rumah › Ulasan › Logaritma adalah penjelasan sederhana. Rumus log

Logaritma adalah penjelasan sederhana. Rumus log

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara memecahkan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Memahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengarnya.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana angka dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Nah, pertahankan waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Petunjuk

Tuliskan ekspresi logaritmik yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat menjadi seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki bilangan e sebagai basis, maka ungkapannya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dinaikkan bilangan dasar untuk mendapatkan bilangan b.

Saat menemukan jumlah dari dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Saat menemukan turunan dari hasil kali dua fungsi, perlu untuk mengalikan turunan dari fungsi pertama dengan yang kedua dan menjumlahkan turunan dari fungsi kedua, dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, perlu, dari produk turunan dari pembagi yang dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangi produk turunan dari pembagi yang dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika fungsi kompleks diberikan, maka perlu untuk mengalikan turunan dari fungsi dalam dan turunan dari fungsi luar. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi pada titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.

Sumber:

turunan konstan

Jadi apa perbedaan antara persamaan irasional dan persamaan rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap tidak rasional.

Petunjuk

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua bagian persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menghilangkan tanda itu. Secara teknis, cara ini tidak sulit, namun terkadang bisa menimbulkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit dipecahkan; x=1. Tetapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan unit dalam persamaan alih-alih nilai x. Dan sisi kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, dan oleh karena itu persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan metode kuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, gantikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2x+vx-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama dengan persamaan sebelumnya. Mentransfer Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, ke sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Artinya, biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, pecahkan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari yang pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan transformasi yang identik sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika yang paling sederhana, tugas tersebut akan diselesaikan.

Anda akan perlu

- kertas;
- pena.

Petunjuk

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat dari jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga dari jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri yang identitas dasarnya sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua suku sama dengan kuadrat suku pertama ditambah dua kali perkalian suku pertama dan suku kedua ditambah kuadrat suku kedua, yaitu (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan Keduanya

Prinsip umum solusi

Ulangi dari buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda tahu, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya akan menghasilkan integral. Fungsi ini disebut primitif. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.
Tentukan dengan bentuk integralnya integral tabel mana yang cocok kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integral.

Metode substitusi variabel

Jika integralnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya polinomial, lalu coba gunakan metode substitusi variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integral dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi yang baru. Dengan membedakan ungkapan ini, temukan diferensial baru di . Dengan demikian, Anda mendapatkan bentuk baru dari integral lama, dekat atau bahkan sesuai dengan bentuk tabel mana pun.

Solusi integral jenis kedua

Jika integralnya adalah integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. Hukum ini memungkinkan untuk beralih dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga di atas divergensi medan vektor yang diberikan.

Substitusi batas integrasi

Setelah menemukan antiderivatifnya, perlu dilakukan penggantian limit-limit integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan dari antiderivatif. Jika salah satu batas integrasi adalah tak terhingga, maka saat mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, Anda perlu menuju ke batas dan menemukan kecenderungan ekspresinya.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus menyatakan batas geometris integral untuk memahami cara menghitung integral. Memang, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b * a c = a b + c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel indikator bilangan bulat. Merekalah yang bertugas untuk penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana diperlukan untuk menyederhanakan perkalian rumit menjadi penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana bekerja dengannya. Bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dari bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma dari angka non-negatif apa pun (yaitu, positif apa pun) "b" menurut basisnya "a" dianggap pangkat dari "c ", yang perlu dinaikkan basisnya "a", sehingga pada akhirnya mendapatkan nilai "b". Mari kita analisis logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu menemukan gelar sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga gelar yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan dalam pikiran Anda, kami mendapatkan angka 3! Dan memang demikian, karena 2 pangkat 3 memberikan angka 8 pada jawabannya.

Varietas logaritma

Bagi banyak siswa dan siswa, topik ini tampak rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi pada kenyataannya, logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami makna umumnya dan mengingat sifat dan beberapa aturannya. Ada tiga jenis tertentu ekspresi logaritmik:

Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
Desimal a, dengan basis 10.
Logaritma bilangan b apa pun ke basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan reduksi selanjutnya menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritmik. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, seseorang harus mengingat propertinya dan urutan tindakan dalam keputusannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu didiskusikan dan benar. Misalnya, tidak mungkin membagi angka dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

basis "a" harus selalu lebih besar dari nol, dan pada saat yang sama tidak sama dengan 1, jika tidak ekspresi akan kehilangan artinya, karena "1" dan "0" selalu sama dengan nilainya;
jika a > 0, maka a b > 0, ternyata “c” harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara memecahkan logaritma?

