casa › Trasmissione (cambio) › Spiegazione del paradosso di Monty Hall. Il Monty Hall Paradox è un rompicapo logico non per i deboli di cuore.

Spiegazione del paradosso di Monty Hall. Il Monty Hall Paradox è un rompicapo logico non per i deboli di cuore.

L'ho incontrata chiamata Monty Hall Paradox, e wow risolto in modo diverso, vale a dire: ha dimostrato che si tratta di uno pseudo-paradosso.

Amici, sarò felice di ascoltare le critiche alla mia confutazione di questo paradosso (pseudo-paradosso, se ho ragione). E poi vedrò con i miei occhi che la mia logica è zoppa, smetterò di pensare a me stesso come un pensatore e penserò a cambiare il tipo di attività in una più lirica: o). Quindi, ecco il contenuto dell'attività. Di seguito sono riportate la soluzione proposta e la mia confutazione.

Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui ti trovi davanti a tre porte. Il padrone di casa, noto per essere onesto, ha messo un'auto dietro una delle porte e una capra dietro le altre due porte. Non hai informazioni su cosa c'è dietro quale porta.

Il facilitatore ti dice: “Prima devi scegliere una delle porte. Dopodiché, aprirò una delle porte rimanenti, dietro la quale c'è una capra. Quindi ti suggerirò di cambiare la tua scelta originale e scegliere la porta chiusa rimanente invece di quella che hai scelto all'inizio. Puoi seguire il mio consiglio e scegliere un'altra porta, oppure puoi confermare la tua scelta originale. Dopodiché, aprirò la porta che hai scelto e vincerai ciò che c'è dietro quella porta."

Scegli la porta numero 3. Il facilitatore apre la porta numero 1 e mostra che dietro c'è una capra. L'host ti chiede quindi di scegliere la porta numero 2.

Le tue possibilità di vincere un'auto aumenteranno se seguirai i suoi consigli?
Il paradosso di Monty Hall è uno dei ben noti problemi della teoria della probabilità, la cui soluzione, a prima vista, contraddice il buon senso.
Quando risolvono questo problema, di solito ragionano in questo modo: dopo che l'ospite ha aperto la porta dietro la quale si trova la capra, l'auto può essere solo dietro una delle due porte rimanenti. Dal momento che il giocatore non può riceverne Informazioni aggiuntive su quale porta si trova dietro l'auto, allora la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna delle porte è la stessa e cambiare la scelta iniziale della porta non dà alcun vantaggio al giocatore. Tuttavia, questa linea di ragionamento non è corretta.
Se l'host sa sempre quale porta c'è dietro, apre sempre la porta rimanente che contiene la capra e chiede sempre al giocatore di cambiare la sua scelta, allora la probabilità che l'auto sia dietro la porta scelta dal giocatore è 1/3, e , di conseguenza, la probabilità che l'auto sia dietro la porta rimanente è 2/3. Pertanto, la modifica della scelta iniziale raddoppia le possibilità del giocatore di vincere l'auto. Questa conclusione contraddice la percezione intuitiva della situazione da parte della maggior parte delle persone, motivo per cui il problema descritto è chiamato il paradosso di Monty Hall.

Mi sembra che le possibilità non cambieranno; non c'è paradosso.

Ed ecco perché: le scelte di prima e seconda porta sono indipendente eventi. È come lanciare una moneta 2 volte: quello che cade la seconda volta non dipende in alcun modo da quello che cade la prima.

Quindi ecco: dopo aver aperto la porta con una capra, il giocatore si ritrova dentro nuova situazione quando ha 2 porte e la probabilità di scegliere un'auto o una capra è 1/2.

Ancora una volta: dopo aver aperto una portiera su tre, la probabilità che l'auto sia dietro l'ultima portiera, non uguale a 2/3, Perché 2/3 è la probabilità che l'auto si trovi dietro 2 porte qualsiasi. Non è corretto attribuire questa probabilità a una porta non aperta ea una aperta. Prima l'apertura delle porte era un tale allineamento di probabilità, ma Dopo aprendo una porta, tutte queste probabilità diventano nulla, perché la situazione è cambiata e quindi è necessario un nuovo calcolo delle probabilità, Quale persone normali eseguita correttamente, rispondendo che nulla cambierà da un cambio di scelta.

Addendum: 1) motivazione che:

a) la probabilità di trovare un'auto dietro la porta prescelta è 1/3,

b) la probabilità che l'auto sia dietro altre due porte non selezionate, 2/3,

c) perché l'ospite ha aperto la porta con la capra, quindi la probabilità di 2/3 va interamente a una porta non selezionata (e non aperta),

e quindi è necessario cambiare la scelta in un'altra porta, in modo che la probabilità da 1/3 diventi 2/3, non vero, ma falso, vale a dire: nel paragrafo "c", perché inizialmente la probabilità 2/3 riguarda due porte qualsiasi, comprese le 2 rimaste non aperte, e poiché una porta è stata aperta, allora questa probabilità sarà divisa equamente tra 2 non aperte, cioè la probabilità sarà uguale e la scelta di un'altra porta non la aumenterà.

2) le probabilità condizionali vengono calcolate se ci sono 2 o più eventi casuali e la probabilità viene calcolata separatamente per ciascun evento e solo allora viene calcolata la probabilità del verificarsi congiunto di 2 o più eventi. Qui, all'inizio, la probabilità di indovinare era 1/3, ma per calcolare la probabilità che l'auto non sia dietro la porta scelta, ma dietro l'altra non aperta, non è necessario calcolare il probabilità condizionale, ma devi calcolare la probabilità semplice, che è 1 su 2, quelli. 1/2.

3) Quindi, questo non è un paradosso, ma un errore! (19.11.2009)

Appendice 2: Ieri ho trovato la spiegazione più semplice che la strategia di riselezione è ancora più vantaggiosa(il paradosso è vero!): con la prima scelta salire su una capra è 2 volte più probabile che su un'auto, perché le capre sono due, e quindi, con la seconda scelta, bisogna cambiare scelta. È così ovvio :o)

O in altre parole: bisogna non segnare in macchina, ma scartare le capre, e anche la conduttrice aiuta in questo, aprendo la capra. E all'inizio del gioco, con una probabilità di 2 su 3, anche il giocatore avrà successo, quindi, dopo aver rifiutato le capre, è necessario modificare la scelta. Ed è diventato anche molto ovvio all'improvviso :o)

Quindi tutto ciò che ho scritto finora è stata una pseudo-confutazione. Bene, ecco un'altra illustrazione del fatto che devi essere più modesto, rispettare il punto di vista di qualcun altro e non fidarti delle assicurazioni della tua logica che le sue decisioni sono cristalline.

Nel dicembre 1963, il canale televisivo americano NBC mandò in onda per la prima volta il programma Let's Make a Deal ("Facciamo un patto!"), In cui i partecipanti, selezionati dal pubblico in studio, contrattavano tra loro e con il conduttore, suonavano piccoli giochi o semplicemente indovina la risposta alla domanda. Al termine della trasmissione, i partecipanti hanno potuto giocare “l'affare del giorno”. Davanti a loro c'erano tre porte, di cui si sapeva che dietro una di esse c'era il Gran Premio (ad esempio un'auto), e dietro le altre due c'erano doni meno preziosi o completamente assurdi (ad esempio capre vive) . Dopo che il giocatore ha fatto la sua scelta, Monty Hall, l'ospite del programma, ha aperto una delle due porte rimanenti, mostrando che dietro non c'era nessun Premio e lasciando che il partecipante fosse felice di avere la possibilità di vincere.

Nel 1975, lo scienziato dell'UCLA Steve Selvin chiese cosa sarebbe successo se, in quel momento, dopo aver aperto la porta senza Premio, al partecipante fosse stato chiesto di cambiare la propria scelta. Le possibilità del giocatore di ottenere il Premio cambieranno in questo caso e, in tal caso, in quale direzione? Ha inviato la domanda corrispondente sotto forma di problema a The American Statistician ("American Statistician"), nonché allo stesso Monty Hall, che ha dato una risposta piuttosto curiosa. Nonostante questa risposta (o forse proprio per questo), il problema divenne popolare con il nome di "problema di Monty Hall".

La formulazione più comune di questo problema, pubblicata nel 1990 su Parade Magazine, è la seguente:

“Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui devi scegliere uno di tre porte. Dietro una delle porte c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una delle porte, ad esempio la numero 1, dopodiché il presentatore, che sa dov'è l'auto e dove sono le capre, apre una delle restanti porte, ad esempio la numero 3, dietro la quale c'è una capra. Dopodiché, ti chiede se desideri cambiare la tua scelta e scegliere la porta numero 2. Le tue possibilità di vincere l'auto aumenteranno se accetti l'offerta del padrone di casa e cambi la tua scelta?

Dopo la pubblicazione, è apparso subito chiaro che il problema era stato formulato in modo errato: non tutte le condizioni erano state stabilite. Ad esempio, il facilitatore può seguire la strategia del "Monty infernale": offrire di cambiare la scelta se e solo se il giocatore ha scelto un'auto alla prima mossa. Ovviamente, cambiare la scelta iniziale porterà a una perdita garantita in una situazione del genere.

Il più popolare è il problema con una condizione aggiuntiva: il partecipante al gioco conosce in anticipo le seguenti regole:

è ugualmente probabile che l'auto sia posizionata dietro una delle 3 porte;
in ogni caso l'ospite è obbligato ad aprire la porta con la capra (ma non quella che ha scelto il giocatore) e proporre al giocatore di cambiare la scelta;
se il leader può scegliere quale delle due porte aprire, sceglie una delle due con la stessa probabilità.

Traccia

Prova a considerare persone che hanno scelto porte diverse nello stesso caso (ovvero quando il Premio è, ad esempio, dietro la porta numero 1). Chi trarrà vantaggio dal cambiare la propria scelta e chi no?

Soluzione

Come suggerito nel tooltip, considera le persone che hanno fatto scelte diverse. Supponiamo che il Premio sia dietro la porta n. 1 e dietro le porte n. 2 e n. 3 ci siano delle capre. Supponiamo di avere sei persone e ogni porta è stata scelta da due persone, e da ciascuna coppia una ha successivamente cambiato la decisione e l'altra no.

