rumah › Ulasan › Perkalian silang vektor dan vektor itu sendiri. Produk vektor dari vektor diberikan oleh koordinat

Perkalian silang vektor dan vektor itu sendiri. Produk vektor dari vektor diberikan oleh koordinat

Bahasa inggris: Wikipedia membuat situs lebih aman. Anda menggunakan peramban web lama yang tidak akan dapat tersambung ke Wikipedia di masa mendatang. Perbarui perangkat Anda atau hubungi administrator TI Anda.

中文: 维基百科正在使网站更加安全您正在使用旧的浏览器，在在将来将来维基百科。更新您的设备或联络您管理员。英语英语，，，，具具的的的，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， Kembali ke atas

Espanol: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Kami menggunakan tampilan web navegador yang tidak dapat menghubungkan Wikipedia di masa mendatang. Aktifkan perangkat Anda atau hubungi administrator informasi Anda. Lebih dari itu, ada aktualisasi lebih besar dan lebih teknis dalam bahasa Inggris.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia akan menambah keamanan situs anak. Anda menggunakan navigasi web lama, yang tidak dapat Anda gunakan untuk terhubung ke Wikipédia jika memang benar. Merci de mettre at your day appareil or de contacter your administrateur information in cette fin. Informasi pelengkap plus teknik dan bahasa Inggris tersedia dengan mudah.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めてます。ご利用のブラウザははバージョンが古く、ウィキペディアウィキペディアに接続なくなる性がありの詳しい詳しい、管理管理管理管理管理者管理管理者詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理管理者者者詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい詳しい HIP 情報は以下に英語で提供しています。

Jerman: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Anda benar-benar tidak tahu apa-apa tentang browser Web, di Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Sedikit aktualisasi dari Gerät atau sprich deinen IT-Administrator dan. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise menemukan Anda sebelum di englischer Sprache.

Italia: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Tetap menggunakan web browser yang tidak sama secara bertahap untuk terhubung ke Wikipedia di masa mendatang. Untuk favorit, tambahkan perangkat Anda atau kontak ke komputer mini Anda. Selain itu, bass juga menyediakan aggiornamento lebih dettagliato dan teknik dalam bahasa Inggris.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes capcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Swedia: Wikipedia mencari tahu lebih banyak. Anda menjelajahi beberapa webbläsare beberapa orang awam di Wikipedia sederhana dan framtiden. Memperbarui atau menghubungi administrator TI. Mereka mencari tahu lebih banyak dan secara teknis mencari tahu lebih banyak tentang hal itu.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Kami menghapus dukungan untuk versi protokol TLS yang tidak aman, khususnya TLSv1.0 dan TLSv1.1, yang diandalkan perangkat lunak browser Anda untuk terhubung ke situs kami. Ini biasanya disebabkan oleh browser yang sudah ketinggalan zaman, atau smartphone Android yang lebih lama. Atau bisa jadi gangguan dari perangkat lunak "Keamanan Web" perusahaan atau pribadi, yang sebenarnya menurunkan keamanan koneksi.

Anda harus memutakhirkan browser web Anda atau memperbaiki masalah ini untuk mengakses situs kami. Pesan ini akan tersimpan hingga 1 Jan 2020. Setelah tanggal tersebut, browser Anda tidak akan dapat membuat sambungan ke server kami.

Definisi. Hasil kali vektor dari vektor a (pengganda) dengan vektor (pengganda) yang tidak segaris dengannya adalah vektor ketiga c (hasil kali), yang disusun sebagai berikut:

1) modulusnya secara numerik sama dengan luas jajaran genjang pada gambar. 155), dibangun di atas vektor, yaitu sama dengan arah tegak lurus terhadap bidang jajaran genjang yang disebutkan;

3) dalam hal ini, arah vektor c dipilih (dari dua kemungkinan) sehingga vektor c membentuk sistem tangan kanan (§ 110).