Misalnya, tugas diberikan untuk menemukan jawaban dari persamaan 10 x \u003d 100. Sangat mudah, Anda harus memilih kekuatan seperti itu, menaikkan angka sepuluh menjadi 100. Ini, tentu saja, adalah 10 2 \u003d 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini sebagai logaritma. Kami mendapatkan log 10 100 = 2. Saat memecahkan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk menemukan sejauh mana basis logaritma harus dimasukkan untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilai gelar yang tidak diketahui secara akurat, Anda harus mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pola pikir teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai-nilai besar Anda memerlukan tabel derajat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang sama sekali tidak mengerti apa-apa dalam topik matematika yang kompleks. Kolom kiri berisi angka (basis a), baris atas angka adalah nilai pangkat c, di mana angka a dinaikkan. Di persimpangan dalam sel ditentukan nilai angka yang merupakan jawabannya (a c =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan kuadratkan, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Semuanya sangat sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis yang paling nyata pun akan mengerti!

Persamaan dan ketidaksetaraan

Ternyata dalam kondisi tertentu, eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma dari 81 ke basis 3, yaitu empat (log 3 81 = 4). Untuk pangkat negatif, aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik "logaritma". Kami akan mempertimbangkan contoh dan solusi persamaan sedikit lebih rendah, segera setelah mempelajari propertinya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan itu dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Ekspresi dari bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - it is ketidaksetaraan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua kuantitas dibandingkan: logaritma dari bilangan yang diinginkan di basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah bahwa persamaan dengan logaritma (misalnya, logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan saat menyelesaikan pertidaksamaan, baik rentang nilai yang dapat diterima dan poin yang melanggar fungsi ini. Akibatnya, jawabannya bukanlah kumpulan angka individu yang sederhana, seperti dalam jawaban persamaan, tetapi rangkaian atau kumpulan angka yang berkelanjutan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, ketika berbicara tentang persamaan atau ketidaksetaraan logaritma, pertama-tama, perlu dipahami dengan jelas dan diterapkan dalam praktik semua sifat dasar logaritma. Kita akan berkenalan dengan contoh persamaan nanti, pertama-tama mari kita menganalisis setiap properti secara lebih detail.

Identitas dasarnya terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
Logaritma hasil kali dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini, prasyaratnya adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti untuk rumus logaritma ini, dengan contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2 , lalu a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Kita dapatkan bahwa s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (properti derajat ), dan selanjutnya menurut definisi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang akan dibuktikan.
Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut "properti derajat logaritma". Itu menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan tidak mengherankan, karena semua matematika bertumpu pada postulat biasa. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log ab \u003d t, ternyata a t \u003d b. Jika Anda menaikkan kedua bagian dengan pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n , maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema telah terbukti.

Contoh soal dan persamaan

Jenis masalah logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga termasuk dalam bagian wajib ujian matematika. Untuk masuk universitas atau lulus ujian masuk matematika, Anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun aturan tertentu dapat diterapkan untuk setiap pertidaksamaan matematis atau persamaan logaritma. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau direduksi menjadi pandangan umum. Sederhanakan panjang ekspresi logaritma Anda bisa, jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka segera.

Saat memecahkan persamaan logaritma, penting untuk menentukan jenis logaritma apa yang kita miliki sebelum kita: contoh ekspresi dapat berisi logaritma natural atau logaritma desimal.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa Anda perlu menentukan sejauh mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural seseorang harus menerapkan identitas logaritmik atau propertinya. Mari kita lihat contoh pemecahan masalah logaritma dari berbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Solusi

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema utama pada logaritma.

Properti logaritma produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting angka b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, menggunakan properti keempat dari derajat logaritma, kami berhasil memecahkan ekspresi yang kompleks dan tidak dapat dipecahkan pada pandangan pertama. Anda hanya perlu memfaktorkan basis dan kemudian mengambil nilai eksponen dari tanda logaritma.

Tugas dari ujian

Logaritma sering dijumpai pada ujian masuk, terutama banyak sekali soal logaritma pada Ujian Negara Bersatu (ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya tugas-tugas ini tidak hanya ada di bagian A (yang paling mudah bagian uji ujian), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling sulit dan banyak). Ujian menyiratkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik "Logaritma alami".

