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정비례란? 선형 함수. 정비례

예

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 등

비례 계수

비례 수량의 일정한 비율을 호출합니다. 비례 계수. 비례 계수는 한 수량의 단위가 다른 수량의 단위에 해당하는 수를 보여줍니다.

정비례

정비례- 어떤 양은 비율이 일정하게 유지되는 방식으로 다른 양에 의존하는 기능적 의존성. 즉, 이러한 변수는 변경됩니다. 비례적으로즉, 인수가 어떤 방향으로든 두 번 변경되면 함수도 같은 방향으로 두 번 변경됩니다.

수학적으로 정비례는 공식으로 작성됩니다.

에프(엑스) = ㅏ엑스,ㅏ = 씨영형N에스티

반비례

역비례- 독립 값(인수)의 증가가 종속 값(함수)의 비례 감소를 유발하는 함수 종속입니다.

수학적으로 역비례는 다음 공식으로 작성됩니다.

기능 속성:

출처

위키미디어 재단. 2010.

I. 직접적으로 비례하는 값.

가치를 보자 와이크기에 따라 다름 엑스. 증가하는 경우 엑스몇 배 크기 ~에같은 배율만큼 증가하면 그러한 값 엑스그리고 ~에직접 비례라고합니다.

예.

1 . 구매한 상품의 수량 및 구매 비용(상품 1개당 고정 가격 - 1개 또는 1kg 등) 몇 배나 더 많은 상품을 구입했고 몇 배나 더 많이 지불했습니다.

2 . 이동 거리 및 소요 시간(일정한 속도로). 경로가 몇 배 더 길어지고 몇 배 더 많은 시간이 소요될 것입니다.

3 . 몸의 부피와 질량. ( 한 수박이 다른 수박보다 2배 크면 질량도 2배 커집니다.)

II. 수량의 정비례 속성.

두 양이 정비례하는 경우 첫 번째 양의 두 임의 값의 비율은 두 번째 양의 해당 두 값의 비율과 같습니다.

작업 1.라즈베리 잼용 12kg산딸기와 8kg사하라. 섭취하는 경우 얼마나 많은 설탕이 필요합니까? 9kg라즈베리?

해결책.

우리는 다음과 같이 주장합니다. xkg설탕에 9kg라즈베리. 라스베리의 질량과 설탕의 질량은 정비례합니다. 라스베리가 몇 배나 적고 같은 양의 설탕이 필요합니다. 따라서 섭취한(중량 기준) 라즈베리의 비율( 12:9 )는 취한 설탕의 비율과 같습니다 ( 8:x). 우리는 비율을 얻습니다.

12: 9=8: 엑스;

x=9 · 8: 12;

x=6. 답변:~에 9kg라스베리 6kg사하라.

문제의 해결책다음과 같이 할 수 있었습니다.

하자 9kg라스베리 xkg사하라.

(그림의 화살표는 한 방향을 향하고 있으며 상하 상관없습니다. 의미: 숫자의 몇 배 12 더 많은 수 9 , 같은 번호 8 더 많은 수 엑스, 즉 여기에 직접적인 의존성이 있습니다).

답변:~에 9kg라스베리 6kg사하라.

작업 2.차 3 시간주행 거리 264km. 얼마나 걸릴까요? 440km같은 속도로 이동한다면?

해결책.

~을 위해 하자 x시간차가 거리를 커버할 것이다 440km.

답변:차가 지나갈 것이다 5시간에 440km.

정비례의 개념

좋아하는 사탕(또는 정말 좋아하는 사탕)을 사려고 생각하고 있다고 상상해 보십시오. 상점의 과자에는 자체 가격이 있습니다. 킬로그램 당 300 루블을 가정하십시오. 사탕을 많이 사면 먹을수록 더 많은 돈지불하다. 즉, 2kg을 원하면 600 루블을 지불하고 3kg을 원하면 900 루블을 지불하십시오. 이것으로 모든 것이 명확 해 보이죠?

그렇다면 이제 직접 비례가 무엇인지 분명해졌습니다. 이것은 서로 의존하는 두 수량의 비율을 설명하는 개념입니다. 그리고 이러한 수량의 비율은 변경되지 않고 일정하게 유지됩니다. 그 중 하나가 얼마나 많은 부분이 증가하거나 감소하는지에 따라 동일한 수의 부분만큼 두 번째 부분이 비례하여 증가하거나 감소합니다.

정비례는 다음 공식으로 설명할 수 있습니다. f(x) = a*x, 이 공식에서 a는 상수 값(a = const)입니다. 우리의 사탕 예에서 가격은 일정하고 일정합니다. 당신이 사기로 결정한 과자의 수에 관계없이 증가하거나 감소하지 않습니다. 독립 변수(인수) x는 몇 킬로그램의 사탕을 사려고 하는지입니다. 그리고 종속 변수 f(x)(함수)는 구매에 대해 지불하게 되는 금액입니다. 따라서 공식의 숫자를 대체하여 600r을 얻을 수 있습니다. = 300r. * 2kg.

중간 결론은 이것이다: 인수가 증가하면 함수도 증가하고 인수가 감소하면 함수도 감소한다

기능 및 속성

직접 비례 기능~이다 특별한 경우선형 함수. 선형 함수가 y = k*x + b인 경우 정비례의 경우 다음과 같습니다. y = k*x, 여기서 k는 비례 인수라고 하며 이것은 항상 0이 아닌 숫자입니다. k를 계산하는 것은 쉽습니다. k = y/x와 같이 함수와 인수의 몫으로 찾을 수 있습니다.

이해를 돕기 위해 다른 예를 들어보겠습니다. 자동차가 A 지점에서 B 지점으로 이동한다고 상상해 보십시오. 속도는 60km/h입니다. 이동 속도가 일정하다고 가정하면 상수로 간주할 수 있습니다. 그런 다음 S \u003d 60 * t 형식으로 조건을 작성하고이 공식은 직접 비례 함수 y \u003d k * x와 유사합니다. 평행선을 더 그려 보겠습니다. k \u003d y / x이면 A와 B 사이의 거리와 도로에서 보낸 시간을 알고 자동차 속도를 계산할 수 있습니다. V \u003d S / t.

이제 직접 비례에 대한 지식을 적용한 후 그 기능으로 돌아가 봅시다. 다음을 포함하는 속성:

그것의 정의 영역은 모든 실수의 집합입니다.

기능이 이상합니다.

변수의 변화는 수직선의 전체 길이에 정비례합니다.

정비례와 그 그래프

직접 비례 함수의 그래프는 원점과 교차하는 직선입니다. 그것을 구축하려면 한 지점만 더 표시하면 충분합니다. 그리고 그것을 선의 원점과 연결하십시오.

그래프의 경우에는 다음과 같습니다. 경사. 기울기가 0보다 작은 경우(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), 그래프와 x축 형태 날카로운 모서리, 기능이 증가하고 있습니다.

그리고 직접 비례 함수 그래프의 또 다른 속성은 기울기 k와 직접적으로 관련됩니다. 두 개의 동일하지 않은 함수와 그에 따라 두 개의 그래프가 있다고 가정합니다. 따라서 이러한 함수의 계수 k가 같으면 해당 그래프는 좌표축에서 평행합니다. 그리고 계수 k가 서로 같지 않으면 그래프가 교차합니다.

작업 예시

커플로 정하자 정비례 문제

간단하게 시작합시다.

작업 1: 5마리의 암탉이 5일 동안 5개의 알을 낳았다고 상상해 보십시오. 그리고 암탉이 20마리라면 20일 동안 몇 개의 알을 낳을까요?

솔루션: 미지수를 x로 표시합니다. 그리고 우리는 다음과 같이 논할 것입니다. 닭이 몇 번 더 있었습니까? 20을 5로 나누고 4번을 알아내십시오. 그리고 20마리의 암탉이 같은 5일 동안 몇 배나 더 많은 알을 낳을까요? 또한 4배 더. 5 * 4 * 4 \u003d 20일 동안 20마리의 암탉이 80개의 알을 낳습니다.