Penunjukan: atau

Tambahan untuk definisi. Jika vektornya kolinear, maka dengan mempertimbangkan gambar tersebut sebagai jajaran genjang (bersyarat), wajar untuk menetapkan area nol. Itu sebabnya produk vektor vektor collinear dianggap sama dengan vektor nol.

Karena vektor nol dapat ditetapkan ke segala arah, konvensi ini tidak bertentangan dengan butir 2 dan 3 dari definisi.

Catatan 1. Dalam istilah "perkalian vektor", kata pertama menunjukkan bahwa hasil suatu tindakan adalah vektor (berlawanan dengan perkalian skalar; bandingkan § 104, catatan 1).

Contoh 1. Temukan produk vektor di mana vektor utama dari sistem koordinat yang benar (Gbr. 156).

1. Karena panjang vektor utama sama dengan satuan skala, luas jajaran genjang (persegi) secara numerik sama dengan satu. Oleh karena itu, modulus produk vektor sama dengan satu.

2. Karena tegak lurus terhadap bidang adalah sumbu, produk vektor yang diinginkan adalah kolinear vektor terhadap vektor k; dan karena keduanya memiliki modulus 1, perkalian silang yang diperlukan adalah k atau -k.

3. Dari dua kemungkinan vektor ini, yang pertama harus dipilih, karena vektor k membentuk sistem kanan (dan vektor membentuk sistem kiri).

Contoh 2. Temukan perkalian silang

Larutan. Seperti pada contoh 1, kita simpulkan bahwa vektornya adalah k atau -k. Tapi sekarang kita perlu memilih -k, karena vektor membentuk sistem kanan (dan vektor membentuk kiri). Jadi,

Contoh 3 Vektor masing-masing memiliki panjang 80 dan 50 cm, dan membentuk sudut 30°. Ambil satu meter sebagai satuan panjang, tentukan panjang perkalian vektor a

Larutan. Luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan Panjang produk vektor yang diinginkan sama dengan

Contoh 4. Temukan panjang perkalian silang dari vektor yang sama, ambil satu sentimeter sebagai satuan panjang.

Larutan. Karena luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan panjang perkalian vektor adalah 2000 cm, yaitu.

Perbandingan contoh 3 dan 4 menunjukkan bahwa panjang vektor tidak hanya bergantung pada panjang faktor, tetapi juga pada pemilihan satuan panjang.

Arti fisik dari produk vektor. Dari sekian banyak besaran fisis yang diwakili oleh perkalian vektor, kita hanya akan membahas momen gaya.

Biarkan A menjadi titik penerapan gaya. Momen gaya relatif terhadap titik O disebut hasil kali vektor. Karena modul hasil kali vektor ini secara numerik sama dengan luas jajaran genjang (Gbr. 157), modul momen sama dengan hasil kali alas dengan tinggi, yaitu gaya dikalikan dengan jarak dari titik O ke garis lurus sepanjang gaya bekerja.

Dalam mekanika, terbukti bahwa untuk kesetimbangan benda tegar, tidak hanya jumlah vektor yang mewakili gaya yang diterapkan pada benda, tetapi juga jumlah momen gaya harus sama dengan nol. Dalam kasus ketika semua gaya sejajar dengan bidang yang sama, penambahan vektor yang mewakili momen dapat diganti dengan penambahan dan pengurangan modulusnya. Tetapi untuk arah kekuatan yang sewenang-wenang, penggantian seperti itu tidak mungkin dilakukan. Sesuai dengan ini, perkalian silang didefinisikan secara tepat sebagai vektor, dan bukan sebagai angka.

Itu kalkulator daring menghitung perkalian silang vektor. Solusi terperinci diberikan. Untuk menghitung perkalian silang vektor, masukkan koordinat vektor ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), angka desimal (mis. 67., 102,54, dst.) atau pecahan. Pecahan harus diketik dalam bentuk a/b, di mana a dan b (b>0) bilangan bulat atau desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dll.

