Korijeni kvadratne jednadžbe izračunavaju se formulama. Rješavanje kvadratnih jednadžbi: korijenska formula, primjeri

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a*x^2 +b*x+c=0, gdje su a,b,c neki proizvoljni realni (realni) brojevi, a x varijabla. A broj a=0.

Brojevi a,b,c nazivaju se koeficijenti. Broj a - naziva se vodeći koeficijent, broj b je koeficijent pri x, a broj c se naziva slobodni član.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Riješiti kvadratnu jednadžbu znači pronaći sve njezine korijene, odnosno utvrditi činjenicu da kvadratna jednadžba nema korijena. Korijen kvadratne jednadžbe a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 je bilo koja vrijednost varijable x, takva da kvadratni trinom a * x ^ 2 + b * x + c nestaje. Ponekad se takva vrijednost x naziva korijenom kvadratnog trinoma.

Postoji nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi. Razmotrite jedan od njih - najsvestraniji. Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Formula za korijene kvadratne jednadžbe je a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), gdje je D =b^2-4*a*c.

Ova se formula dobiva rješavanjem jednadžbe a*x^2 +b*x+c=0 in opći pogled, odabirom kvadrata binoma.

U formuli korijena kvadratne jednadžbe, izraz D (b^2-4*a*c) naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe a*x^2 +b*x+c=0. Ovaj naziv dolazi iz latinskog jezika, u prijevodu "razlikivač". Ovisno o vrijednosti diskriminante, kvadratna jednadžba će imati dva ili jedan korijen, ili uopće neće imati korijene.

Ako je diskriminant veći od nule, tada kvadratna jednadžba ima dva korijena. (x=(-b±√D)/(2*a))

Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen. (x=(-b/(2*a))

Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba nema korijena.

Opći algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe

Na temelju prethodno navedenog formuliramo opći algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe a*x^2 +b*x+c=0 pomoću formule:

1. Pronađite vrijednost diskriminante pomoću formule D =b^2-4*a*c.

2. Ovisno o vrijednosti diskriminante, izračunajte korijene pomoću formula:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Ovaj algoritam je univerzalan i prikladan za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe. Potpuni i nepotpuni, citirani i necitirani.

Ova bi se tema u početku mogla činiti teškom zbog mnogih jednostavne formule. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada je najveći stupanj napisan prvi, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijena.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugo. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da u ovom slučaju formula postaje Linearna jednadžba. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon što zamijenite vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različite znakove. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.

Prvo, razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 \u003d 0. Lako je vidjeti da je x 2 \u003d 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi započet će njihovim prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugu koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Predstavlja pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminirajući. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Što je kvadratna jednadžba? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednadžba ključna riječ je "kvadrat". Znači da u jednadžbi Obavezno mora postojati x na kvadrat. Osim njega, u jednadžbi može postojati (a ne mora biti!) samo x (na prvi stupanj) i samo broj (besplatan član). I ne bi trebalo biti x-ova u stupnju većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

Ovdje a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koji, ali A- sve samo ne nula. Na primjer:

Ovdje A =1; b = 3; c = -4

Ovdje A =2; b = -0,5; c = 2,2

Ovdje A =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednadžbama, s lijeve strane, postoji cijeli setčlanova. x na kvadrat s koeficijentom A, x na prvu potenciju s koeficijentom b I slobodan član

Takve kvadratne jednadžbe nazivaju se potpuna.

I ako b= 0, što ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stupnju. To se događa množenjem s nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

I tako dalje. A ako oba koeficijenta b I c jednake nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednadžbe, kod kojih nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto A ne može biti nula? I zamijenite ga umjesto njega A nula.) X u kvadratu će nestati! Jednadžba će postati linearna. A radi se drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednadžbi. Potpuni i nepotpuni.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednadžbe lako je riješiti. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. Prvi korak je dovesti zadanu jednadžbu na standardni prikaz, tj. na pogled:

Ako vam je jednadžba već dana u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena zove se diskriminirajući. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo samo a, b i c. Oni. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjena s tvojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. I što mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće pogreške su brkanje s predznacima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne s njihovim znakovima (gdje se može zbuniti?), Već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi s izračunima, pa učini to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Ovdje a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.

Pa, ne budi lijen. Trebat će vam 30 sekundi za pisanje dodatnog retka. I broj pogrešaka naglo će pasti. Dakle, pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se nevjerojatno teško slikati tako pažljivo. Ali to se samo čini. Probaj. Pa, ili izaberite. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebno sve tako pažljivo slikati. Samo će ispasti kako treba. Pogotovo ako primijenite praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj opaki primjer s hrpom minusa riješit ćemo lako i bez grešaka!

Ali često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Jeste li znali?) Da! Ovaj nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Također se mogu riješiti općom formulom. Samo trebate ispravno shvatiti što je ovdje jednako a, b i c.

Shvatio? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? To uopće ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično je i s drugim primjerom. Ovdje nemamo samo nulu S, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se puno lakše riješiti. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Što se može učiniti na lijevoj strani? X možete izvaditi iz zagrade! Izvadimo ga.

I što iz ovoga? I činjenica da je umnožak jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? Nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Svi. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oboje odgovara. Zamjenom bilo kojeg od njih u izvornu jednadžbu dobivamo točan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od općenite formule. Primjećujem, usput, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako se piše redom x 1- što je manje x 2- ono što je više.

Druga se jednadžba također može lako riješiti. Pomičemo 9 na desnu stranu. Dobivamo:

Ostalo je izvući root iz 9, i to je to. Dobiti:

također dva korijena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili vađenjem X iz zagrada, ili jednostavnim prijenosom broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X-a, što je nekako neshvatljivo, au drugom slučaju nemate što izvaditi iz zagrada ...

Diskriminirajući. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminirajući ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Fraza "odlučiti kroz diskriminant" je umirujuća i umirujuća. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Korištenje je jednostavno i bez problema.) Podsjećam vas na najopćenitiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz ispod znaka korijena naziva se diskriminanta. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminativna formula:

D = b 2 - 4ac

I što je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje posebno ime? Što značenje diskriminacije? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poanta je ovo. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da iz njega možete izvaditi korijen. Da li se korijen dobro ili loše vadi, drugo je pitanje. Bitno je što se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Budući da dodavanje ili oduzimanje nule u brojniku ništa ne mijenja. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rješenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, s jednostavnim rješenjem kvadratnih jednadžbi, koncept diskriminante zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ni jedan. Međutim, pri rješavanju više teške zadatke, bez znanja značenje i diskriminacijska formula nedovoljno. Posebno - u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

Tako, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminator kojeg ste zapamtili. Ili naučili, što također nije loše.) Znate kako pravilno identificirati a, b i c. Znaš li kako pozorno zamijenite ih u korijensku formulu i pozorno računati rezultat. Jeste li to razumjeli ključna riječ ovdje - pažljivo?

Sada zabilježite praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj pogrešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... Za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvo primanje . Nemojte biti lijeni prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu kako biste je doveli u standardni oblik. Što to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednadžbu:

Nemojte žuriti s pisanjem formule korijena! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede a, b i c. Ispravno sastavite primjer. Prvo x na kvadrat, zatim bez kvadrata, pa slobodni član. Kao ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uzrujati. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što je naučeno u prethodnoj temi! Trebamo pomnožiti cijelu jednadžbu s -1. Dobivamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminant i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinom teoremu. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravanje zadnja stvar jednadžba. Oni. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebali biste dobiti slobodan termin, t.j. u našem slučaju -2. Pazite, ne 2, nego -2! slobodan član s tvojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, trebate saviti korijenje. Posljednja i konačna provjera. Trebao bi biti omjer b S suprotan znak. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, jednako je -1. Dakle, sve je u redu!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Bit će manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcijske koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu zajedničkim nazivnikom kako je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite s razlomcima, pogreške se iz nekog razloga penju ...

Usput, obećao sam zao primjer s hrpom minusa za pojednostavljenje. Molim! Evo ga.

Kako se ne bi zbunili u minusima, jednadžbu množimo s -1. Dobivamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Pa da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dovodimo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, gradimo je Pravo.

2. Ako ispred x u kvadratu stoji negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe s -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinim teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednadžbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Odgovara li sve? Sjajno! Kvadratne jednadžbe nisu vaša glavobolja. Prva tri su ispala, a ostala nisu? Onda problem nije u kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednadžbi. Pogledaj link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopće ne radi? Onda će vam pomoći odjeljak 555. Tamo su svi ovi primjeri poredani po kostima. Pokazivanje glavni greške u rješenju. Naravno, opisana je i primjena identičnih transformacija u rješavanju raznih jednadžbi. Puno pomaže!

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.

Razmotrimo sve detaljno: suštinu i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo srodne pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c su neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je zapravo kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su tada negativni kratki oblik evidencija obrasca 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ​​ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 seniorski koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.

Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.

Obzir studija slučaja omogućit će nam vizualnu demonstraciju prijelaza s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da a = 0 u biti pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada su koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo takvi nazivi.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpune.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 za c = 0 .

Razmotrimo redom rješenja svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je već gore spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, koju dobijemo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x=0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Rješenje je sažeto kako slijedi:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prenošenjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:

• izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
• podijelite obje strane jednadžbe s a, dobivamo kao rezultat x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključka o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a I c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, if a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 I c=6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednak nuli jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo zapis korijena pronađenih gore kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu umjesto x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u pravednu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 napiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava numeričkih jednakosti oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva numeričkih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .

Sažimamo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:

• neće imati korijene na - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Riješenje

Slobodni član prenesemo na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane dobivene jednadžbe podijelimo s 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani je pozitivan broj, iz čega možemo zaključiti da x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.

Odgovor: x=6 ili x = -6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 I x = − b a.

Učvrstimo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riješenje

Izvadimo x izvan zagrada i dobijemo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminanta, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da je x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

• podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• izdvojiti puni kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tako smo došli do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješavanju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, točan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednadžbe i definira se slovo D kao njezina oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - po njegovoj vrijednosti i znaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminacijski zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Rezimirajmo zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
• na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
• na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i svedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, da se odrede oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedina odluka kvadratna jednadžba. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja Korijen od negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva, pretraga se obično ne odnosi na kompleksne, već na stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračunavanje vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

• prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminante;
• kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
• za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a .

Razmotrite primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Navedimo primjer rješenja za različite vrijednosti diskriminirajući.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riješenje

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a , b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x \u003d - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo izuzimanjem faktora iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Brojčani koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminacija je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema realne korijene.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije s kompleksnim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

U školski plan i program prema zadanim postavkama, nema zahtjeva za traženjem složenih korijena, stoga, ako se diskriminant tijekom rješavanja odredi kao negativan, odmah se bilježi odgovor da nema pravih korijena.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom pri x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ponašamo se prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 , odnosno D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:

• nađi D 1 = n 2 − a c ;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• za D 1 = 0 jedini korijen jednadžbe odredite formulom x = - n a ;
• za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent dane jednadžbe može se prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobiven dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu relativno prosti brojevi. Tada je uobičajeno obje strane jednadžbe podijeliti s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju frakcijski koeficijenti. U ovom slučaju pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada će biti zapisan u više jednostavna forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na kraju napominjemo da se gotovo uvijek oslobađamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakom članu jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe preko njezinih numeričkih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo mogućnost postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vieta teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, po obliku kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a produkt korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter