Il prodotto incrociato di un vettore e se stesso. Prodotto vettoriale di vettori dati da coordinate

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Definizione. Il prodotto vettoriale di un vettore a (moltiplicatore) per un vettore (moltiplicatore) che non è collineare ad esso è il terzo vettore c (prodotto), che è costruito come segue:

1) il suo modulo è numericamente uguale all'area del parallelogramma di fig. 155), costruita su vettori, cioè uguale alla direzione perpendicolare al piano del citato parallelogramma;

3) in questo caso si sceglie la direzione del vettore c (tra due possibili) in modo che i vettori c formino un sistema destrorso (§ 110).

Designazione: o

Addendum alla definizione. Se i vettori sono collineari, allora considerando la figura come un parallelogramma (condizionato), è naturale assegnare area zero. Ecco perché prodotto vettoriale vettori collineari è considerato uguale al vettore nullo.

Poiché al vettore nullo può essere assegnata qualsiasi direzione, questa convenzione non contraddice i punti 2 e 3 della definizione.

Nota 1. Nel termine "prodotto vettoriale", la prima parola indica che il risultato di un'azione è un vettore (invece di un prodotto scalare; cfr. § 104, nota 1).

Esempio 1. Trova il prodotto vettoriale in cui i vettori principali del sistema di coordinate destro (Fig. 156).

1. Poiché le lunghezze dei vettori principali sono uguali all'unità di scala, l'area del parallelogramma (quadrato) è numericamente uguale a uno. Quindi, il modulo del prodotto vettoriale è uguale a uno.

2. Poiché la perpendicolare al piano è l'asse, il prodotto vettoriale desiderato è un vettore collineare al vettore k; e poiché entrambi hanno modulo 1, il prodotto incrociato richiesto è k o -k.

3. Di questi due possibili vettori, bisogna scegliere il primo, poiché i vettori k formano un sistema destro (ei vettori ne formano uno sinistro).

Esempio 2. Trova il prodotto vettoriale

Soluzione. Come nell'esempio 1, concludiamo che il vettore è k o -k. Ma ora dobbiamo scegliere -k, poiché i vettori formano il sistema di destra (e i vettori formano il sistema di sinistra). COSÌ,

Esempio 3 I vettori hanno lunghezze rispettivamente di 80 e 50 cm e formano un angolo di 30°. Prendendo un metro come unità di lunghezza, trova la lunghezza del prodotto vettoriale a

Soluzione. L'area di un parallelogramma costruito su vettori è uguale a La lunghezza del prodotto vettoriale desiderato è uguale a

Esempio 4. Trova la lunghezza del prodotto incrociato degli stessi vettori, prendendo un centimetro come unità di lunghezza.

Soluzione. Poiché l'area del parallelogramma costruita sui vettori è uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale è 2000 cm, cioè

Il confronto degli esempi 3 e 4 mostra che la lunghezza del vettore dipende non solo dalle lunghezze dei fattori, ma anche dalla scelta dell'unità di lunghezza.

Il significato fisico del prodotto vettoriale. Delle tante grandezze fisiche rappresentate dal prodotto vettoriale considereremo solo il momento di forza.

Sia A il punto di applicazione della forza Il momento della forza relativo al punto O è chiamato prodotto vettoriale Poiché il modulo di questo prodotto vettoriale è numericamente uguale all'area del parallelogramma (Fig. 157), il modulo del momento è uguale al prodotto della base per l'altezza, cioè la forza moltiplicata per la distanza dal punto O alla retta lungo la quale agisce la forza.

In meccanica si dimostra che per l'equilibrio di un corpo rigido è necessario che non solo la somma dei vettori rappresentanti le forze applicate al corpo, ma anche la somma dei momenti delle forze sia uguale a zero. Nel caso in cui tutte le forze siano parallele allo stesso piano, l'addizione dei vettori che rappresentano i momenti può essere sostituita dall'addizione e sottrazione dei loro moduli. Ma per direzioni arbitrarie delle forze, tale sostituzione è impossibile. In accordo con ciò, il prodotto vettoriale è definito precisamente come un vettore e non come un numero.

IL calcolatrice in linea calcola il prodotto incrociato dei vettori. Viene fornita una soluzione dettagliata. Per calcolare il prodotto vettoriale dei vettori, inserisci le coordinate dei vettori nelle celle e fai clic su "Calcola".

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Prodotto vettoriale di vettori

Prima di procedere alla definizione del prodotto vettoriale di vettori, considera i concetti terna ordinata di vettori, terna sinistra di vettori, terna destra di vettori.

Definizione 1. Vengono chiamati tre vettori ordinato triplo(o triplo) se viene indicato quale di questi vettori è il primo, quale il secondo e quale il terzo.

Registrazione cba- significa - il primo è un vettore C, il secondo è il vettore B e il terzo è il vettore UN.

Definizione 2. Una terna di vettori non complanari abc detta destra (sinistra) se, ridotti ad un inizio comune, questi vettori si dispongono come sono rispettivamente grande, indice non piegato e dita medie mano destra (sinistra).

La definizione 2 può essere formulata in un altro modo.

Definizione 2. Una terna di vettori non complanari abc si dice right (left) se, ridotto ad un'origine comune, il vettore C situata dall'altra parte del piano definito dai vettori UN E B, da dove la svolta più breve da UN A B eseguito in senso antiorario (in senso orario).

Trio vettoriale abc mostrato in fig. 1 è giusto e triplo abc mostrato in fig. 2 è rimasto.

Se due terne di vettori sono destre o sinistre, si dice che hanno lo stesso orientamento. Altrimenti si dice che sono di orientamento opposto.

Definizione 3. Un sistema di coordinate cartesiane o affini è detto destro (sinistro) se i tre vettori di base formano una terna destra (sinistra).

Per chiarezza, in quanto segue considereremo solo i sistemi di coordinate destrorsi.

Definizione 4. arte vettoriale vettore UN per vettore B detto vettore Con, indicato dal simbolo c=[ab] (O c=[un, b], O c=a×b) e soddisfano i seguenti tre requisiti:

• lunghezza del vettore Conè uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori UN E B al seno dell'angolo φ fra loro:

|C|=|[ab]|=|UN||B|sinφ;

(1)

• vettore Con ortogonale a ciascuno dei vettori UN E B;
• vettore C diretto in modo che i tre abcè giusto.

Il prodotto vettoriale dei vettori ha le seguenti proprietà:

• [ab]=−[ba] (antipermutabilità fattori);
• [(λa)B]=λ [ab] (Compatibilità relativo al fattore numerico);
• [(a+b)C]=[UNC]+[BC] (distribuzione relativo alla somma dei vettori);
• [aa]=0 per qualsiasi vettore UN.

Proprietà geometriche del prodotto vettoriale di vettori

Teorema 1. Affinché due vettori siano collineari, è necessario e sufficiente che il loro prodotto vettoriale sia nullo.

Prova. Necessità. Lasciamo i vettori UN E B collineare. Quindi l'angolo tra loro è 0 o 180° e sinφ=peccato180=peccato 0=0. Pertanto, tenendo conto dell'espressione (1), la lunghezza del vettore C uguale a zero. Poi C vettore nullo.

Adeguatezza. Sia il prodotto vettoriale dei vettori UN E B nav a zero: [ ab]=0. Dimostriamo che i vettori UN E B collineare. Se almeno uno dei vettori UN E B zero, allora questi vettori sono collineari (poiché il vettore zero ha una direzione indefinita e può essere considerato collineare a qualsiasi vettore).

Se entrambi i vettori UN E B diverso da zero, allora | UN|>0, |B|>0. Poi da [ ab]=0 e dalla (1) segue che sinφ=0. Da qui i vettori UN E B collineare.

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. La lunghezza (modulo) del prodotto vettoriale [ ab] è uguale all'area S parallelogramma costruito su vettori ridotti ad un'origine comune UN E B.

Prova. Come sai, l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti di questo parallelogramma e il seno dell'angolo tra di loro. Quindi:

Allora il prodotto vettoriale di questi vettori ha la forma:

Espandendo il determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo la scomposizione del vettore a×b base io, j, k, che è equivalente alla formula (3).

Dimostrazione del Teorema 3. Comporre tutte le possibili coppie di vettori di base io, j, k e calcola il loro prodotto vettoriale. Si tenga presente che i vettori di base sono tra loro ortogonali, formano una terna destra e hanno lunghezza unitaria (in altre parole, possiamo assumere che io={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, K=(0, 0, 1)). Poi abbiamo:

Dall'ultima uguaglianza e relazioni (4), otteniamo:

Comporre una matrice 3×3, la cui prima riga sono i vettori di base io, j, k, e le righe rimanenti sono riempite con elementi di vettori UN E B.

Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento della terna ordinata dei vettori a → , b → , c → nello spazio tridimensionale.

Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → è destra o sinistra, a seconda della direzione del vettore c → . Dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dall'estremità del vettore c → , sarà determinata la forma della tripla a → , b → , c →.

Se la rotazione più breve è in senso antiorario, viene chiamata la tripla dei vettori a → , b → , c → Giusto se in senso orario - Sinistra.

Quindi, prendi due vettori non collineari a → e b → . Rimandiamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c → , che sia simultaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C → . Quindi, quando costruiamo il vettore A D → = c →, possiamo fare due cose, dandogli o una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).

Il trio ordinato di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo scoperto, destro o sinistro a seconda della direzione del vettore.

Da quanto sopra, possiamo introdurre la definizione di un prodotto vettoriale. Questa definizioneè dato per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore dato in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale tale che:

• se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
• sarà perpendicolare sia al vettore a →​​ che al vettore b → cioè ∠ un → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• la tripletta di vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento del dato sistema di coordinate.

Il prodotto incrociato dei vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b → .

Coordinate incrociate del prodotto

Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, è possibile introdurre una seconda definizione del prodotto vettoriale, che ti consentirà di trovare le sue coordinate dalle coordinate date dei vettori.

Definizione 2

In un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) chiama il vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.

Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga sono i vettori orta i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza è le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo determinante di matrice ha il seguente aspetto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Espandendo questo determinante sugli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietà incrociate del prodotto

È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà determinanti della matrice il seguente proprietà del prodotto vettoriale:

1. anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
2. distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → o a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b → , dove λ è un numero reale arbitrario.

Queste proprietà non hanno dimostrazioni complicate.

Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale.

Dimostrazione di anticommutatività

Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, allora il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare nell'opposto, quindi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra l'anticommutatività del prodotto vettoriale.

Prodotto vettoriale - Esempi e soluzioni

Nella maggior parte dei casi, esistono tre tipi di attività.

Nei problemi del primo tipo, di solito vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo tra loro, ma è necessario trovare la lunghezza del prodotto incrociato. In questo caso, usa la seguente formula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esempio 1

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori a → e b → se a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 è noto.

Soluzione

Usando la definizione della lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Risposta: 15 2 2 .

I compiti del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, contengono un prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. cercato tramite coordinate note vettori dati a → = (a x ; a y ; a z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Per questo tipo di attività, puoi risolvere molte opzioni per le attività. Ad esempio, non le coordinate dei vettori a → e b → , ma le loro espansioni in vettori di coordinate della forma b → = b x io → + b y j → + b z k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , oppure i vettori a → e b → possono essere dati dalle coordinate dei loro punti di inizio e fine.

Considera i seguenti esempi.

Esempio 2

Due vettori sono impostati in un sistema di coordinate rettangolare a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Trova il loro prodotto vettoriale.

Soluzione

Secondo la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

Se scriviamo il prodotto incrociato in termini di determinante della matrice, allora la soluzione questo esempio ha questo aspetto: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Risposta: a → × b → = - 2 io → - 2 j → - 2 k → .

Esempio 3

Trova la lunghezza del prodotto incrociato dei vettori i → - j → e i → + j → + k → , dove i → , j → , k → - orts di un sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione

Per prima cosa, troviamo le coordinate del dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → nel dato sistema di coordinate rettangolari.

È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate (1 ; - 1 ; 0) e (1 ; 1 ; 1) rispettivamente. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale usando il determinante di matrice, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel dato sistema di coordinate.

Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale con la formula (vedi la sezione su come trovare la lunghezza del vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .

Esempio 4

Le coordinate di tre punti A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sono date in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → allo stesso tempo.

Soluzione

I vettori A B → e A C → hanno le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1) rispettivamente. Trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C → , è ovvio che esso è un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C → , cioè è la soluzione del nostro problema. Trovalo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Risposta: - 6 i → + j → - 4 k → . è uno dei vettori perpendicolari.

I problemi del terzo tipo sono incentrati sull'utilizzo delle proprietà del prodotto vettoriale di vettori. Dopo aver applicato quale, otterremo una soluzione al problema dato.

Esempio 5

I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluzione

Dalla proprietà di distribuzione del prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Per la proprietà dell'associatività, eliminiamo i coefficienti numerici oltre il segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → a → sin 0 = 0 e b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , quindi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2 . Ora resta solo da sostituire i valori trovati nelle formule corrispondenti: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Risposta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

La lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori per definizione è a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra questi lati. Pertanto, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area di un parallelogramma - un triangolo raddoppiato, vale a dire il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b → , licenziato da un punto, dal seno dell'angolo tra loro sin ∠ a → , b → .