Da notare che l'Host che sceglie la porta n° 1 aprirà una delle due porte a suo piacimento, mentre, indipendentemente da ciò, la Macchina verrà ricevuta da colui che non cambia la sua scelta, ma da colui che ha cambiato la sua scelta iniziale rimarranno senza il Premio. Ora diamo un'occhiata a coloro che hanno scelto le porte 2 e 3. Poiché c'è un'Automobile dietro la porta n. 1, l'Ospite non può aprirla, il che non gli lascia scelta: apre rispettivamente le porte n. 3 e n. 2 per loro. Allo stesso tempo, colui che ha cambiato la decisione in ciascuna coppia sceglierà di conseguenza il Premio, e colui che non ha cambiato non rimarrà senza nulla. Così, su tre persone che cambieranno idea, due riceveranno il Premio e una la capra, mentre delle tre che hanno lasciato invariata la scelta originaria, solo una riceverà il Premio.

Va notato che se l'auto fosse dietro la porta n. 2 o n. 3, il risultato sarebbe lo stesso, cambierebbero solo i vincitori specifici. Quindi, supponendo che inizialmente ogni porta sia scelta con uguale probabilità, otteniamo che chi cambia scelta vince il Premio due volte più spesso, cioè la probabilità di vincita in questo caso è maggiore.

Diamo un'occhiata a questo problema dal punto di vista della teoria matematica della probabilità. Supponiamo che la probabilità della scelta iniziale di ciascuna delle porte sia la stessa, così come la probabilità di trovarsi dietro ciascuna delle porte dell'Automobile. Inoltre, è utile fare una prenotazione che il Leader, quando può aprire due porte, scelga ciascuna di esse con uguale probabilità. Poi si scopre che dopo la prima decisione, la probabilità che il Premio si trovi dietro la porta scelta è 1/3, mentre la probabilità che si trovi dietro una delle altre due porte è 2/3. Allo stesso tempo, dopo che l'Host ha aperto una delle due porte "non selezionate", l'intera probabilità di 2/3 ricade solo su una delle porte rimanenti, creando così le basi per cambiare la decisione, che aumenterà la probabilità di vincita di 2 volte. Il che, ovviamente, non lo garantisce in alcun modo in un caso specifico, ma porterà a risultati più positivi in caso di ripetizione ripetuta dell'esperimento.

Epilogo

Il problema di Monty Hall non è la prima formulazione conosciuta di questo problema. In particolare, nel 1959, Martin Gardner pubblicò su Scientific American un problema simile “circa tre prigionieri” (problema dei tre prigionieri) con la seguente formulazione: “Su tre prigionieri, uno dovrebbe essere graziato e due dovrebbero essere giustiziati. Il prigioniero A convince la guardia a dirgli il nome di uno degli altri due che sarà giustiziato (o se entrambi vengono giustiziati), dopodiché, ricevuto il nome B, ritiene che la probabilità della propria salvezza sia diventata non 1/3, ma 1/2. Allo stesso tempo, il prigioniero C afferma che la probabilità della sua fuga è diventata 2/3, mentre per A non è cambiato nulla. Qual è quello giusto?"

Tuttavia, Gardner non fu il primo, poiché nel lontano 1889, nel suo Calculus of Probabilities, il matematico francese Joseph Bertrand (da non confondere con l'inglese Bertrand Russell!) Offre un problema simile (vedi il paradosso della scatola di Bertrand): “Ci sono tre scatole, ognuna delle quali contiene due monete: due d'oro nella prima, due d'argento nella seconda e due diverse nella terza.

Se comprendi le soluzioni a tutti e tre i problemi, è facile notare la somiglianza delle loro idee; matematicamente, tutti sono accomunati dal concetto di probabilità condizionata, cioè la probabilità dell'evento A, se si sa che l'evento B si è verificato. L'esempio più semplice: la probabilità che un normale dado abbia tirato uno è 1/6; tuttavia, se si sa che il numero ottenuto è dispari, allora la probabilità che sia uno è già 1/3. Il problema di Monty Hall, come gli altri due problemi citati, mostra che le probabilità condizionate devono essere maneggiate con cura.

Questi problemi sono spesso chiamati anche paradossi: il paradosso di Monty Hall, il paradosso della scatola di Bertrand (quest'ultimo da non confondere con il vero paradosso di Bertrand riportato nello stesso libro, che provava l'ambiguità del concetto di probabilità allora esistente) - che implica qualche contraddizione (ad esempio, in "paradosso del bugiardo" la frase "questa affermazione è falsa" contraddice la legge del terzo escluso). IN questo caso, tuttavia, non c'è contraddizione con affermazioni rigorose. Tuttavia, c'è una chiara contraddizione con opinione pubblica” o semplicemente “una soluzione ovvia” al problema. In effetti, la maggior parte delle persone, esaminando il problema, ritiene che dopo aver aperto una delle porte, la probabilità di trovare il Premio dietro una delle due rimanenti chiuse sia 1/2. In tal modo, affermano che non fa differenza se sono d'accordo o in disaccordo nel cambiare idea. Inoltre, molte persone trovano difficile comprendere una risposta diversa da questa, anche dopo aver ricevuto la soluzione dettagliata.

La risposta di Monty Hall a Steve Selwyn

Signor Steve Selvin,
assistente professore di biostatistica,
Università della California, Berkeley.

Caro Steve,

Grazie per avermi inviato il problema da American Statistical.

Anche se non ho studiato statistica all'università, so che i numeri possono sempre essere usati a mio vantaggio se volessi manipolarli. Il tuo ragionamento non tiene conto di una circostanza essenziale: dopo che la prima casella è vuota, il partecipante non può più cambiare la sua scelta. Quindi le probabilità rimangono le stesse: una su tre, giusto? E, naturalmente, dopo che una delle scatole è vuota, le possibilità non diventano 50/50, ma rimangono le stesse: una su tre. Al partecipante sembra solo che liberandosi di una scatola abbia più possibilità. Affatto. Due a uno contro di lui, com'era, e resta. E se vieni improvvisamente alla mia mostra, per te le regole rimarranno le stesse: niente cambio box dopo la selezione.

Immagina di essere diventato un partecipante a un gioco in cui devi scegliere una delle tre porte. Dietro una delle porte c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una delle porte, ad esempio la numero 1, dopodiché il presentatore, che sa dov'è l'auto e dove sono le capre, apre una delle restanti porte, ad esempio la numero 3, dietro la quale c'è una capra. Dopodiché, ti chiede se desideri cambiare la tua scelta e scegliere la porta numero 2. Le tue possibilità di vincere l'auto aumenteranno se accetti l'offerta del padrone di casa e cambi la tua scelta?

Soluzione. Notiamo subito che questo problema non contiene alcun paradosso. compito regolare ( Primo livello) alla formula di Bayes, che deriva dalla definizione di probabilità condizionata.

Formula di Bayes

Denota con A, l'evento: hai vinto un'auto.

Abbiamo avanzato due ipotesi: H 1 - non cambi la porta e H 2 - cambi la porta.

P(H 1)= 1/3 - a priori (a priori - significa prima dell'esperimento, l'host non ha ancora aperto la porta) la probabilità dell'ipotesi che tu stia cambiando la porta.

P H1 (A) - probabilità condizionata che indovinerai la porta dietro la quale si trova l'auto, se si è verificata la prima ipotesi H 1

P H2 (A) - probabilità condizionale di indovinare la porta dietro la quale si trova l'auto, se si verifica la seconda ipotesi H 2

Trova la probabilità dell'evento A se si verifica l'ipotesi H 1 (la probabilità che tu abbia vinto l'auto se non hai cambiato la portiera):

Trova la probabilità dell'evento A se si è verificata l'ipotesi H 2 (la probabilità che tu abbia vinto l'auto se hai cambiato la porta):

Pertanto, il partecipante dovrebbe cambiare la sua scelta iniziale - in questo caso, la probabilità della sua vincita sarà pari a 2 ⁄ 3 .

Verifica statistica del paradosso di Monty Hall

Qui: "strategia 1" - non cambiare la scelta, "strategia 2" - cambia la scelta. Teoricamente, per il caso con 3 porte, la distribuzione di probabilità è 33.(3)% e 66.(6)%. La simulazione numerica dovrebbe dare risultati simili.

La teoria della probabilità è una branca della matematica pronta a confondere gli stessi matematici. A differenza del resto, dogmi esatti e incrollabili di questa scienza, quest'area pullula di stranezze e imprecisioni. Un nuovo paragrafo, per così dire, è stato recentemente aggiunto a questa sezione: il paradosso di Monty Hall. Questo è, in generale, un compito, ma è risolto in un modo completamente diverso rispetto a quelli ordinari della scuola o dell'università.

Storia delle origini

La gente si è scervellata sul paradosso di Monty Hall fin dal lontano 1975. Ma vale la pena iniziare nel 1963. Fu allora che apparve sugli schermi uno spettacolo televisivo intitolato Facciamo un patto, che si traduce come "Facciamo un patto". Uno dei più sorprendenti è stato quello che ha presentato nel 1975. Il problema è diventato parte della teoria matematica della probabilità e dei paradossi che si inseriscono nella sua struttura. Vale anche la pena notare che questo fenomeno fu causa di forti discussioni e aspre critiche da parte degli scienziati. Il paradosso di Monty Hall è stato pubblicato sulla rivista Parade nel 1990, e da allora è diventato ancora più discusso e questione controversa tutti i tempi e popoli. Bene, ora passiamo direttamente alla sua formulazione e interpretazione.

Dichiarazione problema

Ci sono molte interpretazioni di questo paradosso, ma abbiamo deciso di presentarvi quella classica, che è stata mostrata nel programma stesso. Quindi ci sono tre porte davanti a te. Dietro uno di loro c'è un'auto, dietro gli altri due, una capra ciascuno. Il padrone di casa ti invita a scegliere una delle porte, e diciamo che ti fermi al numero 1. Finora non sai cosa c'è dietro questa primissima porta, dato che ti aprono la terza e ti mostrano che c'è una capra Dietro. Pertanto, non hai ancora perso, perché non hai scelto la porta che nasconde l'opzione perdente. Pertanto, le tue possibilità di ottenere un'auto aumentano.

Ma poi l'host ti suggerisce di cambiare idea. Ci sono già due porte davanti a te, dietro una c'è una capra, dietro l'altra c'è un ambito premio. Proprio questo è il nocciolo del problema. Sembra che qualunque delle due porte tu scelga, le probabilità sono 50 su 50. Ma in realtà, se cambi idea, la probabilità di vincere aumenterà. Come mai?

La prima scelta che fai in questo gioco è casuale. Non puoi nemmeno lontanamente indovinare quale delle tre porte è nascosto dietro il premio, quindi indichi a caso la prima che si imbatte. Il leader, a sua volta, sa dov'è tutto. Ha una porta con un premio, una porta che hai indicato e una terza senza premio, che ti apre come primo indizio. Il secondo indizio sta proprio nella sua proposta di cambiare la scelta.

Ora non sceglierai più uno dei tre a caso, e potrai addirittura cambiare idea per ottenere il premio desiderato. È la proposta dell'ospite che dà alla persona la convinzione che l'auto non sia davvero dietro la porta che ha scelto, ma dietro un'altra. Questa è tutta l'essenza del paradosso, poiché, infatti, devi ancora scegliere (anche se tra due e non tra tre) a caso, ma le possibilità di vincita aumentano. Secondo le statistiche, su 30 giocatori che hanno cambiato idea, 18 hanno vinto l'auto, e questo è il 60%. E delle stesse 30 persone che non hanno cambiato la loro decisione, solo 11, cioè il 36%.

Interpretazione in numeri

Ora diamo di più al paradosso di Monty Hall definizione precisa. La prima scelta del giocatore divide le porte in due gruppi. La probabilità che il premio si trovi dietro la porta che hai scelto è 1/3, e dietro le porte che rimangono 2/3. L'ospite apre quindi una delle porte del secondo gruppo. Pertanto, trasferisce tutta la probabilità rimanente, 2/3, a una porta che non hai scelto e che non ha aperto. È logico che dopo tali calcoli sarà più redditizio cambiare idea. Ma allo stesso tempo è importante ricordare che c'è ancora una possibilità di perdere. A volte i presentatori sono astuti, poiché inizialmente puoi colpire la porta corretta e premiata, quindi rifiutarla volontariamente.

Siamo tutti abituati al fatto che la matematica, in quanto scienza esatta, vada di pari passo con il buon senso. Qui lavorano i numeri, non le parole, le formule esatte, non i pensieri vaghi, le coordinate, non i dati relativi. Ma lei nuova sezione chiamata teoria della probabilità ha fatto esplodere l'intero modello familiare. I compiti in quest'area, ci sembra, non rientrano nel quadro del buon senso e contraddicono completamente tutte le formule e i calcoli. Di seguito ti suggeriamo di familiarizzare con altri paradossi della teoria della probabilità che hanno qualcosa in comune con quello sopra descritto.

Paradosso ragazzo e ragazza

Il compito, a prima vista, è assurdo, ma obbedisce rigorosamente a una formula matematica e ha due soluzioni. Quindi, un certo uomo ha due figli. Uno di loro deve essere un ragazzo. Qual è la probabilità che il secondo sia un maschio?

Opzione 1. Consideriamo tutte le combinazioni di due bambini in una famiglia:

Ragazza/ragazza.
Ragazza ragazzo.
Ragazzo ragazza.
Ragazzo ragazzo.

La prima combinazione ovviamente non ci va bene, quindi, sulla base delle ultime tre, otteniamo 1/3 di probabilità che il secondo figlio sia un uomo piccolo.

Opzione 2. Se immaginiamo un caso del genere in pratica, scartando frazioni e formule, allora, in base al fatto che ci sono solo due sessi sulla Terra, la probabilità che il secondo figlio sia un maschio è 1/2.

Questa esperienza ci mostra come notoriamente le statistiche possono essere manipolate. Quindi, alla "bella addormentata" vengono iniettati sonniferi e lanciata una moneta. Se esce la testa, viene svegliata e l'esperimento finisce. Se cade la croce, la svegliano, facendo immediatamente una seconda iniezione, e lei dimentica di essersi svegliata, dopodiché si svegliano di nuovo solo il secondo giorno. Dopo il completo risveglio, la "bella" non sa in quale giorno ha aperto gli occhi, né qual è la probabilità che la moneta sia caduta croce. Secondo la prima soluzione, la probabilità di ottenere croce (o testa) è 1/2. L'essenza della seconda opzione è che se l'esperimento viene eseguito 1000 volte, nel caso di un'aquila, la "bellezza" si risveglierà 500 volte e con una rara - 1000. Ora la probabilità di ottenere la coda è 2/3.

Il paradosso di Monty Hall è uno dei ben noti problemi della teoria della probabilità, la cui soluzione, a prima vista, contraddice il buon senso. Il problema è formulato come descrizione di un ipotetico gioco basato sul programma televisivo americano Let's Make a Deal e prende il nome dall'ospite di questo programma. La formulazione più comune di questo problema, pubblicata nel 1990 su Parade Magazine, è la seguente:

Sebbene questa formulazione del problema sia la più nota, è alquanto problematica perché lascia indefinite alcune importanti condizioni del problema. Quella che segue è una dichiarazione più completa.

Quando risolvono questo problema, di solito ragionano in questo modo: dopo che l'ospite ha aperto la porta dietro la quale si trova la capra, l'auto può essere solo dietro una delle due porte rimanenti. Poiché il giocatore non può ottenere alcuna informazione aggiuntiva su quale porta si trova dietro l'auto, la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna delle porte è la stessa e cambiare la scelta iniziale della porta non dà alcun vantaggio al giocatore. Tuttavia, questa linea di ragionamento non è corretta. Se l'host sa sempre quale porta c'è dietro, apre sempre la porta rimanente che contiene la capra e chiede sempre al giocatore di cambiare la sua scelta, allora la probabilità che l'auto sia dietro la porta scelta dal giocatore è 1/3, e , di conseguenza, la probabilità che l'auto sia dietro la porta rimanente è 2/3. Pertanto, la modifica della scelta iniziale raddoppia le possibilità del giocatore di vincere l'auto. Questa conclusione contraddice la percezione intuitiva della situazione da parte della maggior parte delle persone, motivo per cui il problema descritto è chiamato il paradosso di Monty Hall.

decisione verbale

La risposta corretta a questo problema è la seguente: sì, le possibilità di vincere un'auto raddoppiano se il giocatore segue il consiglio del conduttore e cambia la sua scelta iniziale.

La spiegazione più semplice per questa risposta è la seguente considerazione. Per vincere un'auto senza cambiare la scelta, il giocatore deve immediatamente indovinare la porta dietro la quale si trova l'auto. La probabilità di questo è 1/3. Se il giocatore inizialmente colpisce la porta con una capra dietro di essa (e la probabilità di questo evento è 2/3, poiché ci sono due capre e solo una macchina), allora può sicuramente vincere la macchina cambiando idea, poiché la macchina e una capra rimane, e l'oste ha già aperto la porta con la capra.

Pertanto, senza cambiare la scelta, il giocatore rimane con la sua probabilità iniziale di vincere 1/3, e quando cambia la scelta iniziale, il giocatore trasforma a suo vantaggio il doppio della probabilità rimanente che non ha indovinato correttamente all'inizio.

Inoltre, è possibile ottenere una spiegazione intuitiva scambiando i due eventi. Il primo evento è la decisione del giocatore di cambiare la porta, il secondo è l'apertura di una porta in più. Questo è accettabile, poiché l'apertura di una porta in più non ne dà al giocatore nuova informazione(documento vedi in questo articolo).

Allora il problema può essere ridotto alla seguente formulazione. Al primo momento, il giocatore divide le porte in due gruppi: nel primo gruppo c'è una porta (quella che ha scelto), nel secondo gruppo ci sono due porte rimanenti. Al momento successivo, il giocatore fa una scelta tra i gruppi. È ovvio che per il primo gruppo la probabilità di vincita è 1/3, per il secondo gruppo 2/3. Il giocatore sceglie il secondo gruppo. Nel secondo gruppo può aprire entrambe le porte. Uno viene aperto dall'host e il secondo dal giocatore stesso.

Proviamo a dare la spiegazione "più comprensibile". Riformulare il problema: Un host onesto annuncia al giocatore che c'è un'auto dietro una delle tre porte, e lo invita a indicare prima una delle porte, quindi scegliere una delle due azioni: aprire la porta specificata (nel vecchia formulazione, questa si chiama "non cambiare la tua scelta") oppure apri le altre due (nella vecchia formulazione, questo sarebbe solo "cambia la tua scelta". Pensa, questa è la chiave di lettura!). È chiaro che il giocatore sceglierà la seconda delle due azioni, poiché la probabilità di ottenere un'auto in questo caso è doppia. E la piccola cosa che il leader "ha mostrato una capra" anche prima di scegliere l'azione non aiuta e non interferisce con la scelta, perché dietro una delle due porte c'è sempre una capra e il leader lo mostrerà sicuramente ad ogni corso del gioco, quindi il giocatore può su questa capra e non guardare. Il compito del giocatore, se ha scelto la seconda azione, è dire "grazie" all'ospite per avergli risparmiato la fatica di aprire lui stesso una delle due porte e aprire l'altra. Bene, o anche più facile. Immaginiamo questa situazione dal punto di vista dell'host, che sta facendo una procedura simile con decine di giocatori. Siccome sa perfettamente cosa c'è dietro le porte, allora, in media, in due casi su tre, vede in anticipo che il giocatore ha scelto la porta "sbagliata". Quindi per lui non c'è assolutamente paradosso che la strategia corretta sia quella di cambiare scelta dopo aver aperto la prima porta: del resto poi negli stessi due casi su tre il giocatore lascerà lo studio per nuova auto.

Infine, la prova più "ingenua". Colui che sostiene la sua scelta sia chiamato "testardo", e colui che segue le istruzioni del leader, sia chiamato "attento". Quindi vince l'ostinato se inizialmente ha indovinato l'auto (1/3) e l'attento - se prima ha mancato e ha colpito la capra (2/3). Dopotutto, solo in questo caso indicherà la porta con l'auto.