이제 예제가 조금 더 복잡해졌습니다. Newton의 "일반 산술"에서 문제를 다시 표현해 보겠습니다. 작업 2: 작가는 8일 동안 새 책의 14페이지를 쓸 수 있습니다. 보조자가 있다면 12일 동안 420페이지를 작성하려면 몇 명이 필요할까요?

솔루션: 동일한 시간에 작업을 수행해야 하는 경우 작업량이 증가함에 따라 사람(작가 + 어시스턴트)이 증가한다고 추론합니다. 근데 몇번? 420을 14로 나누면 30배 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 작업 조건에 따라 작업 시간이 더 많이 주어지기 때문에 조수 수는 30 배 증가하지 않지만 이런 식으로 x \u003d 1 (작가) * 30 (배) : 12/8 (날). 변환하여 x = 20명이 12일 동안 420페이지를 작성한다는 것을 알아봅시다.

예제에서 했던 것과 유사한 다른 문제를 해결해 봅시다.

작업 3: 두 대의 자동차가 같은 여정을 시작합니다. 하나는 70km/h의 속도로 움직이고 있었고 다른 하나는 7시간 만에 같은 거리를 2시간 만에 주파했습니다. 두 번째 자동차의 속도를 찾으십시오.

솔루션: 기억하고 있듯이 경로는 속도와 시간을 통해 결정됩니다. S = V *t. 두 자동차가 같은 길을 갔기 때문에 두 식을 동일시할 수 있습니다: 70*2 = V*7. 두 번째 차량의 속도는 V = 70*2/7 = 20km/h임을 알 수 있습니다.

직접 비례 함수가 있는 작업의 몇 가지 예가 더 있습니다. 때때로 문제에서 계수 k를 찾아야 합니다.

작업 4: 함수 y \u003d - x / 16 및 y \u003d 5x / 2가 주어지면 비례 계수를 결정합니다.

솔루션: 기억하고 있듯이 k = y/x입니다. 따라서 첫 번째 함수의 계수는 -1/16이고 두 번째 함수의 경우 k = 5/2입니다.

그리고 작업 5와 같은 작업을 접할 수도 있습니다. 정비례 공식을 작성하세요. 그래프와 함수 y \u003d -5x + 3의 그래프는 병렬로 배치됩니다.

솔루션: 조건에서 우리에게 주어진 함수는 선형입니다. 정비례는 선형 함수의 특수한 경우라는 것을 알고 있습니다. 또한 k 함수의 계수가 같으면 그래프가 평행하다는 것도 알고 있습니다. 즉, 알려진 함수의 계수를 계산하고 친숙한 공식인 y \u003d k * x를 사용하여 정비례를 설정하기만 하면 됩니다. 계수 k \u003d -5, 정비례: y \u003d -5 * x.

결론

이제 배웠습니다(또는 이전에 이 주제를 이미 다루었다면 기억했습니다). 정비례, 그리고 그것을 고려 예. 우리는 또한 정비례 함수와 그 그래프에 대해 이야기했고, 예를 들어 몇 가지 문제를 해결했습니다.

이 기사가 유용하고 주제를 이해하는 데 도움이 되었다면 의견에 알려주십시오. 그래서 우리가 당신에게 도움이 될 수 있는지 알 수 있습니다.

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정비례 및 반비례

t가 보행자가 이동하는 시간(시간)이고 s가 이동 거리(킬로미터)이고 보행자가 4km/h의 속도로 균일하게 이동하는 경우 이러한 양 간의 관계는 공식 s로 표현할 수 있습니다. = 4t. t의 각 값은 s의 고유한 값에 해당하므로 공식 s = 4t를 사용하여 함수가 주어진다고 말할 수 있습니다. 이를 직접 비례라고 하며 다음과 같이 정의됩니다.