Contoh dan solusi masalah diambil dari resmi GUNAKAN opsi. Mari kita lihat bagaimana tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Solusi:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2 , dengan definisi logaritma kita dapatkan 2x-1 = 2 4 , oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

Semua logaritma sebaiknya direduksi menjadi basis yang sama sehingga solusinya tidak rumit dan membingungkan.
Semua ekspresi di bawah tanda logaritma diindikasikan sebagai positif, oleh karena itu, ketika mengeluarkan eksponen dari eksponen ekspresi, yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:	\(\log_(5)(25)=2\)	Karena \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	Karena \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	Karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumen dan basis logaritma

Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Pangkat berapa \(4\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Pangkat berapa \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka apa pun menjadi unit? Nol, tentu saja!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Pangkat apa \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa adalah pangkat pecahan, dan oleh karena itu akar kuadrat adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Menghitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu menemukan nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apa yang menghubungkan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kami menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Basisnya sama, kami melanjutkan ke persamaan indikator
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahami ini, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\) sama dengan x? Itulah intinya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya nomor ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka membuat logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya sebagai desimal, akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan sehingga x ada di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan seperti angka biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bagilah persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Inilah akar kita. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih.

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Seperti yang dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya bisa apa saja nomor positif, kecuali untuk unit \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang begitu sering terjadi sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengannya:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah angka Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma desimal: Logaritma dengan basis 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

Identitas logaritmik dasar

Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Utama identitas logaritmik' dan terlihat seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.

Mari kita ingat catatan pendek definisi logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) alih-alih \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritmik utama.

Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: angka apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menuliskan keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana saja (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis alas dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Setiap angka \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Menemukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari yang sederhana ke yang kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama tentang ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan perhitungan yang besar terkait dengan perkalian dan pembagian angka multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penjumlahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya ahli matematika Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana dia menyadari gagasan banyak ahli matematika. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional arbitrer.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma angka". Tabel kompleks baru disusun untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai bermunculan, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan untuk tiga abad. Butuh waktu lama sebelumnya operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil beroperasi sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b ke basis a bilangan x, yang merupakan pangkat a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisinya. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.

Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.

Varietas logaritma

Definisi klasik disebut logaritma riil dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah garis batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.

Nilai sebenarnya dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan diberi nama tergantung pada nilai basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu perkalian sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan selisih fungsi.

Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma penjumlahan tidak sama dengan penjumlahan logaritma.

Selama berabad-abad, operasi pencarian logaritma merupakan tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat melelahkan dan ketika memecahkan masalah praktis sulit diimplementasikan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat keseluruhan pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan menggunakan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain mana pun. Insinyur lama untuk tujuan ini, yang disebut kertas grafik digunakan.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama kali muncul, yaitu untuk Abad XIX memperoleh tampilan selesai. Perangkat paling sukses disebut mistar hitung. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang mengenal perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuat tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.

Persamaan dan ketidaksetaraan

Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:

Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk mengatasi ketidaksetaraan, penting untuk mengetahui:

Nilai logaritma hanya akan bernilai positif jika basis dan argumen keduanya lebih besar atau lebih kecil dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
Jika fungsi logaritma diterapkan pada ruas kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan memecahkan persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:

Tugas 3. Menghitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut ini (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat dari sebuah angka sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawab: sebagai hasil perhitungan kita dapatkan 9.

Penggunaan praktis

Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari itu kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba menjadi sangat penting dalam mendeskripsikan objek dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu di mana ia tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.

ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh ketergantungan numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang menggunakan metode matematika penelitian dan sekaligus menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.

Dimungkinkan untuk memecahkan masalah penghitungan kuantitas yang kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar untuk teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln(M1/M2), dimana

V adalah kecepatan akhir pesawat.
I adalah impuls spesifik dari mesin.
M 1 adalah massa awal roket.
M 2 - massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan kesetimbangan dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

S adalah properti termodinamika.
k adalah konstanta Boltzmann.
Ω adalah bobot statistik dari berbagai negara bagian.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:

Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengan itu. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas rangsangan dengan nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh-contoh di atas, tidak heran jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.

Daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan mengatur semua hukum. Terutama ketika hukum alam terhubung dengan perkembangan geometris. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang kegiatan berikut: