Titik ekstrim dari fungsi fx. Apa itu fungsi ekstrim: titik kritis maksimum dan minimum

Melewati ketidaksetaraan ini ke batas sebagai Δ X→ 0 dan memperhitungkan turunannya F "(X 0) ada, dan karenanya batas di sebelah kiri tidak bergantung pada berapa Δ X→ 0, kita dapatkan: untuk Δ X → 0 – 0 F" (X 0) ≥ 0 dan pada Δ X → 0 + 0 F" (X 0) ≤ 0. Sejak F" (X 0) menentukan angka, maka kedua ketidaksetaraan ini hanya cocok jika F" (X 0) = 0.

Teorema yang terbukti menyatakan bahwa titik maksimum dan minimum hanya dapat berada di antara nilai-nilai argumen yang turunannya hilang.

Kami telah mempertimbangkan kasus ketika suatu fungsi memiliki turunan di semua titik segmen tertentu. Apa yang terjadi jika turunannya tidak ada? Pertimbangkan contoh.

y =|X |.

Fungsi tidak memiliki turunan pada suatu titik X=0 (pada titik ini, grafik fungsi tidak memiliki garis singgung tertentu), tetapi pada titik ini fungsi memiliki nilai minimum, karena y(0)=0, dan untuk semua X ≠ 0y > 0.

Jadi, dari contoh-contoh yang diberikan dan teorema yang dirumuskan, jelaslah bahwa fungsi tersebut hanya dapat memiliki ekstrem dalam dua kasus: 1) pada titik-titik di mana turunannya ada dan sama dengan nol; 2) pada titik di mana turunannya tidak ada.

Namun, jika suatu saat X 0 kita tahu itu f"(x 0 ) =0, maka tidak dapat disimpulkan bahwa pada intinya X 0 fungsi memiliki ekstrem.

Misalnya.

Tapi titik X=0 bukan titik ekstrem, karena di sebelah kiri titik ini nilai fungsinya terletak di bawah sumbu Sapi, dan di atas di sebelah kanan.

Nilai argumen dari domain suatu fungsi, yang turunan fungsinya hilang atau tidak ada, disebut poin kritis .

Oleh karena itu, titik-titik ekstrem suatu fungsi termasuk di antara titik-titik kritis, dan, bagaimanapun, tidak setiap titik kritis merupakan titik ekstrem. Oleh karena itu, untuk mencari nilai ekstrem dari fungsi, Anda perlu mencari semua titik kritis dari fungsi tersebut, dan kemudian memeriksa masing-masing titik tersebut secara terpisah untuk maksimum dan minimum. Untuk ini, teorema berikut berfungsi.

Teorema 2. (Syarat cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.) Misalkan fungsi tersebut kontinu pada suatu interval yang mengandung titik kritis X 0 , dan dapat dibedakan di semua titik dalam interval ini (kecuali, mungkin, titik itu sendiri X 0). Jika lewat dari kiri ke kanan melalui titik ini, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka pada titik tersebut X = X 0 fungsi memiliki maksimum. Jika, ketika melewati X 0 dari kiri ke kanan, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, maka fungsi tersebut memiliki minimum pada titik ini.

Jadi, jika

f"(x)>0 jam X <X 0 dan f"(x)< 0 jam x> x 0 , lalu X 0 - poin maksimum;

Bukti. Pertama-tama mari kita asumsikan bahwa ketika melewati X 0, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, yaitu untuk semua X dekat dengan intinya X 0 f "(x)> 0 untuk X< x 0 , f"(x)< 0 untuk x> x 0 . Mari kita terapkan teorema Lagrange pada selisihnya f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dimana C berada diantara X Dan X 0 .

Membiarkan X< x 0 . Kemudian C< x 0 dan f "(c)> 0. Itu sebabnya f "(c)(x-x 0)< 0 dan, oleh karena itu,

f(x) - f(x 0 )< 0, mis. f(x)< f(x 0 ).

Membiarkan x> x 0 . Kemudian c> x 0 dan f"(c)< 0. Cara f "(c)(x-x 0)< 0. Itu sebabnya f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Jadi, untuk semua nilai X cukup dekat untuk X 0 f(x) < f(x 0 ) . Dan ini berarti pada intinya X 0 fungsi memiliki maksimum.

Bagian kedua dari teorema minimum dibuktikan dengan cara yang sama.

Mari kita ilustrasikan arti teorema ini dalam gambar. Membiarkan f"(x 1 ) =0 dan untuk apa saja X, cukup dekat untuk X 1 , ketidaksetaraan

f"(x)< 0 jam X< x 1 , f "(x)> 0 jam x> x 1 .

Kemudian di sebelah kiri titik tersebut X 1 fungsinya meningkat, dan menurun di sebelah kanan, oleh karena itu, kapan X = X 1 fungsi berubah dari naik menjadi turun, yaitu maksimum.

Demikian pula, seseorang dapat mempertimbangkan poin-poinnya X 2 dan X 3 .

Secara skematis, semua hal di atas dapat digambarkan dalam gambar:

Aturan untuk mempelajari fungsi y=f(x) untuk suatu ekstrem

Temukan ruang lingkup fungsi f(x).

Temukan turunan pertama dari suatu fungsi f"(x) .

Tentukan titik kritis, untuk ini:

temukan akar sebenarnya dari persamaan tersebut f"(x) =0;

menemukan semua nilai X di mana derivatif f"(x) tidak ada.

Tentukan tanda turunan di kiri dan kanan titik kritis. Karena tanda turunan tetap konstan antara dua titik kritis, cukup untuk menentukan tanda turunan di satu titik di kiri dan di satu titik di kanan titik kritis.

Hitung nilai fungsi di titik-titik ekstrem.

Sebelum mempelajari cara mencari ekstrem suatu fungsi, perlu dipahami apa itu ekstrem. Definisi yang paling umum dari suatu ekstrem adalah bahwa itu adalah nilai terkecil atau terbesar dari suatu fungsi yang digunakan dalam matematika pada himpunan garis atau grafik bilangan tertentu. Di tempat minimumnya, ekstrem dari minimum muncul, dan di mana maksimumnya, ekstrem maksimum muncul. Juga dalam disiplin seperti analisis matematika, ekstrem lokal dari suatu fungsi dibedakan. Sekarang mari kita lihat bagaimana menemukan ekstrem.

Ekstrem dalam matematika adalah salah satu karakteristik fungsi yang paling penting, mereka menunjukkan nilai terbesar dan terkecilnya. Ekstrem ditemukan terutama pada titik kritis dari fungsi yang ditemukan. Perlu dicatat bahwa pada titik ekstrem fungsi tersebut secara radikal mengubah arahnya. Jika kita menghitung turunan dari titik ekstrem, maka menurut definisi harus sama dengan nol atau tidak ada sama sekali. Jadi, untuk mempelajari cara menemukan ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan dua tugas berurutan:

• temukan turunan untuk fungsi yang perlu ditentukan oleh tugas;
• temukan akar persamaan.

Urutan menemukan ekstrem

1. Tuliskan fungsi f(x) yang diberikan. Temukan turunan orde pertama f "(x). Samakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol.
2. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan yang ternyata. Solusi yang dihasilkan akan menjadi akar persamaan, serta titik kritis dari fungsi yang didefinisikan.
3. Sekarang kami menentukan titik kritis mana (maksimum atau minimum) yang merupakan akar yang ditemukan. Langkah selanjutnya, setelah kita mempelajari cara mencari titik ekstrim suatu fungsi, adalah menemukan turunan kedua dari fungsi yang diinginkan f "(x). Nilai titik kritis yang ditemukan perlu diganti ke dalam pertidaksamaan tertentu dan kemudian hitung apa yang terjadi.Jika ini terjadi, turunan kedua ternyata lebih besar dari nol pada titik kritis, maka itu akan menjadi titik minimum, dan jika tidak, itu akan menjadi titik maksimum.
4. Tetap menghitung nilai fungsi awal pada titik maksimum dan minimum fungsi yang diperlukan. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam fungsi dan menghitung. Namun perlu diperhatikan bahwa jika titik kritisnya ternyata maksimum, maka ekstrimnya akan maksimum, dan jika minimum, maka analoginya akan minimum.

Algoritma untuk menemukan ekstrem

Untuk meringkas pengetahuan yang didapat, mari buat algoritme singkat tentang cara menemukan titik ekstrem.

1. Kami menemukan domain dari fungsi yang diberikan dan intervalnya, yang menentukan dengan tepat pada interval apa fungsi itu kontinu.
2. Kami menemukan turunan dari fungsi f "(x).
3. Kami menghitung titik kritis dari persamaan y = f (x).
4. Kami menganalisis perubahan arah fungsi f (x), serta tanda turunan f "(x) di mana titik kritis memisahkan domain definisi fungsi ini.
5. Sekarang kami menentukan apakah setiap titik pada grafik adalah maksimum atau minimum.
6. Kami menemukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik yang ekstrem.
7. Kami memperbaiki hasil penelitian ini - ekstrem dan interval monoton. Itu saja. Sekarang kami telah mempertimbangkan bagaimana menemukan ekstrem pada interval apa pun. Jika Anda perlu menemukan ekstrem pada interval tertentu dari suatu fungsi, maka ini dilakukan dengan cara yang sama, hanya batas studi yang dilakukan yang harus diperhitungkan.

Jadi, kami telah mempertimbangkan bagaimana menemukan titik ekstrem suatu fungsi. Dengan bantuan perhitungan sederhana, serta pengetahuan tentang menemukan turunan, Anda dapat menemukan ekstrem apa pun dan menghitungnya, serta menandainya secara grafis. Menemukan ekstrem adalah salah satu bagian matematika terpenting, baik di sekolah maupun di lembaga pendidikan tinggi, oleh karena itu, jika Anda mempelajari cara menentukannya dengan benar, belajar akan menjadi lebih mudah dan menarik.

Dari artikel ini, pembaca akan belajar tentang apa itu nilai fungsional ekstrem, serta tentang fitur penggunaannya dalam praktik. Studi tentang konsep semacam itu sangat penting untuk memahami dasar-dasar matematika yang lebih tinggi. Topik ini sangat penting untuk mempelajari kursus yang lebih dalam.

Berhubungan dengan

Apa itu ekstrem?

Dalam kursus sekolah, banyak definisi konsep "ekstrim" diberikan. Artikel ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman istilah yang paling dalam dan paling jelas bagi mereka yang tidak mengetahui masalah tersebut. Jadi, istilah tersebut dipahami sejauh mana interval fungsional memperoleh nilai minimum atau maksimum pada suatu himpunan tertentu.

Ekstrem adalah nilai minimum dari fungsi dan maksimum pada saat yang bersamaan. Ada titik minimal dan titik maksimal, yaitu nilai ekstrim dari argumen pada grafik. Ilmu utama di mana konsep ini digunakan:

• statistik;
• kontrol mesin;
• ekonometrika.

Titik ekstrem memainkan peran penting dalam menentukan urutan fungsi yang diberikan. Sistem koordinat pada grafik yang terbaik menunjukkan perubahan posisi ekstrim tergantung pada perubahan fungsi.

Ekstrem dari fungsi turunan

Ada juga yang namanya "turunan". Penting untuk menentukan titik ekstrem. Penting untuk tidak mengacaukan poin minimum atau maksimum dengan nilai terbesar dan terkecil. Ini adalah konsep yang berbeda, meskipun mungkin tampak serupa.

Nilai fungsi merupakan faktor utama dalam menentukan cara mencari titik maksimum. Derivatif tidak terbentuk dari nilai-nilai, tetapi secara eksklusif dari posisi ekstremnya dalam satu atau lain urutan.

Derivatif itu sendiri ditentukan berdasarkan data titik ekstrim, dan bukan nilai terbesar atau terkecil. Di sekolah Rusia, garis antara kedua konsep ini tidak ditarik dengan jelas, yang memengaruhi pemahaman topik ini secara umum.

Sekarang mari kita pertimbangkan hal seperti "ujung yang tajam". Sampai saat ini, ada nilai minimum yang akut dan nilai maksimum yang akut. Definisi diberikan sesuai dengan klasifikasi Rusia dari titik kritis suatu fungsi. Konsep titik ekstrim adalah dasar untuk menemukan titik kritis pada grafik.

Untuk mendefinisikan konsep seperti itu, teorema Fermat digunakan. Ini adalah yang paling penting dalam mempelajari titik-titik ekstrim dan memberikan gambaran yang jelas tentang keberadaan mereka dalam satu atau lain bentuk. Untuk memastikan keekstriman, penting untuk menciptakan kondisi tertentu untuk penurunan atau peningkatan pada grafik.

