Produk vektor dari vektor i j k. Produk vektor dari vektor diberikan oleh koordinat

Sebelum memberikan konsep perkalian vektor, mari kita beralih ke pertanyaan tentang orientasi rangkap tiga vektor a → , b → , c → dalam ruang tiga dimensi.

Untuk memulainya, mari kita sisihkan vektor a → , b → , c → dari satu titik. Orientasi triple a → , b → , c → kanan atau kiri, tergantung arah vektor c → . Dari arah belokan terpendek dibuat dari vektor a → ke b → dari ujung vektor c → , bentuk triple a → , b → , c → akan ditentukan.

Jika rotasi terpendek berlawanan arah jarum jam, maka tripel vektor a → , b → , c → disebut Kanan jika searah jarum jam - kiri.

Selanjutnya, ambil dua vektor non-collinear a → dan b → . Mari kita tunda vektor A B → = a → dan A C → = b → dari titik A. Mari kita buat vektor A D → = c → , yang secara bersamaan tegak lurus terhadap A B → dan A C → . Jadi, ketika membangun vektor A D → = c →, kita dapat melakukan dua hal, memberikannya satu arah atau sebaliknya (lihat ilustrasi).

Trio vektor terurut a → , b → , c → dapat, seperti yang kita ketahui, kanan atau kiri tergantung pada arah vektor.

Dari penjelasan di atas, kita dapat memperkenalkan definisi perkalian vektor. Definisi ini diberikan untuk dua vektor yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Produk vektor dari dua vektor a → dan b → kita akan memanggil vektor yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi sedemikian rupa sehingga:

• jika vektor a → dan b → kolinear, maka akan menjadi nol;
• itu akan tegak lurus dengan vektor a →​​ dan vektor b → yaitu ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• panjangnya ditentukan dengan rumus: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet vektor a → , b → , c → memiliki orientasi yang sama dengan sistem koordinat yang diberikan.

produk vektor vektor a → dan b → memiliki notasi berikut: a → × b → .

Koordinat lintas produk

Karena setiap vektor memiliki koordinat tertentu dalam sistem koordinat, definisi kedua dari produk vektor dapat diperkenalkan, yang memungkinkan Anda menemukan koordinatnya dari koordinat vektor yang diberikan.

Definisi 2

Dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi perkalian vektor dua vektor a → = (a x ; a y ; a z) dan b → = (b x ; b y ; b z) panggil vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , di mana i → , j → , k → adalah vektor koordinat.

Perkalian vektor dapat direpresentasikan sebagai determinan matriks bujur sangkar orde ketiga, dimana baris pertama adalah vektor orta i → , j → , k → , baris kedua berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga berisi koordinat vektor a → , dan baris ketiga adalah koordinat vektor b → dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu, determinan matriks ini terlihat seperti ini: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Memperluas determinan ini atas elemen-elemen dari baris pertama, kita memperoleh persamaan: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Properti lintas produk

Diketahui hasil kali vektor dalam koordinat direpresentasikan sebagai determinan dari matriks c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kemudian di alas sifat penentu matriks pengikut properti produk vektor:

1. antikomutasi a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → atau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asosiatif λ a → × b → = λ a → × b → atau a → × (λ b →) = λ a → × b → , di mana λ adalah bilangan real arbitrer.

Properti ini tidak memiliki bukti yang rumit.

Sebagai contoh, kita dapat membuktikan sifat antikomutatifitas dari perkalian vektor.

Bukti antikomutatif

Menurut definisi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Dan jika dua baris matriks dipertukarkan, maka nilai determinan matriks harus berubah menjadi kebalikannya, oleh karena itu, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , yang membuktikan antikomutatifitas produk vektor.

Produk Vektor - Contoh dan Solusi

Dalam kebanyakan kasus, ada tiga jenis tugas.

Dalam soal tipe pertama, panjang dua vektor dan sudut di antara keduanya biasanya diberikan, tetapi Anda perlu mencari panjang perkalian silang. Dalam hal ini, gunakan rumus berikut c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Contoh 1

Tentukan panjang perkalian silang vektor a → dan b → jika a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 diketahui.

Larutan

Menggunakan definisi panjang perkalian vektor dari vektor a → dan b →, kita selesaikan soal ini: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Menjawab: 15 2 2 .

