Korijeni kvadratne jednadžbe nalaze se formulom. Rješavanje kvadratnih jednadžbi: korijenska formula, primjeri

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna je riječ "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, au isto vrijeme ne bi trebalo biti X-ova u trećem (ili višem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i pomnožite svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  One su nepotpune jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba mora uvijek sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješenja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Tipovi nepotpunih kvadratnih jednadžbi su:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako se vadi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Tako,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi malo je kompliciranije (samo malo) od ovih danih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen.Posebnu pozornost treba obratiti na korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako takve odgovore ispravno zapisati.

Odgovor: bez korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vieta teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je reducirana, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj se stolici jednadžba naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svake od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i nalazimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što uraditi? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto postoji različit broj korijena? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s x-osi (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Korištenje Vieta teorema vrlo je jednostavno: samo trebate odabrati par brojeva čiji je produkt jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Izaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• I. Zbroj je;
• I. Zbroj je;
• I. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, uostalom, proizvod.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Biramo takve parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: njihova je razlika - neprikladna;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen, koji je manji po apsolutnoj vrijednosti, mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmisliti korijene usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo koristiti ga, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam je potrebno.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vieta teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali umnožak je jednak.

Ali budući da bi trebalo biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve uvjete prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, prestani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Sjajno. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je lakše pokupiti: ipak - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni izraz je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih predznaka. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vieta teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cjelobrojnih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi članovi koji sadrže nepoznanicu predstave kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon izmjene varijabli može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

U opći pogled transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazi nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijen koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje) je jednak, a produkt korijena je jednak, tj. , A.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje

Neki problemi iz matematike zahtijevaju sposobnost izračunavanja vrijednosti kvadratnog korijena. Ovi problemi uključuju rješavanje jednadžbi drugog reda. U ovom članku predstavljamo učinkovita metoda kalkulacije kvadratni korijeni te ga koristiti pri radu s formulama korijena kvadratne jednadžbe.

Što je kvadratni korijen?

U matematici ovaj koncept odgovara simbolu √. Povijesni podaci govore da se prvi put počela koristiti oko prve polovice 16. stoljeća u Njemačkoj (prvo njemačko djelo o algebri Christopha Rudolfa). Znanstvenici vjeruju da je ovaj simbol transformiran latinično pismo r (radix znači "korijen" na latinskom).

Korijen bilo kojeg broja jednak je takvoj vrijednosti, čiji kvadrat odgovara izrazu korijena. Jezikom matematike ova će definicija izgledati ovako: √x = y ako je y 2 = x.

Korijen pozitivnog broja (x > 0) također je pozitivan broj (y > 0), ali ako uzmete korijen negativnog broja (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Evo dva jednostavna primjera:

√9 = 3 jer je 3 2 = 9; √(-9) = 3i jer je i 2 = -1.

Heronova iterativna formula za pronalaženje vrijednosti kvadratnih korijena

Gornji primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju javljati već pri pronalaženju vrijednosti korijena za bilo koju vrijednost koja se ne može prikazati kao kvadrat prirodnog broja, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da se u praksi potrebno je pronaći korijene za brojeve koji nisu cijeli: na primjer √(12.15), √(8.5) i tako dalje.

U svim navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu za izračunavanje kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje u Taylorov niz, dijeljenje stupcem i neke druge. Od svih poznatih metoda možda je najjednostavnija i najučinkovitija uporaba Heronove iterativne formule, koja je također poznata kao Babilonska metoda za određivanje kvadratnih korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim proračunima).

Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdje je lim n->∞ (a n) => x.

Hajdemo dešifrirati ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebali biste uzeti neki broj a 0 (može biti proizvoljan, no da biste brzo dobili rezultat, trebali biste ga odabrati tako da (a 0) 2 bude što je moguće bliže xu. Zatim ga zamijenite u naznačenu formulu za izračun kvadratnog korijena i dobiti novi broj a 1, koji će već biti bliži željenoj vrijednosti. Nakon toga je potrebno zamijeniti 1 u izraz i dobiti 2. Ovaj postupak treba ponavljati sve dok dobiva se potrebna točnost.

Primjer primjene Heronove iterativne formule

Za mnoge, algoritam za dobivanje kvadratnog korijena određenog broja može zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve čini mnogo jednostavnijim, budući da ova formula vrlo brzo konvergira (pogotovo ako je odabran dobar broj a 0).

Navedimo jednostavan primjer: potrebno je izračunati √11. Odaberemo 0 \u003d 3, budući da je 3 2 \u003d 9, što je bliže 11 nego 4 2 \u003d 16. Zamjenom u formulu dobivamo:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Nema smisla nastavljati s izračunima jer smo ustanovili da se 2 i 3 počinju razlikovati tek na 5. decimali. Dakle, bilo je dovoljno primijeniti formulu samo 2 puta da se izračuna √11 s točnošću od 0,0001.

Trenutno se naširoko koriste kalkulatori i računala za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu točnu vrijednost.

Jednadžbe drugog reda

Razumijevanje što je kvadratni korijen i sposobnost njegovog izračunavanja koristi se pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Ove jednadžbe su jednakosti s jednom nepoznanicom, čiji je opći oblik prikazan na slici ispod.

Ovdje su c, b i a neki brojevi, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući i jednake nuli.

Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njegovim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Budući da jednadžba koja se razmatra ima 2. red (x 2), tada za nju ne može biti više korijena od dva broja. Kasnije ćemo u članku razmotriti kako pronaći te korijene.

Traženje korijena kvadratne jednadžbe (formula)

Ova metoda rješavanja vrste jednakosti koja se razmatra naziva se i univerzalna ili metoda preko diskriminante. Može se primijeniti na bilo koju kvadratnu jednadžbu. Formula za diskriminantu i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:

Iz njega je vidljivo da korijeni ovise o vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štoviše, izračun x 1 razlikuje se od izračuna x 2 samo po predznaku ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b 2 - 4ac, nije ništa drugo nego diskriminanta razmatrane jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe ima važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je nula, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, tada jednadžba ima dva realna korijena, i konačno, negativna diskriminacija vodi do dva kompleksna korijena x 1 i x 2.

Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda

Krajem 16. stoljeća, jedan od utemeljitelja moderne algebre, Francuz, proučavajući jednadžbe drugog reda, uspio je dobiti svojstva njezinih korijena. Matematički se mogu napisati ovako:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obje jednakosti svatko može lako dobiti, za to je potrebno samo izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim pomoću formule s diskriminantom.

Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom korijena kvadratne jednadžbe, što omogućuje pogađanje njezinih rješenja bez korištenja diskriminante. Ovdje treba primijetiti da iako su oba izraza uvijek važeća, prikladno ih je koristiti za rješavanje jednadžbe samo ako se može rastaviti na faktore.

Zadatak učvršćivanja stečenog znanja

Riješit ćemo matematički problem u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uvjeti zadatka su sljedeći: potrebno je pronaći dva broja čiji je umnožak -13, a zbroj 4.

Ovaj uvjet odmah podsjeća na Vietin teorem, koristeći formule za zbroj kvadratnih korijena i njihov produkt, pišemo:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Uz pretpostavku a = 1, tada je b = -4 i c = -13. Ovi nam koeficijenti omogućuju sastavljanje jednadžbe drugog reda:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Koristimo formulu s diskriminantom, dobivamo sljedeće korijene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Odnosno, zadatak se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68 = 4 * 17, a zatim, koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobivamo: √68 = 2√17.

Sada koristimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a 0 \u003d 4, zatim:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Nema potrebe računati 3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju samo 0,02. Prema tome, √68 = 8,246. Zamjenom u formulu za x 1,2 dobivamo:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 = 6,123 i x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 = -2,123.

Kao što vidite, zbroj pronađenih brojeva je stvarno jednak 4, ali ako nađete njihov umnožak, tada će biti jednak -12,999, što zadovoljava uvjet zadatka s točnošću od 0,001.

S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces rješavanja na dva načina:
- pomoću diskriminante
- koristeći Vieta teorem (ako je moguće).

Štoviše, odgovor se prikazuje točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\), odgovor se prikazuje u ovom obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ umjesto ovoga: \(x_1 = 0,247; \ četvorka x_2 = -0,05 \)

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili osposobljavanje njihove mlađe braće ili sestara, dok se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, frakcijski brojevi mogu se unijeti ne samo u obliku decimalnog, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak od cijelog broja može biti odvojen točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U tom se slučaju kod rješavanja kvadratne jednadžbe uvedeni izraz najprije pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odlučiti

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima oblik
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.

Definicija.
kvadratna jednadžba poziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi i \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c presjek.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a \neq 0 \), najveća potencija varijable x je kvadrat. Otuda naziv: kvadratna jednadžba.

Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, jer je njena lijeva strana polinom drugog stupnja.

Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 reducirana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Tri su vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.

Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), njen slobodni član se prenosi na desnu stranu i oba dijela jednadžbe se dijele s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Budući da je \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako \(-\frac(c)(a)>0 \), tada jednadžba ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktorizirajte njezinu lijevu stranu i dobijete jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \desna strelica \lijevo\( \begin(niz)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \desna strelica \lijevo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su oba koeficijenta nepoznanica i slobodnog člana različiti od nule.

Rješavamo kvadratnu jednadžbu u općem obliku i kao rezultat dobivamo formulu korijena. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0

Podijelimo li oba njezina dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformiramo ovu jednadžbu označavanjem kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna strelica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna strelica \lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna strelica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korijenski izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" na latinskom - razlikovač). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći zapis diskriminante, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje \(D= b^2-4ac \)

Očito je da:
1) Ako je D>0, onda kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminante, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Kada se kvadratna jednadžba rješava pomoću ove formule , preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminant i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu za korijen, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka reducirana kvadratna jednadžba koja ima korijene ima ovo svojstvo.

Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Ova bi se tema u početku mogla činiti teškom zbog mnogih jednostavne formule. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada je najveći stupanj napisan prvi, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.

Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

• otopina će imati dva korijena;
• odgovor će biti jedan broj;
• Jednadžba uopće nema korijena.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugačije. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.

Nakon što zamijenite vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različite znakove. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.

Prvo, razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

• Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.

• Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.

• Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se pronaći iz Linearna jednadžba: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi počet će njihovim prepisivanjem u standardni prikaz: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugi koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.

U moderno društvo sposobnost rada s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i naširoko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. O tome svjedoči dizajn morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih izračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješavanjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će biti potrebni u planinarskim izletima, na sportski, u trgovinama prilikom kupovine i u drugim vrlo čestim situacijama.

Rastavimo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju zadani izraz sadrži. Ako je jednak 2, onda se takva jednadžba zove kvadratna jednadžba.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ti izrazi, kako god izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri člana. Među njima su: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznanica bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to na desnoj strani jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema niti jedan od sastavnih članova, osim osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Najprije treba razmotriti primjere s rješenjem takvih problema u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora daje 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbama ove vrste može se opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene točke, uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjena tražene vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica možete saznati vrijeme proteklo od trenutka kada se tijelo podigne do trenutka kada padne, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Rastavljanje izraza na faktore

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje ovih i više problema teški slučajevi. Razmotrite primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ove vrste.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo transformiramo izraz i rastavljamo ga na faktore. Dva su: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada desnu stranu rastavljamo na faktore s varijablom, postoje tri faktora, to jest (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -1; 3.

Vađenje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednadžbe drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da je desna strana izgrađena od komponenti ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni član prenosi na desnu stranu, a nakon toga se vadi kvadratni korijen s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da je u ovaj slučaj Obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka su jednakosti koje uopće ne sadrže član c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada desna strana ispadne negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ove vrste.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe bit će brojevi -4 i 4.

Izračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim izračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Također bismo trebali razmotriti primjere s rješavanjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje čija je duljina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Prijelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednadžbu. Označimo širinu presjeka kao x, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog slijedi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji prema uvjetu našeg zadatka iznosi 612. To znači da je x (x + 16) \u003d 612.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se učiniti na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravimo potrebne transformacije, zatim izgled ovaj izraz će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi preko diskriminante. Ovdje se izrađuju potrebni izračuni prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućuje pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, ona određuje broj opcije. U slučaju D>0, postoje dva od njih; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. To znači da naš problem ima odgovor. Ako znate, to, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj nedoumici ne može biti rješenje, jer se veličina parcele ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a opseg 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. U nastavku će biti navedeni primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prenesimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednadžbe koji se obično naziva standardni i izjednačimo ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavši slične, određujemo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Izračunavamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Saznajmo ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, polinom dovodimo u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminantu. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminante, kada se kvadratni korijen izvlači iz vrijednosti potonje. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli u ovom slučaju. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. stoljeću i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret možete vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz primijetio bio je sljedeći. Dokazao je da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Sada pogledajmo konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korištenjem Vieta teorema, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se te vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Graf i jednadžba parabole

Pojmovi kvadratne funkcije i kvadratnih jednadžbi usko su povezani. Primjeri toga već su ranije navedeni. Sada pogledajmo neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisane vrste može se prikazati vizualno. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafikona, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njeni ogranci. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći upravo navedenom formulom x 0 = -b / 2a. I, zamjenom dobivene vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada y-osi.

Sjecište grana parabole s osi apscisa

Postoji mnogo primjera s rješavanjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je sjecište grafa s 0x osi za a>0 moguće samo ako y 0 poprima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole također možete odrediti korijene. Vrijedi i obrnuto. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti dobivenu jednadžbu. A poznavajući točke sjecišta s osi 0x, lakše je crtati.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u stara vremena, ne samo da su radili matematičke izračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Starim ljudima su takvi izračuni bili potrebni za grandiozna otkrića na polju fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što moderni znanstvenici sugeriraju, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. Dogodilo se to četiri stoljeća prije početka naše ere. Naravno, njihovi izračuni bili su bitno drugačiji od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima koje su poznate bilo kojem studentu našeg vremena.

Možda čak i prije babilonskih znanstvenika, indijski mudrac Baudhayama prihvatio se rješavanja kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje kojih je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u stara vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svom radu koristili veliki znanstvenici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.