Proses menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen menyerupai penerbangan menarik di sekitar suatu objek (grafik fungsi) pada helikopter dengan menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih dari poin ini poin yang sangat khusus untuk tembakan kontrol. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Dengan aturan apa? Kami akan membicarakan ini lebih lanjut.
Jika fungsi y = F(X)
kontinu pada segmen [ A, B] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit
Dan nilai tertinggi
. Ini bisa terjadi di titik ekstrim atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit
Dan nilai terbesar dari fungsi tersebut
, berlanjut pada segmen [ A, B] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan poin kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.
Misalkan, diperlukan untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi tersebut F(X) pada segmen [ A, B] . Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya di [ A, B]
.
titik kritis
disebut titik di mana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik kritis. Dan, terakhir, seseorang harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( F(A) Dan F(B) ). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada interval
[A, B]
.
Masalah menemukan nilai fungsi terkecil
.
Kami mencari nilai fungsi terkecil dan terbesar bersama-sama
Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
pada segmen [-1, 2]
.
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini. Samakan turunannya dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan di titik , karena titik tersebut bukan milik segmen [-1, 2] . Nilai fungsi ini adalah sebagai berikut: , , . Ini mengikuti itu nilai fungsi terkecil(ditandai dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga berwarna merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis .
Jika fungsinya kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, tetapi titik batas segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai fungsi tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang digambarkan pada gambar di bawah ini kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak memiliki nilai terbesar.
Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terbatas), properti fungsi kontinu berikut berlaku.
Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3]
.
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:
.
Kami menyamakan turunannya dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis: . Itu milik interval [-1, 3] . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik .
Kami terus mencari nilai fungsi terkecil dan terbesar secara bersama-sama
Ada guru yang pada topik mencari nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberikan contoh kepada siswa yang lebih rumit dari yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya polinomial atau pecahan, pembilangnya dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di kalangan guru ada pecinta membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.
Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen
.
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari produk :
Kami menyamakan turunannya dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada suatu titik dan pada suatu titik dan nilai terbesar sama dengan e² , pada titik .
Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
pada segmen .
Larutan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
Samakan turunannya dengan nol:
Satu-satunya titik kritis milik segmen tersebut. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:
Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , di titik dan nilai terbesar, sama dengan , di titik .
Dalam masalah ekstrem terapan, menemukan nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai aturan, direduksi menjadi menemukan nilai minimum (maksimum). Tetapi kepentingan praktis yang lebih besar bukanlah minima atau maxima itu sendiri, tetapi nilai-nilai argumen yang mencapainya. Saat memecahkan masalah terapan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.
Contoh 8 Tangki berkapasitas 4 orang, berbentuk pipa sejajar dengan alas persegi dan terbuka di bagian atas, harus diberi kaleng. Berapakah dimensi tangki untuk menutupinya dengan bahan paling sedikit?
Larutan. Membiarkan X- sisi dasar H- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus , yaitu. merupakan fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kami menggunakan fakta bahwa , dari mana . Mengganti ekspresi yang ditemukan H ke dalam rumus untuk S:
Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan dapat dibedakan di mana saja di ]0, +∞[ , dan
.
Kami menyamakan turunannya dengan nol () dan menemukan titik kritisnya. Selain itu, pada , turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan karenanya tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan tanda cukup kedua. Ayo cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Ini berarti bahwa ketika fungsi mencapai minimum 
. Karena ini minimum - satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, itu adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.
Contoh 9 Dari paragraf A, terletak di jalur kereta api, ke titik DENGAN, jauh darinya l, barang harus diangkut. Biaya pengangkutan satuan berat per satuan jarak dengan kereta api sama dengan , dan melalui jalan raya sama dengan . Sampai titik mana M baris kereta api jalan raya harus dibangun agar transportasi barang dari A V DENGAN adalah yang paling ekonomis AB kereta api diasumsikan lurus)?
Bagaimana menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen?
Untuk ini kami mengikuti algoritma terkenal:
1
. Kami menemukan fungsi ODZ.
2
. Mencari turunan dari suatu fungsi
3
. Samakan turunannya dengan nol
4
. Kami menemukan interval di mana turunan mempertahankan tandanya, dan darinya kami menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi:
Jika pada interval I turunan dari fungsi 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat selama interval ini.
Jika pada interval I turunan dari fungsi , maka fungsinya menurun selama interval ini.
5
. Kami menemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.
DI DALAM titik maksimum fungsi, turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-".
DI DALAM titik minimum fungsitanda perubahan turunan dari "-" menjadi "+".
6
. Kami menemukan nilai fungsi di ujung segmen,
- kemudian kita bandingkan nilai fungsi pada ujung ruas dan pada titik maksimum, dan pilih yang terbesar jika Anda perlu menemukan nilai fungsi terbesar
- atau kami membandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik minimum, dan pilih yang terkecil jika Anda perlu menemukan nilai fungsi terkecil
Namun, bergantung pada bagaimana fungsi berperilaku pada interval, algoritme ini dapat dikurangi secara signifikan.
Pertimbangkan fungsinya 
. Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:
Mari kita lihat beberapa contoh pemecahan masalah dari bank terbuka tugas untuk
1 . Tugas B15 (#26695)
Di potong.
1. Fungsi didefinisikan untuk semua nilai riil x
Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, dan turunannya positif untuk semua nilai x. Oleh karena itu, fungsi meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, yaitu di x=0.
Jawaban: 5.
2
. Tugas B15 (No. 26702)
Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi 
pada segmen.
1.ODZ fungsi title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Turunannya adalah nol pada , namun, pada titik-titik ini tidak berubah tanda:
Oleh karena itu, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, di .
Untuk memperjelas mengapa turunannya tidak mengubah tanda, kami mengubah ekspresi turunannya sebagai berikut:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Jawaban: 5.
3 . Tugas B15 (#26708)
Temukan nilai terkecil dari fungsi pada interval .
1. Fungsi ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Mari tempatkan akar persamaan ini pada lingkaran trigonometri.
Interval berisi dua angka: dan
Mari pasang tanda-tandanya. Untuk melakukan ini, kami menentukan tanda turunan di titik x=0: 
. Saat melewati titik dan turunannya berubah tanda.
Mari gambarkan perubahan tanda turunan fungsi pada garis koordinat:
Jelas, intinya adalah titik minimum (di mana turunannya mengubah tanda dari "-" menjadi "+"), dan untuk menemukan nilai terkecil dari fungsi pada segmen tersebut, Anda perlu membandingkan nilai fungsi di titik minimum dan di ujung kiri segmen, .
Pada artikel ini saya akan berbicara tentang algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, poin minimum dan maksimum.
Dari teori, kita pasti membutuhkan tabel turunan Dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di papan ini:
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.
Saya merasa lebih mudah untuk menjelaskan contoh spesifik. Mempertimbangkan:
Contoh: Temukan nilai terbesar dari fungsi y=x^5+20x^3–65x pada segmen [–4;0].
Langkah 1. Kami mengambil turunannya.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Langkah 2 Menemukan titik ekstrim.
titik ekstrim kami menamai titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya.
Untuk mencari titik ekstrim, perlu menyamakan turunan fungsi dengan nol (y"= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Sekarang kita selesaikan persamaan bikuadrat ini dan akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.
Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Kurangi persamaan dengan 5, kita dapatkan: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + kuadrat(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - kuadrat(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Kami membuat substitusi terbalik x^2 = t:
X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami mengecualikan, tidak boleh ada angka negatif di bawah root, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)
Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kita.
Langkah 3 Tentukan nilai terbesar dan terkecil.
Metode substitusi.
Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan batas kiri dan kanan segmen kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita mengganti ketiga titik ini ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa mulai mensubstitusi ke turunan...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Artinya, nilai maksimum fungsi tersebut adalah [b]44 dan dicapai pada titik [b]-1, yang disebut titik maksimum fungsi pada ruas [-4; 0].
Kami memutuskan dan mendapat jawaban, kami hebat, Anda bisa santai. Tapi berhenti! Tidakkah menurut Anda menghitung y(-4) terlalu rumit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan cara lain, saya menyebutnya seperti ini:
Melalui interval keteguhan.
Kesenjangan ini ditemukan untuk turunan dari fungsi, yaitu untuk persamaan biquadratic kita.
Saya melakukannya dengan cara berikut. Saya menggambar garis arah. Saya menetapkan poin: -4, -1, 0, 1. Terlepas dari kenyataan bahwa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, tetap harus dicatat untuk menentukan interval keteguhan dengan benar. Mari kita ambil beberapa angka berkali-kali lebih besar dari 1, katakanlah 100, gantikan secara mental ke dalam persamaan biquadratic kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apapun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda tambah. Artinya untuk interval dari 1 sampai 100 memiliki tanda plus. Saat melewati 1 (kita bergerak dari kanan ke kiri), fungsinya akan berubah tanda menjadi minus. Saat melewati titik 0, fungsinya akan mempertahankan tandanya, karena ini hanya batas segmen, dan bukan akar persamaan. Saat melewati -1, fungsi akan kembali berubah tanda menjadi plus.
Dari teori, kita tahu di mana turunan dari fungsinya (dan kita menggambarnya untuk itu) mengubah tanda plus menjadi minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44 seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini (secara logis sangat jelas, fungsinya berhenti meningkat, karena mencapai maksimum dan mulai menurun).
Dengan demikian, di mana turunan dari fungsi perubahan tanda dari minus menjadi plus, tercapai minimum lokal suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan titik minimum lokal, yaitu 1, dan y(1) adalah nilai minimum dari fungsi tersebut pada interval, misalkan dari -1 hingga +∞. Harap dicatat bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL, yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum aktual (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.
Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teori, dan yang kedua lebih sederhana dalam hal operasi aritmatika, tetapi jauh lebih sulit dalam hal teori. Lagi pula, kadang-kadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda ketika melewati akar persamaan, dan memang Anda bisa bingung dengan maxima dan minima lokal, global ini, meskipun Anda tetap harus menguasainya dengan baik jika Anda berencana untuk masuk universitas teknik (dan untuk apa lagi memberi ujian profil dan memecahkan masalah ini). Tetapi latihan dan hanya latihan yang akan mengajari Anda cara menyelesaikan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .
Jika Anda memiliki pertanyaan, atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda, dan membuat perubahan, tambahan pada artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama-sama!
Populer dalam kategori:
Penyebab memar di bawah mata Memar abadi di bawah mata
membaca
Penyebab pemberontakan: Reformasi dan transformasi Peter I dilakukan ...
membaca
Sekolah Tinggi Komando Militer Kazan Kazan Higher...
membaca
Tahapan utama dalam sejarah Negara Baltik: pembentukan politik...
membaca
Atas
pada segmen. 