Tugas tipe kedua memiliki koneksi dengan koordinat vektor, berisi produk vektor, panjangnya, dll. dicari melalui koordinat yang diketahui dari vektor yang diberikan a → = (a x ; a y ; a z) Dan b → = (b x ; b y ; b z) .

Untuk jenis tugas ini, Anda dapat menyelesaikan banyak opsi untuk tugas. Misalnya, bukan koordinat vektor a → dan b → , tetapi perluasannya dalam vektor koordinat dalam bentuk b → = b x i → + b y j → + b z k → dan c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , atau vektor a → dan b → dapat diberikan oleh koordinatnya titik awal dan titik akhir.

Perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 2

Dua vektor diatur dalam sistem koordinat persegi panjang a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Temukan produk vektor mereka.

Larutan

Menurut definisi kedua, kita menemukan produk vektor dari dua vektor dalam koordinat yang diberikan: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jika kita menulis perkalian silang dalam determinan matriks, maka solusinya contoh ini terlihat seperti ini: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Menjawab: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Contoh 3

Tentukan panjang perkalian silang vektor i → - j → dan i → + j → + k → , dimana i → , j → , k → - orts dari sistem koordinat Kartesius persegi panjang.

Larutan

Pertama, mari kita cari koordinat hasil perkalian vektor i → - j → × i → + j → + k → dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan.

Diketahui bahwa vektor i → - j → dan i → + j → + k → masing-masing memiliki koordinat (1 ; - 1 ; 0) dan (1 ; 1 ; 1). Carilah panjang perkalian vektor menggunakan determinan matriks, maka kita memiliki i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Oleh karena itu, perkalian vektor i → - j → × i → + j → + k → memiliki koordinat (- 1 ; - 1 ; 2) dalam sistem koordinat yang diberikan.

Kami menemukan panjang produk vektor dengan rumus (lihat bagian mencari panjang vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Menjawab: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Contoh 4

Koordinat tiga titik A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) diberikan dalam sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Temukan beberapa vektor yang tegak lurus terhadap A B → dan A C → secara bersamaan.

Larutan

Vektor A B → dan A C → masing-masing memiliki koordinat berikut (- 1 ; 2 ; 2) dan (0 ; 4 ; 1). Setelah menemukan produk vektor dari vektor A B → dan A C → , jelas bahwa itu adalah vektor tegak lurus menurut definisi untuk A B → dan A C → , yaitu solusi untuk masalah kita. Carilah A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Menjawab: - 6 i → + j → - 4 k → . adalah salah satu vektor tegak lurus.

Masalah tipe ketiga difokuskan pada penggunaan sifat-sifat produk vektor dari vektor. Setelah menerapkan yang mana, kami akan mendapatkan solusi untuk masalah yang diberikan.

Contoh 5

Vektor a → dan b → tegak lurus dan panjangnya masing-masing 3 dan 4. Carilah panjang perkalian silang 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Larutan

Dengan sifat distributivitas hasil kali vektor, kita dapat menulis 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Berdasarkan sifat asosiatif, kami mengeluarkan koefisien numerik di luar tanda produk vektor pada ekspresi terakhir: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Perkalian vektor a → × a → dan b → × b → sama dengan 0, karena a → × a → = a → a → sin 0 = 0 dan b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , lalu 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dari anticommutativity produk vektor berikut - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Dengan menggunakan sifat perkalian vektor, kita memperoleh persamaan 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Dengan syarat, vektor a → dan b → tegak lurus, yaitu sudut antara keduanya sama dengan π 2 . Sekarang tinggal mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus yang sesuai: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Menjawab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Panjang perkalian silang vektor menurut definisi adalah a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Karena sudah diketahui (dari kursus sekolah) bahwa luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang kedua sisinya dikalikan dengan sinus sudut antara sisi-sisi tersebut. Oleh karena itu, panjang hasil kali vektor sama dengan luas jajaran genjang - segitiga berlipat ganda, yaitu hasil kali sisi-sisinya berupa vektor a → dan b → , dipisahkan dari satu titik, oleh sinus sudut antara mereka sin ∠ a → , b → .

Ini adalah arti geometris dari perkalian vektor.

Arti fisik dari produk vektor

Dalam mekanika, salah satu cabang fisika, berkat perkalian vektor, Anda dapat menentukan momen gaya relatif terhadap suatu titik di ruang angkasa.

