Perkalian tanda kurung. Pembukaan braket: aturan dan contoh (Kelas 7)
Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan urutan operasi yang dilakukan dalam numerik dan ekspresi literal, serta dalam ekspresi dengan variabel. Lebih mudah untuk beralih dari ekspresi dengan tanda kurung ke ekspresi yang sama tanpa tanda kurung. Teknik ini disebut bukaan kurung.
Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan ekspresi tanda kurung ini.
Poin lain yang perlu mendapat perhatian khusus, yang menyangkut kekhasan solusi penulisan saat membuka tanda kurung. Kita dapat menulis ekspresi awal dengan tanda kurung dan hasil yang diperoleh setelah tanda kurung dibuka sebagai persamaan. Misalnya, setelah membuka tanda kurung, alih-alih ekspresi
3−(5−7) kita mendapatkan ekspresi 3−5+7. Kita dapat menuliskan kedua ekspresi ini sebagai persamaan 3−(5−7)=3−5+7.
Dan satu lagi poin penting. Dalam matematika, untuk mengurangi entri, tanda plus biasanya tidak ditulis jika itu yang pertama dalam ekspresi atau dalam tanda kurung. Misalnya, jika kita menjumlahkan dua bilangan positif, misalnya tujuh dan tiga, maka kita menulis bukan +7 + 3, tetapi cukup 7 + 3, padahal tujuh juga nomor positif. Demikian pula, jika Anda melihat, misalnya, ekspresi (5 + x) - ketahuilah bahwa ada plus di depan tanda kurung, yang tidak tertulis, dan ada plus + (+5 + x) di depan tanda kurung lima.
Aturan ekspansi braket untuk penambahan
Saat membuka tanda kurung, jika ada plus sebelum tanda kurung, maka plus ini dihilangkan bersama dengan tanda kurung.
Contoh. Buka tanda kurung pada ekspresi 2 + (7 + 3) Sebelum tanda kurung tambah, maka karakter di depan angka di dalam tanda kurung tidak berubah.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Aturan untuk memperluas tanda kurung saat mengurangi
Jika ada minus sebelum tanda kurung, maka minus ini dihilangkan bersama tanda kurung, tetapi suku yang ada di dalam tanda kurung berubah tandanya menjadi kebalikannya. Ketiadaan tanda sebelum suku pertama dalam tanda kurung menyiratkan tanda +.
Contoh. Tanda kurung buka dalam ekspresi 2 − (7 + 3)
Ada minus sebelum tanda kurung, jadi Anda perlu mengubah tanda sebelum angka dari tanda kurung. Di dalam kurung tidak ada tanda sebelum angka 7, artinya tujuh itu positif, dianggap tanda + ada di depannya.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Saat membuka tanda kurung, kami menghapus tanda minus dari contoh, yang ada sebelum tanda kurung, dan tanda kurung itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan mengubah tanda yang ada di dalam tanda kurung menjadi tanda yang berlawanan.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Memperluas tanda kurung saat mengalikan
Jika ada tanda perkalian di depan tanda kurung, maka setiap angka di dalam tanda kurung dikalikan dengan faktor di depan tanda kurung. Pada saat yang sama, mengalikan minus dengan minus menghasilkan plus, dan mengalikan minus dengan plus, seperti mengalikan plus dengan minus, menghasilkan minus.
Dengan demikian, tanda kurung dalam perkalian diperluas sesuai dengan sifat distributif perkalian.
Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Saat mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung, setiap suku di dalam kurung pertama dikalikan dengan setiap suku di dalam kurung kedua.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Sebenarnya, tidak perlu mengingat semua aturan, cukup mengingat satu saja, yang ini: c(a−b)=ca−cb. Mengapa? Karena jika kita mengganti satu alih-alih c, kita mendapatkan aturan (a−b)=a−b. Dan jika kita mengganti minus satu, kita mendapatkan aturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika Anda mengganti braket lain, bukan c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.
Perluas tanda kurung saat membagi
Jika ada tanda pembagian setelah tanda kurung, maka setiap angka di dalam tanda kurung habis dibagi oleh pembagi setelah tanda kurung, begitu pula sebaliknya.
Contoh. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Cara memperluas tanda kurung bersarang
Jika ekspresi berisi tanda kurung bersarang, maka akan diperluas secara berurutan, dimulai dengan eksternal atau internal.
Pada saat yang sama, saat membuka salah satu tanda kurung, penting untuk tidak menyentuh tanda kurung lainnya, cukup tulis ulang sebagaimana adanya.
Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.
Misalnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.
Kami mewakili semua persyaratan dalam bentuk monomial tampilan standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial seperti itu disebut polinomial bentuk standar.
Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.
Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Misalnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Jumlah dari beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.
Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, mudah untuk dirumuskan aturan pembukaan tanda kurung:
Jika tanda + ditempatkan sebelum tanda kurung, maka istilah yang ada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang ada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.
Transformasi (penyederhanaan) produk monomial dan polinomial
Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) perkalian monomial dan polinomial menjadi polinomial. Misalnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil kali monomial dan polinomial secara identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku polinomial.
Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai aturan.
Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, monomial ini harus dikalikan dengan setiap suku polinomial.
Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.
Produk polinomial. Transformasi (penyederhanaan) hasil kali dua polinomial
Secara umum, hasil kali dua polinomial identik dengan jumlah hasil kali setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku dari suku lainnya.
Biasanya menggunakan aturan berikut.
Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku polinomial lainnya dan menjumlahkan hasilnya.
Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Selisih Kuadrat
Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan kuadrat selisih. Anda telah memperhatikan bahwa nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat dari jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, ia berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup rumit.
Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar, sebenarnya, Anda telah bertemu dengan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal singkat membantu ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan perkalian ganda.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasilnya.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlahnya.
Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kirinya dengan bagian kanan dan sebaliknya bagian kanan dengan bagian kiri. Hal tersulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian singkat.
Bagian dari persamaan itu adalah ekspresi dalam tanda kurung. Untuk membuka tanda kurung, lihat tanda di depan tanda kurung. Jika ada tanda tambah, tidak ada yang akan berubah saat tanda kurung diekspresikan dalam catatan ekspresi: cukup hapus tanda kurung. Jika ada tanda minus, saat membuka tanda kurung, semua tanda yang awalnya ada di dalam tanda kurung harus diubah menjadi berlawanan. Misalnya, -(2x-3)=-2x+3.
Mengalikan dua tanda kurung.
Jika persamaan berisi hasil kali dua tanda kurung, luaskan tanda kurung sesuai dengan aturan standar. Setiap suku dalam kurung pertama dikalikan dengan setiap suku dalam kurung kedua. Angka yang dihasilkan dijumlahkan. Dalam hal ini, produk dari dua "plus" atau dua "minus" memberi istilah tanda "plus", dan jika faktornya memiliki tanda yang berbeda, maka mendapat tanda minus.
Mempertimbangkan .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Dengan memperluas tanda kurung, terkadang menaikkan ekspresi menjadi . Rumus kuadrat dan pangkat tiga harus diketahui dengan hati dan diingat.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Rumus untuk menaikkan ekspresi lebih dari tiga dapat dilakukan dengan menggunakan segitiga Pascal.
Sumber:
- rumus pembukaan kurung
Operasi matematika yang diapit tanda kurung dapat berisi variabel dan ekspresi dengan tingkat kerumitan yang berbeda-beda. Untuk memperbanyak ekspresi seperti itu, seseorang harus mencari solusinya pandangan umum, memperluas tanda kurung dan menyederhanakan hasilnya. Jika tanda kurung berisi operasi tanpa variabel, hanya dengan nilai numerik, maka tanda kurung tidak perlu dibuka, karena jika komputer tersedia untuk penggunanya, sumber daya komputasi yang sangat signifikan tersedia - lebih mudah menggunakannya daripada menyederhanakannya ekspresi.
Petunjuk
Kalikan berturut-turut setiap (atau dikurangi dari) yang terdapat dalam satu tanda kurung dengan isi semua tanda kurung lainnya jika Anda ingin mendapatkan hasil yang umum. Misalnya, ekspresi aslinya ditulis seperti ini: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Kemudian perkalian berturut-turut (yaitu memperluas tanda kurung) akan memberikan hasil sebagai berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Sederhanakan setelah hasil dengan memperpendek ekspresi. Misalnya, ekspresi yang diperoleh pada langkah sebelumnya dapat disederhanakan sebagai berikut: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Gunakan kalkulator jika Anda perlu mengalikan x sama dengan 4,75, yaitu (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Untuk menghitung nilai ini, buka situs web mesin pencari Google atau Nigma dan masukkan ekspresi di bidang kueri dalam bentuk aslinya (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google akan segera menampilkan 82.265625 tanpa menekan tombol, sementara Nigma perlu mengirim data ke server dengan menekan tombol.
Dalam pelajaran ini, Anda akan mempelajari cara mengubah ekspresi yang berisi tanda kurung menjadi ekspresi yang tidak berisi tanda kurung. Anda akan mempelajari cara membuka tanda kurung yang diawali dengan tanda plus dan minus. Kita akan mengingat cara membuka tanda kurung menggunakan hukum perkalian distributif. Contoh-contoh yang dipertimbangkan akan memungkinkan menghubungkan materi baru dan yang dipelajari sebelumnya menjadi satu kesatuan.
Topik: Pemecahan Persamaan
Pelajaran: Ekspansi tanda kurung
Cara membuka tanda kurung diawali dengan tanda “+”. Penggunaan hukum penjumlahan asosiatif.
Jika Anda perlu menambahkan jumlah dari dua angka ke sebuah angka, Anda dapat menambahkan suku pertama ke angka ini, lalu suku kedua.
Di sebelah kiri tanda sama dengan adalah ekspresi dengan tanda kurung, dan di sebelah kanan adalah ekspresi tanpa tanda kurung. Artinya saat melewati dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan, tanda kurung dibuka.
Pertimbangkan contoh.
Contoh 1 
Memperluas tanda kurung, kami mengubah urutan operasi. Menghitung menjadi lebih nyaman.
