algoritam se temelji na formuli

Komentari: 50

1. 2 Anton:

   Previše neuredno i zbunjujuće. Sve rastavite i numerirajte. Plus: objasnite gdje u svakoj radnji zamjenjujemo potrebne vrijednosti. Nikad prije nisam izračunao korijen u stupcu - teško sam to shvatio.

2. 5 Julija:

3. 6 :

   Julia, 23 trenutno piše desno, ovo su prve dvije (lijevo) već primljene znamenke korijena koje se nalaze u odgovoru. Množimo s 2 prema algoritmu. Ponavljamo korake opisane u paragrafu 4.

4. 7zzz:

   greška u “6. Od 167 oduzmemo proizvod 43 * 3 = 123 (129 nada), dobijemo 38.”
   nije jasno kako je nakon zareza ispalo 08 ...

5. 9 Fedotov Aleksandar:

   Čak iu eri prije kalkulatora, u školi su nas učili ne samo kvadrat, već i kubni korijen u stupcu za izdvajanje, ali to je dosadniji i mukotrpniji posao. Lakše je bilo koristiti Bradisove tablice ili klizač, koje smo već učili u srednjoj školi.

6. 10 :

   Aleksandre, u pravu si, možeš izdvojiti u stupac i korijene velikih stupnjeva. Pisaću samo o tome kako pronaći kubni korijen.

7. 12 Sergej Valentinovič:

   Draga Elizabeta Aleksandrovna! U kasnim 70-ima razvio sam shemu za automatski (tj. ne odabirom) izračun kvadrata. root na Felix stroju za zbrajanje. Ako ste zainteresirani, mogu poslati opis.

8. 14 Vlad iz Engelsstadta:

   (((Izvlačenje kvadratnog korijena u stupac)))
   Algoritam je pojednostavljen ako koristite 2. brojevni sustav koji se proučava u informatici, ali je također koristan u matematici. A.N. Kolmogorov je citirao ovaj algoritam u popularnim predavanjima za školsku djecu. Njegov članak nalazi se u “Chebyshev Collection” (Mathematical Journal, potražite poveznicu na Internetu)
   Za tu priliku recite:
   G. Leibniz je svojedobno požurio s idejom prijelaza s 10. brojevnog sustava na binarni zbog njegove jednostavnosti i pristupačnosti za početnike (mlađi školarci). Ali razbijanje ustaljenih tradicija je kao razbijanje vrata tvrđave čelom: moguće je, ali je beskorisno. Tako ispada, kako kaže bradati filozof koji se najviše citira u starim danima: predaje svih mrtvih generacija potiskuju svijest živih.

   Vidimo se sljedeći put.

9. 15 Vlad iz Engelsstadta:

   )) Sergey Valentinovich, da, zainteresiran sam ... ((

   Kladim se da je ovo Felixova varijacija babilonske metode izdvajanja kvadratnog konja uzastopnim približenjima. Ovaj algoritam nadjačala je Newtonova metoda (tangentna metoda)

   Zanima me jesam li pogriješio u prognozi?

10. 18 :

    2Vlad iz Engelsstadta

    Da, binarni algoritam bi trebao biti jednostavniji, to je prilično očito.

    O Newtonovoj metodi. Možda i jest, ali je svejedno zanimljivo

11. 20 Ćiril:

    Hvala puno. Ali algoritam još uvijek ne postoji, ne zna se odakle je došao, ali rezultat je točan. HVALA PUNO! Ovo sam dugo tražio

12. 21 Aleksandar:

    A kako će ići vađenje korijena iz broja, gdje je druga grupa s lijeva na desno jako mala? na primjer, svačiji omiljeni broj je 4 398 046 511 104. nakon prvog oduzimanja nemoguće je nastaviti sve po algoritmu. Možete li molim vas objasniti.

13. 22 Aleksej:

    Da, znam ovaj put. Sjećam se da sam to čitao u knjizi "Algebra" nekog starog izdanja. Zatim je, analogno tome, sam zaključio kako izvući kubni korijen u istom stupcu. Ali tamo je već kompliciranije: svaka znamenka se više ne određuje u jednom (kao kod kvadrata), već u dva oduzimanja, pa čak i tamo svaki put kada trebate pomnožiti duge brojeve.

14. 23 Artem:

    Postoje tipfelerske pogreške u primjeru vađenja kvadratnog korijena od 56789,321. Skupina brojeva 32 dodijeljena je dva puta brojevima 145 i 243, u broju 2388025 drugu 8 treba zamijeniti s 3. Zatim posljednje oduzimanje treba napisati na sljedeći način: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Dodatno, kada ostatak podijelimo s udvostručenom vrijednošću odgovora (isključujući zarez), dobivamo dodatni broj značajnih znamenki (47975/(2*238305) = 0,100658819…), koje treba dodati odgovoru (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergej:

    Navodno je algoritam došao iz knjige Isaaca Newtona "Opća aritmetika ili knjiga o aritmetičkoj sintezi i analizi". Evo izvatka iz njega:

    O KORIJENIMA

    Da biste izvadili kvadratni korijen iz broja, prije svega, trebate staviti točku preko njegovih brojeva do jedan, počevši od jedinica. Tada je potrebno u kvocijent ili u korijen upisati broj čiji je kvadrat jednak ili najbliži defektu brojevima ili brojkama ispred prve točke. Nakon oduzimanja ovog kvadrata, preostale znamenke korijena će se sukcesivno pronaći dijeljenjem ostatka s dvostrukom vrijednošću već izdvojenog dijela korijena i oduzimanjem svaki put od ostatka kvadrata posljednje pronađene znamenke i njezinog deseterostrukog umnoška s imenovani djelitelj.

16. 25 Sergej:

    Ispravite naslov knjige “Opća aritmetika ili knjiga o aritmetičkoj sintezi i analizi”

17. 26 Aleksandar:

    Hvala na zanimljivom sadržaju. Ali ova metoda mi se čini nešto kompliciranijom nego što je potrebno, na primjer, za školarca. Koristim jednostavniju metodu koja se temelji na proširenju kvadratne funkcije pomoću prve dvije derivacije. Njegova formula je:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 gdje je
    A1 je cijeli broj čiji je kvadrat najbliži x;
    A2 je razlomak, u brojniku x-A1, u nazivniku 2*A1.
    Za većinu brojeva koji se susreću u školskom tečaju to je dovoljno da se dobije rezultat točan do stotinke.
    Ako trebate točniji rezultat, uzmite
    A3 je razlomak, u brojniku A2 na kvadrat, u nazivniku 2 * A1 + 1.
    Naravno, za prijavu vam treba tablica kvadrata cijelih brojeva, ali to nije problem u školi. Zapamtiti ovu formulu vrlo je jednostavno.
    Međutim, zbunjuje me što sam A3 dobio empirijski kao rezultat eksperimenata s proračunskom tablicom i ne razumijem zašto ovaj izraz ima takav oblik. Možda možete savjetovati?

18. 27 Aleksandar:

    Da, uzeo sam u obzir i ta razmatranja, ali vrag je u detaljima. Vi pišete:
    "jer se a2 i b već prilično razlikuju." Pitanje je točno koliko malo.
    Ova formula dobro funkcionira na brojevima druge desetice, a puno lošije (ne do stotinki, samo do desetinki) na brojevima prve desetice. Zašto se to događa već je teško razumjeti bez uključivanja derivata.

19. 28 Aleksandar:

    Pojasnit ću gdje vidim prednost formule koju sam predložio. Ne zahtijeva ne baš prirodno dijeljenje brojeva u parove znamenki, koje se, kako iskustvo pokazuje, često izvodi s pogreškama. Njegovo značenje je očito, ali za osobu koja je upoznata s analizom, ono je trivijalno. Dobro radi s brojevima od 100 do 1000, najčešćim u školi.

20. 29 Aleksandar:

    Usput, malo sam kopao i pronašao točan izraz za A3 u svojoj formuli:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    U naše vrijeme, raširena uporaba računalne tehnologije, pitanje izvlačenja kvadratnog konja iz broja s praktičnog gledišta ne vrijedi. Ali za ljubitelje matematike, naravno, zanimljive su različite mogućnosti rješavanja ovog problema. U školskom kurikulumu, metoda ovog izračuna bez privlačenja dodatnih sredstava trebala bi se odvijati na razini množenja i dijeljenja u stupcu. Algoritam izračuna trebao bi biti ne samo upamćen, već i razumljiv. Klasična metoda navedena u ovom materijalu za raspravu s otkrivanjem suštine u potpunosti je u skladu s gore navedenim kriterijima.
    Značajan nedostatak metode koju je predložio Alexander je korištenje tablice kvadrata cijelih brojeva. Kojom je većinom brojeva koji se susreću u školskom tečaju ograničen, autor šuti. Što se tiče formule, općenito me impresionira s obzirom na relativno visoku točnost izračuna.

22. 31 Aleksandar:

    za 30 vasil stryzhak
    ništa mi nije falilo. Pretpostavlja se da je tablica kvadrata do 1000. U moje vrijeme u školi su je jednostavno učili napamet u školi i bila je u svim udžbenicima matematike. Ovaj interval sam eksplicitno nazvao.
    Što se tiče računalne tehnologije, ona se ne koristi uglavnom u nastavi matematike, osim ako postoji posebna tema o korištenju kalkulatora. Kalkulatori su sada ugrađeni u uređaje koji su zabranjeni za korištenje na ispitu.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, hvala na pojašnjenju! Mislio sam da je za predloženu metodu teoretski potrebno zapamtiti ili koristiti tablicu kvadrata svih dvoznamenkastih brojeva. Zatim za radikalne brojeve koji nisu uključeni u interval od 100 do 10 000, možete koristiti način njihovog povećanja ili smanjenja za potreban broj reda pomicanjem zareza.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEKSANDAR:

    MOJ PRVI PROGRAM NA JEZIKU "YAMB" NA SOVJETSKOM STROJU "ISKRA 555" BIO JE NAPISAN ZA VAĐENJE KVADRATNOG KORIJENA IZ BROJA PREMA ALGORITMU IZVLAČENJA U STUPAC! i sad sam zaboravio kako to ručno izvaditi!