Definisi 3

Di bawah momen gaya F → , diterapkan ke titik B , relatif terhadap titik A kita akan memahami produk vektor berikut A B → × F → .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter

Itu kalkulator daring menghitung perkalian silang vektor. Solusi terperinci diberikan. Untuk menghitung perkalian silang vektor, masukkan koordinat vektor ke dalam sel dan klik tombol "Hitung".

×

Peringatan

Hapus semua sel?

Tutup Hapus

instruksi entri data. Angka dimasukkan sebagai bilangan bulat (contoh: 487, 5, -7623, dst.), angka desimal (mis. 67., 102,54, dst.) atau pecahan. Pecahan harus diketik dalam bentuk a/b, di mana a dan b (b>0) bilangan bulat atau desimal. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dll.

Perkalian silang vektor

Sebelum melanjutkan ke definisi produk vektor dari vektor, pertimbangkan konsepnya rangkap tiga vektor, rangkap tiga vektor kiri, rangkap tiga vektor kanan.

Definisi 1. Tiga vektor disebut memesan tiga kali lipat(atau tiga kali lipat) jika ditunjukkan vektor mana yang pertama, mana yang kedua dan mana yang ketiga.

Rekaman cba- artinya - yang pertama adalah vektor C, yang kedua adalah vektor B dan yang ketiga adalah vektor A.

Definisi 2. Triple dari vektor non-coplanar abc disebut kanan (kiri) jika, ketika direduksi menjadi awal yang sama, vektor-vektor ini disusun karena masing-masing besar, indeks tidak bengkok dan jari tengah tangan kanan (kiri).

Definisi 2 dapat dirumuskan dengan cara lain.

Definisi 2. Triple dari vektor non-coplanar abc disebut kanan (kiri) jika, ketika direduksi menjadi asal yang sama, vektornya C terletak di sisi lain bidang yang ditentukan oleh vektor A Dan B, dari mana belokan terpendek A Ke B dilakukan berlawanan arah jarum jam (clockwise).

Trio vektor abc ditunjukkan pada gambar. 1 benar dan tiga kali lipat abc ditunjukkan pada gambar. 2 tersisa.

Jika dua kali lipat vektor adalah kanan atau kiri, maka dikatakan memiliki orientasi yang sama. Kalau tidak, mereka dikatakan memiliki orientasi yang berlawanan.

Definisi 3. Suatu sistem koordinat kartesius atau affine disebut kanan (kiri) jika tiga vektor basisnya membentuk tripel kanan (kiri).

Untuk kepastian, berikut ini kami hanya akan mempertimbangkan sistem koordinat tangan kanan.

Definisi 4. seni vektor vektor A per vektor B disebut vektor Dengan, dilambangkan dengan simbol c=[ab] (atau c=[a,b], atau c=a×b) dan memenuhi tiga persyaratan berikut:

• panjang vektor Dengan sama dengan perkalian panjang vektor A Dan B terhadap sinus sudut φ diantara mereka:

|C|=|[ab]|=|A||B|sinφ;

(1)

• vektor Dengan ortogonal untuk masing-masing vektor A Dan B;
• vektor C diarahkan agar ketiganya abc benar.

Produk silang vektor memiliki sifat-sifat berikut:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilitas faktor);
• [(λa)B]=λ [ab] (kesesuaian relatif terhadap faktor numerik);
• [(a+b)C]=[AC]+[BC] (distribusi relatif terhadap jumlah vektor);
• [A A]=0 untuk sembarang vektor A.

Sifat geometris hasil kali silang vektor

Teorema 1 Agar dua vektor menjadi kolinear, perlu dan cukup bahwa perkalian vektornya sama dengan nol.

Bukti. Kebutuhan. Biarkan vektor A Dan B collinear. Maka sudut antara mereka adalah 0 atau 180° dan sinφ=sin180=dosa 0=0. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan ekspresi akun (1), panjang vektor C sama dengan nol. Kemudian C vektor nol.

Kecukupan. Membiarkan hasil kali silang vektor A Dan B nav ke nol: [ ab]=0. Mari kita buktikan bahwa vektor A Dan B collinear. Jika setidaknya salah satu vektor A Dan B nol, maka vektor ini adalah kolinear (karena vektor nol memiliki arah yang tidak terbatas dan dapat dianggap kolinear dengan vektor apa pun).