Contoh 2 
Contoh 3
Perhatikan bahwa dalam ketiga contoh tersebut, kami hanya menghapus tanda kurung. Mari kita rumuskan aturannya:
Komentar.
Jika suku pertama dalam tanda kurung tidak bertanda, maka harus ditulis dengan tanda plus.
Anda dapat mengikuti contoh langkah demi langkah. Pertama, tambahkan 445 menjadi 889. Tindakan mental ini dapat dilakukan, tetapi tidak mudah. Mari buka tanda kurung dan lihat bahwa urutan operasi yang diubah akan sangat menyederhanakan perhitungan.
Jika Anda mengikuti urutan tindakan yang ditunjukkan, maka Anda harus terlebih dahulu mengurangi 345 dari 512, lalu menambahkan hasilnya dengan 1345. Dengan memperluas tanda kurung, kami akan mengubah urutan tindakan dan sangat menyederhanakan perhitungan.
Contoh ilustratif dan aturan.
Pertimbangkan sebuah contoh: . Anda dapat menemukan nilai ekspresi dengan menambahkan 2 dan 5, lalu mengambil angka yang dihasilkan dengan tanda yang berlawanan. Kami mendapat -7.
Sebaliknya, hasil yang sama dapat diperoleh dengan menjumlahkan bilangan-bilangan yang berlawanan.
Mari kita rumuskan aturannya:
Contoh 1 
Contoh 2
Aturan tidak berubah jika tidak ada dua, tetapi tiga atau lebih istilah dalam tanda kurung.
Contoh 3 
Komentar. Tanda dibalik hanya di depan istilah.
Untuk membuka tanda kurung, kasus ini mengingat sifat distributif.
Pertama, kalikan braket pertama dengan 2 dan yang kedua dengan 3.
Tanda kurung pertama diawali dengan tanda “+”, artinya tanda tersebut harus dibiarkan tidak berubah. Yang kedua diawali dengan tanda “-”, oleh karena itu semua tanda harus dibalik
Bibliografi
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6. - Gimnasium, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - Pencerahan, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika kelas 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Manual untuk siswa kelas 6 sekolah korespondensi MEPhI. -ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Buku teks lawan bicara untuk kelas 5-6 sekolah menengah atas. Perpustakaan guru matematika. - Pencerahan, 1989.
- Tes matematika online ().
- Anda dapat mengunduh yang ditentukan dalam pasal 1.2. buku().
Pekerjaan rumah
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (lihat tautan 1.2)
- Pekerjaan rumah: No. 1254, No. 1255, No. 1256 (b, d)
- Penugasan lainnya: No. 1258(c), No. 1248
Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan secara rinci aturan dasar untuk topik penting dalam kursus matematika seperti tanda kurung buka. Anda perlu mengetahui aturan untuk membuka tanda kurung agar dapat menyelesaikan persamaan yang digunakan dengan benar.
Cara membuka tanda kurung dengan benar saat menambahkan
Bentangkan tanda kurung yang diawali dengan tanda "+".
Ini kasus yang paling sederhana, karena jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, saat tanda kurung dibuka, tanda di dalamnya tidak berubah. Contoh:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cara membuka tanda kurung diawali dengan tanda “-”.
Dalam hal ini, Anda perlu menulis ulang semua istilah tanpa tanda kurung, tetapi pada saat yang sama mengubah semua tanda di dalamnya menjadi kebalikannya. Tanda hanya berubah untuk istilah dari tanda kurung yang diawali dengan tanda "-". Contoh:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cara membuka tanda kurung saat mengalikan
Tanda kurung didahului oleh pengali
Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan setiap suku dengan faktor dan membuka tanda kurung tanpa mengubah tanda. Jika pengganda memiliki tanda "-", maka saat mengalikan, tanda suku-sukunya dibalik. Contoh:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cara membuka dua tanda kurung dengan tanda perkalian di antara keduanya
Dalam hal ini, Anda harus mengalikan setiap suku dari tanda kurung pertama dengan setiap suku dari tanda kurung kedua, lalu menjumlahkan hasilnya. Contoh:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cara membuka tanda kurung di kotak
Jika jumlah atau selisih dua suku dikuadratkan, tanda kurung harus diperluas sesuai dengan rumus berikut:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
Dalam kasus minus di dalam tanda kurung, rumusnya tidak berubah. Contoh:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cara membuka tanda kurung dalam derajat yang berbeda
Jika jumlah atau selisih suku dinaikkan, misalnya, pangkat 3 atau 4, maka Anda hanya perlu memecah derajat tanda kurung menjadi "kotak". Pangkat dari faktor yang sama ditambahkan, dan saat membagi, derajat pembagi dikurangi dari derajat pembagi. Contoh:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cara membuka 3 tanda kurung
Ada persamaan di mana 3 tanda kurung dikalikan sekaligus. Dalam hal ini, pertama-tama Anda harus mengalikan suku-suku dari dua tanda kurung pertama di antara mereka sendiri, lalu mengalikan jumlah perkalian ini dengan suku-suku dari tanda kurung ketiga. Contoh:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Aturan pembukaan tanda kurung ini berlaku sama untuk persamaan linier dan trigonometri.
