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Fai una progressione aritmetica della differenza. Progressione aritmetica - sequenza numerica

Calcolatrice in linea.
Soluzione di progressione aritmetica.
Dato: a n , d, n
Trova: un 1

Questo programma matematico trova $a_1$ di una progressione aritmetica basata su numeri specificati dall'utente $a_n, d $ e $n $.
I numeri $a_n$ e $d $ possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, un numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\ (2.5 \)) e nella forma frazione comune($-5\frac(2)(7) $).

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo di ricerca di una soluzione.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuole di istruzione generale in preparazione per lavoro di controllo e gli esami, quando si verifica la conoscenza prima dell'esame, i genitori controllano la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il prima possibile? compiti a casa matematica o algebra? In questo caso, puoi anche utilizzare i nostri programmi con una soluzione dettagliata.

Quindi, puoi eseguire il tuo propria formazione e/o formazione dei loro fratelli o sorelle minori, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo dei compiti da risolvere.

Se non hai familiarità con le regole per l'inserimento dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'inserimento dei numeri

I numeri $a_n$ e $d $ possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Il numero $n$ può essere solo un numero intero positivo.

Regole per l'inserimento delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali come 2,5 o come 2,5

Regole per l'inserimento delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: $-\frac(2)(3) $

La parte intera è separata dalla frazione da una e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: $-1\frac(2)(3) $

Inserisci i numeri a n , d, n Trova un 1

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Un po' di teoria.

Sequenza numerica

La numerazione è spesso usata nella pratica quotidiana. vari oggetti per indicare il loro ordine. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori sono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.

In una cassa di risparmio, in base al numero del conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere che tipo di deposito ha. Lascia che ci sia un deposito di a1 rubli sul conto n. 1, un deposito di a2 rubli sul conto n. 2, ecc. sequenza numerica
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un N
dove N è il numero di tutti gli account. Qui, a ogni numero naturale n da 1 a N viene assegnato un numero an .

Anche la matematica studia sequenze numeriche infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Viene chiamato il numero a 1 il primo membro della sequenza, numero un 2 - il secondo membro della sequenza, numero un 3 - il terzo membro della sequenza eccetera.
Viene chiamato il numero an n-esimo (n-esimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.

Ad esempio, nella sequenza di quadrati di numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... e 1 = 1 è il primo membro della sequenza; e n = n 2 è ennesimo membro sequenze; a n+1 = (n + 1) 2 è l'(n + 1)esimo (en più il primo) membro della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo n-esimo membro. Ad esempio, la formula $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ restituisce la sequenza $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

Progressione aritmetica

La durata di un anno è di circa 365 giorni. Di più valore esattoè uguale a $365\frac(1)(4) $ giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.

Per tenere conto di questo errore, ogni quattro anni viene aggiunto un giorno e l'anno allungato viene chiamato anno bisestile.

Ad esempio, nel terzo millennio, gli anni bisestili sono 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato con lo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.

Definizione.
Viene chiamata la sequenza numerica a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... progressione aritmetica, se per tutti gli n naturali l'uguaglianza
$a_(n+1) = a_n+d, $
dove d è un numero.

Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d si chiama differenza progressione aritmetica.

Per definizione di progressione aritmetica si ha:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
Dove
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, dove $n>1 $

Pertanto, ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due membri ad esso adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".

Si noti che se a 1 e d sono dati, allora i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati usando la formula ricorsiva a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, tuttavia, ad esempio, per un 100 saranno già necessari molti calcoli. Di solito, per questo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Secondo la definizione di una progressione aritmetica
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
eccetera.
Affatto,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
Perché ennesimo membro la progressione aritmetica si ottiene dal primo termine aggiungendo (n-1) per il numero d.
Questa formula si chiama formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica.

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

Troviamo la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questa somma in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Aggiungiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ci sono 100 termini in questa somma.
Pertanto, 2S = 101 * 100, da cui S = 101 * 50 = 5050.

Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Poiché $a_n=a_1+(n-1)d $, quindi sostituendo una n in questa formula, otteniamo un'altra formula per trovare le somme dei primi n termini di una progressione aritmetica:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

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O aritmetica: questo è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà sono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Cos'è questa progressione?

Prima di procedere alla considerazione della domanda (come trovare la somma di una progressione aritmetica), vale la pena capire cosa verrà discusso.

Qualsiasi sequenza di numeri reali che si ottiene aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta nel linguaggio della matematica, assume la forma:

Qui i è il numero ordinale dell'elemento della serie a i . Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, è possibile ripristinare facilmente l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che vale la seguente uguaglianza per la serie di numeri considerata:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'n-esimo elemento in ordine, aggiungi la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di dare la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi trovare la loro somma. Poiché ci sono pochi termini nella progressione (10), è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo per lo stesso valore d \u003d 1, quindi la sommatoria a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato . Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, ci sono solo 5 di queste somme, cioè esattamente due volte meno del numero di elementi nella serie. Moltiplicando poi il numero delle somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriva al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di fila, è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo an , e anche numero totale termini nf.

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza quando stava cercando una soluzione al problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m ad n: formula

La formula data nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (dei primi elementi), ma spesso nei compiti è necessario sommare una serie di numeri nel mezzo della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'ennesimo. Per risolvere il problema, un dato segmento da m ad n della progressione dovrebbe essere rappresentato come una nuova serie numerica. In tale rappresentazione m-th il termine a m sarà il primo, e an sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito è riportata una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi membri, partendo dal 5° e finendo con il 12°:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Usando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° membro della progressione. Si scopre:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, e conoscendo anche quali numeri della serie occupano, si può utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Ottenere:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trova la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcola la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrai il secondo dalla prima somma .

Che cosa punto principale formule?

Questa formula ti permette di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .

Certo, devi conoscere il primo termine un 1 e differenza di progressione D, beh, senza questi parametri, non puoi scrivere una progressione specifica.

Non è sufficiente memorizzare (o imbrogliare) questa formula. È necessario assimilarne l'essenza e applicare la formula in vari problemi. Sì, e non dimenticare al momento giusto, sì ...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti darò un suggerimento. Per coloro che padroneggiano la lezione fino alla fine.)

Quindi, occupiamoci della formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Che cos'è una formula in generale - immaginiamo.) Cos'è una progressione aritmetica, un numero di membro, una differenza di progressione - è chiaramente affermato nella lezione precedente. Dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire cosa ennesimo membro.

progressione in vista generale può essere scritto come una serie di numeri:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro un 4- quarto, e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - da un 120.

Come definire in generale Qualunque membro di una progressione aritmetica, s Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

Questo è quello che è n-esimo membro di una progressione aritmetica. Sotto la lettera n sono nascosti tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci dà un record del genere? Pensa, invece di un numero, hanno scritto una lettera ...

Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con le progressioni aritmetiche. Usando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E un sacco di compiti da risolvere in progressione. Vedrai più avanti.

Nella formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo membro della progressione aritmetica;

N- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di ogni progressione: UN ; un 1 ; D E N. Attorno a questi parametri ruotano in progressione tutti gli enigmi.

La formula dell'ennesimo termine può anche essere usata per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, nel problema si può dire che la progressione è data dalla condizione:

a n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può persino confondere ... Non ci sono serie, nessuna differenza ... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E può essere ancora più arrabbiato!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, sì, apri le parentesi e dai simili? Otteniamo una nuova formula:

an = 3 + 2n.

Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che sta la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo membro è un cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nei compiti per la progressione, c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, hai indovinato, il termine "n più il primo" della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione, il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo per UN quinto termine, quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione un n+1 ricorre nelle formule ricorsive. Non aver paura di questa terribile parola!) Questo è solo un modo per esprimere un termine di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Supponiamo di avere una progressione aritmetica in questa forma, usando la formula ricorrente:

un n+1 = un n +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. E come contare immediatamente, diciamo il ventesimo termine, un 20? Ma assolutamente no!) Mentre il 19° termine non è noto, il 20° non può essere contato. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorsiva e la formula dell'ennesimo termine. Ricorsivo funziona solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine - attraverso Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza contare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica, una formula ricorsiva può essere facilmente trasformata in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella solita forma e lavoraci. Nel GIA, tali compiti si trovano spesso.

Applicazione della formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente c'era un problema:

Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato della progressione aritmetica. Aggiungi, sì aggiungi ... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrare.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta da vedere cosa N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Qui scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) Siamo interessati al membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà il nostro N.È questo significato N= 121 lo sostituiremo ulteriormente nella formula, tra parentesi. Sostituisci tutti i numeri nella formula e calcola:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto quello che c'è da fare. Altrettanto rapidamente si potrebbe trovare il cinquecentodecimo membro, e il milletreesimo, qualsiasi. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e consideriamo.

Lascia che ti ricordi l'essenza: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di una progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .

Risolviamo il problema in modo più intelligente. Diciamo che abbiamo il seguente problema:

Trova il primo termine della progressione aritmetica (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, suggerirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi a mano, direttamente sul tuo taccuino:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... Tutto? Se pensi che sia tutto, allora non puoi risolvere il problema, sì ...

Abbiamo anche un numero N! Nella condizione un 17 = -2 nascosto due opzioni. Questo è sia il valore del diciassettesimo membro (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa "piccola cosa" spesso scivola oltre la testa, e senza di essa (senza la "piccola cosa", non la testa!) Il problema non può essere risolto. Anche se ... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, mettiamolo in:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Questo, in sostanza, è tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolare. Ottieni la risposta: un 1 = 6.

Una tale tecnica - scrivere una formula e semplicemente sostituire i dati noti - aiuta molto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica non può essere studiata affatto ...

Un altro problema popolare:

Trova la differenza della progressione aritmetica (a n) se a 1 =2; un 15 = 12.

Che cosa stiamo facendo? Sarai sorpreso, scriviamo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considera ciò che sappiamo: un 1 = 2; un 15 = 12; e (punto culminante speciale!) n=15. Sentiti libero di sostituire nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo l'aritmetica.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, compiti un n, un 1 E D deciso. Resta da imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro di una progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; g=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità note nella formula dell'ennesimo termine:

a n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e n. Ma UNè un membro della progressione con il numero N... E questo membro della progressione lo sappiamo! E' il 99. Non sappiamo il suo numero. N, quindi anche questo numero deve essere trovato. Sostituisci il termine di progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Riscriviamo la formula. Cosa, non ci sono opzioni? Hm... Perché abbiamo bisogno degli occhi?) Vediamo il primo membro della progressione? Vediamo. Questo è -3.6. Puoi tranquillamente scrivere: a 1 \u003d -3,6. Differenza D può essere determinato dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sì, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare un numero sconosciuto N e un numero incomprensibile 117. Nel problema precedente, almeno si sapeva che era il termine della progressione che veniva data. Ma qui non sappiamo nemmeno che ... Come essere!? Bene, come essere, come essere... Accendi Abilità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopotutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì-sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è risultato frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari nelle progressioni non può essere. Quale conclusione traiamo? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il 101° e il 102° membro. Se il numero si è rivelato naturale, ad es. numero intero positivo, allora il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.

Attività basata su una versione reale del GIA:

Progressione aritmetica data dalla condizione:

a n \u003d -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula ... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica! Lei permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro, è fatalmente sbagliato!) Perché la formula del problema è modificata. Il primo termine di una progressione aritmetica in esso nascosto. Niente, lo troveremo ora.)

Proprio come nelle attività precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Allo stesso modo, stiamo cercando il decimo termine:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Questo è tutto quello che c'è da fare.

Ed ora, per chi ha letto fino a queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento del GIA o dell'Unified State Exam, tu abbia dimenticato l'utile formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica. Mi viene in mente qualcosa, ma in qualche modo incerto ... Se N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non molto severo, ma decisamente sufficiente per la fiducia e la decisione giusta!) Per la conclusione basta ricordare il significato elementare della progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di disegnare un'immagine. Per chiarezza.

Disegniamo un asse numerico e segniamo il primo su di esso. secondo, terzo, ecc. membri. E nota la differenza D tra i membri. Come questo:

Guardiamo l'immagine e pensiamo: quanto è uguale al secondo termine? Secondo uno D:

UN 2 = a 1 + 1 D

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.

UN 3 = a 1 + 2 D

Capisci? Non metto alcune parole in grassetto per niente. Ok, ancora un passo.)

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.

UN 4 = a 1 + 3 D

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, fino al numero n, numero di lacune Volere n-1. Quindi, la formula sarà (nessuna opzione!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile disegnare un'immagine, allora ... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare alla soluzione l'intero potente arsenale della matematica: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non puoi mettere un'immagine in un'equazione...

Compiti per la decisione indipendente.

Per il riscaldamento:

1. In progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 \u003d 5.1. Trova un 3.

Suggerimento: secondo l'immagine, il problema si risolve in 20 secondi ... Secondo la formula, risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella sezione 555, questo problema è risolto sia dall'immagine che dalla formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. In progressione aritmetica (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 = 49, 3. Trova a 3 .

Cosa, riluttanza a disegnare un'immagine?) Ancora! È meglio nella formula, sì ...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a 1 \u003d -5,5; un n+1 = un n +0.5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questo compito, la progressione è data in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del termine positivo più piccolo della progressione.

5. Secondo la condizione del compito 4, trova la somma dei membri più piccoli positivi e più grandi negativi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è -2,5 e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è zero. Trova un 14 .

Non è il compito più semplice, sì ...) Qui il metodo "sulle dita" non funzionerà. Devi scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Accade. A proposito, dentro ultimo incarico c'è un punto sottile. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella sezione 555. E l'elemento fantasy per il quarto, e il momento sottile per il sesto, e approcci generali per risolvere eventuali problemi per la formula dell'ennesimo termine: tutto è dipinto. Raccomando.

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puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Bene, amici, se state leggendo questo testo, allora l'evidenza del cappuccio interno mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò subito al lavoro.

Per iniziare, un paio di esempi. Considera diverse serie di numeri:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è solo numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già uguale a cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso, ci sono radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non aver paura che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata dalla lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di osservazioni importanti. Innanzitutto, viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa nello spirito (1; 2; 3; 4; ...) - questo è già progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infiniti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni stanno aumentando e diminuendo. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso set (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, tu capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:

crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;

decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

Se $d \gt 0$, allora la progressione è crescente;
Se $d \lt 0$, allora la progressione è ovviamente decrescente;
Infine, c'è il caso $d=0$ — in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti di cui sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio, il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

Membri della progressione e della formula ricorrente

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto$\]

I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri della progressione. Sono indicati in questo modo con l'aiuto di un numero: il primo membro, il secondo membro e così via.

Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono correlati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e di fatto tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di riferimento e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo ragionevole sulla matematica, è uno dei primi.

Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.

Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluzione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\sinistra(1-1 \destra)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sinistra(2-1 \destra)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Risposta: (8; 3; -2)

È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.

Ovviamente, $n=1$ non avrebbe potuto essere sostituito: conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzioni. In altri casi, tutto si riduceva a banale aritmetica.

Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.

Soluzione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]

Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Pronto! Problema risolto.

Risposta: (-34; -35; -36)

Notare una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente conoscere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi nelle progressioni. Ecco un primo esempio di questo:

Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non troveremmo la risposta. Pertanto, proveremo a risolvere questi problemi in modo più rapido.

Compito numero 4. Quanti termini negativi in una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?

Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:

Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi a un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando ciò accadrà.

Proviamo a scoprire: per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) si conserva la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \giusto. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero massimo consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.

Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

Inoltre, proviamo a esprimere il quinto termine in termini del primo e della differenza utilizzando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ora procediamo per analogia con il problema precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

La soluzione minima intera di questa disuguaglianza è il numero 56.

Si noti che nell'ultima attività tutto è stato ridotto a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non ci andrà bene.

Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare un sacco di tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e rientri uguali

Consideriamo diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli su una linea numerica:

Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeri

Ho annotato specificamente i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora ti dirò, funziona allo stesso modo per qualsiasi "segmento".