정의. 정비례는 공식 y \u003d kx를 사용하여 지정할 수 있는 함수입니다. 여기서 k는 0이 아닌 실수입니다.

함수 y \u003d k x의 이름은 공식 y \u003d kx에 양의 값이 될 수 있는 변수 x와 y가 있다는 사실 때문입니다. 그리고 두 값의 비율이 0이 아닌 숫자와 같으면 호출됩니다. 정비례 . 우리의 경우 = k (k≠0). 이 번호는 비례 요인.

y \u003d k x 함수는 초기 수학 과정에서 이미 고려한 많은 실제 상황의 수학적 모델입니다. 그 중 하나가 위에 설명되어 있습니다. 또 다른 예 : 한 패키지에 2kg의 밀가루가 있고 x 해당 패키지를 구매하면 구매 한 밀가루의 전체 질량 (y로 표시)은 공식 y \u003d 2x로 나타낼 수 있습니다. 패키지 수와 구매한 밀가루의 총 질량 사이의 관계는 계수 k=2에 정비례합니다.

학교 수학 과정에서 공부하는 정비례의 몇 가지 속성을 상기하십시오.

1. 함수 y \u003d k x의 영역과 그 값의 영역은 실수 집합입니다.

2. 정비례 그래프는 원점을 지나는 직선이다. 따라서 정비례 그래프를 구성하기 위해서는 자신에 속하고 원점과 일치하지 않는 한 점만을 찾아 이 점과 원점을 지나는 직선을 그으면 됩니다.

예를 들어, 함수 y = 2x를 플로팅하려면 좌표가 (1, 2)인 점이 있고 이를 통과하는 직선과 원점을 그리는 것으로 충분합니다(그림 7).

3. k > 0인 경우 함수 y = kx는 전체 정의 영역에서 증가합니다. 포크< 0 - убывает на всей области определения.

4. 함수 f가 정비례이고 (x 1, y 1), (x 2, y 2) - 변수 x와 y의 해당 값 쌍, x 2 ≠ 0이면.

실제로 함수 f가 정비례이면 공식 y \u003d kx, y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2로 지정할 수 있습니다. x 2 ≠0 및 k≠0이므로 y 2 ≠0입니다. 그래서 및 수단 .

변수 x와 y의 값이 양의 실수이면 증명된 정비례 속성은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. 변수 x의 값이 여러 번 증가(감소)하면 변수 y의 해당 값이 같은 양만큼 증가(감소)합니다.

이 속성은 정비례에만 내재되어 있으며 정비례 양이 고려되는 단어 문제를 푸는 데 사용할 수 있습니다.

작업 1. 8시간 동안 터너는 16개의 부품을 만들었습니다. 터너가 같은 생산성으로 일한다면 48개의 부품을 만드는 데 몇 시간이 걸립니까?

해결책. 문제는 터너의 시간, 그가 만든 부품 수 및 생산성(즉, 터너가 1시간 동안 제조한 부품 수), 후자의 값은 일정하고 다른 두 개는 다음과 같은 수량을 고려합니다. 다양한 의미. 또한 부품 수와 작업 시간은 비율이 0이 아닌 특정 숫자, 즉 1시간 동안 터너가 만드는 부품 수와 같기 때문에 정비례합니다. 만들어진 부품의 수는 문자 y로 표시되고 작업 시간은 x이고 성능은 k입니다. 그러면 = k 또는 y = kx가 됩니다. 문제에 제시된 상황의 수학적 모델은 정비례입니다.

문제는 두 가지 산술 방식으로 풀 수 있습니다.

1방향: 2방향:

1) 16:8 = 2(자녀) 1) 48:16 = 3(회)

2) 48:2 = 24(시간) 2) 8-3 = 24(시간)

첫 번째 방법으로 문제를 해결하면서 먼저 비례 계수 k를 찾았고 2와 같습니다. 그런 다음 y \u003d 2x라는 것을 알고 y \u003d 48이면 x 값을 찾았습니다.

두 번째 방법으로 문제를 해결할 때 우리는 정비례 속성을 사용했습니다. 터너가 만드는 부품 수가 몇 배 증가하면 제조 시간이 같은 양만큼 증가합니다.

이제 역비례라는 함수에 대해 살펴보겠습니다.

t가 보행자의 이동 시간(시간)이고 v가 보행자의 속도(km/h)이고 12km를 걸었다면 이 값 사이의 관계는 공식 v∙t = 20으로 표현할 수 있습니다. V = .

t(t ≠ 0)의 각 값은 속도 v의 단일 값에 해당하므로 공식 v = 를 사용하여 함수가 주어진다고 말할 수 있습니다. 이를 역비례라고 하며 다음과 같이 정의한다.

정의. 역 비례는 y \u003d 공식을 사용하여 지정할 수있는 함수입니다. 여기서 k는 0이 아닌 실수입니다.

이 함수의 이름은 y= 양의 값이 될 수 있는 변수 x와 y가 있습니다. 그리고 두 수량의 곱이 0이 아닌 숫자와 같으면 반비례라고합니다. 우리의 경우 xy = k(k ≠ 0)입니다. 이 숫자 k를 비례 계수라고 합니다.

기능 y= 수학의 초기 과정에서 이미 고려된 많은 실제 상황의 수학적 모델입니다. 그 중 하나는 반비례의 정의 전에 설명되어 있습니다. 또 다른 예: 12kg의 밀가루를 사서 l에 넣으면 각각 ykg의 캔, 이 양 사이의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. x-y= 12, 즉 계수 k=12와 반비례합니다.

학교 수학 과정에서 알려진 반비례의 몇 가지 속성을 상기하십시오.

1. 기능 범위 y= 범위 x는 0이 아닌 실수 집합입니다.

2. 역비례 그래프는 쌍곡선입니다.

3. k > 0인 경우 쌍곡선의 분기는 1사분면과 3사분면에 위치하며 함수는 다음과 같습니다. y= x의 전체 영역에서 감소하고 있습니다(그림 8).

쌀. 8 그림 9

k일 때< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= x의 전체 영역에서 증가하고 있습니다(그림 9).

4. 함수 f가 반비례하고 (x 1, y 1), (x 2, y 2)가 변수 x와 y의 해당 값 쌍이면,

실제로 함수 f가 반비례하면 다음 공식으로 주어질 수 있습니다. y= ,그런 다음 . x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0이므로

변수 x 및 y의 값이 양의 실수인 경우 이 반비례 속성은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. 변수 x 값이 여러 번 증가(감소)하면 해당 변수 값이 y는 같은 양만큼 감소(증가)합니다.

이 속성은 반비례에만 내재되어 있으며 반비례의 양이 고려되는 단어 문제를 푸는 데 사용할 수 있습니다.

문제 2. 10km/h의 속도로 움직이는 자전거 타는 사람이 A에서 B까지의 거리를 6시간 동안 달렸습니다.

해결책. 이 문제는 자전거 타는 사람의 속도, 이동 시간, A에서 B까지의 거리, 후자의 값은 일정하고 다른 두 값은 서로 다른 값을 고려합니다. 또한 이동 속도와 시간은 곱이 특정 숫자, 즉 이동 거리와 같기 때문에 반비례합니다. 자전거 타는 사람의 이동 시간이 문자 y로 표시되고 속도가 x이고 거리 AB가 k이면 xy \u003d k 또는 y \u003d, 즉 문제에 제시된 상황의 수학적 모델은 역비례입니다.

두 가지 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다.

1방향: 2방향:

1) 10-6 = 60(km) 1) 20:10 = 2(회)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

첫 번째 방법으로 문제를 해결하면서 먼저 비례 계수 k를 찾았고 60과 같습니다. 그런 다음 y \u003d라는 것을 알고 x \u003d 20이면 y 값을 찾았습니다.

두 번째 방법으로 문제를 해결할 때 반비례 속성을 사용했습니다. 이동 속도가 몇 배 증가하면 같은 거리를 이동하는 데 걸리는 시간은 같은 양만큼 감소합니다.

반비례 또는 정비례 수량으로 특정 문제를 해결할 때 x 및 y에 일부 제한이 적용되며 특히 전체 실수 집합이 아니라 하위 집합에서 고려될 수 있습니다.

문제 3. Lena는 x개의 연필을 샀고 Katya는 2배 더 샀습니다. Katya가 구입한 연필의 수를 y로 표시하고, y를 x로 표현하고, x ≤ 5인 경우 확립된 대응 그래프를 플로팅합니다. 이 경기는 함수입니까? 정의 영역과 가치 범위는 무엇입니까?

해결책. Katya는 u = 연필 2개를 구입했습니다. 함수 y=2x를 플로팅할 때 변수 x가 연필의 수를 나타내고 x≤5라는 점을 고려해야 합니다. 즉, 0, 1, 2, 3, 4, 5. 이것은 이 기능의 영역이 됩니다. 이 함수의 범위를 얻으려면 정의 도메인의 각 값 x에 2를 곱해야 합니다. 집합(0, 2, 4, 6, 8, 10)이 됩니다. 따라서 정의 영역 (0, 1, 2, 3, 4, 5)이 있는 함수 y \u003d 2x의 그래프는 그림 10에 표시된 점 집합이 됩니다. 이 모든 점은 선 y \u003d에 속합니다. 2배.

정비례의 개념

좋아하는 사탕(또는 정말 좋아하는 사탕)을 사려고 생각하고 있다고 상상해 보십시오. 상점의 과자에는 자체 가격이 있습니다. 킬로그램 당 300 루블을 가정하십시오. 더 많은 사탕을 살수록 더 많은 돈을 지불합니다. 즉, 2kg을 원하면 600 루블을 지불하고 3kg을 원하면 900 루블을 지불하십시오. 이것으로 모든 것이 명확 해 보이죠?

중간 결론은 이것이다: 인수가 증가하면 함수도 증가하고 인수가 감소하면 함수도 감소한다

기능 및 속성

직접 비례 기능선형 함수의 특수한 경우입니다. 선형 함수가 y = k*x + b인 경우 정비례의 경우 다음과 같습니다. y = k*x, 여기서 k는 비례 인수라고 하며 이것은 항상 0이 아닌 숫자입니다. k를 계산하는 것은 쉽습니다. k = y/x와 같이 함수와 인수의 몫으로 찾을 수 있습니다.

이제 직접 비례에 대한 지식을 적용한 후 그 기능으로 돌아가 봅시다. 다음을 포함하는 속성:

그것의 정의 영역은 모든 실수의 집합입니다.

기능이 이상합니다.

변수의 변화는 수직선의 전체 길이에 정비례합니다.

정비례와 그 그래프

그래프의 경우 k는 기울기입니다. 기울기가 0보다 작은 경우(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0) 그래프와 x축이 예각을 이루며 함수가 증가한다.

작업 예시

커플로 정하자 정비례 문제

간단하게 시작합시다.

작업 1: 5마리의 암탉이 5일 동안 5개의 알을 낳았다고 상상해 보십시오. 그리고 암탉이 20마리라면 20일 동안 몇 개의 알을 낳을까요?

예제에서 했던 것과 유사한 다른 문제를 해결해 봅시다.

직접 비례 함수가 있는 작업의 몇 가지 예가 더 있습니다. 때때로 문제에서 계수 k를 찾아야 합니다.

작업 4: 함수 y \u003d - x / 16 및 y \u003d 5x / 2가 주어지면 비례 계수를 결정합니다.

솔루션: 기억하고 있듯이 k = y/x입니다. 따라서 첫 번째 함수의 계수는 -1/16이고 두 번째 함수의 경우 k = 5/2입니다.

그리고 작업 5와 같은 작업을 접할 수도 있습니다. 정비례 공식을 작성하세요. 그래프와 함수 y \u003d -5x + 3의 그래프는 병렬로 배치됩니다.

결론

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