Questo è il significato geometrico del prodotto vettoriale.

Il significato fisico del prodotto vettoriale

In meccanica, una delle branche della fisica, grazie al prodotto vettoriale si può determinare il momento di forza relativo ad un punto nello spazio.

Definizione 3

Sotto il momento di forza F → , applicato al punto B , relativo al punto A capiremo il seguente prodotto vettoriale A B → × F → .

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Proprietà del prodotto scalare

Prodotto scalare di vettori, definizione, proprietà

Operazioni lineari sui vettori.

Vettori, concetti base, definizioni, operazioni lineari su di essi

Un vettore su un piano è una coppia ordinata dei suoi punti, mentre il primo punto è chiamato inizio e il secondo fine - del vettore

Due vettori si dicono uguali se sono uguali e codirezionali.

I vettori che giacciono sulla stessa retta si dicono codirezionali se sono codirezionali con alcuni degli stessi vettori che non giacciono su questa retta.

I vettori che giacciono sulla stessa retta o su rette parallele sono detti collineari, mentre quelli collineari ma non codirezionali sono detti opposti.

I vettori giacenti su rette perpendicolari sono detti ortogonali.

Definizione 5.4. somma a+b vettori UN E B è chiamato il vettore proveniente dall'inizio del vettore UN alla fine del vettore B , se l'inizio del vettore B coincide con la fine del vettore UN .

Definizione 5.5. differenza a - b vettori UN E B un tale vettore è chiamato Con , che insieme al vettore B fornisce un vettore UN .

Definizione 5.6. lavoroK UN vettore UN per numero K detto vettore B , vettore collineare UN , che ha modulo uguale a | K||UN |, e una direzione uguale alla direzione UN A K>0 e opposto UN A K<0.

Proprietà della moltiplicazione di un vettore per un numero:

Proprietà 1. K(a+b ) = k UN+ k B.

Proprietà 2. (k+m)UN = k UN+ m UN.

Proprietà 3. k(m UN) = (km)UN .

Conseguenza. Se vettori diversi da zero UN E B sono collineari, allora c'è un numero K, Che cosa b= K UN.

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero UN E B chiamato un numero (scalare) uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e il coseno dell'angolo φ tra di loro. Il prodotto scalare può essere espresso in vari modi, ad esempio come ab, UN · B, (UN , B), (UN · B). Quindi il prodotto scalare è:

UN · B = |UN| · | B| cosφ

Se almeno uno dei vettori è uguale a zero, allora il prodotto scalare è uguale a zero.

Proprietà di permutazione: UN · B = B · UN(il prodotto scalare non cambia dalla permutazione dei fattori);

proprietà di distribuzione: UN · ( B · C) = (UN · B) · C(il risultato non dipende dall'ordine di moltiplicazione);

Proprietà di combinazione (in relazione al fattore scalare): (λ UN) · B = λ ( UN · B).

Proprietà di ortogonalità (perpendicolarità): se il vettore UN E B diverso da zero, allora il loro prodotto scalare è zero solo quando questi vettori sono ortogonali (perpendicolari tra loro) UN ┴ B;

Proprietà quadrata: UN · UN = UN 2 = |UN| 2 (il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al quadrato del suo modulo);

Se le coordinate dei vettori UN=(x 1 , y 1 , z 1 ) e B=(x 2 , y 2 , z 2 ), allora il prodotto scalare è UN · B= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

Vettore che tiene i vettori. Definizione: Il prodotto vettoriale di due vettori ed è inteso come un vettore per il quale:

Il modulo è uguale all'area del parallelogramma costruito su questi vettori, cioè , dove è l'angolo tra i vettori e

Questo vettore è perpendicolare ai vettori moltiplicati, cioè

Se i vettori non sono collineari, formano una terna destra di vettori.

Proprietà incrociate del prodotto:

1. Quando l'ordine dei fattori viene modificato, il prodotto vettoriale cambia segno nell'opposto, preservando il modulo, ad es.

2 Il quadrato del vettore è uguale al vettore zero, cioè

3 .Il fattore scalare può essere tolto dal segno del prodotto vettoriale, cioè

4 .Per tre vettori qualsiasi, l'uguaglianza

5 .Condizione necessaria e sufficiente per la collinearità di due vettori e :