Chiavi di comprensione

Nonostante la semplicità di spiegare questo fenomeno, molte persone credono intuitivamente che la probabilità di vincita non cambi quando il giocatore cambia la sua scelta. Di solito, l'impossibilità di modificare la probabilità di vincita è motivata dal fatto che nel calcolo della probabilità gli eventi accaduti in passato non contano, come accade, ad esempio, quando si lancia una moneta: la probabilità di ottenere testa o croce fa non dipende da quante volte prima è caduta testa o croce. Pertanto, molti credono che nel momento in cui il giocatore sceglie una porta su due, non importa più che in passato si potesse scegliere una porta su tre, e la probabilità di vincere un'auto è la stessa quando si cambia la scelta e lasciando la scelta originale.

Tuttavia, mentre tali considerazioni sono vere nel caso del lancio di una moneta, non sono vere per tutti i giochi. In questo caso, l'apertura della porta da parte del padrone dovrebbe essere ignorata. Il giocatore sceglie essenzialmente tra una porta che ha scelto per prima e le altre due: aprirne una serve solo a distrarre il giocatore. È noto che c'è una macchina e due capre. La scelta iniziale del giocatore di una delle porte divide i possibili esiti del gioco in due gruppi: o l'auto è dietro la porta scelta dal giocatore (probabilità di questo è 1/3), oppure dietro una delle altre due (probabilità di questo è 2/3). Allo stesso tempo, è già noto che dietro una delle due porte rimanenti c'è comunque una capra e, aprendo questa porta, il conduttore non fornisce al giocatore alcuna informazione aggiuntiva su cosa c'è dietro la porta scelta dal giocatore. giocatore. Quindi, l'apertura della porta con la capra da parte del leader non cambia la probabilità (2/3) che l'auto si trovi dietro una delle restanti porte. E già da allora porta aperta il giocatore non sceglie, quindi tutta questa probabilità si concentra nel caso in cui l'auto si trovi dietro la restante porta chiusa.

Ragionamento più intuitivo: lascia che il giocatore agisca secondo la strategia "cambia scelta". Quindi perderà solo se inizialmente sceglie un'auto. E la probabilità di questo è un terzo. Pertanto, la probabilità di vincita: 1-1/3=2/3. Se il giocatore agisce secondo la strategia "non cambiare scelta", allora vincerà se e solo se inizialmente ha scelto l'auto. E la probabilità di questo è un terzo.

Immaginiamo questa situazione dal punto di vista dell'host, che sta facendo una procedura simile con decine di giocatori. Siccome sa perfettamente cosa c'è dietro le porte, allora, in media, in due casi su tre, vede in anticipo che il giocatore ha scelto la porta "sbagliata". Per lui, quindi, non c'è assolutamente paradosso che la strategia corretta sia cambiare la scelta dopo aver aperto la prima porta: del resto, negli stessi due casi su tre, il giocatore lascerà lo studio con una macchina nuova.

Un altro motivo comune per la difficoltà nel comprendere la soluzione a questo problema è che spesso le persone immaginano un gioco leggermente diverso, in cui non si sa in anticipo se il presentatore aprirà la porta con una capra e suggerirà al giocatore di cambiare la sua scelta. In questo caso, il giocatore non conosce le tattiche del presentatore (cioè, in sostanza, non conosce tutte le regole del gioco) e non può fare scelta ottimale. Ad esempio, se il facilitatore offrirà un cambio di opzione solo se il giocatore inizialmente ha scelto la porta con l'auto, ovviamente il giocatore dovrebbe sempre lasciare invariata la decisione originale. Ecco perché è importante tenere a mente l'esatta formulazione del problema di Monty Hall. (con questa opzione, il leader con strategie diverse può ottenere qualsiasi probabilità tra le porte, nel caso generale (medio) sarà 1/2 per 1/2).

Aumento del numero di porte

Per facilitare la comprensione dell'essenza di ciò che sta accadendo, possiamo considerare il caso in cui il giocatore non vede tre porte davanti a sé, ma, ad esempio, cento. Allo stesso tempo, c'è un'auto dietro una delle porte e capre dietro l'altra 99. Il giocatore sceglie una delle porte, mentre nel 99% dei casi sceglierà la porta con una capra, e le possibilità di scegliere subito la porta con un'auto sono molto ridotte - sono dell'1%. Successivamente, l'host apre 98 porte con le capre e chiede al giocatore di scegliere la porta rimanente. In questo caso, nel 99% dei casi, l'auto si troverà dietro questa porta rimanente, poiché le possibilità che il giocatore scelga immediatamente la porta corretta sono molto ridotte. È chiaro che in questa situazione un giocatore che pensa razionalmente dovrebbe sempre accettare la proposta del leader.

Quando si considera un numero maggiore di porte, spesso sorge la domanda: se nel problema originale il leader apre una porta su tre (cioè 1/3 di totale porte), perché dovremmo presumere che nel caso di 100 porte, l'ospite aprirà 98 porte con capre e non 33? Questa considerazione è di solito una delle ragioni significative per cui il paradosso di Monty Hall entra in conflitto con la percezione intuitiva della situazione. Supponendo che l'apertura di 98 porte sarà corretta perché condizione essenziale Il compito è avere una sola scelta alternativa per il giocatore, offerta dal moderatore. Pertanto, affinché i compiti siano simili, nel caso di 4 porte, il leader deve aprire 2 porte, nel caso di 5 porte - 3 e così via, in modo che ci sia sempre una porta non aperta diversa da quella che il giocatore ha inizialmente scelto. Se il facilitatore apre meno porte, il compito non sarà più simile al compito originale di Monty Hall.

Va notato che nel caso di molte porte, anche se l'host non lascia una porta chiusa, ma diverse, e offre al giocatore di sceglierne una, quando si cambia la scelta iniziale, le possibilità del giocatore di vincere l'auto diminuiranno continuano ad aumentare, anche se non in modo così significativo. Ad esempio, si consideri una situazione in cui un giocatore sceglie una porta tra cento, e poi il facilitatore apre solo una delle porte rimanenti, invitando il giocatore a cambiare la sua scelta. Allo stesso tempo, le possibilità che l'auto si trovi dietro la porta originariamente scelta dal giocatore rimangono le stesse - 1/100, e per le porte rimanenti le possibilità cambiano: la probabilità totale che l'auto si trovi dietro una delle porte rimanenti ( 99/100) è ora distribuito non su 99 porte, ma su 98. Pertanto, la probabilità di trovare un'auto dietro ciascuna di queste porte non sarà 1/100, ma 99/9800. L'aumento della probabilità sarà di circa lo 0,01%.

albero decisionale

Albero possibili soluzioni giocatore e host, mostrando la probabilità di ogni risultato

Più formalmente, uno scenario di gioco può essere descritto utilizzando un albero decisionale.

Nei primi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta dietro la quale si trova la capra, cambiare la scelta si traduce in una vittoria. Negli ultimi due casi, quando il giocatore ha scelto per la prima volta la porta con l'auto, cambiare la scelta si traduce in una perdita.

La probabilità totale che un cambio di scelta porti ad una vincita è equivalente alla somma delle probabilità dei primi due esiti, cioè

Di conseguenza, la probabilità che il rifiuto di modificare la scelta porti a una vittoria è pari a

Condurre un esperimento simile

C'è un modo semplice per assicurarsi che la modifica della scelta originale si traduca in una vittoria in media due volte su tre. Per fare ciò, puoi simulare il gioco descritto nel problema di Monty Hall usando giocando a carte. Una persona (che distribuisce le carte) interpreta il ruolo del principale Monty Hall, e la seconda - il ruolo del giocatore. Per il gioco vengono prese tre carte, di cui una raffigura una porta con un'auto (ad esempio, l'asso di picche), e altre due identiche (ad esempio, due due rossi) sono porte con capre.

L'host dispone tre carte coperte, invitando il giocatore a prendere una delle carte. Dopo che il giocatore ha scelto una carta, il leader guarda le due carte rimanenti e rivela il due rosso. Successivamente, vengono aperte le carte lasciate dal giocatore e dal leader, e se la carta scelta dal giocatore è l'asso di picche, viene registrato un punto a favore dell'opzione quando il giocatore non cambia la sua scelta, e se il giocatore ha un due rosso e il leader ha un asso di picche, quindi viene segnato un punto a favore dell'opzione quando il giocatore cambia la sua scelta. Se giochiamo molti di questi round del gioco, allora il rapporto tra i punti a favore delle due opzioni riflette abbastanza bene il rapporto tra le probabilità di queste opzioni. In questo caso, risulta che il numero di punti a favore della modifica della scelta iniziale è circa il doppio.

Un tale esperimento non solo assicura che la probabilità di vincere quando si cambia la scelta sia doppia, ma illustra anche bene perché ciò accade. Nel momento in cui il giocatore ha scelto una carta per sé, è già determinato se l'asso di picche è nella sua mano o meno. L'ulteriore apertura di una delle carte da parte del leader non cambia la situazione: il giocatore tiene già la carta in mano e rimane lì indipendentemente dalle azioni del leader. La probabilità per il giocatore di scegliere l'asso di picche tre carteè ovviamente 1/3, e quindi la probabilità di non sceglierlo (e quindi il giocatore vince se cambia la scelta originaria) è 2/3.

Citare

Nel film Twenty-one, l'insegnante, Miki Rosa, sfida il protagonista, Ben, a risolvere un enigma: ci sono due scooter e un'auto dietro tre porte; devi indovinare la porta per vincere l'auto. Dopo la prima scelta, Miki si offre di cambiare la scelta. Ben è d'accordo e giustifica matematicamente la sua decisione. Quindi supera involontariamente il test per la squadra di Miki.

Nel romanzo di Sergei Lukyanenko "Nedotepa", i personaggi principali, usando questa tecnica, vincono una carrozza e l'opportunità di continuare il loro viaggio.

Nella serie televisiva 4isla (episodio 13 della stagione 1 "Man Hunt"), uno dei personaggi principali, Charlie Epps, in una popolare conferenza sulla matematica, spiega il paradosso di Monty Hall, illustrandolo chiaramente utilizzando tabelloni, su lati inversi che sono capre dipinte e un'auto. Charlie trova l'auto cambiando la selezione. Tuttavia, va notato che esegue solo un esperimento, mentre il vantaggio della strategia di passaggio è statistico e una serie di esperimenti dovrebbe essere eseguita per illustrare correttamente.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Popolare nella categoria: