Risolvere equazioni con x. Calcolatore di equazioni irrazionali online

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Incarico di servizio. Il calcolatore di matrici è progettato per risolvere sistemi di equazioni lineari in modo matriciale (vedere un esempio di risoluzione di problemi simili).

Istruzioni. Per una soluzione online, è necessario selezionare il tipo di equazione e impostare la dimensione delle matrici corrispondenti. dove A, B, C sono matrici date, X è la matrice desiderata. Le equazioni di matrice della forma (1), (2) e (3) vengono risolte tramite la matrice inversa A -1 . Se è data l'espressione A X - B = C, allora è necessario prima sommare le matrici C + B e trovare una soluzione per l'espressione A X = D , dove D = C + B . Se è data l'espressione A*X = B 2, allora la matrice B deve prima essere quadrata.

Si consiglia inoltre di familiarizzare con le operazioni di base sulle matrici.

Esempio 1. Esercizio. Trovare la soluzione di un'equazione di matrice
Soluzione. Denota:
Quindi l'equazione della matrice verrà scritta nella forma: A·X·B = C.
Il determinante della matrice A è detA=-1
Poiché A è una matrice non singolare, esiste una matrice inversa A -1 . Moltiplica entrambi i lati dell'equazione a sinistra per A -1: Moltiplica entrambi i lati di questa equazione a sinistra per A -1 e a destra per B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Poiché A A -1 = B B -1 = E ed E X = X E = X, allora X = A -1 C B -1

Matrice inversa A -1:
Trova la matrice inversa B -1 .
Matrice trasposta B T:
Matrice inversa B -1:
Cerchiamo la matrice X con la formula: X = A -1 C B -1

Risposta:

Esempio n.2. Esercizio. Risolvere l'equazione della matrice
Soluzione. Denota:
Quindi l'equazione della matrice verrà scritta nella forma: A X = B.
Il determinante della matrice A è detA=0
Poiché A è una matrice degenere (il determinante è 0), l'equazione non ha soluzione.

Esempio n.3. Esercizio. Trovare la soluzione di un'equazione di matrice
Soluzione. Denota:
Quindi l'equazione della matrice verrà scritta nella forma: X·A = B.
Il determinante della matrice A è detA=-60
Poiché A è una matrice non singolare, esiste una matrice inversa A -1 . Moltiplichiamo a destra entrambi i membri dell'equazione per A -1: X A A -1 = B A -1 , da cui troviamo che X = B A -1
Trova la matrice inversa A -1 .
Matrice trasposta A T:
Matrice inversa A -1:
Cerchiamo la matrice X con la formula: X = B A -1


Risposta: >

Le equazioni quadratiche vengono studiate al grado 8, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è essenziale.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a , b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi di soluzione specifici, notiamo che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:

1. Non hanno radici;
2. Hanno esattamente una radice;
3. Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac .

Questa formula deve essere conosciuta a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se d< 0, корней нет;
2. Se D = 0, esiste esattamente una radice;
3. Se D > 0 ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone pensano. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi, il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo allo stesso modo la seconda equazione:
un = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. Resta l’ultima equazione:
un = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è uguale a zero: la radice sarà uno.

Si noti che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se “riempi la mano”, dopo un po 'non avrai più bisogno di scrivere tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tante.

Le radici di un'equazione quadratica

Ora passiamo alla soluzione. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:

La formula base per le radici di un'equazione quadratica

Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: ottieni lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]

Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso, gli errori si verificano quando nella formula vengono sostituiti coefficienti negativi. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, dipingi ogni passaggio e sbarazzati degli errori molto presto.

Equazioni quadratiche incomplete

Succede che l'equazione quadratica è leggermente diversa da quella data nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

È facile vedere che in queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non necessitano nemmeno di calcolare il discriminante. Introduciamo quindi un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b \u003d c \u003d 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 \u003d 0. Ovviamente, tale equazione ha un singolo radice: x \u003d 0.

Consideriamo altri casi. Sia b \u003d 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta nella forma ax 2 + c \u003d 0. Trasformiamola leggermente:

Poiché la radice quadrata aritmetica esiste solo a partire da un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusione:

1. Se un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 soddisfa la disuguaglianza (−c / a) ≥ 0, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
2. Se (−c / a )< 0, корней нет.

Come puoi vedere, il discriminante non era richiesto: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. Infatti non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c / a ) ≥ 0. Basta esprimere il valore di x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno uguale. Se c'è un numero positivo, ci saranno due radici. Se negativo, non ci saranno radici.

Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:

Togliere il fattore comune dalla parentesi

Il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, analizzeremo diverse di queste equazioni:

Compito. Risolvere equazioni quadratiche:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Non ci sono radici, perché il quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.