Jika kedua vektor A Dan B bukan nol, lalu | A|>0, |B|>0. Kemudian dari [ ab]=0 dan dari (1) berikut ini sinφ=0. Oleh karena itu vektor A Dan B collinear.

Teorema telah terbukti.

Teorema 2. Panjang (modulus) perkalian vektor [ ab] sama dengan luasnya S jajaran genjang dibangun di atas vektor yang direduksi menjadi asal yang sama A Dan B.

Bukti. Seperti yang Anda ketahui, luas jajaran genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dari jajaran genjang ini dan sinus sudut di antara keduanya. Karena itu:

Maka produk silang dari vektor-vektor ini memiliki bentuk:

Memperluas determinan pada elemen baris pertama, kita mendapatkan dekomposisi vektor a×b dasar saya, j, k, yang setara dengan rumus (3).

Bukti Teorema 3. Susun semua kemungkinan pasangan vektor basis saya, j, k dan menghitung produk vektor mereka. Perlu diperhatikan bahwa vektor-vektor basis saling ortogonal, membentuk rangkap tiga siku-siku, dan memiliki panjang satuan (dengan kata lain, kita dapat mengasumsikan bahwa Saya={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Kemudian kita memiliki:

Dari persamaan dan hubungan terakhir (4), kami memperoleh:

Susun matriks 3×3, baris pertama yang merupakan vektor basis saya, j, k, dan baris yang tersisa diisi dengan elemen vektor A Dan B:

Jadi, hasil perkalian silang vektor A Dan B menjadi vektor:

.

Contoh 2. Temukan perkalian silang dari vektor [ ab], di mana vektor A diwakili oleh dua titik. Titik awal vektor a: , titik akhir vektor A: , vektor B memiliki bentuk .

Solusi Pindahkan vektor pertama ke titik asal. Untuk melakukan ini, kurangi koordinat titik akhir yang sesuai dengan koordinat titik awal:

Kami menghitung determinan matriks ini dengan memperluasnya di baris pertama. Sebagai hasil dari perhitungan ini, kami memperoleh perkalian vektor dari vektor A Dan B.

produk vektor adalah vektor semu yang tegak lurus terhadap bidang yang dibangun oleh dua faktor, yang merupakan hasil operasi biner "perkalian vektor" pada vektor dalam ruang Euclidean tiga dimensi. Perkalian vektor tidak memiliki sifat komutatif dan asosiatif (ini antikomutatif) dan, tidak seperti produk skalar vektor, adalah vektor. Banyak digunakan dalam banyak aplikasi teknis dan fisik. Sebagai contoh, momentum sudut dan gaya Lorentz secara matematis ditulis sebagai perkalian silang. Hasil kali silang berguna untuk "mengukur" tegak lurus vektor - modulus hasil kali silang dua vektor sama dengan hasil kali modulusnya jika tegak lurus, dan berkurang menjadi nol jika vektornya paralel atau anti-paralel.

Anda dapat menentukan produk vektor dengan cara yang berbeda, dan secara teoritis, dalam ruang dengan dimensi n apa pun, Anda dapat menghitung produk dari n-1 vektor, sambil mendapatkan satu vektor yang tegak lurus terhadap semuanya. Tetapi jika produk terbatas pada produk biner nontrivial dengan hasil vektor, maka produk vektor tradisional hanya didefinisikan dalam ruang tiga dimensi dan tujuh dimensi. Hasil perkalian vektor, seperti perkalian skalar, bergantung pada metrik ruang Euclidean.

Berbeda dengan rumus untuk menghitung perkalian skalar dari koordinat vektor dalam sistem koordinat persegi panjang tiga dimensi, rumus perkalian vektor bergantung pada orientasi sistem koordinat persegi panjang, atau dengan kata lain, “kiralitasnya”.

Definisi:
Hasil kali vektor dari vektor a dan vektor b dalam ruang R 3 disebut vektor c yang memenuhi persyaratan berikut:
panjang vektor c sama dengan perkalian panjang vektor a dan b dan sinus sudut φ di antaranya:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c adalah ortogonal terhadap masing-masing vektor a dan b;
vektor c diarahkan sehingga tripel vektor abc benar;
dalam kasus ruang R7, asosiatif tripel vektor a,b,c diperlukan.
Penamaan:
c===a×b

Beras. 1. Luas jajaran genjang sama dengan modulus perkalian silang

Sifat geometris dari perkalian silang:
Kondisi perlu dan cukup untuk kolinearitas dua vektor bukan nol adalah persamaan produk vektornya dengan nol.

Modul lintas produk sama dengan luas S jajaran genjang dibangun di atas vektor yang direduksi menjadi asal yang sama A Dan B(lihat gbr. 1).

Jika e- vektor satuan ortogonal ke vektor A Dan B dan dipilih sehingga triple a,b,e- benar, dan S- luas jajaran genjang yang dibangun di atasnya (dikurangi menjadi asal yang sama), maka rumus berikut ini berlaku untuk perkalian vektor:
=S e

Gbr.2. Volume paralelepiped saat menggunakan vektor dan produk skalar vektor; garis titik titik tunjukkan proyeksi vektor c pada a × b dan vektor a pada b × c, langkah pertama adalah mencari hasil kali dalam

Jika C- vektor apapun π - bidang apa pun yang mengandung vektor ini, e- vektor satuan tergeletak di pesawat π dan ortogonal ke c, g- vektor satuan ortogonal ke bidang π dan diarahkan sehingga tripel vektor ekg benar, maka untuk berbaring di pesawat π vektor A rumus yang benar adalah:
=Pr e a |c|g
di mana Pr e a adalah proyeksi vektor e ke a
|c|-modulus vektor c

Saat menggunakan produk vektor dan skalar, Anda dapat menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor yang direduksi menjadi asal yang sama a, b Dan C. Produk tiga vektor seperti itu disebut campuran.
V=|a (b×c)|
Gambar tersebut menunjukkan bahwa volume ini dapat ditemukan dengan dua cara: hasil geometris dipertahankan bahkan ketika produk "skalar" dan "vektor" dipertukarkan:
V=a×b c=a b×c

Nilai perkalian silang bergantung pada sinus sudut antara vektor asli, sehingga perkalian silang dapat dianggap sebagai derajat "tegak lurus" dari vektor, seperti halnya perkalian titik dapat dianggap sebagai derajat "paralelisme". Hasil kali silang dua vektor satuan sama dengan 1 (vektor satuan) jika vektor awalnya tegak lurus, dan sama dengan 0 (vektor nol) jika vektornya sejajar atau antiparalel.

Ekspresi produk silang dalam koordinat Cartesian
Jika dua vektor A Dan B ditentukan oleh koordinat Cartesian persegi panjang mereka, atau lebih tepatnya, mereka diwakili dalam basis ortonormal
a=(a x ,a y ,a z)
b=(bx ,b y ,bz)
dan sistem koordinatnya benar, maka perkalian vektornya berbentuk
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x bz ,a x b y -a y b x)
Untuk mengingat rumus ini:
i =∑ε ijk ajbk
Di mana ε ijk- lambang Levi-Civita.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor Dan hasil kali campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang terjadi untuk kebahagiaan total, sebagai tambahan perkalian titik vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Orang mungkin mendapat kesan bahwa kita sedang memasuki rimba geometri analitik. Ini salah. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, umumnya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinocchio. Faktanya, bahannya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit dari yang sama produk skalar, bahkan akan ada lebih sedikit tugas tipikal. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan dilihat atau dilihat banyak orang, adalah JANGAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat mengenal informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan di kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkannya vektor ruang saja, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara lahirnya tindakan ini - vektor dan produk campuran vektor ditentukan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti pada perkalian skalar, dua vektor. Biarkan itu menjadi surat yang tidak bisa binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada opsi lain, tetapi saya terbiasa menunjuk perkalian silang vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika di perkalian titik vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, pada HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. Dalam berbagai literatur pendidikan notasinya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf.

Definisi perkalian silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang tidak kolinear vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajaran genjang, dibangun di atas vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar basis memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan dengan panah merah, menurut definisi tidak kolinear. Akan tepat untuk mempertimbangkan kasus vektor collinear nanti.

2) Vektor diambil secara ketat urutan tertentu : – "a" dikalikan dengan "be", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dalam urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang panjangnya sama dan berlawanan arah (warna merah tua). Artinya, kesetaraan .

3) Sekarang mari berkenalan dengan arti geometris dari perkalian vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah tua ) secara numerik sama dengan AREA jajaran genjang yang dibangun di atas vektor . Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dengan warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal perkalian silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami mengingat salah satu rumus geometris: luas jajaran genjang sama dengan hasil kali sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antaranya. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG hasil kali vektor adalah valid:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan maknanya sedemikian rupa sehingga dalam soal-soal geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep perkalian vektor:

Kami mendapatkan formula penting kedua. Diagonal jajaran genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga yang sama. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat dicari dengan rumus:

4) Tidak kurang dari fakta penting adalah bahwa vektor adalah ortogonal terhadap vektor , yaitu, . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal dengan vektor aslinya.

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Kanan orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke basis baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi bidang, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan dengan jari Anda tangan kanan. Gabungkan secara mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Sebagai akibat ibu jari- produk vektor akan mencari. Ini adalah dasar yang berorientasi kanan (ada pada gambar). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, akibatnya ibu jari akan berputar, dan perkalian vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tetapkan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, pangkalan ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Ngomong-ngomong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa bagusnya yang sekarang Anda ketahui berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor kolinear

Definisi tersebut telah dikerjakan secara detail, masih harus dicari tahu apa yang terjadi jika vektor-vektornya kolinear. Jika vektornya kolinear, maka vektor tersebut dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kita juga "dilipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti dari rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka Dan . Harap dicatat bahwa perkalian silang itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya hal ini sering diabaikan dan ditulis juga sama dengan nol.

kasus spesial adalah produk silang dari vektor dan vektor itu sendiri:

Dengan menggunakan perkalian silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis, mungkin diperlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita mulai api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang perkalian vektor dari vektor if

b) Temukan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal pada item condition yang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Sesuai dengan kondisinya, diharuskan untuk menemukan panjang vektor (kali vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawabannya kita tunjukkan dimensi - satuan.

b) Sesuai dengan kondisinya, diharuskan untuk menemukan persegi jajaran genjang dibangun di atas vektor . Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang perkalian silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanyai bidang figur, masing-masing, dimensinya adalah satuan kuadrat.

Kami selalu melihat APA yang harus ditemukan oleh kondisi tersebut, dan berdasarkan ini, kami merumuskan jernih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup banyak literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukan nitpick yang tegang - jika jawabannya salah, maka orang mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan / atau tidak memahami esensi tugas. Momen ini harus selalu dijaga, menyelesaikan masalah apa pun dalam matematika tingkat tinggi, dan juga mata pelajaran lain.

Kemana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, ini bisa menjadi solusi tambahan, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk mencari luas segitiga melalui perkalian vektor diberikan di komentar definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugasnya sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk mengatasi masalah lain, kita perlu:

Sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari perkalian vektor, namun saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, properti berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak dibedakan berdasarkan propertinya, tetapi sangat penting secara praktis. Jadi biarlah.

2) - properti juga dibahas di atas, terkadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor itu penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas perkalian vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan membuka tanda kurung juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Larutan: Dengan syarat, sekali lagi diperlukan untuk menemukan panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kita mengeluarkan konstanta di luar batas perkalian vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Larutan: Temukan luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 pelajaran. Produk titik vektor. Mari kita pecahkan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kita menyatakan perkalian vektor melalui perkalian vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar panjang!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Dengan menggunakan hukum distributif, buka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Dengan menggunakan hukum asosiatif, kita mengambil semua konstanta di luar perkalian vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari perkalian vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kita mencari panjang produk vektor yang kita butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat disusun dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dianggap cukup umum di pekerjaan kontrol, inilah contoh untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda saat mempelajari contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di baris atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor di baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garisnya juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor ruang berikut kolinear:
A)
B)

Larutan: Tes ini didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektornya kolinear, maka perkalian silangnya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana perkalian vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah produk dari tiga vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-coplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor tersebut, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita ditarik oleh garis putus-putus:

Mari selami definisi:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari arti geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah NOMOR: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

A-priori produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume pipa paralel yang diberikan.

Catatan : Gambar adalah skema.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi alas dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Dengan kata sederhana, produk campuran dapat menjadi negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisinya.

Sudut antar vektor

Agar kami dapat memperkenalkan konsep produk silang dari dua vektor, pertama-tama kami harus berurusan dengan konsep seperti sudut antara vektor-vektor ini.

Mari kita diberi dua vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$. Mari kita ambil beberapa titik $O$ dalam ruang dan sisihkan vektor $\overline(α)=\overline(OA)$ dan $\overline(β)=\overline(OB)$ darinya, lalu sudut $AOB $ akan disebut sudut antara vektor-vektor ini (Gbr. 1).

Notasi: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Konsep perkalian silang vektor dan rumus mencari

Definisi 1

Hasil kali vektor dari dua vektor adalah vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang diberikan, dan panjangnya akan sama dengan perkalian panjang vektor-vektor ini dengan sinus sudut antara vektor-vektor ini, dan vektor ini dengan dua vektor awal memiliki nilai yang sama orientasi sebagai sistem koordinat Cartesian.

Notasi: $\overline(α)х\overline(β)$.

Secara matematis terlihat seperti ini:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ dan $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ adalah berorientasi sama (Gbr. 2)

Jelas, hasil kali luar vektor akan sama dengan vektor nol dalam dua kasus:

1. Jika panjang salah satu atau kedua vektor adalah nol.
2. Jika sudut antara vektor ini sama dengan $180^\circ$ atau $0^\circ$ (karena dalam kasus ini sinus sama dengan nol).

Untuk melihat dengan jelas bagaimana perkalian silang vektor ditemukan, perhatikan contoh solusi berikut.

Contoh 1

Carilah panjang vektor $\overline(δ)$, yang merupakan hasil perkalian silang vektor, dengan koordinat $\overline(α)=(0,4,0)$ dan $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Larutan.

Mari gambarkan vektor-vektor ini dalam ruang koordinat Cartesian (Gbr. 3):

Gambar 3. Vektor dalam ruang koordinat Cartesian. Author24 - pertukaran makalah siswa secara online

Kita melihat bahwa vektor ini masing-masing terletak pada sumbu $Ox$ dan $Oy$. Oleh karena itu, sudut antara keduanya akan sama dengan $90^\circ$. Mari kita cari panjang vektor-vektor ini:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Kemudian, dengan Definisi 1, kita memperoleh modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Jawaban: $12$.

Perhitungan perkalian silang dengan koordinat vektor

Definisi 1 segera menyiratkan cara untuk menemukan hasil kali silang untuk dua vektor. Karena vektor, selain nilai, juga memiliki arah, tidak mungkin menemukannya hanya dengan menggunakan nilai skalar. Namun selain itu, ada cara lain untuk mencari vektor yang diberikan kepada kita dengan menggunakan koordinat.

Mari kita diberi vektor $\overline(α)$ dan $\overline(β)$, yang masing-masing akan memiliki koordinat $(α_1,α_2,α_3)$ dan $(β_1,β_2,β_3)$. Kemudian vektor perkalian silang (yaitu koordinatnya) dapat ditemukan dengan rumus berikut:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Jika tidak, memperluas determinan, kami memperoleh koordinat berikut

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Contoh 2

Temukan vektor perkalian silang vektor kolinear $\overline(α)$ dan $\overline(β)$ dengan koordinat $(0,3,3)$ dan $(-1,2,6)$.

Larutan.

Mari kita gunakan rumus di atas. Mendapatkan

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Jawaban: $(12,-3,3)$.

Sifat perkalian silang vektor

Untuk campuran acak tiga vektor $\overline(α)$, $\overline(β)$ dan $\overline(γ)$, serta $r∈R$, properti berikut berlaku:

Contoh 3

Temukan luas jajaran genjang yang simpulnya memiliki koordinat $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ dan $(3,8,0) $.

Larutan.

Pertama, gambar jajaran genjang ini dalam ruang koordinat (Gbr. 5):

Gambar 5. Jajaran genjang dalam ruang koordinat. Author24 - pertukaran makalah siswa secara online

Kita melihat bahwa kedua sisi jajaran genjang ini dibangun menggunakan vektor collinear dengan koordinat $\overline(α)=(3,0,0)$ dan $\overline(β)=(0,8,0)$. Menggunakan properti keempat, kita mendapatkan:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Temukan vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Karena itu

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$