Perkalian silang vektor

Sebelum melanjutkan ke definisi produk vektor dari vektor, pertimbangkan konsepnya rangkap tiga vektor, rangkap tiga vektor kiri, rangkap tiga vektor kanan.

Definisi 1. Tiga vektor disebut memesan tiga kali lipat(atau tiga kali lipat) jika ditunjukkan vektor mana yang pertama, mana yang kedua dan mana yang ketiga.

Rekaman cba- artinya - yang pertama adalah vektor C, yang kedua adalah vektor B dan yang ketiga adalah vektor A.

Definisi 2. Triple dari vektor non-coplanar abc disebut kanan (kiri) jika, ketika direduksi menjadi awal yang sama, vektor-vektor ini disusun karena masing-masing besar, indeks tidak bengkok dan jari tengah tangan kanan (kiri).

Definisi 2 dapat dirumuskan dengan cara lain.

Definisi 2. Triple dari vektor non-coplanar abc disebut kanan (kiri) jika, ketika direduksi menjadi asal yang sama, vektornya C terletak di sisi lain bidang yang ditentukan oleh vektor A Dan B, dari mana belokan terpendek A Ke B dilakukan berlawanan arah jarum jam (clockwise).

Trio vektor abc ditunjukkan pada gambar. 1 benar dan tiga kali lipat abc ditunjukkan pada gambar. 2 tersisa.

Jika dua kali lipat vektor adalah kanan atau kiri, maka dikatakan memiliki orientasi yang sama. Kalau tidak, mereka dikatakan memiliki orientasi yang berlawanan.

Definisi 3. Suatu sistem koordinat kartesius atau affine disebut kanan (kiri) jika tiga vektor basisnya membentuk tripel kanan (kiri).

Untuk kepastian, berikut ini kami hanya akan mempertimbangkan sistem koordinat tangan kanan.

Definisi 4. seni vektor vektor A per vektor B disebut vektor Dengan, dilambangkan dengan simbol c=[ab] (atau c=[a,b], atau c=a×b) dan memenuhi tiga persyaratan berikut:

panjang vektor Dengan sama dengan perkalian panjang vektor A Dan B terhadap sinus sudut φ diantara mereka:

|C|=|[ab]|=|A||B|sinφ;

(1)

vektor Dengan ortogonal untuk masing-masing vektor A Dan B;
vektor C diarahkan agar ketiganya abc benar.

Produk silang vektor memiliki sifat-sifat berikut:

[ab]=−[ba] (antipermutabilitas faktor);
[(λa)B]=λ [ab] (kesesuaian relatif terhadap faktor numerik);
[(a+b)C]=[AC]+[BC] (distribusi relatif terhadap jumlah vektor);
[A A]=0 untuk sembarang vektor A.

Sifat geometris hasil kali silang vektor

Teorema 1 Agar dua vektor menjadi kolinear, perlu dan cukup bahwa perkalian vektornya sama dengan nol.

Bukti. Kebutuhan. Biarkan vektor A Dan B collinear. Maka sudut antara mereka adalah 0 atau 180° dan sinφ=sin180=dosa 0=0. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan ekspresi akun (1), panjang vektor C sama dengan nol. Kemudian C vektor nol.

Kecukupan. Membiarkan hasil kali silang vektor A Dan B nav ke nol: [ ab]=0. Mari kita buktikan bahwa vektor A Dan B collinear. Jika setidaknya salah satu vektor A Dan B nol, maka vektor ini adalah kolinear (karena vektor nol memiliki arah yang tidak terbatas dan dapat dianggap kolinear dengan vektor apa pun).

Jika kedua vektor A Dan B bukan nol, lalu | A|>0, |B|>0. Kemudian dari [ ab]=0 dan dari (1) berikut ini sinφ=0. Oleh karena itu vektor A Dan B collinear.

Teorema telah terbukti.

Teorema 2. Panjang (modulus) perkalian vektor [ ab] sama dengan luasnya S jajaran genjang dibangun di atas vektor yang direduksi menjadi asal yang sama A Dan B.

Bukti. Seperti yang Anda ketahui, luas jajaran genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dari jajaran genjang ini dan sinus sudut di antara keduanya. Karena itu:

Maka produk silang dari vektor-vektor ini memiliki bentuk:

Memperluas determinan pada elemen baris pertama, kita mendapatkan dekomposisi vektor a×b dasar saya, j, k, yang setara dengan rumus (3).

Bukti Teorema 3. Susun semua kemungkinan pasangan vektor basis saya, j, k dan menghitung produk vektor mereka. Perlu diperhatikan bahwa vektor-vektor basis saling ortogonal, membentuk rangkap tiga siku-siku, dan memiliki panjang satuan (dengan kata lain, kita dapat mengasumsikan bahwa Saya={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Kemudian kita memiliki:

Dari persamaan dan hubungan terakhir (4), kami memperoleh:

Susun matriks 3×3, baris pertama yang merupakan vektor basis saya, j, k, dan baris yang tersisa diisi dengan elemen vektor A Dan B.

Sebelum memberikan konsep perkalian vektor, mari kita beralih ke pertanyaan tentang orientasi rangkap tiga vektor a → , b → , c → dalam ruang tiga dimensi.

Untuk memulainya, mari kita sisihkan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi triple a → , b → , c → kanan atau kiri, tergantung arah vektor c → . Dari arah belokan terpendek dibuat dari vektor a → ke b → dari ujung vektor c → , bentuk triple a → , b → , c → akan ditentukan.

Jika rotasi terpendek berlawanan arah jarum jam, maka tripel vektor a → , b → , c → disebut Kanan jika searah jarum jam - kiri.

Selanjutnya, ambil dua vektor non-collinear a → dan b → . Mari kita tunda vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari kita buat vektor A D → = c → , yang secara bersamaan tegak lurus terhadap A B → dan A C → . Jadi, ketika membangun vektor A D → = c →, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Trio vektor terurut a → , b → , c → dapat, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri tergantung pada arah vektor.

Dari penjelasan di atas, kita dapat memperkenalkan definisi perkalian vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Produk vektor dari dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi sedemikian rupa sehingga:

jika vektor a → dan b → kolinear, maka akan menjadi nol;
itu akan tegak lurus dengan vektor a → dan vektor b → yaitu ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
panjangnya ditentukan dengan rumus: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
triplet vektor a → , b → , c → memiliki orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

Perkalian silang vektor a → dan b → memiliki notasi berikut: a → × b → .

Koordinat lintas produk

Karena setiap vektor memiliki koordinat tertentu dalam sistem koordinat, definisi kedua dari produk vektor dapat diperkenalkan, yang memungkinkan Anda menemukan koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi perkalian vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) panggil vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → adalah vektor koordinat.

Perkalian vektor dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks bujur sangkar orde ketiga, dimana baris pertama adalah vektor orta i → , j → , k → , baris kedua berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga adalah koordinat vektor b → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, determinan matriks ini terlihat seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas determinan ini atas elemen-elemen dari baris pertama, kita memperoleh persamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Properti lintas produk

Diketahui hasil kali vektor dalam koordinat direpresentasikan sebagai determinan dari matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kemudian di alas sifat penentu matriks pengikut properti produk vektor:

antikomutasi a → × b → = - b → × a → ;
distributivitas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asosiatif λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b → , di mana λ adalah bilangan real arbitrer.

Properti ini tidak memiliki bukti yang rumit.

Sebagai contoh, kita dapat membuktikan sifat antikomutatifitas dari perkalian vektor.

Bukti antikomutatif

Menurut definisi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks dipertukarkan, maka nilai determinan matriks harus berubah menjadi kebalikannya, oleh karena itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang membuktikan antikomutatif produk vektor.