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e scriviamola per tutti i membri contrassegnati:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovino alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato

I membri della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare alcuni $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:

Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).

Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: -3; 2.

Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Soluzione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?

Diciamo che nel problema 6 abbiamo ottenuto le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Inseriamoli nella condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Abbiamo i numeri -54; -2; 50 che differiscono per 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma dirò subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, risolvendo gli ultimi compiti, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che va ricordato anche:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, la comprensione di questa affermazione ci consentirà di "costruire" letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una simile "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che segue direttamente da quanto già considerato.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

6 elementi contrassegnati sulla linea dei numeri

Proviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ora nota che le seguenti somme sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarci), Poi uguali saranno anche le somme degli elementi su cui ci imbatteremo$S$. Questo può essere meglio rappresentato graficamente:

Gli stessi trattini danno somme uguali

Comprensione questo fatto ci permetterà di risolvere i problemi fondamentalmente di più alto livello complessità rispetto a quelle discusse sopra. Ad esempio, questi:

Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Soluzione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con rami verso l'alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Come puoi vedere, il coefficiente al termine più alto è 11 - questo è numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:

grafico di una funzione quadratica - parabola
Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa secondo lo schema standard (c'è una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole si noti che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto prende valore più piccolo(A proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - non siamo tenuti a farlo). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: -36

Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.

Soluzione. Bisogna infatti fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e ultimo numero già noto. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza - è equidistante dai numeri $x$ e $z$, e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dai numeri $x$ e $z$ siamo dentro questo momento non possiamo ottenere $y$, allora la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovato. Ecco perché

Argomentando in modo simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formino una progressione aritmetica, se si sa che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Soluzione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti, attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per chiarezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa che

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma allora l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(align)\]

Resta solo da trovare i membri rimanenti:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Pertanto, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Compiti di testo con progressioni

In conclusione, vorrei considerare un paio di problemi relativamente semplici. Ebbene, come quelli semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?

Soluzione. Ovviamente il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?

Soluzione. Tutti uguali:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Questa è la risposta: 260 libri saranno rilegati a dicembre.

Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Puoi tranquillamente andare a prossima lezione, dove studieremo la formula della somma di progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.

Se ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che dato sequenza numerica :

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .

Quindi, una sequenza numerica è una funzione di un argomento naturale.

Numero UN 1 chiamato il primo membro della sequenza , numero UN 2 — il secondo membro della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato n-esimo membro della sequenza , e il numero naturale N — il suo numero .

Da due membri vicini UN E UN +1 sequenze di membri UN +1 chiamato successivo (in direzione UN ), UN UN — precedente (in direzione UN +1 ).

Per specificare una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.

Spesso la sequenza è data con Formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro della sequenza in base al suo numero.

Per esempio,

la sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula

UN= 2N- 1,

e la sequenza di alternanza 1 E -1 - formula

B N = (-1)N +1 . ◄

La sequenza può essere determinata formula ricorrente, ovvero una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, attraverso i membri precedenti (uno o più).

Per esempio,

Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5

UN 1 = 1,

UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette membri della sequenza numerica sono impostati come segue:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,

UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Le sequenze possono essere finale E infinito .

La sequenza è chiamata definitivo se ha un numero finito di membri. La sequenza è chiamata infinito se ha infiniti membri.

Per esempio,

sequenza di numeri naturali a due cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finale.

Sequenza di numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infinito. ◄

La sequenza è chiamata crescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.

La sequenza è chiamata calante , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.

Per esempio,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . è una sequenza ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . è una successione discendente. ◄

Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono con l'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .

Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.

Progressione aritmetica

Progressione aritmetica viene chiamata una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, a cui viene aggiunto lo stesso numero.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .

è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:

UN +1 = UN + D,

Dove D - un certo numero.

Pertanto, la differenza tra il membro successivo e quello precedente di una data progressione aritmetica è sempre costante:

un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.

Numero D chiamato la differenza di una progressione aritmetica.

Per impostare una progressione aritmetica è sufficiente specificarne il primo termine e la differenza.

Per esempio,

Se UN 1 = 3, D = 4 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,

UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e differenza D suo N

UN = un 1 + (N- 1)D.

Per esempio,

trovare il trentesimo termine di una progressione aritmetica

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, D = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (N- 2)D,

UN= un 1 + (N- 1)D,

UN +1 = UN 1 + nd,

poi ovviamente

UN=	a n-1 + a n+1
	2

ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi.

i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.

Per esempio,

UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.

Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:

UN = 2N- 7,

un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Quindi,

un n+1 + un n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = UN,
2		2

◄

Notare che N -esimo membro di una progressione aritmetica può essere trovato non solo attraverso UN 1 , ma anche qualsiasi precedente un k

UN = un k + (N- K)D.

Per esempio,

Per UN 5 può essere scritto

un 5 = un 1 + 4D,

un 5 = un 2 + 3D,

un 5 = un 3 + 2D,

un 5 = un 4 + D. ◄

UN = un n-k + kd,

UN = un n+k - kd,

poi ovviamente

UN=	UN nk + un n+k
	2

ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla metà della somma dei membri di questa progressione aritmetica equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica, l'uguaglianza è vera:

una m + una n = una k + una l,

m + n = k + l.

Per esempio,

in progressione aritmetica

1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,

Primo N membri di una progressione aritmetica è uguale al prodotto della metà della somma dei termini estremi per il numero di termini:

Da ciò, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini

un k, un k +1 , . . . , UN,

quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:

Per esempio,

in progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N legati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In cui:

Se D > 0 , allora sta aumentando;
Se D < 0 , allora sta diminuendo;
Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.

Progressione geometrica

progressione geometrica si chiama una sequenza, ogni termine della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente, moltiplicato per lo stesso numero.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N condizione è soddisfatta:

b n +1 = b n · Q,

Dove Q ≠ 0 - un certo numero.

Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di questa progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numero Q chiamato denominatore di una progressione geometrica.

Per impostare una progressione geometrica è sufficiente specificarne il primo termine e il denominatore.

Per esempio,

Se B 1 = 1, Q = -3 , allora i primi cinque termini della successione si trovano come segue:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 e denominatore Q suo N -esimo termine può essere trovato dalla formula:

b n = B 1 · q n -1 .

Per esempio,

trovare il settimo termine di una progressione geometrica 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = B 1 · q n,

poi ovviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ogni membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedenti e successivi.

Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:

i numeri a, b e c sono membri consecutivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.

Per esempio,

dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -3 2 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione sopra. Abbiamo:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Quindi,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

che prova l'affermazione richiesta. ◄

Notare che N Il termine di una progressione geometrica può essere trovato non solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi termine precedente b k , per cui basta usare la formula

b n = b k · q n - K.

Per esempio,

Per B 5 può essere scritto

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · q n - K,

b n = b n - K · q k,

poi ovviamente

b n 2 = b n - K· b n + K

il quadrato di qualsiasi membro di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei membri di questa progressione equidistanti da esso.

Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica, l'uguaglianza è vera:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= K+ l.

Per esempio,

esponenzialmente

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato dalla formula:

E quando Q = 1 - secondo la formula

S n= n.b. 1

Si noti che se è necessario sommare i termini

b k, b k +1 , . . . , b n,

allora si usa la formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - K +1	.
	1 - Q

Per esempio,

esponenzialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se dato progressione geometrica, quindi le quantità B 1 , b n, Q, N E S n legati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, i valori corrispondenti delle altre due quantità vengono determinati da queste formule combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avvengono i seguenti proprietà di monotonicità :

la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E Q> 1;

B 1 < 0 E 0 < Q< 1;

Una progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E 0 < Q< 1;

B 1 < 0 E Q> 1.

Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata di segno: i suoi termini di numero dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini di numero pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.

Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati con la formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Per esempio,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Progressione geometrica infinitamente decrescente è chiamata una progressione geometrica infinita il cui modulo denominatore è minore di 1 , questo è

|Q| < 1 .

Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Questo si adatta al caso

1 < Q< 0 .

Con un tale denominatore, la sequenza è alternata di segno. Per esempio,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero a cui la somma del primo N termini della progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula