La formula per la differenza di una progressione aritmetica. La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
Progressione aritmetica denominare una sequenza di numeri (membri di una progressione)
In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un termine d'acciaio, che viene anche chiamato differenza di passo o progressione.
Pertanto, impostando il passo della progressione e il suo primo termine, puoi trovare uno qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula
Proprietà di una progressione aritmetica
1) Ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione
È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei membri dispari (pari) adiacenti della progressione è uguale al membro che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Con questa affermazione è molto facile verificare qualsiasi sequenza.
Anche per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata alla seguente
Questo è facile da verificare se scriviamo i termini a destra del segno di uguale
Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.
2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è calcolata dalla formula
Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica, è indispensabile nei calcoli ed è abbastanza comune nelle semplici situazioni della vita.
3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma una parte della sequenza a partire dal suo k -esimo membro, allora la seguente formula di somma ti tornerà utile
4) E' di interesse pratico trovare la somma di n membri di una progressione aritmetica a partire dal numero k-esimo. Per fare ciò, usa la formula
Su questo materiale teorico termina e si passa alla risoluzione di problemi pratici comuni.
Esempio 1. Trova il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...
Soluzione:
Secondo la condizione, abbiamo
Definire il passo di progressione
Secondo la nota formula, troviamo il quarantesimo termine della progressione
Esempio2. Progressione aritmeticaè dato dal suo terzo e settimo membro. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.
Soluzione:
Scriviamo gli elementi dati della progressione secondo le formule
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passo di progressione
Il valore trovato viene sostituito in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica
Calcola la somma dei primi dieci termini della progressione
Senza applicare calcoli complessi, abbiamo trovato tutti i valori richiesti.
Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi membri. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50, e la somma dei primi 100.
Soluzione:
Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione
e trova il primo
In base al primo troviamo il 50° termine della progressione
Trovare la somma della parte della progressione
e la somma dei primi 100
La somma della progressione è 250.
Esempio 4
Trova il numero di membri di una progressione aritmetica se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Soluzione:
Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo della progressione e le definiamo
Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di membri nella somma
Fare semplificazioni
e risolvi l'equazione di secondo grado
Dei due valori trovati, solo il numero 8 è adatto alla condizione del problema. Quindi la somma dei primi otto termini della progressione è 111.
Esempio 5
risolvere l'equazione
1+3+5+...+x=307.
Soluzione: Questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza della progressione
La somma di una progressione aritmetica.
La somma di una progressione aritmetica è una cosa semplice. Sia nel significato che nella formula. Ma ci sono tutti i tipi di compiti su questo argomento. Da elementare a abbastanza solido.
Innanzitutto, affrontiamo il significato e la formula della somma. E poi decideremo. Per il tuo piacere.) Il significato della somma è semplice come muggire. Per trovare la somma di una progressione aritmetica, devi solo sommare attentamente tutti i suoi membri. Se questi termini sono pochi, puoi aggiungere senza alcuna formula. Ma se c'è molto, o molto ... l'aggiunta è fastidiosa.) In questo caso, la formula salva.
La formula della somma è semplice:
Scopriamo che tipo di lettere sono incluse nella formula. Questo chiarirà molto.
S n è la somma di una progressione aritmetica. Risultato di addizione Tutto membri, con Primo Di scorso.È importante. Somma esattamente Tutto membri di fila, senza lacune e salti. E, appunto, a partire da Primo. In problemi come trovare la somma del terzo e dell'ottavo termine, o la somma dei termini dal quinto al ventesimo, l'applicazione diretta della formula sarà deludente.)
un 1 - Primo membro della progressione. Qui è tutto chiaro, è semplice Primo numero di riga.
UN- scorso membro della progressione. ultimo numero riga. Non è un nome molto familiare, ma, se applicato alla quantità, è molto adatto. Allora vedrai di persona.
N è il numero dell'ultimo membro. È importante capire che nella formula questo numero coincide con il numero dei membri aggiunti.
Definiamo il concetto scorso membro UN. Domanda di riempimento: che tipo di membro lo farà scorso, se dato infinito progressione aritmetica?
Per una risposta sicura, devi capire il significato elementare di una progressione aritmetica e ... leggi attentamente il compito!)
Nel compito di trovare la somma di una progressione aritmetica, appare sempre l'ultimo termine (direttamente o indirettamente), che dovrebbe essere limitato. Altrimenti, un importo finito e specifico semplicemente non esiste. Per la soluzione, non importa che tipo di progressione sia data: finita o infinita. Non importa come sia dato: da una serie di numeri, o dalla formula dell'ennesimo membro.
La cosa più importante è capire che la formula funziona dal primo termine della progressione al termine con il numero N. In realtà, il nome completo della formula è simile a questo: la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Il numero di questi primissimi membri, ad es. N, è determinato esclusivamente dal compito. Nell'attività, tutte queste preziose informazioni sono spesso crittografate, sì ... Ma niente, negli esempi seguenti sveleremo questi segreti.)
Esempi di compiti per la somma di una progressione aritmetica.
Prima di tutto, informazioni utili:
La principale difficoltà nei compiti per la somma di una progressione aritmetica è la corretta determinazione degli elementi della formula.
Gli autori degli incarichi crittografano proprio questi elementi con un'immaginazione sconfinata.) La cosa principale qui è non aver paura. Comprendendo l'essenza degli elementi, è sufficiente decifrarli. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in dettaglio. Iniziamo con un'attività basata su un vero GIA.
1. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a n = 2n-3.5. Trova la somma dei primi 10 termini.
Buon lavoro. Facile.) Per determinare l'importo secondo la formula, cosa dobbiamo sapere? Primo membro un 1, ultimo termine UN, sì il numero dell'ultimo termine N.
Dove ottenere l'ultimo numero di membro N? Sì, nello stesso posto, nella condizione! Dice trova la somma primi 10 iscritti. Bene, che numero sarà scorso, decimo membro?) Non ci crederete, il suo numero è decimo!) Quindi, invece di UN sostituiremo nella formula un 10, ma invece N- dieci. Ancora una volta, il numero dell'ultimo membro è uguale al numero dei membri.
Resta da determinare un 1 E un 10. Questo è facilmente calcolato dalla formula dell'ennesimo termine, che è data nella formulazione del problema. Non sai come fare? Visita la lezione precedente, senza questo - niente.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Abbiamo scoperto il significato di tutti gli elementi della formula per la somma di una progressione aritmetica. Resta da sostituirli e contare:
Questo è tutto quello che c'è da fare. Risposta: 75.
Un altro compito basato sul GIA. Un po' più complicato:
2. Data una progressione aritmetica (a n), la cui differenza è 3,7; a 1 \u003d 2.3. Calcola la somma dei primi 15 termini.
Scriviamo subito la formula della somma:
Questa formula ci consente di trovare il valore di qualsiasi membro in base al suo numero. Stiamo cercando una semplice sostituzione:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Resta da sostituire tutti gli elementi nella formula per la somma di una progressione aritmetica e calcolare la risposta:
Risposta: 423.
A proposito, se nella formula della somma invece di UN basta sostituire la formula dell'ennesimo termine, otteniamo:
Diamo quelli simili, otteniamo una nuova formula per la somma dei membri di una progressione aritmetica:
 |
Come puoi vedere, non ce n'è bisogno ennesimo membro UN. In alcune attività, questa formula aiuta molto, sì ... Puoi ricordare questa formula. E puoi semplicemente ritirarlo al momento giusto, come qui. Dopotutto, la formula per la somma e la formula per l'ennesimo termine devono essere ricordate in ogni modo.)
Ora l'attività sotto forma di una breve crittografia):
3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a due cifre che sono multipli di tre.
Come! Nessun primo membro, nessun ultimo, nessuna progressione... Come vivere!?
Dovrai ragionare con la testa e tirare fuori dalla condizione tutti gli elementi della somma di una progressione aritmetica. Quali sono i numeri a due cifre - lo sappiamo. Sono costituiti da due numeri.) Quale numero a due cifre sarà Primo? 10, presumibilmente.) ultima cosa numero a due cifre? 99, ovviamente! Quelli a tre cifre lo seguiranno...
Multipli di tre... Hm... Questi sono numeri che sono divisibili uniformemente per tre, qui! Dieci non è divisibile per tre, 11 non è divisibile... 12... è divisibile! Quindi, qualcosa sta emergendo. Puoi già scrivere una serie in base alla condizione del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Questa serie sarà una progressione aritmetica? Certamente! Ogni termine differisce dal precedente rigorosamente di tre. Se 2, o 4, viene aggiunto al termine, diciamo, il risultato, cioè un nuovo numero non sarà più diviso per 3. È possibile determinare immediatamente la differenza della progressione aritmetica rispetto all'heap: d = 3. Utile!)
Quindi, possiamo tranquillamente annotare alcuni parametri di progressione:
Quale sarà il numero N ultimo membro? Chiunque pensi che 99 si sbagli fatalmente ... Numeri: vanno sempre di fila ei nostri membri saltano sopra i primi tre. Non corrispondono.
Ci sono due soluzioni qui. Un modo è per i super laboriosi. Puoi dipingere la progressione, l'intera serie di numeri e contare il numero di termini con il dito.) Il secondo modo è per i premurosi. Devi ricordare la formula per l'ennesimo termine. Se la formula viene applicata al nostro problema, otteniamo che 99 è il trentesimo membro della progressione. Quelli. n = 30.
Osserviamo la formula per la somma di una progressione aritmetica:
Guardiamo e ci rallegriamo.) Abbiamo estratto tutto il necessario per calcolare l'importo dalla condizione del problema:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Ciò che resta è l'aritmetica elementare. Sostituisci i numeri nella formula e calcola:
Risposta: 1665
Un altro tipo di puzzle popolari:
4. Viene data una progressione aritmetica:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trova la somma dei termini dal ventesimo al trentaquattresimo.
Guardiamo la formula della somma e ... siamo sconvolti.) La formula, lascia che te lo ricordi, calcola la somma dal primo membro. E nel problema devi calcolare la somma dal ventesimo... La formula non funzionerà.
Ovviamente puoi dipingere l'intera progressione di seguito e mettere i membri da 20 a 34. Ma ... in qualche modo risulta stupidamente e per molto tempo, giusto?)
C'è una soluzione più elegante. Dividiamo la nostra serie in due parti. La prima parte lo farà dal primo mandato al diciannovesimo. Seconda parte - venti a trentaquattro.È chiaro che se calcoliamo la somma dei termini della prima parte S 1-19, aggiungiamolo alla somma dei membri della seconda parte S 20-34, si ottiene la somma della progressione dal primo termine al trentaquattresimo S 1-34. Come questo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Questo dimostra che per trovare la somma S 20-34 si può fare per semplice sottrazione
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Vengono considerate entrambe le somme sul lato destro dal primo membro, cioè la formula della somma standard è del tutto applicabile a loro. Stiamo per iniziare?
Estraiamo i parametri di progressione dalla condizione del compito:
d = 1,5.
un 1= -21,5.
Per calcolare le somme dei primi 19 e dei primi 34 termini, avremo bisogno del 19° e del 34° termine. Li contiamo secondo la formula dell'ennesimo termine, come nel problema 2:
un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Non è rimasto niente. Sottrai la somma di 19 termini dalla somma di 34 termini:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Risposta: 262,5
Una nota importante! C'è una funzione molto utile per risolvere questo problema. Invece del calcolo diretto di cosa hai bisogno (S 20-34), abbiamo contato cosa, a quanto pare, non è necessario - S 1-19. E poi hanno deciso S 20-34, scartando il non necessario dal risultato completo. Una tale "finta con le orecchie" spesso salva in enigmi malvagi.)
In questa lezione abbiamo esaminato problemi per i quali è sufficiente comprendere il significato della somma di una progressione aritmetica. Bene, devi conoscere un paio di formule.)
Quando risolvo qualsiasi problema per la somma di una progressione aritmetica, consiglio di scrivere immediatamente le due formule principali di questo argomento.
Formula dell'ennesimo termine:
Queste formule ti diranno immediatamente cosa cercare, in quale direzione pensare per risolvere il problema. Aiuta.
E ora i compiti per una soluzione indipendente.
5. Trova la somma di tutti i numeri a due cifre che non sono divisibili per tre.
Fantastico?) Il suggerimento è nascosto nella nota al problema 4. Bene, il problema 3 aiuterà.
6. La progressione aritmetica è data dalla condizione: a 1 =-5.5; un n+1 = un n +0.5. Trova la somma dei primi 24 termini.
Insolito?) Questa è una formula ricorrente. Puoi leggerlo nella lezione precedente. Non ignorare il collegamento, tali enigmi si trovano spesso nel GIA.
7. Vasya ha risparmiato denaro per le vacanze. Fino a 4550 rubli! E ho deciso di regalare alla persona più amata (me stesso) qualche giorno di felicità). Vivi magnificamente senza negarti nulla. Spendi 500 rubli il primo giorno e spendi 50 rubli in più ogni giorno successivo rispetto a quello precedente! Finché i soldi non finiscono. Quanti giorni di felicità ha avuto Vasya?
È difficile?) Una formula aggiuntiva dall'attività 2 aiuterà.
Risposte (in disordine): 7, 3240, 6.
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Quando si studia l'algebra in scuola di educazione generale(Voto 9) uno di temi importantiè lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni - geometriche e aritmetiche. In questo articolo considereremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.
Cos'è una progressione aritmetica?
Per capirlo, è necessario dare una definizione della progressione in esame, nonché fornire le formule di base che verranno ulteriormente utilizzate per risolvere i problemi.
Aritmetica o è un tale insieme di numeri razionali ordinati, ogni membro del quale differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.
Facciamo un esempio. La successiva sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l'insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione considerato, poiché la differenza per esso non è un valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Formule importanti
Diamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi usando una progressione aritmetica. Sia n l'n-esimo membro della sequenza, dove n è un numero intero. Indichiamo la differenza Lettera latina D. Allora sono vere le seguenti espressioni:
- Per determinare il valore dell'ennesimo termine, la formula è adatta: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n + a 1)*n/2.
Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con una soluzione in grado 9, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché qualsiasi problema del tipo in esame si basa sul loro utilizzo. Inoltre, non dimenticare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1 .
Esempio n. 1: ricerca di un membro sconosciuto
Diamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule che devono essere utilizzate per risolvere.
Sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., è necessario trovare cinque termini in essa.
Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. Il quinto può essere definito in due modi:
- Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, si potrebbero prendere altri due termini uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d \u003d a n - a n-1, quindi d \u003d a 5 - a 4, da dove otteniamo: a 5 \u003d a 4 + d. Sostituiamo i valori noti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla, come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Come puoi vedere, entrambe le soluzioni portano allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza d della progressione è negativa. Tali successioni sono dette decrescenti perché ogni termine successivo è minore del precedente.
Esempio n. 2: differenza di progressione
Ora complichiamo un po 'il compito, facciamo un esempio di come trovare la differenza di una progressione aritmetica.
È noto che in alcune progressioni algebriche il 1° termine è uguale a 6 e il 7° termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e riportare questa sequenza al 7° termine.
Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo i dati noti dalla condizione in essa, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Da questa espressione, puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) / 6 = 2. Pertanto, è stata data risposta alla prima parte del problema.
Per riportare la successione al 7° membro, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e così via. Di conseguenza, ripristiniamo l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.
Esempio #3: fare una progressione
Cerchiamo di complicare ancora di più la condizione del problema. Ora devi rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Possiamo fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario fare una progressione algebrica in modo che altri tre termini si adattino tra questi.
Prima di iniziare a risolvere questo problema, è necessario capire quale posto occuperanno i numeri dati nella progressione futura. Poiché ci saranno altri tre termini tra di loro, quindi un 1 \u003d -4 e un 5 \u003d 5. Stabilito questo, procediamo a un'attività simile alla precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine, usiamo la formula, otteniamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Da: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Qui la differenza non è un valore intero, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.
Ora aggiungiamo la differenza trovata a un 1 e ripristiniamo i membri mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, che coincideva con la condizione del problema.
Esempio #4: Il primo membro della progressione
Continuiamo a fornire esempi di una progressione aritmetica con una soluzione. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Si consideri ora un problema di tipo diverso: si diano due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. Occorre trovare da quale numero inizia questa sequenza.
Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Non si sa nulla di questi numeri nella condizione del problema. Tuttavia, scriviamo le espressioni per ogni termine di cui abbiamo informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo due equazioni in cui ci sono 2 incognite (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Il sistema specificato è più semplice da risolvere se si esprime un 1 in ciascuna equazione e quindi si confrontano le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, da cui la differenza d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (vengono fornite solo 3 cifre decimali).
Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per a 1 . Ad esempio, prima: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Se ci sono dubbi sul risultato, puoi verificarlo, ad esempio determinare il 43 ° membro della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Un piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.
Esempio #5: somma
Vediamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.
Sia data una progressione numerica della seguente forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?
Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, questo problema può essere risolto, ovvero sommare in sequenza tutti i numeri, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se presti attenzione che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
È curioso notare che questo problema si chiama "Gaussiano", poiché all'inizio del 18° secolo il famoso tedesco, ancora all'età di soli 10 anni, era in grado di risolverlo nella sua mente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per la somma di una progressione algebrica, ma notò che se si sommano coppie di numeri posti agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), quindi per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.
Esempio #6: somma dei termini da n a m
Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare quale sarà la somma dei suoi termini da 8 a 14.
Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e quindi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non è abbastanza laborioso. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema con il secondo metodo, che è più universale.
L'idea è di ottenere una formula per la somma di una progressione algebrica tra i termini m e n, dove n > m sono numeri interi. Per entrambi i casi, scriviamo due espressioni per la somma:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Poiché n > m, è ovvio che la somma 2 include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso di prendere la differenza, viene sottratta dalla somma S n), allora otteniamo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). È necessario sostituire le formule per a n e a m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
La formula risultante è alquanto macchinosa, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri otteniamo: S mn = 301.
Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.
Un altro consiglio è cercare la semplicità, cioè se puoi rispondere alla domanda senza utilizzare complessi calcoli matematici, allora devi fare proprio questo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e diviso compito comune in attività secondarie separate (in questo caso prima trova i termini a n e a m).
Se ci sono dubbi sul risultato ottenuto, si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Come trovare una progressione aritmetica, scoperto. Una volta capito, non è così difficile.
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Progressione aritmetica
Una progressione aritmetica è un tipo speciale di sequenza. Pertanto, prima di definire la progressione aritmetica (e quindi geometrica), è necessario discutere brevemente concetto importante sequenza numerica.
Sotto sequenza
Immagina un dispositivo sullo schermo del quale vengono visualizzati alcuni numeri uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Un tale insieme di numeri è solo un esempio di una sequenza.
Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui a ciascun numero può essere assegnato un numero univoco (cioè messo in corrispondenza di un unico numero naturale)1. Viene chiamato il numero con il numero n ennesimo membro sequenze.
Quindi, nell'esempio precedente, il primo numero ha il numero 2, che è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1 ; il numero cinque ha il numero 6 che è il quinto membro della sequenza, che può essere denotato a5 . In generale, l'ennesimo membro di una sequenza è denotato da an (o bn , cn , ecc.).
Una situazione molto conveniente è quando l'ennesimo membro della sequenza può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; 1; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n definisce la sequenza: 1; 1; 1; 1; : : :
Non tutte le serie di numeri sono una sequenza. Quindi, un segmento non è una sequenza; contiene ¾troppi¿ numeri da rinumerare. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una sequenza. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.
Progressione aritmetica: definizioni di base
Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.
Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni termine (a partire dal secondo) è uguale alla somma del termine precedente e di un numero fisso (chiamato differenza della progressione aritmetica).
Ad esempio, sequenza 2; 5; 8; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; 8; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza zero.
Definizione equivalente: una successione an è detta progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (non dipendente da n).
Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva e decrescente se la sua differenza è negativa.
1 Ed ecco una definizione più concisa: una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali. Ad esempio, la sequenza di numeri reali è la funzione f: N! R.
Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, cioè contenenti un numero infinito di numeri. Ma nessuno si prende la briga di considerare anche le successioni finite; infatti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale 1; 2; 3; 4; 5 è composto da cinque numeri.
Formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica
È facile capire che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?
Non è difficile ottenere la formula desiderata per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia un
progressione aritmetica con differenza d. Abbiamo: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
In particolare scriviamo: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
e ora diventa chiaro che la formula per an è: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Compito 1. In progressione aritmetica 2; 5; 8; undici; : : : trova la formula dell'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.
Soluzione. Secondo la formula (1) si ha:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Proprietà e segno della progressione aritmetica
proprietà di una progressione aritmetica. Nella progressione aritmetica an for any
In altre parole, ogni membro della progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.
Prova. Abbiamo: | ||||
un n 1+ un n+1 | (e d) + (an + d) | |||
che è quanto era richiesto.
Più in generale, la progressione aritmetica an soddisfa l'uguaglianza
un n = un n k+ un n+k
per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ne risulta che la formula (2) non è solo una condizione necessaria ma anche sufficiente affinché una sequenza sia una progressione aritmetica.
Segno di una progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per ogni n > 2, allora la successione an è una progressione aritmetica.
Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:
a na n 1= a n+1a n:
Questo dimostra che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa semplicemente che la sequenza an è una progressione aritmetica.
La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati come un'unica affermazione; per comodità lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che spesso si verifica nei problemi).
Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.
Problema 2. (Università Statale di Mosca, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine specificato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e scrivi la differenza di questa progressione.
Soluzione. Per la proprietà di una progressione aritmetica, abbiamo:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Se x = 1 si ottiene una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5 si ottiene una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non funziona.
Risposta: x = 1, la differenza è 6.
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica
La leggenda dice che una volta l'insegnante disse ai bambini di trovare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette a leggere il giornale in silenzio. Tuttavia, nel giro di pochi minuti, un ragazzo ha detto di aver risolto il problema. Era Carl Friedrich Gauss, 9 anni, in seguito uno dei più grandi matematici della storia.
L'idea del piccolo Gauss era questa. Permettere
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Scriviamo questa somma in ordine inverso:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
e aggiungi queste due formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Ogni termine tra parentesi è uguale a 101, e ci sono 100 termini in totale, quindi
2S = 101 100 = 10100;
Usiamo questa idea per derivare la formula della somma
S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)
Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula dell'ennesimo termine an = a1 + (n 1)d:
2a1 + (n1)d | |||||
Attività 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.
Soluzione. I numeri a tre cifre multipli di 13 formano una progressione aritmetica con il primo termine 104 e la differenza 13; L'ennesimo termine di questa progressione è:
an = 104 + 13(n1) = 91 + 13n:
Scopriamo quanti membri contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disequazione:
un 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n669:
Quindi ci sono 69 membri nella nostra progressione. Secondo la formula (4) troviamo l'importo richiesto:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