Produk Vektor - Contoh dan Solusi

Dalam kebanyakan kasus, ada tiga jenis tugas.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya biasanya diberikan, tetapi Anda perlu mencari panjang perkalian silang. Dalam hal ini, gunakan rumus berikut c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Tentukan panjang perkalian silang vektor a → dan b → jika a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 diketahui.

Larutan

Menggunakan definisi panjang perkalian vektor dari vektor a → dan b →, kita selesaikan soal ini: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Menjawab: 15 2 2 .

Tugas tipe kedua memiliki koneksi dengan koordinat vektor, berisi produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui vektor yang diberikan a → = (a x ; a y ; a z) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis tugas ini, Anda dapat menyelesaikan banyak opsi untuk tugas. Misalnya, bukan koordinat vektor a → dan b → , tetapi perluasannya dalam vektor koordinat dalam bentuk b → = b x i → + b y j → + b z k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , atau vektor a → dan b → dapat diberikan oleh koordinatnya titik awal dan titik akhir.

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 2

Dua vektor diatur dalam sistem koordinat persegi panjang a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Temukan produk vektor mereka.

Larutan

Menurut definisi kedua, kita menemukan produk vektor dari dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2rb → .

Jika kita menulis perkalian silang dalam determinan matriks, maka solusinya contoh ini terlihat seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Menjawab: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Tentukan panjang perkalian silang vektor i → - j → dan i → + j → + k → , dimana i → , j → , k → - orts dari sistem koordinat Kartesius persegi panjang.

Larutan

Pertama, mari kita cari koordinat hasil perkalian vektor i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan.

Diketahui bahwa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing memiliki koordinat (1 ; - 1 ; 0) dan (1 ; 1 ; 1). Carilah panjang perkalian vektor menggunakan determinan matriks, maka kita memiliki i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh karena itu, perkalian vektor i → - j → × i → + j → + k → memiliki koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami menemukan panjang produk vektor dengan rumus (lihat bagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Menjawab: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Koordinat tiga titik A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) diberikan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus terhadap A B → dan A C → secara bersamaan.

Larutan

Vektor A B → dan A C → masing-masing memiliki koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemukan produk vektor dari vektor A B → dan A C → , jelas bahwa itu adalah vektor tegak lurus menurut definisi untuk A B → dan A C → , yaitu solusi untuk masalah kita. Carilah A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Menjawab: - 6 i → + j → - 4 k → . adalah salah satu vektor tegak lurus.

Masalah tipe ketiga difokuskan pada penggunaan sifat-sifat produk vektor dari vektor. Setelah menerapkan yang mana, kami akan mendapatkan solusi untuk masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Carilah panjang perkalian silang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Larutan

Dengan sifat distributivitas hasil kali vektor, kita dapat menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Berdasarkan sifat asosiatif, kami mengeluarkan koefisien numerik di luar tanda produk vektor pada ekspresi terakhir: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Perkalian vektor a → × a → dan b → × b → sama dengan 0, karena a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dan b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , lalu 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dari anticommutativity produk vektor berikut - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat perkalian vektor, kita memperoleh persamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Dengan syarat, vektor a → dan b → tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan π 2 . Sekarang tinggal mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Menjawab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Panjang perkalian silang vektor menurut definisi adalah a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Karena sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahwa luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisinya dikalikan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan luas jajaran genjang - segitiga berlipat ganda, yaitu hasil kali sisi-sisinya berupa vektor a → dan b → , dipisahkan dari satu titik, oleh sinus sudut antara mereka sin ∠ a → , b → .

Ini adalah arti geometris dari perkalian vektor.

Arti fisik dari produk vektor

Dalam mekanika, salah satu cabang fisika, berkat perkalian vektor, Anda dapat menentukan momen gaya relatif terhadap suatu titik di ruang angkasa.

Definisi 3

Di bawah momen gaya F → , diterapkan ke titik B , relatif terhadap titik A kita akan memahami produk vektor berikut A B → × F → .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Properti produk titik

Produk titik vektor, definisi, properti

Operasi linier pada vektor.

Vektor, konsep dasar, definisi, operasi linier pada mereka

Vektor pada bidang adalah pasangan terurut dari titik-titiknya, sedangkan titik pertama disebut awal, dan titik kedua disebut akhir - vektor

Dua vektor disebut sama jika keduanya sama dan searah.

Vektor yang terletak pada garis yang sama disebut codirectional jika mereka codirectional dengan beberapa vektor yang sama yang tidak terletak pada garis ini.

Vektor yang terletak pada garis yang sama atau pada garis paralel disebut collinear, dan collinear tetapi tidak codirectional disebut berlawanan arah.

Vektor yang terletak pada garis tegak lurus disebut ortogonal.

Definisi 5.4. jumlah a+b vektor A Dan B disebut vektor yang berasal dari awal vektor A sampai akhir vektor B , jika awal vektor B bertepatan dengan akhir vektor A .

Definisi 5.5. perbedaan a - b vektor A Dan B vektor seperti itu disebut Dengan , yang bersama-sama dengan vektor B memberikan vektor A .

Definisi 5.6. bekerjak A vektor A per nomor k disebut vektor B , vektor kolinear A , yang memiliki modul sama dengan | k||A |, dan arah yang sama dengan arah A pada k> 0 dan sebaliknya A pada k<0.

Properti perkalian vektor dengan angka:

Properti 1. k(a+b ) = k A+ k B.

Properti 2. (k+m)A = k A+ m A.

Properti 3. k(m A) = (km)A .

Konsekuensi. Jika vektor bukan nol A Dan B adalah collinear, maka ada nomor k, Apa b= k A.

Produk skalar dari dua vektor bukan nol A Dan B disebut angka (skalar) sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut φ di antara mereka. Produk skalar dapat dinyatakan dalam berbagai cara, misalnya sebagai ab, A · B, (A , B), (A · B). Jadi perkalian titiknya adalah:

A · B = |A| · | B| cos φ

Jika setidaknya salah satu vektor sama dengan nol, maka produk skalarnya sama dengan nol.

Properti permutasi: A · B = B · A(kali skalar tidak berubah dari permutasi faktor);

properti distribusi: A · ( B · C) = (A · B) · C(hasilnya tidak bergantung pada urutan perkalian);

Properti kombinasi (dalam kaitannya dengan faktor skalar): (λ A) · B = λ ( A · B).

Properti ortogonalitas (tegak lurus): jika vektor A Dan B bukan nol, maka perkalian titiknya adalah nol hanya jika vektor-vektor ini ortogonal (tegak lurus satu sama lain) A ┴ B;

Properti persegi: A · A = A 2 = |A| 2 (produk skalar vektor dengan dirinya sendiri sama dengan kuadrat modulusnya);

Jika koordinat vektor A=(x 1 , y 1 , z 1 ) dan B=(x 2 , y 2 , z 2 ), maka perkalian skalarnya adalah A · B= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vektor memegang vektor. Definisi: Produk vektor dari dua vektor dan dipahami sebagai vektor yang:

Modulnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, mis. , dimana adalah sudut antara vektor dan

Vektor ini tegak lurus dengan vektor yang dikalikan, mis.

Jika vektor non-kolinear, maka mereka membentuk tiga vektor kanan.

Properti lintas produk:

1. Ketika urutan faktor diubah, perkalian vektor mengubah tandanya menjadi kebalikannya, dengan mempertahankan modul, mis.

2 .Vektor kuadrat sama dengan nol-vektor, mis.

3 .Faktor skalar dapat dikeluarkan dari tanda produk vektor, yaitu

4 .Untuk tiga vektor, persamaan

5 .Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk kolinearitas dua vektor dan :