Jari-jari lingkaran bertulis dalam rumus segitiga siku-siku. Rumus untuk jari-jari lingkaran beraturan dan bertulis dan dibatasi

Sangat sering, saat memecahkan masalah geometris, Anda harus melakukan tindakan dengan figur bantu. Misalnya, temukan jari-jari lingkaran bertulis atau terbatas, dll. Artikel ini akan menunjukkan cara mencari jari-jari lingkaran yang mengelilingi segitiga. Atau, dengan kata lain, jari-jari lingkaran tempat segitiga itu tertulis.

Cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga - rumus umum

Rumus umumnya adalah sebagai berikut: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), dengan R adalah jari-jari lingkaran, p adalah keliling segitiga dibagi 2 (setengah keliling). a, b, c adalah sisi-sisi segitiga.

Tentukan jari-jari lingkaran luar segitiga jika a = 3, b = 6, c = 7.

Jadi, berdasarkan rumus di atas, kami menghitung setengah keliling:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Gantikan nilai dalam rumus dan dapatkan:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Jawab: R = 126/16√5

Cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga sama sisi

Untuk mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi sekitar segitiga sama sisi, ada cukup rumus sederhana: R = a/√3, di mana a adalah nilai sisinya.

Contoh: Sisi sebuah segitiga sama sisi adalah 5. Hitunglah jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Karena semua sisi segitiga sama sisi sama, untuk menyelesaikan soal, Anda hanya perlu memasukkan nilainya ke dalam rumus. Kita mendapatkan: R = 5/√3.

Jawab: R = 5/√3.

Cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga siku-siku

Rumusnya terlihat seperti ini: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, dengan a dan b adalah kaki-kaki dan c adalah hipotenusa. Jika kita menjumlahkan kuadrat kaki-kaki dalam segitiga siku-siku, kita mendapatkan kuadrat sisi miringnya. Seperti yang bisa dilihat dari rumusnya, ungkapan ini ada di bawah root. Dengan menghitung akar kuadrat sisi miring, kita mendapatkan panjangnya sendiri. Mengalikan ekspresi yang dihasilkan dengan 1/2 akhirnya membawa kita ke ekspresi 1/2 × c = c/2.

Contoh: Hitung jari-jari lingkaran luar jika kaki segitiga adalah 3 dan 4. Gantikan nilainya ke dalam rumus. Kita mendapatkan: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

Dalam ungkapan ini, 5 adalah panjang sisi miring.

Jawab: R = 2,5.

Cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga sama kaki

Rumusnya terlihat seperti ini: R = a² / √ (4a² - b²), di mana a adalah panjang paha segitiga dan b adalah panjang alasnya.

Contoh: Hitung jari-jari lingkaran jika pinggulnya = 7 dan alasnya = 8.

Solusi: Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus dan mendapatkan: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Jawabannya bisa ditulis langsung seperti ini.

Jawab: R = 49/√132

Sumber Online untuk Menghitung Radius Lingkaran

Sangat mudah untuk bingung dengan semua rumus ini. Karena itu, jika perlu, Anda bisa menggunakannya kalkulator daring, yang akan membantu Anda dalam memecahkan masalah dalam menemukan jari-jari. Prinsip pengoperasian program mini semacam itu sangat sederhana. Ganti nilai sisi di bidang yang sesuai dan dapatkan jawaban yang sudah jadi. Anda dapat memilih beberapa opsi untuk membulatkan jawabannya: ke desimal, seperseratus, seperseribu, dll.

Lingkaran bertuliskan segitiga

Keberadaan lingkaran bertuliskan segitiga

Ingat definisinya garis bagi sudut .

Definisi 1 .Garis bagi sudut disebut sinar yang membagi sudut menjadi dua bagian yang sama.

Dalil 1 (Properti dasar garis bagi sudut) . Setiap titik garis bagi sudut berada pada jarak yang sama dari sisi sudut (Gbr. 1).

Beras. 1

Bukti D terletak pada garis bagi sudutBAC , Dan DE Dan D.F. di sisi sudut (Gbr. 1).segitiga siku-siku ADF Dan ADE setara karena memiliki sudut lancip yang samaDAF Dan DAE , dan sisi miring IKLAN - umum. Karena itu,

D.F. = DE

Q.E.D.

Teorema 2 (Teorema terbalik dengan Teorema 1) . Jika beberapa , maka itu terletak di garis bagi sudut (Gbr. 2).

Beras. 2

Bukti . Pertimbangkan titik sewenang-wenangD berbaring di dalam sudutBAC dan terletak pada jarak yang sama dari sisi sudut. Turun dari titikD tegak lurus DE Dan D.F. di sisi sudut (Gbr. 2).segitiga siku-siku ADF Dan ADE setara , karena mereka memiliki kaki yang samaD.F. Dan DE , dan sisi miring IKLAN - umum. Karena itu,

Q.E.D.

Definisi 2 . Lingkaran itu disebut lingkaran yang ditulisi sudut jika itu adalah sisi sudut ini.

Teorema 3 . Jika sebuah lingkaran tertulis dalam suatu sudut, maka jarak dari titik sudut ke titik kontak lingkaran dengan sisi sudut adalah sama.

Bukti . Biarkan intinya D adalah pusat lingkaran yang ditulisi sudutBAC , dan poin e Dan F - titik kontak lingkaran dengan sisi sudut (Gbr. 3).

Gbr.3

A , B , C - sisi segitiga
 S -persegi,

R – jari-jari lingkaran tertulis,
 P - semiperimeter

.

Lihat hasil rumus

A – sisi samping segitiga sama kaki , 
 B - basis, R – jari-jari lingkaran tertulis

A R – jari-jari lingkaran tertulis

Lihat hasil rumus

,

Di mana

,

maka, dalam kasus segitiga sama kaki, kapan

kita mendapatkan

itulah yang dibutuhkan.

Teorema 7 . Untuk kesetaraan

Di mana A - sisi segitiga sama sisiR – jari-jari lingkaran bertulis (Gbr. 8).

Beras. 8

Bukti .

,

maka, dalam kasus segitiga sama sisi, kapan

b=a,

kita mendapatkan

itulah yang dibutuhkan.

Komentar . Saya merekomendasikan untuk menurunkan sebagai latihan rumus jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga sama sisi secara langsung, yaitu. tanpa menggunakan rumus umum untuk jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga sembarang atau segitiga sama kaki.

Teorema 8 . Untuk segitiga siku-siku, persamaannya

Di mana A , B - kaki segitiga siku-siku, C – sisi miring , R – jari-jari lingkaran tertulis.

Bukti . Pertimbangkan Gambar 9.

Beras. 9

Sejak segi empatCDOF adalah , yang memiliki sisi yang berdekatanMELAKUKAN Dan DARI sama, maka persegi panjang ini adalah . Karena itu,

CB \u003d CF \u003d r,

Berdasarkan Teorema 3, persamaan

Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan juga , kami dapatkan

itulah yang dibutuhkan.

Pilihan tugas dengan topik "Lingkaran bertuliskan segitiga."

1.

Sebuah lingkaran bertuliskan segitiga sama kaki membagi pada titik kontak salah satu sisi menjadi dua segmen, yang panjangnya sama dengan 5 dan 3, dihitung dari puncak di seberang alas. Temukan keliling segitiga.

2.

3

DI DALAM segitiga ABC AC=4, BC=3, sudut C adalah 90º. Temukan jari-jari lingkaran bertulis.

4.

Kaki-kaki segitiga siku-siku sama kaki adalah 2+. Temukan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga ini.

5.

Jari-jari lingkaran bertuliskan sama kaki segitiga siku-siku, sama dengan 2. Temukan sisi miring c dari segitiga ini. Tulis c(-1) dalam jawaban Anda.

Berikut adalah sejumlah tugas dari ujian dengan solusi.

Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku sama kaki adalah . Temukan sisi miring c dari segitiga ini. Harap tunjukkan dalam jawaban Anda.

Segitiga itu benar dan sama kaki. Jadi kakinya sama. Biarkan setiap kaki sama. Maka sisi miringnya adalah.

Kami menulis luas segitiga ABC dengan dua cara:

Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan itu. Karena, kami mengerti. Kemudian.

Sebagai tanggapan, tulis.

Menjawab:.

Tugas 2.

1. Pada dua sisi sebarang 10cm dan 6cm (AB dan BC). Temukan jari-jari lingkaran terbatas dan lingkaran bertulis
Masalahnya diselesaikan secara mandiri dengan berkomentar.

Larutan:

DI DALAM.

1) Temukan:
2) Buktikan:dan temukan CK
3) Temukan: jari-jari lingkaran terbatas dan lingkaran bertulis

Larutan:

Tugas 6.

R jari-jari lingkaran yang ditulisi persegi adalah. Temukan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi ini.Diberikan :

Menemukan: OS=?
Larutan: V kasus ini masalahnya dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras atau rumus untuk R. Kasus kedua lebih sederhana, karena rumus untuk R diturunkan dari teorema.

Tugas 7.

Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku sama kaki adalah 2. Temukan sisi miringnyaDengan segitiga ini. Harap tunjukkan dalam jawaban Anda.

S adalah luas segitiga

Kami tidak tahu sisi segitiga atau luasnya. Mari kita nyatakan kaki sebagai x, maka sisi miringnya akan sama dengan:

Luas segitiga akan menjadi 0,5x 2 .

Cara

Jadi sisi miringnya adalah:

Jawabannya harus ditulis:

Jawaban: 4

Tugas 8.

Pada segitiga ABC, AC = 4, BC = 3, sudut C sama dengan 90 0 . Temukan jari-jari lingkaran bertulis.

Mari gunakan rumus jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga:

di mana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga

S adalah luas segitiga

Diketahui dua sisi (ini adalah kaki), kita dapat menghitung sisi ketiga (hipotenusa), kita juga dapat menghitung luasnya.

Menurut teorema Pythagoras:

Mari kita cari luasnya:

Dengan demikian:

Jawaban 1

Tugas 9.

Sisi-sisi segitiga sama kaki adalah 5, alasnya adalah 6. Temukan jari-jari lingkaran bertulis.

Mari gunakan rumus jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga:

di mana a, b, c adalah sisi-sisi segitiga

S adalah luas segitiga

Semua sisi diketahui, dan luasnya dihitung. Kita dapat menemukannya dengan menggunakan rumus Heron:

Kemudian

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda setiap saat ketika Anda menghubungi kami.

Berikut adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengirimkan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan undang-undang, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan negara di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan ke penerus pihak ketiga terkait.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, pengubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi dengan ketat.

Belah ketupat adalah jajaran genjang yang semua sisinya sama. Oleh karena itu, ia mewarisi semua sifat jajaran genjang. Yaitu:

• Diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
• Diagonal belah ketupat adalah garis bagi sudut dalamnya.

Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam segiempat jika dan hanya jika jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama.
Oleh karena itu, sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam belah ketupat apa pun. Pusat lingkaran bertulis bertepatan dengan pusat perpotongan diagonal belah ketupat.
Jari-jari lingkaran dalam belah ketupat dapat dinyatakan dalam beberapa cara

1 cara. Jari-jari lingkaran tertulis dalam belah ketupat melalui ketinggian

Ketinggian belah ketupat sama dengan diameter lingkaran bertulis. Ini mengikuti dari properti persegi panjang, yang dibentuk oleh diameter lingkaran bertulis dan tinggi belah ketupat - sisi berlawanan dari persegi panjang adalah sama.

Oleh karena itu, rumus jari-jari lingkaran bertulis pada belah ketupat melalui ketinggian:

2 jalan. Jari-jari lingkaran bertulis dalam belah ketupat melalui diagonal

Luas belah ketupat dapat dinyatakan dalam jari-jari lingkaran bertulis
, Di mana R adalah keliling belah ketupat. Mengetahui bahwa keliling adalah jumlah dari semua sisi segiempat, kita memilikinya P= 4× ha. Kemudian
Tetapi luas belah ketupat juga merupakan setengah hasil perkalian diagonalnya
Menyamakan bagian kanan dari rumus luas, kita memiliki persamaan berikut
Hasilnya, kami memperoleh rumus yang memungkinkan kami menghitung jari-jari lingkaran bertulis dalam belah ketupat melalui diagonal

Contoh menghitung jari-jari lingkaran bertulisan belah ketupat jika diketahui diagonal-diagonalnya
Hitunglah jari-jari lingkaran bertulisan belah ketupat jika diketahui panjang diagonal-diagonalnya 30 cm dan 40 cm
Membiarkan ABCD- belah ketupat, lalu AC Dan BD diagonalnya. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Biarkan intinya TENTANG adalah pusat yang tertulis di belah ketupat ABCD lingkaran, maka itu juga akan menjadi titik perpotongan diagonalnya, membaginya menjadi dua.


karena diagonal belah ketupat berpotongan pada sudut siku-siku, maka segitiga AOB persegi panjang. Kemudian dengan teorema Pythagoras
, kami mengganti nilai yang diperoleh sebelumnya ke dalam rumus

AB= 25 cm
Menerapkan rumus yang diturunkan sebelumnya untuk jari-jari lingkaran terbatas ke belah ketupat, kita peroleh

3 cara. Jari-jari lingkaran dalam belah ketupat melalui segmen m dan n

Dot F- titik kontak lingkaran dengan sisi belah ketupat, yang membaginya menjadi segmen-segmen AF Dan bf. Membiarkan AF=m, BF=n.
Dot HAI- pusat perpotongan diagonal belah ketupat dan pusat lingkaran yang tertulis di dalamnya.
Segi tiga AOB- persegi panjang, karena diagonal belah ketupat berpotongan pada sudut siku-siku.
, Karena adalah jari-jari yang ditarik ke titik singgung lingkaran. Karena itu DARI- tinggi segitiga AOB ke sisi miring. Kemudian AF Dan bf- proyeksi kaki ke sisi miring.
Ketinggian segitiga siku-siku yang diturunkan ke sisi miring adalah rata-rata proporsional antara proyeksi kaki pada sisi miring.