Untuk menjawab pertanyaan "bagaimana menemukan titik maksimum" secara akurat, Anda harus mengikuti ketentuan berikut:

1. Menemukan area definisi yang tepat pada grafik.
2. Cari turunan dari fungsi dan titik ekstrem.
3. Selesaikan pertidaksamaan standar untuk domain argumen.
4. Mampu membuktikan di mana fungsi suatu titik pada grafik didefinisikan dan kontinu.

Perhatian! Pencarian titik kritis suatu fungsi hanya mungkin jika ada turunan dari setidaknya orde kedua, yang dipastikan dengan proporsi tinggi dari keberadaan titik ekstrem.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi ekstrem

Agar ekstrem ada, penting bahwa ada titik minimum dan titik maksimum. Jika aturan ini dipatuhi hanya sebagian, maka syarat keberadaan ekstrem dilanggar.

Setiap fungsi dalam posisi apa pun harus dibedakan untuk mengidentifikasi makna barunya. Penting untuk dipahami bahwa kasus ketika suatu titik hilang bukanlah prinsip utama untuk menemukan titik yang dapat dibedakan.

Ekstrem tajam, serta fungsi minimum, merupakan aspek yang sangat penting dalam memecahkan masalah matematika menggunakan nilai ekstrem. Untuk lebih memahami komponen ini, penting untuk merujuk pada nilai tabular untuk penetapan fungsional.

Titik ekstrim suatu fungsi adalah titik dalam domain fungsi di mana nilai fungsi mengambil nilai minimum atau maksimum. Nilai fungsi pada titik-titik ini disebut ekstrem (minimum dan maksimum) dari fungsi tersebut.

Definisi. Dot X1 lingkup fungsi F(X) disebut titik maksimum fungsi , jika nilai fungsi pada titik ini lebih besar dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 maksimum.

Definisi. Dot X2 lingkup fungsi F(X) disebut titik minimum fungsi, jika nilai fungsi pada titik ini lebih kecil dari nilai fungsi pada titik yang cukup dekat dengannya, yang terletak di kanan dan kirinya (yaitu pertidaksamaan F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). Dalam hal ini, fungsi tersebut dikatakan memiliki titik X2 minimum.

Katakanlah intinya X1 - titik maksimum fungsi F(X) . Kemudian pada interval hingga X1 fungsi meningkat, jadi turunan fungsinya lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ), dan dalam interval sesudahnya X1 fungsinya menurun, jadi turunan fungsi kurang dari nol ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Mari kita asumsikan juga intinya X2 - titik minimum fungsi F(X) . Kemudian pada interval hingga X2 fungsinya menurun dan turunan dari fungsinya kurang dari nol ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 fungsi meningkat dan turunan dari fungsi lebih besar dari nol ( F "(X) > 0 ). Dalam hal ini juga pada intinya X2 turunan dari fungsi tersebut nol atau tidak ada.

Teorema Fermat (kriteria yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Jika titik X0 - titik ekstrim dari fungsi F(X), maka pada titik ini turunan fungsinya sama dengan nol ( F "(X) = 0 ) atau tidak ada.

Definisi. Titik-titik di mana turunan suatu fungsi sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis .

Contoh 1 Mari kita pertimbangkan suatu fungsi.

Pada intinya X= 0 turunan dari fungsi sama dengan nol, oleh karena itu, intinya X= 0 adalah titik kritis. Namun, seperti yang dapat dilihat pada grafik fungsi, itu meningkat di seluruh domain definisi, jadi intinya X= 0 bukan titik ekstrim dari fungsi ini.

Jadi, syarat bahwa turunan suatu fungsi pada suatu titik sama dengan nol atau tidak ada adalah syarat perlu untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup, karena contoh fungsi lain dapat diberikan yang syaratnya dipenuhi, tetapi fungsinya tidak memiliki ekstrem pada titik yang bersesuaian. Itu sebabnya harus memiliki indikasi yang cukup, yang memungkinkan untuk menilai apakah ada ekstrem pada titik kritis tertentu dan mana yang maksimum atau minimum.

Teorema (kriteria cukup pertama untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 F(X) , jika turunan dari fungsi berubah tanda saat melewati titik ini, dan jika tanda berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik maksimumnya, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik minimumnya .

Jika dekat titik X0 , di sebelah kiri dan kanannya, turunannya mempertahankan tandanya, ini berarti bahwa fungsinya hanya berkurang atau hanya bertambah di beberapa lingkungan titik X0 . Dalam hal ini, pada intinya X0 tidak ada ekstrim.

Jadi, untuk menentukan titik ekstrem dari fungsi, Anda perlu melakukan hal berikut :

1. Temukan turunan dari suatu fungsi.
2. Samakan turunannya dengan nol dan tentukan titik kritisnya.
3. Secara mental atau di atas kertas, tandai titik kritis pada sumbu numerik dan tentukan tanda turunan fungsi dalam interval yang dihasilkan. Jika tanda turunannya berubah dari "plus" menjadi "minus", maka titik kritisnya adalah titik maksimum, dan jika dari "minus" menjadi "plus", maka titik kritisnya adalah titik minimumnya.
4. Hitung nilai fungsi di titik-titik ekstrem.

Contoh 2 Temukan ekstrem dari suatu fungsi .

Larutan. Mari kita cari turunan dari fungsi:

Samakan turunannya dengan nol untuk menemukan titik kritis:

.

Karena untuk nilai "x" apa pun penyebutnya tidak sama dengan nol, maka kami menyamakan pembilangnya dengan nol:

Mendapat satu titik kritis X= 3 . Kami menentukan tanda turunan dalam interval yang dibatasi oleh titik ini:

dalam kisaran dari minus tak terhingga hingga 3 - tanda minus, yaitu fungsinya menurun,

dalam kisaran dari 3 hingga plus tak terhingga - tanda tambah, yaitu fungsinya meningkat.

Artinya, titik X= 3 adalah titik minimum.

Temukan nilai fungsi pada titik minimum:

Dengan demikian, titik ekstrem dari fungsi tersebut ditemukan: (3; 0) , dan merupakan titik minimum.

Teorema (kriteria cukup kedua untuk keberadaan ekstrem suatu fungsi). Titik kritis X0 adalah titik ekstrim dari fungsi F(X), jika turunan kedua dari fungsi pada titik ini tidak sama dengan nol ( F ""(X) ≠ 0 ), apalagi jika turunan keduanya lebih besar dari nol ( F ""(X) > 0 ), maka titik maksimum, dan jika turunan keduanya kurang dari nol ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Keterangan 1. Jika pada suatu titik X0 baik turunan pertama dan kedua lenyap, maka pada titik ini tidak mungkin untuk menilai keberadaan ekstrem berdasarkan tanda cukup kedua. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan kriteria pertama yang cukup untuk fungsi ekstrem.

Catatan 2. Kriteria cukup kedua untuk ekstrem suatu fungsi juga tidak dapat diterapkan jika turunan pertama tidak ada di titik stasioner (maka turunan kedua juga tidak ada). Dalam hal ini, juga perlu menggunakan kriteria cukup pertama untuk fungsi ekstrem.

Sifat lokal dari ekstrem fungsi

Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa ekstrem suatu fungsi bersifat lokal - ini adalah nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilai terdekat.

Misalkan Anda mempertimbangkan penghasilan Anda dalam rentang waktu satu tahun. Jika pada bulan Mei Anda memperoleh 45.000 rubel, dan pada bulan April 42.000 rubel, dan pada bulan Juni 39.000 rubel, maka penghasilan bulan Mei adalah fungsi penghasilan maksimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Tetapi pada bulan Oktober Anda memperoleh 71.000 rubel, pada bulan September 75.000 rubel, dan pada bulan November 74.000 rubel, jadi penghasilan Oktober adalah fungsi penghasilan minimum dibandingkan dengan nilai terdekat. Dan Anda dapat dengan mudah melihat bahwa maksimum di antara nilai April-Mei-Juni kurang dari minimum September-Oktober-November.

Secara umum, suatu fungsi dapat memiliki beberapa ekstrem pada suatu interval, dan mungkin ternyata setiap minimum dari fungsi tersebut lebih besar daripada maksimum apa pun. Jadi, untuk fungsi yang ditunjukkan pada gambar di atas, .

Artinya, orang tidak boleh berpikir bahwa fungsi maksimum dan minimum masing-masing adalah nilai maksimum dan minimumnya pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Pada titik maksimum, fungsi tersebut memiliki nilai terbesar hanya dibandingkan dengan nilai-nilai yang dimilikinya di semua titik yang cukup dekat dengan titik maksimum, dan pada titik minimum, nilai terkecil hanya dibandingkan dengan nilai-nilai tersebut. bahwa ia memiliki semua titik yang cukup dekat dengan titik minimum.

Oleh karena itu, kita dapat menyempurnakan konsep titik ekstrem dari suatu fungsi yang diberikan di atas dan menyebut titik minimum titik minimum lokal, dan titik maksimum - titik maksimum lokal.

Kami mencari ekstrem fungsi bersama

Contoh 3

Solusi Fungsi tersebut terdefinisi dan kontinu pada garis bilangan bulat. Turunannya juga ada di seluruh garis bilangan. Oleh karena itu, di kasus ini hanya mereka yang, yaitu, , dari mana dan . Titik kritis dan membagi seluruh domain fungsi menjadi tiga interval monotonitas: . Kami memilih satu titik kontrol di masing-masingnya dan menemukan tanda turunannya pada titik ini.

Untuk interval, titik acuannya adalah : kita temukan . Mengambil titik dalam interval, kita mendapatkan , dan mengambil titik dalam interval, kita . Jadi, dalam interval dan , dan dalam interval . Menurut tanda yang cukup pertama dari suatu ekstrem, tidak ada ekstrem pada titik tersebut (karena turunan mempertahankan tandanya dalam interval ), dan fungsinya memiliki minimum pada titik tersebut (karena turunannya mengubah tanda dari minus menjadi plus ketika lewat melalui titik ini). Temukan nilai yang sesuai dari fungsi: , dan . Dalam interval, fungsinya berkurang, karena dalam interval ini , dan dalam interval itu meningkat, karena dalam interval ini.

Untuk memperjelas konstruksi grafik, kami menemukan titik-titik perpotongannya dengan sumbu koordinat. Ketika kita mendapatkan persamaan yang akarnya dan , yaitu dua titik (0; 0) dan (4; 0) dari grafik fungsi ditemukan. Menggunakan semua informasi yang diterima, kami membuat grafik (lihat di awal contoh).

Contoh 4 Temukan ekstrem dari fungsi dan buat grafiknya.

Domain dari fungsi adalah seluruh garis bilangan, kecuali titik, yaitu. .

Untuk mempersingkat studi, kita dapat menggunakan fakta bahwa fungsi ini genap, karena . Oleh karena itu, grafiknya simetris terhadap sumbu Oy dan studi hanya dapat dilakukan untuk interval.

Menemukan turunannya dan titik kritis dari fungsi:

1) ;

2) ,

tetapi fungsi mengalami jeda pada titik ini, sehingga tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Dengan demikian, fungsi yang diberikan memiliki dua titik kritis: dan . Mempertimbangkan paritas fungsi, kami hanya memeriksa titik dengan tanda kedua yang cukup dari ekstrem. Untuk melakukan ini, kami menemukan turunan kedua dan tentukan tandanya di : kita dapatkan . Sejak dan , maka adalah titik minimum dari fungsi, sementara .

Untuk mendapatkan gambaran grafik fungsi yang lebih lengkap, mari cari tahu perilakunya pada batas-batas domain definisi:

(di sini simbol menunjukkan keinginan X ke nol di sebelah kanan, dan X tetap positif; sama artinya aspirasi X ke nol di sebelah kiri, dan X tetap negatif). Jadi, jika , maka . Selanjutnya, kita temukan

,

itu. jika kemudian .

Grafik fungsi tidak memiliki titik potong dengan sumbu. Gambar ada di awal contoh.

Kami terus mencari ekstrem fungsi bersama-sama

Contoh 8 Temukan ekstrem dari fungsi .

Larutan. Temukan domain dari fungsi tersebut. Karena pertidaksamaan harus berlaku, kita dapatkan dari .

Mari kita cari turunan pertama dari fungsi:

Mari kita temukan titik kritis dari fungsi tersebut.