두 수의 공배수 구하기. 최소공배수(LCM)
최대 공약수
정의 2
자연수 a가 자연수 $b$로 나누어지면 $b$는 $a$의 약수라고 하고 $a$는 $b$의 배수라고 합니다.
$a$와 $b$를 자연수라 하자. 숫자 $c$는 $a$와 $b$ 모두에 대한 공약수라고 합니다.
숫자 $a$ 및 $b$의 공통 약수 집합은 유한합니다. 이러한 약수 중 어느 것도 $a$보다 클 수 없기 때문입니다. 이것은 이러한 약수 중 가장 큰 약수가 $a$ 및 $b$ 숫자의 최대 공약수라고 하며 표기법은 이를 표시하는 데 사용됨을 의미합니다.
$gcd \ (a;b) \ 또는 \ D \ (a;b)$
두 숫자의 최대 공약수를 찾으려면:
- 2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.
예 1
숫자 $121$ 및 $132.$의 gcd를 찾으십시오.
$242=2\c도트 11\c도트 11$
$132=2\c도트 2\c도트 3\c도트 11$
이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택하십시오.
$242=2\c도트 11\c도트 11$
$132=2\c도트 2\c도트 3\c도트 11$
2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.
$gcd=2\cdot 11=22$
예 2
단항식 $63$와 $81$의 GCD를 구하세요.
제시된 알고리즘에 따라 찾을 것입니다. 이를 위해:
숫자를 소인수로 분해해 봅시다
$63=3\c도트 3\c도트 7$
$81=3\c도트 3\c도트 3\c도트 3$
이 숫자의 확장에 포함되는 숫자를 선택합니다.
$63=3\c도트 3\c도트 7$
$81=3\c도트 3\c도트 3\c도트 3$
2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾아봅시다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.
$gcd=3\c도트 3=9$
숫자 약수 세트를 사용하여 다른 방법으로 두 숫자의 GCD를 찾을 수 있습니다.
예 3
숫자 $48$ 및 $60$의 gcd를 찾으십시오.
해결책:
$48$의 약수 집합 찾기: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
이제 $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$의 제수 집합을 찾아봅시다.
이 집합의 교차점을 찾아봅시다: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - 이 집합은 숫자 $48$와 $60의 공약수 집합을 결정합니다. $. 이 세트에서 가장 큰 요소는 숫자 $12$입니다. 따라서 $48$와 $60$의 최대 공약수는 $12$입니다.
NOC의 정의
정의 3
자연수의 공배수$a$ 및 $b$는 $a$ 및 $b$의 배수인 자연수입니다.
수의 공배수는 원래의 수로 나머지 없이 나누어지는 수입니다.
최소 공배수는 최소 공배수라고 하며 LCM$(a;b)$ 또는 K$(a;b)$로 표시됩니다.
두 숫자의 최소공배수를 찾으려면 다음이 필요합니다.
- 숫자를 소인수로 분해
- 첫 번째 숫자의 일부인 인수를 적고 두 번째의 일부인 인수를 더하고 첫 번째 숫자로 가지 않습니다.
예 4
숫자 $99$와 $77$의 최소공배수를 구하세요.
제시된 알고리즘에 따라 찾을 것입니다. 이를 위해
숫자를 소인수로 분해
$99=3\c도트 3\c도트 11$
첫 번째에 포함된 요소를 기록하십시오.
두 번째 요소에 포함되고 첫 번째 요소로 이동하지 않는 요소를 추가하십시오.
2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최소 공배수가 됩니다.
$LCC=3\c도트 3\c도트 11\c도트 7=693$
숫자 약수 목록을 컴파일하는 데는 종종 시간이 많이 걸립니다. 유클리드 알고리즘이라는 GCD를 찾는 방법이 있습니다.
Euclid의 알고리즘이 기반으로 하는 진술:
$a$ 및 $b$가 자연수이고 $a\vdots b$이면 $D(a;b)=b$
$a$와 $b$가 $b와 같은 자연수라면
$D(a;b)= D(a-b;b)$를 사용하면 한 쌍이 다른 하나로 나누어지는 한 쌍의 숫자에 도달할 때까지 고려 중인 숫자를 연속적으로 줄일 수 있습니다. 그런 다음 이 숫자 중 더 작은 것이 숫자 $a$ 및 $b$에 대해 원하는 최대 공약수가 됩니다.
GCD 및 LCM의 속성
- $a$와 $b$의 공배수는 K$(a;b)$로 나눌 수 있습니다.
- $a\vdots b$ 이면 K$(a;b)=a$
K$(a;b)=k$ 및 $m$-자연수이면 K$(am;bm)=km$
$d$가 $a$ 및 $b$의 공약수이면 K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
$a\vdots c$ 및 $b\vdots c$ 이면 $\frac(ab)(c)$는 $a$ 및 $b$의 공배수입니다.
모든 자연수 $a$ 및 $b$에 대해 평등
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
$a$ 및 $b$의 모든 공약수는 $D(a;b)$의 약수입니다.
최대 공약수와 최소 공배수는 쉽게 연산할 수 있는 핵심 산술 개념입니다. 일반 분수. LCM은 여러 분수의 공통 분모를 찾는 데 가장 자주 사용됩니다.
기본 개념
정수 X의 약수는 X가 나머지 없이 나누어지는 또 다른 정수 Y입니다. 예를 들어, 4의 약수는 2이고 36은 4, 6, 9입니다. 정수 X의 배수는 나머지 없이 X로 나눌 수 있는 숫자 Y입니다. 예를 들어 3은 15의 배수이고 6은 12의 배수입니다.
모든 숫자 쌍에 대해 공약수와 배수를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 6과 9의 경우 공배수는 18이고 공약수는 3입니다. 분명히 쌍은 여러 약수와 배수를 가질 수 있으므로 GCD의 가장 큰 약수와 LCM의 가장 작은 배수가 계산에 사용됩니다. .
가장 작은 약수는 의미가 없습니다. 모든 숫자에 대해 항상 1이기 때문입니다. 배수의 순서가 무한대로 되는 경향이 있기 때문에 가장 큰 배수도 의미가 없습니다.
GCD 찾기
최대 공약수를 찾는 방법에는 여러 가지가 있으며 그 중 가장 유명한 방법은 다음과 같습니다.
- 약수의 순차적 열거, 쌍에 대한 공통 약수 선택 및 그 중 가장 큰 약수 검색;
- 숫자를 불가분의 요소로 분해;
- 유클리드 알고리즘;
- 이진 알고리즘.
오늘 교육 기관가장 인기 있는 것은 소인수 분해 방법과 유클리드 알고리즘입니다. 후자는 차례로 Diophantine 방정식을 푸는 데 사용됩니다. 방정식을 정수로 해결할 가능성을 확인하려면 GCD 검색이 필요합니다.
NOC 찾기
최소 공배수는 또한 반복적인 열거 또는 불가분 인수로의 분해에 의해 정확하게 결정됩니다. 또한, 최대 약수가 이미 결정되어 있으면 최소공배수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 숫자 X와 Y의 경우 LCM과 GCD는 다음 관계로 관련됩니다.
최소공배수(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
예를 들어 gcd(15,18) = 3이면 LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90입니다. LCM의 가장 확실한 용도는 다음의 최소 공배수인 공통 분모를 찾는 것입니다. 주어진 분수.
공동소수
한 쌍의 숫자에 공약수가 없으면 이러한 쌍을 서로소(coprime)라고 합니다. 그러한 쌍에 대한 GCM은 항상 1과 같고 제수와 배수의 연결을 기반으로 하여 coprime에 대한 GCM은 그들의 곱과 같습니다. 예를 들어, 숫자 25와 28은 공약수가 없기 때문에 서로소이고 LCM(25, 28) = 700이 곱에 해당합니다. 나눌 수 없는 두 숫자는 항상 서로소(coprime)가 됩니다.
공약수 및 배수 계산기
계산기를 사용하면 원하는 수의 숫자에 대해 GCD 및 LCM을 계산할 수 있습니다. 공통 약수 및 배수를 계산하는 작업은 5, 6 등급의 산술에서 찾을 수 있지만 GCD 및 LCM - 주요 개념수 이론, 면적 측정 및 의사 소통 대수학에 사용됩니다.
실제 사례
분수의 공통 분모
최소 공배수는 여러 분수의 공통 분모를 찾을 때 사용됩니다. 산술 문제에서 5개의 분수를 더해야 한다고 가정합니다.
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
분수를 더하려면 식을 공통 분모로 줄여야 하며, 이는 최소공배수를 찾는 문제로 축소됩니다. 이렇게 하려면 계산기에서 5개의 숫자를 선택하고 해당 셀에 분모 값을 입력합니다. 프로그램은 LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360을 계산합니다. 이제 분모에 대한 LCM의 비율로 정의되는 각 분수에 대한 추가 인수를 계산해야 합니다. 따라서 추가 승수는 다음과 같습니다.
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
그런 다음 모든 분수에 해당 추가 요소를 곱하고 다음을 얻습니다.
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
이러한 분수를 쉽게 추가하고 결과를 159/360 형식으로 얻을 수 있습니다. 분수를 3으로 줄이고 최종 답인 53/120을 봅니다.
선형 디오판틴 방정식의 해
선형 디오판토스 방정식은 ax + by = d 형식의 표현입니다. 비율 d / gcd(a, b)가 정수이면 방정식을 정수로 풀 수 있습니다. 정수 솔루션의 가능성에 대한 몇 가지 방정식을 확인합시다. 먼저 방정식 150x + 8y = 37을 확인합니다. 계산기를 사용하여 gcd(150.8) = 2를 찾습니다. 37/2 = 18.5를 나눕니다. 숫자는 정수가 아니므로 방정식에 정수 근이 없습니다.
방정식 1320x + 1760y = 10120을 확인합시다. 계산기를 사용하여 gcd(1320, 1760) = 440을 찾습니다. 10120/440 = 23을 나눕니다. 결과적으로 정수를 얻으므로 Diophantine 방정식은 정수 계수에서 풀 수 있습니다. .
결론
GCD와 LCM은 정수론에서 중요한 역할을 하며 개념 자체가 수학의 다양한 영역에서 널리 사용됩니다. 계산기를 사용하여 모든 수의 가장 큰 약수와 가장 작은 배수를 계산하십시오.
두 숫자의 최소 공배수는 해당 숫자의 최대 공약수와 직접 관련됩니다. 이것 GCD와 NOC 사이의 연결다음 정리에 의해 정의됩니다.
정리.
두 양의 정수 a와 b의 최소 공배수는 a와 b의 곱을 a와 b의 최대 공약수로 나눈 것과 같습니다. 즉, 최소공배수(a, b)=a b: 최대공약수(a, b).
증거.
허락하다 M은 숫자 a와 b의 배수입니다. 즉, M은 a로 나눌 수 있고, 가분성의 정의에 의해 등식 M=a·k가 참인 정수 k가 존재합니다. 그러나 M도 b로 나눌 수 있고 a k는 b로 나눌 수 있습니다.
gcd(a, b)를 d로 나타냅니다. 그러면 등식 a=a 1 ·d와 b=b 1 ·d를 쓸 수 있고 a 1 =a:d와 b 1 =b:d는 서로소(coprime)가 될 것입니다. 따라서 이전 단락에서 얻은 a k가 b로 나누어질 수 있는 조건은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있습니다. 는 b 1 로 나눌 수 있습니다.
우리는 또한 고려된 정리에서 두 가지 중요한 추론을 적어야 합니다.
두 수의 공배수는 최소 공배수의 배수와 같습니다.
이는 M 수 a와 b의 공배수가 어떤 정수 값 t에 대해 등식 M=LCM(a, b) t로 정의되기 때문에 사실입니다.
서로소의 최소공배수 양수 a와 b는 그들의 제품과 같습니다.
이 사실에 대한 근거는 매우 명백합니다. a와 b는 서로소이기 때문에 gcd(a, b)=1 이므로, 최소공배수(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
세 개 이상의 수의 최소공배수
세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾는 것은 두 숫자의 최소 공배수를 연속적으로 찾는 것으로 줄일 수 있습니다. 이것이 수행되는 방법은 다음 정리에 표시됩니다. a 1 , a 2 , …, a k는 숫자의 공배수와 일치합니다. 그리고 숫자 m k의 최소 양의 배수는 숫자 m k 자체이므로 숫자 a 1 , a 2 , …, a k의 최소 공배수는 m k 입니다.
서지.
- Vilenkin N.Ya. 기타 수학. 6학년: 교육 기관용 교과서.
- Vinogradov I.M. 정수론의 기초.
- Mikhelovich Sh.Kh. 수론.
- Kulikov L.Ya. 대수학 및 정수론의 문제 모음: 지도 시간물리학 및 수학 학생용. 교육 기관의 특산품.
최소공배수를 계산하는 방법을 이해하려면 먼저 "다수"라는 용어의 의미를 파악해야 합니다.
A의 배수는 A가 나머지 없이 나누어지는 자연수이므로 15, 20, 25 등은 5의 배수로 볼 수 있습니다.
특정 수의 약수는 제한되어 있을 수 있지만 배수는 무한합니다.
자연수의 공배수는 나머지 없이 나누어지는 수입니다.
숫자의 최소 공배수를 찾는 방법
숫자의 최소 공배수(LCM)(2, 3 또는 그 이상)는 이러한 모든 숫자로 균등하게 나누어지는 가장 작은 자연수입니다.
NOC를 찾기 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.
작은 숫자의 경우 공통된 숫자가 발견될 때까지 이러한 숫자의 모든 배수를 한 줄에 기록하는 것이 편리합니다. 배수는 레코드에서 나타냅니다. 대문자에게.
예를 들어, 4의 배수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K(6) = (12, 18, 24, ...)
따라서 숫자 4와 6의 최소 공배수는 숫자 24임을 알 수 있습니다. 이 항목은 다음과 같이 수행됩니다.
최소공배수(4, 6) = 24
숫자가 크면 세 개 이상의 숫자의 공배수를 찾은 다음 다른 방법을 사용하여 최소공배수를 계산하는 것이 좋습니다.
작업을 완료하려면 제안된 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.
먼저 한 줄에 가장 큰 숫자의 확장을 작성하고 그 아래에 나머지를 작성해야합니다.
각 숫자의 확장에는 다른 요소가 있을 수 있습니다.
예를 들어, 숫자 50과 20을 소인수로 분해해 봅시다.
작은 숫자의 확장에서는 첫 번째 확장에서는 없는 요소를 강조해야 합니다. 큰 수그런 다음 추가하십시오. 제시된 예에서 듀스가 누락되었습니다.
이제 20과 50의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다.
최소공배수(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
따라서 큰 수의 소인수와 큰 수의 분해에 포함되지 않은 두 번째 수의 약수의 곱이 최소공배수가 됩니다.
세 개 이상의 숫자의 최소공배수를 찾으려면 앞의 경우와 같이 모두 소인수로 분해해야 합니다.
예를 들어, 숫자 16, 24, 36의 최소 공배수를 찾을 수 있습니다.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
따라서 16의 분해에서 나온 2개의 듀스만이 더 큰 수의 인수분해에 포함되지 않았습니다(1은 24의 분해에 있음).
따라서 더 큰 수의 분해에 추가해야 합니다.
최소공배수(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
최소 공배수를 결정하는 특별한 경우가 있습니다. 따라서 숫자 중 하나를 나머지 없이 다른 숫자로 나눌 수 있는 경우 이 숫자 중 더 큰 숫자가 최소 공배수가 됩니다.
예를 들어 12와 24의 NOC는 24가 됩니다.
동일한 약수를 가지지 않는 서로소 수의 최소 공배수를 찾아야 하는 경우 LCM은 곱과 같습니다.
예를 들어 최소공배수(10, 11) = 110입니다.
LCM - 최소 공배수, 정의, 예 섹션에서 시작한 최소 공배수에 대한 논의를 계속하겠습니다. 이 항목에서는 3개 이상의 숫자에 대한 최소공배수를 찾는 방법을 살펴보고 음수의 최소공배수를 찾는 방법에 대한 질문을 분석합니다.
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gcd를 통한 LCM(최소 공배수) 계산
우리는 이미 최소 공배수와 최대 공약수 사이의 관계를 확립했습니다. 이제 GCD를 통해 LCM을 정의하는 방법을 알아보겠습니다. 먼저 양수에 대해 이 작업을 수행하는 방법을 알아봅시다.
정의 1
공식 LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) 를 사용하여 최대 공약수를 통해 최소 공배수를 찾을 수 있습니다.
예 1
숫자 126과 70의 LCM을 찾아야 합니다.
해결책
a = 126 , b = 70 이라고 합시다. 최대공약수 LCM(a,b) = a·b를 통해 최소공배수를 계산하는 공식에 값을 대입: GCD(a, b) .
숫자 70과 126의 GCD를 찾습니다. 이를 위해 Euclid 알고리즘이 필요합니다: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , 따라서 gcd (126 , 70) = 14 .
LCM을 계산해 봅시다. LCM(126, 70) = 126 70: GCD(126, 70) = 126 70: 14 = 630.
답변: LCM(126, 70) = 630.
예 2
숫자 68과 34의 녹을 찾으십시오.
해결책
GCD 입력 이 경우 68은 34로 나누어지기 때문에 찾기 쉽습니다. LCM(68, 34) = 68 34: GCD(68, 34) = 68 34: 34 = 68 공식을 사용하여 최소 공배수를 계산합니다.
답변:최소공배수(68, 34) = 68.
이 예에서는 양의 정수 a와 b의 최소 공배수를 찾는 규칙을 사용했습니다. 첫 번째 숫자가 두 번째로 나누어지면 이 숫자의 LCM은 첫 번째 숫자와 같습니다.
숫자를 소인수로 분해하여 최소공배수 찾기
이제 숫자를 소인수로 분해하는 LCM을 찾는 방법을 살펴보겠습니다.
정의 2
최소 공배수를 찾으려면 몇 가지 간단한 단계를 수행해야 합니다.
- 우리는 최소공배수를 찾는 데 필요한 숫자의 모든 소인수의 곱을 구성합니다.
- 우리는 그들이 얻은 제품에서 모든 주요 요소를 제외합니다.
- 공통 소인수를 제거한 후 얻은 곱은 주어진 숫자의 최소공배수와 같습니다.
최소 공배수를 찾는 이 방법은 등식 LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) 를 기반으로 합니다. 공식을 보면 분명해질 것입니다. 숫자 a와 b의 곱은이 두 숫자의 확장과 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 이 경우 두 숫자의 GCD는 이 두 숫자의 인수분해에 동시에 존재하는 모든 주요 인수의 곱과 같습니다.
예 3
75와 210이라는 두 개의 숫자가 있습니다. 우리는 그것들을 다음과 같이 분류할 수 있습니다: 75 = 355그리고 210 = 2357. 두 원래 숫자의 모든 인수의 곱을 만들면 다음을 얻습니다. 2 3 3 5 5 5 7.
숫자 3과 5에 공통인 인수를 제외하면 다음 형식의 곱을 얻습니다. 2 3 5 5 7 = 1050. 이 제품은 75번과 210번을 위한 우리의 LCM이 될 것입니다.
예 4
숫자의 LCM 찾기 441 그리고 700 , 두 숫자를 소인수로 분해합니다.
해결책
조건에 주어진 숫자의 모든 소인수를 찾아봅시다:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
우리는 441 = 3 3 7 7 및 700 = 2 2 5 5 7 의 두 가지 숫자 체인을 얻습니다.
이 숫자의 확장에 참여한 모든 요인의 곱은 다음과 같습니다. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. 공통인수를 찾아봅시다. 이 숫자는 7입니다. 에서 제외시키자 일반 제품: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC라는 것이 밝혀졌습니다. (441, 700) = 223355577 = 44100.
답변:최소공배수 (441 , 700) = 44 100 .
숫자를 소인수로 분해하여 최소공배수를 찾는 방법에 대한 공식을 하나 더 제공하겠습니다.
정의 3
이전에는 두 숫자에 공통적인 요인의 총 수에서 제외했습니다. 이제 우리는 다르게 할 것입니다:
- 두 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다.
- 첫 번째 숫자의 소인수 곱에 두 번째 숫자의 누락된 인수를 더합니다.
- 우리는 두 숫자의 원하는 LCM이 될 제품을 얻습니다.
실시예 5
이전 예제 중 하나에서 이미 LCM을 찾은 숫자 75 및 210으로 돌아가 보겠습니다. 간단한 요인으로 분류해 보겠습니다. 75 = 355그리고 210 = 2357. 요인 3, 5 및 5 75번 누락된 인수를 추가합니다. 2 그리고 7 숫자 210 . 우리는 다음을 얻습니다. 2 3 5 5 7 .이것은 숫자 75와 210의 최소공배수입니다.
실시예 6
숫자 84와 648의 LCM을 계산해야 합니다.
해결책
조건의 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다. 84 = 2237그리고 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 인수 2, 2, 3의 곱에 더하고 7
숫자 84 누락된 요소 2 , 3 , 3 및
3
숫자 648 . 우리는 제품을 얻습니다 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .이것은 84와 648의 최소공배수입니다.
답변: LCM(84, 648) = 4536.
3개 이상의 숫자의 최소공배수 찾기
처리하는 숫자의 수에 관계없이 작업 알고리즘은 항상 동일합니다. 두 숫자의 최소공배수를 지속적으로 찾을 것입니다. 이 경우에 대한 정리가 있습니다.
정리 1
정수가 있다고 가정합니다. a1, a2, …, ak. NOC 엠케이이러한 숫자 중 순차 계산에서 찾을 수 있습니다. m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …
이제 정리가 특정 문제에 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보겠습니다.
실시예 7
네 개의 숫자 140 , 9 , 54 및 의 최소 공배수를 계산해야 합니다. 250 .
해결책
a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250 표기법을 소개하겠습니다.
m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) 을 계산하는 것으로 시작하겠습니다. 유클리드 알고리즘을 사용하여 숫자 140과 9의 GCD를 계산해 봅시다: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260을 얻습니다. 따라서 m 2 = 1260 입니다.
이제 동일한 알고리즘 m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) 에 따라 계산해 봅시다. 계산 과정에서 m 3 = 3 780을 얻습니다.
m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3780, 250) 을 계산해야 합니다. 우리는 동일한 알고리즘에 따라 행동합니다. 우리는 m 4 \u003d 94500을 얻습니다.
예제 조건에서 네 숫자의 최소공배수는 94500 입니다.
답변: LCM(140, 9, 54, 250) = 94,500.
보시다시피 계산은 간단하지만 상당히 힘듭니다. 시간을 절약하기 위해 다른 방법으로 갈 수 있습니다.
정의 4
다음과 같은 작업 알고리즘을 제공합니다.
- 모든 숫자를 소인수로 분해합니다.
- 첫 번째 숫자의 인수 곱에 두 번째 숫자의 곱에서 누락된 인수를 더합니다.
- 이전 단계에서 얻은 제품에 세 번째 숫자의 누락 된 요소를 추가하십시오.
- 결과 제품은 조건의 모든 숫자의 최소 공배수가 됩니다.
실시예 8
5개의 숫자 84, 6, 48, 7, 143의 최소공배수를 구해야 합니다.
해결책
다섯 개의 숫자를 모두 소인수로 분해해 봅시다: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . 소수, 즉 숫자 7 은 소인수로 분해될 수 없습니다. 이러한 숫자는 소인수로의 분해와 일치합니다.
이제 숫자 84의 소인수 2, 2, 3, 7의 곱에 두 번째 숫자의 누락된 인수를 더해 봅시다. 숫자 6을 2와 3으로 분해했습니다. 이러한 요소는 이미 첫 번째 숫자의 곱에 포함되어 있습니다. 따라서 생략합니다.
누락된 승수를 계속 추가합니다. 우리는 2와 2를 취한 소인수의 곱에서 숫자 48로 돌아갑니다. 그런 다음 네 번째 숫자에서 간단한 인수 7과 다섯 번째 숫자의 인수 11과 13을 더합니다. 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048입니다. 이것은 다섯 개의 원래 숫자 중 최소 공배수입니다.
답변: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.
음수의 최소 공배수 찾기
음수의 최소공배수를 찾기 위해서는 먼저 이 숫자들을 부호가 반대인 숫자로 바꾼 다음 위의 알고리즘에 따라 계산을 수행해야 합니다.
실시예 9
최소공배수(54, −34) = 최소공배수(54, 34) 및 최소공배수(−622,−46, −54,−888) = 최소공배수(622, 46, 54, 888) .
이러한 조치는 허용되는 경우 다음과 같은 사실로 인해 허용됩니다. ㅏ그리고 -- 반대 숫자
그런 다음 배수 집합 ㅏ숫자의 배수 집합과 일치 -.
실시예 10
음수의 최소공배수를 계산해야 합니다. − 145 그리고 − 45 .
해결책
숫자를 바꾸자 − 145 그리고 − 45 그들의 반대 숫자에 145 그리고 45 . 이제 알고리즘을 사용하여 이전에 Euclid 알고리즘을 사용하여 GCD를 결정한 LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 를 계산합니다.
우리는 숫자의 최소공배수 − 145를 얻습니다. − 45 같음 1 305 .
답변:최소공배수 (− 145 , − 45) = 1305 .
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