Rumus jari-jari lingkaran bertulis dalam belah ketupat yang melalui ruas-ruasnya sama dengan akar kuadrat dari hasil kali ruas-ruas tersebut di mana sisi belah ketupat dibagi dengan titik singgung lingkaran

Bagaimana cara mencari jari-jari lingkaran? Pertanyaan ini selalu relevan bagi anak sekolah yang mempelajari planimetri. Di bawah ini kami akan melihat beberapa contoh bagaimana Anda dapat mengatasi tugas tersebut.

Bergantung pada kondisi soal, Anda dapat mencari jari-jari lingkaran seperti ini.

Rumus 1: R \u003d L / 2π, dimana L adalah dan π adalah konstanta sama dengan 3,141 ...

Rumus 2: R = √(S / π), dimana S adalah luas lingkaran.

Rumus 1: R = B/2, di mana B adalah sisi miring.

Rumus 2: R \u003d M * B, di mana B adalah sisi miringnya, dan M adalah median yang ditarik ke sana.

Cara mencari jari-jari lingkaran jika dibatasi mengelilingi poligon beraturan

Rumus: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), di mana A adalah panjang salah satu sisi gambar, dan n adalah jumlah sisi pada gambar geometris ini.

Cara mencari jari-jari lingkaran bertulis

Sebuah lingkaran bertulis disebut ketika menyentuh semua sisi poligon. Mari kita lihat beberapa contoh.

Rumus 1: R \u003d S / (P / 2), di mana - S dan P masing-masing adalah luas dan keliling gambar.

Rumus 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), di mana P adalah keliling, A adalah panjang salah satu sisi, dan merupakan sudut yang berlawanan dengan sisi ini.

Cara mencari jari-jari lingkaran jika ditulis dalam segitiga siku-siku

Formula 1:

Jari-jari lingkaran bertuliskan belah ketupat

Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam belah ketupat apa pun, baik sama sisi maupun tidak sama sisi.

Rumus 1: R \u003d 2 * H, dimana H adalah tinggi bangun geometri.

Rumus 2: R \u003d S / (A * 2), dimana S adalah dan A adalah panjang sisinya.

Rumus 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), dimana S adalah luas belah ketupat, dan sin A adalah sinus sudut lancip sosok geometris ini.

Rumus 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), di mana V dan G adalah panjang diagonal dari bentuk geometris.

Rumus 5: R = B * sin (A / 2), di mana B adalah diagonal belah ketupat, dan A adalah sudut pada simpul yang menghubungkan diagonal.

Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga

Jika dalam kondisi soal Anda diberikan panjang semua sisi gambar, maka hitung terlebih dahulu (P), lalu setengah keliling (p):

P \u003d A + B + C, di mana A, B, C adalah panjang sisi-sisi bangun geometri.

Rumus 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Dan jika, dengan mengetahui ketiga sisi yang sama, Anda juga diberikan, maka Anda dapat menghitung radius yang diperlukan sebagai berikut.

Rumus 2: R = S * 2(A + B + C)

Rumus 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), di mana - p adalah setengah keliling dari bentuk geometris.

Rumus 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), di mana n adalah setengah keliling segitiga, A adalah salah satu sisinya, dan tg (A / 2) adalah garis singgung dari setengah sudut berlawanan sisi ini.

Dan rumus di bawah ini akan membantu Anda menemukan jari-jari lingkaran yang tertulis di dalamnya

Rumus 5: R \u003d A * √3/6.

Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segitiga siku-siku

Jika soal diberikan panjang kaki, serta sisi miringnya, maka jari-jari lingkaran tertulisnya adalah sebagai berikut.

Rumus 1: R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, di mana A, B adalah kaki, C adalah sisi miring.

Jika Anda hanya diberi dua kaki, saatnya mengingat teorema Pythagoras untuk mencari hipotenusa dan menggunakan rumus di atas.

C \u003d √ (A² + B²).

Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam persegi

Lingkaran, yang tertulis di dalam bujur sangkar, membagi keempat sisinya tepat menjadi dua pada titik-titik kontaknya.

Rumus 1: R \u003d A / 2, dimana A adalah panjang sisi persegi.

Rumus 2: R \u003d S / (P / 2), di mana S dan P masing-masing adalah luas dan keliling persegi.