Moltiplicazione delle frazioni regola ed esempi. Moltiplicazione di frazioni semplici e miste con denominatori diversi

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Moltiplicazione e divisione di frazioni.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per chi è forte "non molto. »
E per quelli che “molto pari. "")

Questa operazione è molto più bella dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Ti ricordo: per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:

Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un comune denominatore! Non ne ho bisogno qui...

Per dividere una frazione per frazione, devi capovolgere secondo(questo è importante!) frazionali e moltiplicali, ad esempio:

Se viene catturata la moltiplicazione o la divisione con numeri interi e frazioni, va bene. Come con l'addizione, facciamo una frazione da un numero intero con un'unità nel denominatore - e via! Per esempio:

Al liceo, spesso hai a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:

Come portare questa frazione a una forma decente? Sì, molto facile! Usa la divisione per due punti:

Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui è molto importante! Naturalmente, non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma in una frazione di tre piani è facile sbagliare. Si prega di notare, ad esempio:

Nel primo caso (espressione a sinistra):

Nella seconda (espressione a destra):

Senti la differenza? 4 e 1/9!

Qual è l'ordine di divisione? O parentesi, o (come qui) la lunghezza dei trattini orizzontali. Sviluppa un occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:

poi dividi-moltiplica in ordine, da sinistra a destra!

E un altro trucco molto semplice e importante. Nelle azioni con gradi, ti tornerà utile! Dividiamo l'unità per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:

Il colpo è girato! E succede sempre. Quando si divide 1 per qualsiasi frazione, il risultato è la stessa frazione, solo invertita.

Sono tutte le azioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Nota Consiglio pratico, e loro (errori) saranno inferiori!

1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è la precisione e l'attenzione! Queste non sono parole comuni, non auguri! Questa è una grave necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame come un compito a tutti gli effetti, con concentrazione e chiarezza. È meglio scrivere due righe in più in una bozza piuttosto che sbagliare quando si calcola a mente.

2. Negli esempi con tipi diversi frazioni: vai alle frazioni ordinarie.

3. Riduciamo tutte le frazioni allo stop.

4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione per due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).

Ecco le attività che devi completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali di questo argomento e consigli pratici. Stima quanti esempi potresti risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trai le giuste conclusioni.

Ricorda la risposta corretta ottenuto dalla seconda (soprattutto la terza) volta - non conta! Tale è la dura vita.

COSÌ, risolvere in modalità esame ! Questa è la preparazione per l'esame, tra l'altro. Risolviamo un esempio, controlliamo, risolviamo quanto segue. Abbiamo deciso tutto: abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.

Alla ricerca di risposte che corrispondano alle tue. Li ho deliberatamente scritti in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire. Eccole, le risposte, separate da un punto e virgola.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

E ora traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, felice per te! I calcoli elementari con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti.

Quindi hai uno dei due problemi. O entrambi contemporaneamente.) Mancanza di conoscenza e (o) disattenzione. Ma. Questo risolvibile I problemi.

Nella Parte Speciale 555 “Frazioni” vengono analizzati tutti questi (e non solo!) esempi. Con spiegazioni dettagliate su cosa, perché e come. Tale analisi aiuta molto con la mancanza di conoscenze e abilità!

Sì, e sul secondo problema c'è qualcosa lì.) Consiglio abbastanza pratico, come diventare più attento. Si si! Consiglio che può applicare ogni.

Oltre alla conoscenza e all'attenzione, per il successo è necessario un certo automatismo. Dove trovarlo? Sento un sospiro pesante... Sì, solo in pratica, da nessun'altra parte.

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Regola 1

Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi moltiplicare il suo numeratore per questo numero e lasciare invariato il denominatore.

Regola 2

Per moltiplicare una frazione per una frazione:

1. trova il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni

2. Scrivi il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.

Regola 3

Per moltiplicare numeri misti, devi scriverli come frazioni improprie e quindi utilizzare la regola per moltiplicare le frazioni.

Regola 4

Per dividere una frazione per un'altra, devi moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.

Esempio 1

Calcolare

Esempio 2

Calcolare

Esempio 3

Calcolare

Esempio 4

Calcolare

Matematica. Altri materiali

Elevare un numero a potenza razionale. (

Elevare un numero a potenza naturale. (

Metodo dell'intervallo generalizzato per risolvere le disuguaglianze algebriche (Autore Kolchanov A.V.)

Metodo di sostituzione dei fattori nella risoluzione delle disuguaglianze algebriche (Autore Kolchanov A.V.)

Segni di divisibilità (Lungu Alena)

Mettiti alla prova sull'argomento "Moltiplicazione e divisione di frazioni ordinarie"

Moltiplicazione di frazioni

Considereremo la moltiplicazione di frazioni ordinarie in diversi modi possibili.

Moltiplicare una frazione per una frazione

Questo è il caso più semplice, in cui è necessario utilizzare quanto segue regole di moltiplicazione delle frazioni.

A moltiplicare una frazione per una frazione, necessario:

moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel numeratore della nuova frazione;

moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel denominatore della nuova frazione;

Prima di moltiplicare numeratori e denominatori, controlla se le frazioni possono essere ridotte. Ridurre le frazioni nei calcoli faciliterà notevolmente i tuoi calcoli.

Moltiplicare una frazione per un numero naturale

Frazionare moltiplicare per un numero naturale devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare invariato il denominatore della frazione.

Se il risultato della moltiplicazione è una frazione impropria, non dimenticare di trasformarlo in un numero misto, ovvero selezionare l'intera parte.

Moltiplicazione di numeri misti

Per moltiplicare numeri misti, devi prima convertirli in frazioni improprie e poi moltiplicare secondo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie.

Un altro modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale

A volte nei calcoli è più conveniente utilizzare un metodo diverso per moltiplicare una frazione ordinaria per un numero.

Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.

Come si può vedere dall'esempio, è più conveniente utilizzare questa versione della regola se il denominatore della frazione è divisibile senza resto per un numero naturale.

Divisione di una frazione per un numero

Qual è il modo più veloce per dividere una frazione per un numero? Analizziamo la teoria, traiamo una conclusione e usiamo esempi per vedere come la divisione di una frazione per un numero può essere eseguita secondo una nuova regola breve.

Di solito, la divisione di una frazione per un numero viene eseguita secondo la regola della divisione delle frazioni. Il primo numero (frazione) viene moltiplicato per il reciproco del secondo. Poiché il secondo numero è un numero intero, il suo reciproco è una frazione, il cui numeratore è uguale a uno e il denominatore è dato numero. Schematicamente, la divisione di una frazione per un numero naturale si presenta così:

Da ciò concludiamo:

Per dividere una frazione per un numero, moltiplica il denominatore per quel numero e lascia invariato il numeratore. La regola può essere formulata ancora più brevemente:

Quando dividi una frazione per un numero, il numero va al denominatore.

Dividi una frazione per un numero:

Per dividere una frazione per un numero, riscriviamo il numeratore invariato e moltiplichiamo il denominatore per questo numero. Riduciamo 6 e 3 di 3.

Quando dividiamo una frazione per un numero, riscriviamo il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per quel numero. Riduciamo 16 e 24 di 8.

Quando dividi una frazione per un numero, il numero va al denominatore, quindi lasciamo invariato il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il divisore. Riduciamo 21 e 35 di 7.

Moltiplicazione e divisione di frazioni

L'ultima volta abbiamo imparato a sommare e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Sommare e sottrarre frazioni"). Il momento più difficile in quelle azioni è stato portare le frazioni a un comune denominatore.

Ora è il momento di affrontare la moltiplicazione e la divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più facili dell'addizione e della sottrazione. Per iniziare, considera caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera distinta.

Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.

Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda "invertita".

Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per capovolgere una frazione, basta scambiare il numeratore e il denominatore. Pertanto, l'intera lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.

Come risultato della moltiplicazione, può sorgere una frazione ridotta (e spesso si verifica) - ovviamente, deve essere ridotta. Se, dopo tutte le riduzioni, la frazione risultasse errata, in essa si dovrebbe distinguere l'intera parte. Ma ciò che esattamente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un comune denominatore: niente metodi incrociati, massimi fattori e minimi comuni multipli.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Per definizione abbiamo:

Moltiplicazione di frazioni con parte intera e frazioni negative

Se c'è una parte intera nelle frazioni, devono essere convertite in improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra descritti.

Se c'è un meno nel numeratore di una frazione, nel denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dai limiti della moltiplicazione o rimosso del tutto secondo le seguenti regole:

1. Più volte meno dà meno;
2. Due negativi fanno un affermativo.

Fino ad ora, queste regole sono state riscontrate solo durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un prodotto, possono essere generalizzati per "bruciare" più svantaggi contemporaneamente:

3. Eliminiamo gli svantaggi a coppie fino a quando non scompaiono completamente. In un caso estremo, può sopravvivere un meno: quello che non ha trovato corrispondenza;
4. Se non sono rimasti svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato, poiché non ha trovato una coppia, lo togliamo dai limiti della moltiplicazione. Ottieni una frazione negativa.

Traduciamo tutte le frazioni in improprie, quindi eliminiamo gli svantaggi al di fuori dei limiti della moltiplicazione. Ciò che resta viene moltiplicato per regole abituali. Noi abbiamo:

Permettetemi di ricordarvi ancora una volta che il meno che precede una frazione con una parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).

Prestare attenzione anche ai numeri negativi: una volta moltiplicati, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare gli svantaggi dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.

Ridurre le frazioni al volo

La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui sono piuttosto grandi e, per semplificare l'attività, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. In effetti, in sostanza, i numeratori ei denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà di base di una frazione. Dai un'occhiata agli esempi:

In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne rimane sono contrassegnati in rosso.

Nota: nel primo caso, i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Le unità sono rimaste al loro posto, che, in generale, possono essere omesse. Nel secondo esempio riduzione totale non è stato possibile raggiungerlo, ma l'importo totale dei calcoli è comunque diminuito.

Tuttavia, in nessun caso non utilizzare questa tecnica durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi solo ridurre. Ecco, guarda:

Non puoi farlo!

L'errore si verifica a causa del fatto che quando si aggiunge una frazione, la somma appare nel numeratore di una frazione e non nel prodotto dei numeri. Pertanto, è impossibile applicare la proprietà principale di una frazione, poiché in questa proprietà noi stiamo parlando Si tratta di moltiplicare i numeri.

Semplicemente non c'è altro motivo per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è la seguente:

Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, stai attento.

Divisione di frazioni.

Divisione di una frazione per un numero naturale.

Esempi di divisione di una frazione per un numero naturale

Divisione di un numero naturale per una frazione.

Esempi di divisione di un numero naturale per una frazione

Divisione di frazioni ordinarie.

Esempi di divisione di frazioni ordinarie

Divisione di numeri misti.

Per dividere un numero misto per un altro, è necessario:
• convertire le frazioni miste in improprie;
• moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda;
• ridurre la frazione risultante;
• Se ottieni una frazione impropria, converti la frazione impropria in una mista.

Esempi di divisione di numeri misti

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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Mi chiamo Dovzhik Mikhail Viktorovich. Sono il proprietario e l'autore di questo sito, ho scritto l'intero materiale teorico, oltre a esercizi e calcolatrici online che puoi utilizzare per studiare la matematica.

Frazioni. Moltiplicazione e divisione di frazioni.

Moltiplicare una frazione per una frazione.

Per moltiplicare le frazioni ordinarie, è necessario moltiplicare il numeratore per il numeratore (si ottiene il numeratore del prodotto) e il denominatore per il denominatore (si ottiene il denominatore del prodotto).

Formula di moltiplicazione della frazione:





Prima di procedere con la moltiplicazione di numeratori e denominatori, è necessario verificare la possibilità di ridurre la frazione. Se riesci a ridurre la frazione, sarà più facile per te continuare a fare calcoli.

Nota! Non c'è bisogno di cercare un comune denominatore!!

Divisione di una frazione ordinaria per una frazione.

La divisione di una frazione ordinaria per frazione è la seguente: capovolgi la seconda frazione (cioè cambia il numeratore e il denominatore in luoghi) e successivamente le frazioni vengono moltiplicate.

La formula per dividere le frazioni ordinarie:





Moltiplicare una frazione per un numero naturale.

Nota! Quando si moltiplica una frazione per un numero naturale, il numeratore della frazione viene moltiplicato per il nostro numero naturale e il denominatore della frazione rimane lo stesso. Se il risultato del prodotto è una frazione impropria, assicurati di selezionare l'intera parte trasformando la frazione impropria in una mista.



Divisione di frazioni che coinvolgono un numero naturale.

Non è così spaventoso come sembra. Come nel caso dell'addizione, convertiamo un numero intero in una frazione con un'unità nel denominatore. Per esempio:



Moltiplicazione di frazioni miste.

Regole per la moltiplicazione delle frazioni (miste):

• convertire le frazioni miste in improprie;
• moltiplicare i numeratori e denominatori delle frazioni;
• riduciamo la frazione;
• se otteniamo una frazione impropria, convertiamo la frazione impropria in una mista.

Nota! Per moltiplicare una frazione mista per un'altra frazione mista, devi prima portarle sotto forma di frazioni improprie, quindi moltiplicare secondo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie.



Il secondo modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale.

È più conveniente utilizzare il secondo metodo di moltiplicazione di una frazione ordinaria per un numero.

Nota! Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, è necessario dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare invariato il numeratore.



Dall'esempio sopra, è chiaro che questa opzione è più comoda da usare quando il denominatore di una frazione è diviso senza resto da un numero naturale.

Frazioni multilivello.

Al liceo si trovano spesso frazioni a tre piani (o più). Esempio:

Per portare una tale frazione nella sua forma abituale, viene utilizzata la divisione per 2 punti:



Nota! Quando si dividono le frazioni, l'ordine di divisione è molto importante. Attenzione, qui è facile confondersi.

Nota, Per esempio:

Quando si divide uno per qualsiasi frazione, il risultato sarà la stessa frazione, solo invertita:

Consigli pratici per moltiplicare e dividere frazioni:

1. La cosa più importante nel lavorare con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione. Esegui tutti i calcoli con attenzione e precisione, in modo concentrato e chiaro. È meglio scrivere qualche riga in più in una bozza piuttosto che confondersi nei calcoli nella tua testa.

2. Nelle attività con diversi tipi di frazioni, vai al tipo di frazioni ordinarie.

3. Riduciamo tutte le frazioni finché non è più possibile ridurre.

4. Portiamo espressioni frazionarie multilivello in quelle ordinarie, usando la divisione per 2 punti.

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Nel corso della media e Scuola superiore Gli studenti hanno esaminato l'argomento "Frazioni". Tuttavia, questo concetto è molto più ampio di quello dato nel processo di apprendimento. Oggi il concetto di frazione si incontra abbastanza spesso e non tutti possono calcolare alcuna espressione, ad esempio moltiplicando le frazioni.

Cos'è una frazione?

È successo così storicamente che i numeri frazionari sono apparsi a causa della necessità di misurare. Come mostra la pratica, ci sono spesso esempi per determinare la lunghezza di un segmento, il volume di un rettangolo rettangolare.

Inizialmente, agli studenti viene presentato un concetto come una condivisione. Ad esempio, se dividi un'anguria in 8 parti, ciascuna otterrà un ottavo di un'anguria. Questa parte di otto si chiama quota.

Una quota pari a ½ di qualsiasi valore si chiama metà; ⅓ - terzo; ¼ - un quarto. Voci come 5/8, 4/5, 2/4 sono chiamate frazioni comuni. Una frazione ordinaria è divisa in un numeratore e un denominatore. Tra di loro c'è una linea frazionaria o linea frazionaria. Una barra frazionaria può essere disegnata come una linea orizzontale o inclinata. IN questo caso sta per il segno di divisione.

Il denominatore rappresenta in quante quote uguali è suddiviso il valore, l'oggetto; e il numeratore è quante azioni uguali vengono prese. Il numeratore è scritto sopra la barra frazionaria, il denominatore sotto di essa.

È più conveniente mostrare le frazioni ordinarie su un raggio di coordinate. Se un singolo segmento è diviso in 4 parti uguali, designare ciascuna quota Lettera latina, quindi come risultato puoi ottenere un eccellente materiale visivo. Quindi, il punto A mostra una quota pari a 1/4 dell'intero segmento unitario e il punto B segna 2/8 di questo segmento.

Varietà di frazioni

Le frazioni sono numeri comuni, decimali e misti. Inoltre, le frazioni possono essere divise in proprie e improprie. Questa classificazione è più adatta per le frazioni ordinarie.

Una frazione propria è un numero il cui numeratore è minore del denominatore. Di conseguenza, una frazione impropria è un numero il cui numeratore è maggiore del denominatore. Il secondo tipo è solitamente scritto come un numero misto. Tale espressione consiste di una parte intera e una parte frazionaria. Ad esempio, 1½. 1 - parte intera, ½ - frazionaria. Tuttavia, se è necessario eseguire alcune manipolazioni con l'espressione (dividendo o moltiplicando frazioni, riducendole o convertendole), il numero misto viene convertito in una frazione impropria.

Un'espressione frazionaria corretta è sempre minore di uno e un'espressione errata è sempre maggiore o uguale a 1.

Per quanto riguarda questa espressione, intendono un record in cui è rappresentato qualsiasi numero, il cui denominatore dell'espressione frazionaria può essere espresso attraverso uno con più zeri. Se la frazione è corretta, la parte intera nella notazione decimale sarà zero.

Per scrivere un decimale, devi prima scrivere la parte intera, separarla dal frazionario con una virgola, quindi scrivere l'espressione frazionaria. Va ricordato che dopo la virgola il numeratore deve contenere tanti caratteri numerici quanti sono gli zeri al denominatore.

Esempio. Rappresenta la frazione 7 21 / 1000 in notazione decimale.

Algoritmo per convertire una frazione impropria in un numero misto e viceversa

Non è corretto scrivere una frazione impropria nella risposta del problema, quindi deve essere convertita in un numero misto:

• dividere il numeratore per il denominatore esistente;
• v esempio specifico quoziente incompleto - intero;
• e il resto è il numeratore della parte frazionaria, con il denominatore che rimane invariato.

Esempio. Converti la frazione impropria in un numero misto: 47 / 5 .

Soluzione. 47: 5. Il quoziente incompleto è 9, il resto = 2. Quindi, 47/5 = 9 2/5.

A volte è necessario rappresentare un numero misto come una frazione impropria. Quindi è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

• la parte intera viene moltiplicata per il denominatore dell'espressione frazionaria;
• il prodotto risultante viene aggiunto al numeratore;
• il risultato è scritto al numeratore, il denominatore rimane invariato.

Esempio. Esprimi il numero in forma mista come frazione impropria: 9 8 / 10 .

Soluzione. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 è il numeratore.

Risposta: 98 / 10.

Moltiplicazione di frazioni ordinarie

Puoi eseguire varie operazioni algebriche su frazioni ordinarie. Per moltiplicare due numeri, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Inoltre, la moltiplicazione delle frazioni con denominatori diversi non differisce dal prodotto di numeri frazionari con gli stessi denominatori.

Succede che dopo aver trovato il risultato, è necessario ridurre la frazione. È imperativo semplificare il più possibile l'espressione risultante. Certo, non si può dire che una frazione impropria nella risposta sia un errore, ma è anche difficile definirla la risposta corretta.

Esempio. Trova il prodotto di due frazioni ordinarie: ½ e 20/18.

Come si può vedere dall'esempio, dopo aver trovato il prodotto, si ottiene una notazione frazionaria riducibile. Sia il numeratore che il denominatore in questo caso sono divisibili per 4, e il risultato è la risposta 5/9.

Moltiplicazione di frazioni decimali

Il prodotto delle frazioni decimali è abbastanza diverso dal prodotto delle frazioni ordinarie nel suo principio. Quindi, la moltiplicazione delle frazioni è la seguente:

• due frazioni decimali devono essere scritte una sotto l'altra in modo che le cifre più a destra siano una sotto l'altra;
• devi moltiplicare i numeri scritti, nonostante le virgole, cioè come numeri naturali;
• contare il numero di cifre dopo la virgola in ciascuno dei numeri;
• nel risultato ottenuto dopo la moltiplicazione bisogna contare sulla destra tanti caratteri digitali quanti sono contenuti nella somma in entrambi i fattori dopo la virgola, e mettere un segno di separazione;
• se ci sono meno cifre nel prodotto, è necessario scrivere davanti a loro tanti zeri per coprire questo numero, mettere una virgola e assegnare una parte intera uguale a zero.

Esempio. Calcola il prodotto di due decimali: 2,25 e 3,6.

Soluzione.

Moltiplicazione di frazioni miste

Per calcolare il prodotto di due frazioni miste, è necessario utilizzare la regola per la moltiplicazione delle frazioni:

• convertire numeri misti in frazioni improprie;
• trova il prodotto dei numeratori;
• trova il prodotto dei denominatori;
• annotare il risultato;
• semplificare il più possibile l'espressione.

Esempio. Trova il prodotto di 4½ e 6 2 / 5.

Moltiplicare un numero per una frazione (frazioni per un numero)

Oltre a trovare il prodotto di due frazioni, numeri misti, ci sono attività in cui è necessario moltiplicare per una frazione.

Quindi, per trovare il prodotto di una frazione decimale e un numero naturale, hai bisogno di:

• scrivi il numero sotto la frazione in modo che le cifre più a destra siano una sopra l'altra;
• trova il lavoro, nonostante la virgola;
• nel risultato ottenuto separare con una virgola la parte intera da quella frazionaria, contando verso destra il numero di caratteri che sta dopo la virgola della frazione.

Moltiplicare frazione comune per un numero, dovresti trovare il prodotto del numeratore e del fattore naturale. Se la risposta è una frazione riducibile, dovrebbe essere convertita.

Esempio. Calcola il prodotto di 5/8 e 12.

Soluzione. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Risposta: 7 1 / 2.

Come puoi vedere dall'esempio precedente, è stato necessario ridurre il risultato risultante e convertire l'espressione frazionaria errata in un numero misto.

Inoltre, la moltiplicazione delle frazioni si applica anche alla ricerca del prodotto di un numero in forma mista e di un fattore naturale. Per moltiplicare questi due numeri, devi moltiplicare la parte intera del fattore misto per il numero, moltiplicare il numeratore per lo stesso valore e lasciare invariato il denominatore. Se necessario, è necessario semplificare il più possibile il risultato.

Esempio. Trova il prodotto di 9 5 / 6 e 9.

Soluzione. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Risposta: 88 1 / 2.

Moltiplicazione per fattori 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0,001

La seguente regola segue dal paragrafo precedente. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, 10000, ecc., devi spostare la virgola verso destra di tanti caratteri quanti sono gli zeri nel moltiplicatore dopo uno.

Esempio 1. Trova il prodotto di 0,065 e 1000.

Soluzione. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Risposta: 65.

Esempio 2. Trova il prodotto di 3,9 per 1000.

Soluzione. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Risposta: 3900.

Se devi moltiplicare un numero naturale e 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, ecc., devi spostare la virgola a sinistra nel prodotto risultante di tanti caratteri quanti sono gli zeri prima di uno. Se necessario, un numero sufficiente di zeri viene scritto davanti a un numero naturale.

Esempio 1. Trova il prodotto di 56 e 0,01.

Soluzione. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Risposta: 0,56.

Esempio 2. Trova il prodotto di 4 e 0,001.

Soluzione. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Risposta: 0,004.

Quindi, trovare il prodotto di varie frazioni non dovrebbe causare difficoltà, tranne forse il calcolo del risultato; In questo caso, semplicemente non puoi fare a meno di una calcolatrice.

Contenuto della lezione

Somma di frazioni con gli stessi denominatori

L'aggiunta di frazioni è di due tipi:

1. Somma di frazioni con gli stessi denominatori
2. Somma di frazioni con denominatori diversi

Cominciamo con l'addizione di frazioni con gli stessi denominatori. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Aggiungiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo ad una pizza divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni pizza:

Esempio 2 Aggiungi frazioni e .

La risposta è una frazione impropria. Se arriva la fine dell'attività, è consuetudine sbarazzarsi delle frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte in essa contenuta. Nel nostro caso, la parte intera viene assegnata facilmente: due diviso due è uguale a uno:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo ad una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni una pizza intera:

Esempio 3. Aggiungi frazioni e .

Ancora una volta, aggiungi i numeratori e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo ad una pizza divisa in tre parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni pizze:

Esempio 4 Trova il valore di un'espressione

Questo esempio è risolto esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi altre pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.

Come puoi vedere, aggiungere frazioni con gli stessi denominatori non è difficile. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

1. Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore;

Somma di frazioni con denominatori diversi

Ora impareremo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori di tali frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.

Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.

Ma le frazioni non possono essere sommate contemporaneamente, perché queste frazioni hanno denominatori diversi. In tali casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne considereremo solo uno, poiché il resto dei metodi può sembrare complicato per un principiante.

L'essenza di questo metodo sta nel fatto che si cerca il primo (LCM) dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: l'LCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene il secondo fattore aggiuntivo.

Quindi i numeratori e denominatori delle frazioni vengono moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni.

Esempio 1. Aggiungi frazioni e

Innanzitutto, troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6

MCM (2 e 3) = 6

Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividiamo MCM per il denominatore della prima frazione e otteniamo il primo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6, e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.

Il numero risultante 2 è il primo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo fino alla prima frazione. Per fare ciò, tracciamo una piccola linea obliqua sopra la frazione e annotiamo sopra di essa il fattore aggiuntivo trovato:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo MCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6, e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo 3.

Il numero risultante 3 è il secondo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo alla seconda frazione. Ancora una volta, tracciamo una piccola linea obliqua sopra la seconda frazione e scriviamo sopra di essa il fattore aggiuntivo trovato:

Ora siamo tutti pronti per aggiungere. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Guarda attentamente a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:

Così finisce l'esempio. Per aggiungere risulta.

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi pizze a una pizza, ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:

La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Portando le frazioni e ad un comune denominatore, otteniamo le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore).

Il primo disegno mostra una frazione (quattro pezzi su sei) e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su sei). Mettendo insieme questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione non è corretta, quindi abbiamo evidenziato la parte intera in essa. Il risultato è stato (una pizza intera e un'altra sesta pizza).

Si noti che abbiamo dipinto dato esempio troppo dettagliato. IN istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM di entrambi i denominatori e dei fattori aggiuntivi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati dai tuoi numeratori e denominatori. Mentre a scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:

Ma c'è anche lato posteriore medaglie. Se non vengono prese note dettagliate nelle prime fasi dello studio della matematica, allora domande del genere “Da dove viene quel numero?”, “Perché le frazioni si trasformano improvvisamente in frazioni completamente diverse? «.

Per semplificare l'aggiunta di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni dettagliate:

1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni;
2. Dividi il MCM per il denominatore di ogni frazione e ottieni un ulteriore moltiplicatore per ogni frazione;
3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
4. Aggiungi frazioni che hanno gli stessi denominatori;
5. Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, seleziona la sua parte intera;

Esempio 2 Trova il valore di un'espressione .

Usiamo le istruzioni sopra.

Passaggio 1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni

Trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4

Passaggio 2. Dividi il MCM per il denominatore di ogni frazione e ottieni un moltiplicatore aggiuntivo per ogni frazione

Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12, e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividendo 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo ottenuto il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12, e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Abbiamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sulla seconda frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 12, e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Abbiamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i tuoi fattori aggiuntivi

Moltiplichiamo i numeratori e denominatori per i nostri fattori aggiuntivi:

Passaggio 4. Aggiungi le frazioni che hanno gli stessi denominatori

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi denominatori (comuni). Resta da aggiungere queste frazioni. Addizionare:

L'aggiunta non rientrava in una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente nella riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non rientra in una riga, viene trasferita alla riga successiva ed è necessario inserire un segno di uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio di una nuova riga. Il segno di uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.

Passaggio 5. Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, selezionare l'intera parte in essa contenuta

La nostra risposta è una frazione impropria. Dobbiamo individuare l'intera parte di esso. Evidenziamo:

Ho una risposta

Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori

Esistono due tipi di sottrazione di frazioni:

1. Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori
2. Sottrazione di frazioni con denominatori diversi

Per prima cosa, impariamo a sottrarre le frazioni con gli stessi denominatori. Tutto è semplice qui. Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.

Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio, è necessario sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamolo:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo ad una pizza divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 2 Trova il valore dell'espressione .

Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio è facilmente comprensibile se pensiamo ad una pizza divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 3 Trova il valore di un'espressione

Questo esempio è risolto esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione, devi sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

1. Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore;
2. Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte in essa contenuta.

Sottrazione di frazioni con denominatori diversi

Ad esempio, una frazione può essere sottratta da una frazione, poiché queste frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma una frazione non può essere sottratta da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In tali casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Il denominatore comune si trova secondo lo stesso principio che abbiamo utilizzato per sommare frazioni con denominatori diversi. Prima di tutto, trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la prima frazione. Allo stesso modo, il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la seconda frazione.

Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.

Esempio 1 Trova il valore di un'espressione:

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi portarle allo stesso denominatore (comune).

Innanzitutto, troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12

MCM (3 e 4) = 12

Ora torniamo alle frazioni e

Troviamo un ulteriore fattore per la prima frazione. Per fare ciò, dividiamo il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12, e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Scriviamo i quattro sopra la prima frazione:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12, e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi una tripla sulla seconda frazione:

Ora siamo tutti pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:

Ho una risposta

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni delle pizze.

Questa è la versione dettagliata della soluzione. Essendo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:

La riduzione delle frazioni e ad un comune denominatore può anche essere rappresentata usando un'immagine. Portando queste frazioni a un denominatore comune, otteniamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dalle stesse fette di pizza, ma questa volta saranno divise nelle stesse frazioni (ridotte allo stesso denominatore):

Il primo disegno mostra una frazione (otto pezzi su dodici), e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi su dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.

Esempio 2 Trova il valore di un'espressione

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi prima portarle allo stesso denominatore (comune).

Trova il MCM dei denominatori di queste frazioni.

I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ora troviamo ulteriori fattori per ogni frazione. Per fare questo, dividiamo il MCM per il denominatore di ogni frazione.

Troviamo un ulteriore fattore per la prima frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora troviamo un ulteriore fattore per la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Ora troviamo un ulteriore fattore per la terza frazione. Dividi il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi denominatori (comuni). E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.

La continuazione dell'esempio non si adatterà a una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno di uguale (=) sulla nuova riga:

La risposta si è rivelata una frazione corretta e tutto sembra andare bene per noi, ma è troppo ingombrante e brutta. Dovremmo renderlo più facile. Cosa si può fare? Puoi ridurre questa frazione.

Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (mcd) i numeri 20 e 30.

Quindi, troviamo il MCD dei numeri 20 e 30:

Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per il MCD trovato, cioè per 10

Ho una risposta

Moltiplicare una frazione per un numero

Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per questo numero e lasciare lo stesso denominatore.

Esempio 1. Moltiplica la frazione per il numero 1.

Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1

La voce può essere intesa come prendere la metà 1 tempo. Ad esempio, se prendi la pizza 1 volta, ottieni la pizza

Dalle leggi della moltiplicazione sappiamo che se il moltiplicando e il moltiplicatore vengono scambiati, il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Ancora una volta, la regola per moltiplicare un numero intero e una frazione funziona:

Questa voce può essere intesa come prendere metà dell'unità. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo metà, allora avremo la pizza:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della frazione per 4

La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:

L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi le pizze 4 volte, ottieni due pizze intere.

E se scambiamo il moltiplicando e il moltiplicatore in alcuni punti, otteniamo l'espressione. Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:

Moltiplicazione di frazioni

Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta è una frazione impropria, devi selezionare l'intera parte in essa contenuta.

Esempio 1 Trova il valore dell'espressione .

Ho una risposta. È desiderabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:

L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Come prendere i due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:

E prendine due da questi tre pezzi:

Prenderemo la pizza. Ricorda come appare una pizza divisa in tre parti:

Una fetta di questa pizza e le due fette che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:

In altre parole, stiamo parlando della stessa dimensione della pizza. Pertanto, il valore dell'espressione è

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:

Esempio 3 Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta si è rivelata una frazione corretta, ma andrà bene se viene ridotta. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il più grande divisore comune(mcd) numeri 105 e 450.

Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:

Ora dividiamo il numeratore e il denominatore della nostra risposta al MCD che abbiamo ora trovato, cioè per 15

Rappresentazione di un numero intero come frazione

Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Da questo, il cinque non cambierà il suo significato, poiché l'espressione significa "il numero cinque diviso per uno", e questo, come sai, è uguale a cinque:

Numeri inversi

Ora faremo conoscenza argomento interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".

Definizione. Inverti al numeroUN è il numero che, moltiplicato perUN dà un'unità.

Sostituiamo in questa definizione invece di una variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:

Inverti al numero 5 è il numero che, moltiplicato per 5 dà un'unità.

È possibile trovare un numero che, moltiplicato per 5, dia uno? Si scopre che puoi. Rappresentiamo cinque come una frazione:

Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambia solo il numeratore e il denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo invertita:

Quale sarà il risultato di ciò? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:

Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero, poiché quando 5 viene moltiplicato per uno, si ottiene uno.

Il reciproco può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.

Puoi anche trovare il reciproco per qualsiasi altra frazione. Per fare questo, è sufficiente capovolgerlo.

Divisione di una frazione per un numero

Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Dividiamolo equamente tra due. Quante pizze riceverà ciascuno?

Si può notare che dopo aver spaccato metà della pizza, si sono ottenuti due pezzi uguali, ciascuno dei quali compone una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.

La divisione delle frazioni viene eseguita utilizzando i reciproci. I reciproci ti consentono di sostituire la divisione con la moltiplicazione.

Per dividere una frazione per un numero, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore.

Usando questa regola, annoteremo la divisione della nostra metà della pizza in due parti.

Quindi, devi dividere la frazione per il numero 2. Qui il dividendo è una frazione e il divisore è 2.

Per dividere una frazione per il numero 2, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore 2. Il reciproco del divisore 2 è una frazione. Quindi devi moltiplicare per

Moltiplicazione e divisione di frazioni.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Questa operazione è molto più bella dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Ti ricordo: per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) e i denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:

Per esempio:

Tutto è estremamente semplice. E per favore non cercare un comune denominatore! Non ne ho bisogno qui...

Per dividere una frazione per frazione, devi capovolgere secondo(questo è importante!) frazionali e moltiplicali, ad esempio:

Per esempio:

Se viene catturata la moltiplicazione o la divisione con numeri interi e frazioni, va bene. Come con l'addizione, facciamo una frazione da un numero intero con un'unità nel denominatore - e via! Per esempio:

Al liceo, spesso hai a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Per esempio:

Come portare questa frazione a una forma decente? Sì, molto facile! Usa la divisione per due punti:

Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui è molto importante! Naturalmente, non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma in una frazione di tre piani è facile sbagliare. Si prega di notare, ad esempio:

Nel primo caso (espressione a sinistra):

Nella seconda (espressione a destra):

Senti la differenza? 4 e 1/9!

Qual è l'ordine di divisione? O parentesi, o (come qui) la lunghezza dei trattini orizzontali. Sviluppa un occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:

poi dividi-moltiplica in ordine, da sinistra a destra!

E un altro trucco molto semplice e importante. Nelle azioni con gradi, ti tornerà utile! Dividiamo l'unità per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:

Il colpo è girato! E succede sempre. Quando si divide 1 per qualsiasi frazione, il risultato è la stessa frazione, solo invertita.

Sono tutte le azioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Prendi nota dei consigli pratici e ce ne saranno meno (errori)!

Suggerimenti pratici:

1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è la precisione e l'attenzione! Queste non sono parole comuni, non auguri! Questa è una grave necessità! Esegui tutti i calcoli sull'esame come un compito a tutti gli effetti, con concentrazione e chiarezza. È meglio scrivere due righe in più in una bozza piuttosto che sbagliare quando si calcola a mente.

2. Negli esempi con diversi tipi di frazioni, vai alle frazioni ordinarie.

3. Riduciamo tutte le frazioni allo stop.

4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione per due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).

5. Dividiamo mentalmente l'unità in una frazione, semplicemente capovolgendo la frazione.

Ecco le attività che devi completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Utilizzare i materiali di questo argomento e consigli pratici. Stima quanti esempi potresti risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trai le giuste conclusioni...

Ricorda la risposta corretta ottenuto dalla seconda (soprattutto la terza) volta - non conta! Tale è la dura vita.

COSÌ, risolvere in modalità esame ! Questa è la preparazione per l'esame, tra l'altro. Risolviamo un esempio, controlliamo, risolviamo quanto segue. Abbiamo deciso tutto: abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo. Ma solo Poi guarda le risposte.

Calcolare:

Hai deciso?

Alla ricerca di risposte che corrispondano alle tue. Le ho scritte apposta in disordine, lontano dalla tentazione, per così dire... Eccole, le risposte, scritte con un punto e virgola.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

E ora traiamo le conclusioni. Se tutto ha funzionato, felice per te! I calcoli elementari con le frazioni non sono un tuo problema! Puoi fare cose più serie. Altrimenti...

Quindi hai uno dei due problemi. O entrambi contemporaneamente.) Mancanza di conoscenza e (o) disattenzione. Ma questo risolvibile I problemi.

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L'ultima volta abbiamo imparato ad aggiungere e sottrarre frazioni (vedi la lezione "Addizione e sottrazione di frazioni"). Il momento più difficile in quelle azioni è stato portare le frazioni a un comune denominatore.

Ora è il momento di affrontare la moltiplicazione e la divisione. La buona notizia è che queste operazioni sono ancora più facili dell'addizione e della sottrazione. Per cominciare, considera il caso più semplice, quando ci sono due frazioni positive senza una parte intera distinta.

Per moltiplicare due frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori. Il primo numero sarà il numeratore della nuova frazione e il secondo sarà il denominatore.

Per dividere due frazioni, devi moltiplicare la prima frazione per la seconda "invertita".

Designazione:

Dalla definizione segue che la divisione delle frazioni si riduce alla moltiplicazione. Per capovolgere una frazione, basta scambiare il numeratore e il denominatore. Pertanto, l'intera lezione considereremo principalmente la moltiplicazione.

Come risultato della moltiplicazione, può sorgere una frazione ridotta (e spesso si verifica) - ovviamente, deve essere ridotta. Se, dopo tutte le riduzioni, la frazione risultasse errata, in essa si dovrebbe distinguere l'intera parte. Ma ciò che esattamente non accadrà con la moltiplicazione è la riduzione a un comune denominatore: niente metodi incrociati, massimi fattori e minimi comuni multipli.

Per definizione abbiamo:

Moltiplicazione di frazioni con parte intera e frazioni negative

Se c'è una parte intera nelle frazioni, devono essere convertite in improprie e solo successivamente moltiplicate secondo gli schemi sopra descritti.

Se c'è un meno nel numeratore di una frazione, nel denominatore o davanti ad esso, può essere tolto dai limiti della moltiplicazione o rimosso del tutto secondo le seguenti regole:

1. Più volte meno dà meno;
2. Due negativi fanno un affermativo.

Fino ad ora, queste regole sono state riscontrate solo durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni negative, quando era necessario eliminare l'intera parte. Per un prodotto, possono essere generalizzati per "bruciare" più svantaggi contemporaneamente:

1. Eliminiamo gli svantaggi a coppie fino a quando non scompaiono completamente. In un caso estremo, può sopravvivere un meno: quello che non ha trovato corrispondenza;
2. Se non sono rimasti svantaggi, l'operazione è completata: puoi iniziare a moltiplicare. Se l'ultimo meno non viene cancellato, poiché non ha trovato una coppia, lo togliamo dai limiti della moltiplicazione. Ottieni una frazione negativa.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Traduciamo tutte le frazioni in improprie, quindi eliminiamo gli svantaggi al di fuori dei limiti della moltiplicazione. Ciò che rimane viene moltiplicato secondo le solite regole. Noi abbiamo:

Permettetemi di ricordarvi ancora una volta che il meno che precede una frazione con una parte intera evidenziata si riferisce specificamente all'intera frazione, e non solo alla sua parte intera (questo vale per gli ultimi due esempi).

Prestare attenzione anche ai numeri negativi: una volta moltiplicati, sono racchiusi tra parentesi. Questo viene fatto per separare gli svantaggi dai segni di moltiplicazione e rendere l'intera notazione più accurata.

Ridurre le frazioni al volo

La moltiplicazione è un'operazione molto laboriosa. I numeri qui sono piuttosto grandi e, per semplificare l'attività, puoi provare a ridurre ulteriormente la frazione prima della moltiplicazione. In effetti, in sostanza, i numeratori ei denominatori delle frazioni sono fattori ordinari e, pertanto, possono essere ridotti utilizzando la proprietà di base di una frazione. Dai un'occhiata agli esempi:

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Per definizione abbiamo:

In tutti gli esempi, i numeri che sono stati ridotti e ciò che ne rimane sono contrassegnati in rosso.

Nota: nel primo caso, i moltiplicatori sono stati completamente ridotti. Le unità sono rimaste al loro posto, che, in generale, possono essere omesse. Nel secondo esempio, non è stato possibile ottenere una riduzione completa, ma l'importo totale dei calcoli è comunque diminuito.

Tuttavia, in nessun caso non utilizzare questa tecnica durante l'aggiunta e la sottrazione di frazioni! Sì, a volte ci sono numeri simili che vuoi solo ridurre. Ecco, guarda:

Non puoi farlo!

L'errore si verifica a causa del fatto che quando si aggiunge una frazione, la somma appare nel numeratore di una frazione e non nel prodotto dei numeri. Pertanto, è impossibile applicare la proprietà principale di una frazione, poiché questa proprietà si occupa specificamente della moltiplicazione dei numeri.

Semplicemente non c'è altro motivo per ridurre le frazioni, quindi la soluzione corretta al problema precedente è la seguente:

Soluzione corretta:

Come puoi vedere, la risposta corretta si è rivelata non così bella. In generale, stai attento.