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제한된 폐쇄 영역에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 방법은 무엇입니까? 함수 그래프 조사.

이 기사에서는 찾기 기능을 함수 연구에 적용하는 방법에 대해 이야기하겠습니다. 가장 작은 값. 그런 다음 태스크 B15의 몇 가지 문제를 해결합니다. 오픈 뱅크에 대한 할당.

평소와 같이 먼저 이론부터 시작하겠습니다.

함수에 대한 연구를 시작할 때 우리는 그것을 발견합니다.

함수의 최대값 또는 최소값을 찾으려면 함수가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 조사해야 합니다.

이렇게하려면 함수의 도함수를 찾고 일정한 부호의 간격, 즉 도함수가 부호를 유지하는 간격을 연구해야 합니다.

함수의 도함수가 양수인 구간은 함수가 증가하는 구간입니다.

함수의 도함수가 음수인 구간은 함수가 감소하는 구간입니다.

1 . 과제 B15를 풀어보자(No. 245184)

이를 해결하기 위해 다음 알고리즘을 따릅니다.

a) 함수의 도메인 찾기

b) 함수의 도함수를 찾습니다.

c) 0으로 설정합니다.

d) 함수의 상수부호 구간을 구해보자.

e) 함수가 가장 큰 값을 갖는 지점을 찾습니다.

f) 이 시점에서 함수의 값을 찾습니다.

VIDEO LESSON에서이 작업에 대한 자세한 솔루션을 알려줍니다.

브라우저가 지원되지 않을 수 있습니다. "Unified State Examination Hour" 시뮬레이터를 사용하려면 다운로드를 시도하십시오.
파이어폭스

2. 과제 B15를 풀어보자(282862호)

함수의 가장 큰 값 찾기 세그먼트에서

함수가 x=2에서 최대 지점의 세그먼트에서 가장 큰 값을 취하는 것은 분명합니다. 이 시점에서 함수의 값을 찾으십시오.

답변: 5

삼 . 작업 B15(No. 245180)를 해결해 봅시다.

함수의 가장 큰 값 찾기

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. 원래 함수 title="4-2x-x^2>0의 범위부터">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. 분자는 에서 0입니다. ODZ가 함수에 속하는지 확인해 봅시다. 이렇게 하려면 조건 title="4-2x-x^2>0"> при .!}

제목="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

따라서 포인트는 함수의 ODZ에 속합니다.

포인트의 오른쪽과 왼쪽에 대한 미분의 부호를 검사합니다.

함수가 지점에서 가장 큰 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다. 이제 다음에서 함수의 값을 찾아봅시다.

참고 1. 이 문제에서 우리는 함수의 도메인을 찾지 못했습니다. 제약 조건을 수정하고 도함수가 0인 지점이 함수의 도메인에 속하는지 여부만 확인했습니다. 이 문제에서는 이것으로 충분했습니다. 그러나 항상 그런 것은 아닙니다. 작업에 따라 다릅니다.

비고 2. 복잡한 함수의 동작을 연구할 때 다음 규칙을 사용할 수 있습니다.

복합 함수의 외부 함수가 증가하는 경우 함수는 내부 함수가 최대값을 갖는 지점과 동일한 지점에서 최대값을 갖습니다. 이것은 증가 함수의 정의에서 따릅니다. 함수는 다음과 같은 경우 구간 I에서 증가합니다. 더 큰 가치이 간격의 인수는 함수의 더 큰 값에 해당합니다.
복소 함수의 외부 함수가 감소하면 내부 함수가 최소값을 갖는 지점과 동일한 지점에서 함수가 최대값을 갖습니다. . 이것은 감소 함수의 정의에서 따릅니다. 이 간격에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하는 경우 함수는 간격 I에서 감소합니다.

이 예에서 외부 함수 -는 전체 정의 영역에서 증가합니다. 로그의 부호 아래에는 음의 시니어 계수가 있는 제곱 삼항식이 해당 지점에서 가장 큰 값을 취하는 식입니다. . 다음으로, 이 x 값을 함수의 방정식으로 대체합니다. 그리고 가장 큰 값을 찾습니다.

함수 $z=f(x,y)$를 한정된 폐쇄 도메인 $D$에서 정의하고 연속적으로 정의합니다. 이 지역에 주어진 기능 1차의 유한 편도함수가 있습니다(유한한 수의 점을 제외하고 가능). 주어진 닫힌 영역에서 두 변수의 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 간단한 알고리즘의 세 단계가 필요합니다.

닫힌 도메인 $D$에서 함수 $z=f(x,y)$의 최대값과 최소값을 찾는 알고리즘.

$D$ 영역에 속하는 함수 $z=f(x,y)$의 임계점을 찾습니다. 임계점에서 함수 값을 계산합니다.
가능한 최대값과 최소값의 지점을 찾아 영역 $D$의 경계에서 함수 $z=f(x,y)$의 동작을 조사합니다. 얻은 점에서 함수 값을 계산합니다.
이전 두 단락에서 얻은 함수 값에서 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택하십시오.

임계점이란 무엇입니까? 표시/숨기기

아래에 임계점두 1차 편도함수가 모두 0인 지점을 의미(즉, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ 및 $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) 또는 적어도 하나의 편도함수가 존재하지 않습니다.

종종 1계 편도함수가 0이 되는 점을 다음과 같이 부릅니다. 고정점. 따라서 고정점은 임계점의 하위 집합입니다.

예 #1

$x=3$, $y=0$ 및 $y=x 선으로 둘러싸인 닫힌 영역에서 함수 $z=x^2+2xy-y^2-4x$의 최대값과 최소값을 찾습니다. +1$.

우리는 위의 내용을 따르지만 먼저 $D$ 문자로 표시할 주어진 영역의 그림을 다룰 것입니다. 이 영역을 제한하는 세 개의 직선 방정식이 주어집니다. 직선 $x=3$은 y축(Oy축)에 평행한 점 $(3;0)$을 지난다. 직선 $y=0$은 가로축(Ox축)의 방정식이다. 음, 직선 $y=x+1$을 만들기 위해 이 직선을 그리는 두 점을 찾아봅시다. 물론 $x$ 대신 몇 가지 임의의 값으로 대체할 수 있습니다. 예를 들어 $x=10$로 바꾸면 $y=x+1=10+1=11$가 됩니다. 우리는 $y=x+1$ 선 위에 있는 $(10;11)$ 점을 찾았습니다. 그러나 $y=x+1$ 선이 $x=3$ 및 $y=0$ 선과 교차하는 지점을 찾는 것이 좋습니다. 왜 더 나은가요? 우리는 하나의 돌로 두 마리의 새를 놓을 것이기 때문에 직선을 구성하기 위해 두 개의 점을 얻습니다. $y=x+1$ 동시에 이 직선이 주어진 직선을 묶는 다른 직선과 교차하는 지점을 찾습니다 영역. $y=x+1$ 선은 $(3;4)$ 지점에서 $x=3$ 선과 교차하고 $(-1;0)$ 지점에서 $y=0$ 선과 교차합니다. 풀이 과정을 보조 설명으로 어지럽히지 않기 위해 이 두 가지 점을 얻는 문제를 노트에 담겠습니다.

$(3;4)$ 및 $(-1;0)$ 포인트는 어떻게 얻었습니까? 표시/숨기기

$y=x+1$ 및 $x=3$ 선의 교차점부터 시작하겠습니다. 원하는 점의 좌표는 첫 번째 줄과 두 번째 줄 모두에 속하므로 알 수 없는 좌표를 찾으려면 방정식 시스템을 풀어야 합니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

그러한 시스템의 솔루션은 간단합니다. $x=3$를 첫 번째 방정식으로 대체하면 $y=3+1=4$가 됩니다. $(3;4)$ 점은 $y=x+1$ 및 $x=3$ 선의 원하는 교차점입니다.

이제 $y=x+1$와 $y=0$의 교차점을 찾아봅시다. 다시 방정식 시스템을 구성하고 해결합니다.

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

$y=0$를 첫 번째 등식에 대입하면 $0=x+1$, $x=-1$가 됩니다. 점 $(-1;0)$은 선 $y=x+1$ 및 $y=0$(가로축)의 원하는 교차점입니다.

다음과 같은 도면을 작성할 준비가 모두 완료되었습니다.

그림에서 모든 것을 볼 수 있기 때문에 메모의 질문은 분명해 보입니다. 그러나 그림이 증거가 될 수 없다는 점을 기억할 가치가 있습니다. 그림은 이해를 돕기 위한 예시일 뿐입니다.

우리 지역은 그것을 제한하는 선의 방정식을 사용하여 설정되었습니다. 이 선들이 삼각형을 정의한다는 것이 명백하지 않습니까? 아니면 분명하지 않습니까? 또는 동일한 선으로 경계가 지정된 다른 영역이 주어질 수도 있습니다.

물론 조건은 해당 지역이 폐쇄된 상태라고 하니 보여지는 사진은 틀립니다. 그러나 그러한 모호함을 피하려면 지역을 불평등으로 정의하는 것이 좋습니다. 우리는 평면에서 $y=x+1$? 선 아래에 있는 부분에 관심이 있습니다. 자, $y ≤ x+1$입니다. 우리 영역은 $y=0$? 라인 위에 위치해야 합니다. $y ≥ 0$입니다. 그런데 마지막 두 부등식은 $0 ≤ y ≤ x+1$로 쉽게 결합됩니다.

$$ \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(정렬) \right. $$

이러한 불평등은 도메인 $D$를 정의하고 모호성 없이 고유하게 정의합니다. 그러나 이것이 각주 시작 부분의 질문에서 우리에게 어떻게 도움이 됩니까? 또한 도움이 될 것입니다 :) $M_1(1;1)$ 포인트가 $D$ 지역에 속하는지 확인해야 합니다. $x=1$ 및 $y=1$를 이 영역을 정의하는 불평등 시스템으로 대체해 보겠습니다. 두 부등식이 모두 충족되면 점은 영역 내부에 있습니다. 부등식 중 적어도 하나가 충족되지 않으면 점은 영역에 속하지 않습니다. 그래서:

$$ \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

두 부등식 모두 참입니다. $M_1(1;1)$ 포인트는 $D$ 지역에 속합니다.

이제 도메인 경계에서 함수의 동작을 조사할 차례입니다. 이동. 직선 $y=0$부터 시작해 봅시다.

$y=0$(가로축) 직선은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건에서 $D$ 영역을 제한합니다. $y=0$를 주어진 함수 $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$로 대체하십시오. 한 변수 $x$의 결과 대체 함수는 $f_1(x)$로 표시됩니다.

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

이제 $f_1(x)$ 함수에 대해 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 도함수를 찾아 0과 동일시합니다.

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ 값은 세그먼트 $-1 ≤ x ≤ 3$에 속하므로 포인트 목록에 $M_2(2;0)$도 추가합니다. 또한 세그먼트 $-1 ≤ x ≤ 3$의 끝에서 함수 $z$의 값을 계산합니다. $M_3(-1;0)$ 및 $M_4(3;0)$ 지점에서. 그건 그렇고, 포인트 $M_2$가 고려중인 세그먼트에 속하지 않으면 물론 $z$ 함수의 값을 계산할 필요가 없습니다.

따라서 $M_2$, $M_3$, $M_4$ 지점에서 함수 $z$의 값을 계산해 봅시다. 물론 원래 식 $z=x^2+2xy-y^2-4x$에서 이러한 점의 좌표를 대체할 수 있습니다. 예를 들어 $M_2$ 포인트에 대해 다음을 얻습니다.

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

그러나 계산을 약간 단순화할 수 있습니다. 이렇게 하려면 세그먼트 $M_3M_4$에 $z(x,y)=f_1(x)$가 있다는 것을 기억해야 합니다. 나는 그것을 자세히 철자 할 것입니다 :

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(정렬)

물론 일반적으로 이러한 세부 항목이 필요하지 않으며 앞으로 모든 계산을 더 짧은 방식으로 기록하기 시작할 것입니다.

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

이제 직선 $x=3$로 돌아갑시다. 이 선은 $0 ≤ y ≤ 4$ 조건에서 도메인 $D$를 경계로 합니다. $x=3$를 주어진 함수 $z$로 대체하십시오. 이러한 대체의 결과 $f_2(y)$ 함수를 얻습니다.

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

함수 $f_2(y)$의 경우 $0 ≤ y ≤ 4$ 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 이 함수의 도함수를 찾아 0과 동일시합니다.

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ 값은 $0 ≤ y ≤ 4$ 세그먼트에 속하므로 앞에서 찾은 점에 $M_5(3;3)$를 더합니다. 또한 세그먼트 $0 ≤ y ≤ 4$의 끝점에서 함수 $z$의 값을 계산해야 합니다. $M_4(3;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 지점에서. $M_4(3;0)$ 지점에서 우리는 이미 $z$의 값을 계산했습니다. $M_5$ 및 $M_6$ 지점에서 함수 $z$의 값을 계산해 보겠습니다. $M_4M_6$ 세그먼트에는 $z(x,y)=f_2(y)$가 있으므로 다음과 같이 알려드립니다.

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(정렬)

그리고 마지막으로 $D$의 마지막 경계, 즉 라인 $y=x+1$. 이 선은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 조건에서 $D$ 영역을 경계로 합니다. $y=x+1$를 함수 $z$로 대체하면 다음과 같습니다.

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

다시 한번 우리는 하나의 변수 $x$의 함수를 가지고 있습니다. 그리고 다시 $-1 ≤ x ≤ 3$ 세그먼트에서 이 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾아야 합니다. 함수 $f_(3)(x)$의 도함수를 찾아 0과 같게 합니다.

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ 값은 $-1 ≤ x ≤ 3$ 구간에 속합니다. $x=1$이면 $y=x+1=2$입니다. 포인트 목록에 $M_7(1;2)$를 추가하고 이 포인트에서 $z$ 함수의 값이 무엇인지 알아봅시다. 세그먼트 $-1 ≤ x ≤ 3$의 끝에 있는 점, 즉 $M_3(-1;0)$ 및 $M_6(3;4)$ 포인트는 이전에 고려되었지만 이미 함수 값을 찾았습니다.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

솔루션의 두 번째 단계가 완료되었습니다. 다음과 같은 7가지 값이 있습니다.

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

로 돌아가자. 세 번째 단락에서 얻은 숫자에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하면 다음과 같습니다.

$$z_(분)=-4; \; z_(최대)=6.$$

문제는 해결되었고 답을 적는 것만 남아 있습니다.

답변: $z_(분)=-4; \; z_(최대)=6$.

예 #2

$x^2+y^2 ≤ 25$ 영역에서 함수 $z=x^2+y^2-12x+16y$의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

먼저 그림을 만들어 봅시다. 방정식 $x^2+y^2=25$(주어진 영역의 경계선)는 중심이 원점(즉, 점 $(0;0)$)이고 반지름이 5. 부등식 $x^2 +y^2 ≤ 25$는 언급된 원 안팎의 모든 점을 만족시킵니다.

우리는 조치를 취할 것입니다. 부분 도함수를 찾고 임계점을 알아봅시다.

$$ \frac(\부분 z)(\부분 x)=2x-12; \frac(\부분 z)(\부분 y)=2y+16. $$

발견된 부분 도함수가 존재하지 않는 지점이 없습니다. 두 부분 도함수가 동시에 0과 같은 지점, 즉 고정점을 찾습니다.

$$ \left \( \begin(정렬) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(정렬) \right. \;\; \left \( \begin(정렬) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

고정점 $(6;-8)$을 얻었습니다. 그러나 발견된 지점은 $D$ 영역에 속하지 않습니다. 이것은 그림을 그리지 않고도 쉽게 보여줄 수 있습니다. $D$ 도메인을 정의하는 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$가 성립하는지 확인해 봅시다. $x=6$, $y=-8$이면 $x^2+y^2=36+64=100$, 즉 부등식 $x^2+y^2 ≤ 25$가 충족되지 않습니다. 결론: $(6;-8)$ 지점은 $D$ 지역에 속하지 않습니다.

따라서 $D$ 내부에는 임계점이 없습니다. 다음으로 넘어갑시다. 주어진 영역의 경계에서 함수의 동작을 조사해야 합니다. $x^2+y^2=25$ 원에서. 물론 $y$를 $x$로 표현한 다음 결과 표현식을 함수 $z$로 대체할 수 있습니다. 원 방정식에서 $y=\sqrt(25-x^2)$ 또는 $y=-\sqrt(25-x^2)$를 얻습니다. 예를 들어 $y=\sqrt(25-x^2)$를 주어진 함수에 대입하면 다음과 같습니다.

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

추가 솔루션은 이전 예제 1번의 영역 경계에서 함수의 동작에 대한 연구와 완전히 동일합니다. 그러나 이 상황에서는 라그랑주 방법을 적용하는 것이 더 합리적으로 보입니다. 우리는 이 방법의 첫 번째 부분에만 관심이 있습니다. Lagrange 방법의 첫 번째 부분을 적용한 후 최소값과 최대값에 대해 함수 $z$를 검사하는 지점을 얻을 것입니다.

Lagrange 함수를 구성합니다.

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Lagrange 함수의 편도함수를 찾고 해당 방정식 시스템을 구성합니다.

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (정렬) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambday y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(정렬) \ 오른쪽. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambday y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( 정렬)\right.$$

이 시스템을 풀기 위해 즉시 $\lambda\neq -1$를 표시해 보겠습니다. 왜 $\lambda\neq -1$인가? $\lambda=-1$를 첫 번째 방정식으로 대체해 보겠습니다.

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

결과 모순 $0=6$은 $\lambda=-1$ 값이 유효하지 않음을 나타냅니다. 출력: $\lambda\neq -1$. $x$ 및 $y$를 $\lambda$로 표현해 보겠습니다.

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambday y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(정렬)

$\lambda\neq -1$ 조건을 구체적으로 규정한 이유가 여기에서 분명해 졌다고 생각합니다. 이는 $1+\lambda$ 식을 간섭 없이 분모에 맞추기 위해 수행되었습니다. 즉, 분모가 $1+\lambda\neq 0$인지 확인하는 것입니다.

$x$ 및 $y$에 대해 얻은 식을 시스템의 세 번째 방정식, 즉 $x^2+y^2=25$에서:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\람다)^2)+\frac(64)((1+\람다)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\람다)^2)=25 ; \; (1+\람다)^2=4. $$

$1+\lambda=2$ 또는 $1+\lambda=-2$는 결과적으로 동일합니다. 따라서 $\lambda$ 매개변수의 두 가지 값, 즉 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$가 있습니다. 따라서 $x$ 및 $y$의 두 쌍 값을 얻습니다.

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(정렬)

그래서 우리는 가능한 조건부 극값의 두 점을 얻었습니다. $M_1(3;-4)$ 및 $M_2(-3;4)$. $M_1$ 및 $M_2$ 지점에서 $z$ 함수의 값을 찾습니다.

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(정렬)

첫 번째 단계와 두 번째 단계에서 얻은 값 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택해야 합니다. 그러나 안으로 이 경우선택은 작습니다 :) 우리는:

$$z_(분)=-75; \; z_(최대)=125. $$

답변: $z_(분)=-75; \; z_(최대)=125$.

이 기사에서 나는 이야기 할 것입니다 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘기능, 최소 및 최대 포인트.

이론적으로 우리는 확실히 필요합니다 파생 테이블그리고 차별화 규칙. 이 보드에 모두 있습니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾는 알고리즘.

설명하기가 더 쉬운 것 같아요 구체적인 예. 고려하다:

예:세그먼트 [–4;0]에서 함수 y=x^5+20x^3–65x의 가장 큰 값을 찾습니다.

1 단계.우리는 미분을 취합니다.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 단계극한점 찾기.

극한점함수가 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점의 이름을 지정합니다.

극한점을 찾으려면 함수의 도함수를 0과 동일시해야 합니다(y "= 0).

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

이제 우리는 이 2차 방정식을 풀고 발견된 근은 우리의 극한점입니다.

저는 t = x^2, 5t^2 + 60t - 65 = 0을 대체하여 이러한 방정식을 풉니다.

방정식을 5로 줄이면 t^2 + 12t - 13 = 0이 됩니다.

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

우리는 역대입 x^2 = t를 만듭니다:

X_(1 및 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 and 4) = ±sqrt(-13) (물론 우리가 복소수에 대해 이야기하지 않는 한 루트 아래에 음수가 있을 수 없음을 제외합니다)

합계: x_(1) = 1 및 x_(2) = -1 - 이들은 극한 지점입니다.

3단계가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다.

대체 방법.

조건에서 세그먼트 [b][–4;0]이 주어졌습니다. 점 x=1은 이 세그먼트에 포함되지 않습니다. 그래서 우리는 그것을 고려하지 않습니다. 그러나 점 x=-1 외에도 세그먼트의 왼쪽과 오른쪽 경계, 즉 점 -4와 0도 고려해야 합니다. 이렇게 하려면 이 세 점을 모두 원래 함수로 대체합니다. 원래 하나는 조건(y=x^5+20x^3–65x)에서 주어진 것이고 일부는 미분으로 대체하기 시작합니다...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

이것은 함수의 최대값이 [b]44이고 포인트 [b]-1에 도달한다는 것을 의미하며, 세그먼트 [-4; 0].

우리는 결정하고 답을 얻었습니다. 우리는 훌륭합니다. 긴장을 풀 수 있습니다. 하지만 그만! y(-4)를 세는 것이 너무 복잡하다고 생각하지 않습니까? 제한된 시간 조건에서는 다른 방법을 사용하는 것이 더 낫습니다. 다음과 같이 부릅니다.

불변의 간격을 통해.

이러한 간격은 함수의 미분, 즉 우리의 biquadratic 방정식에 대해 발견됩니다.

저는 다음과 같은 방법으로 합니다. 방향선을 그립니다. 나는 포인트를 -4, -1, 0, 1로 설정했습니다. 주어진 세그먼트에 1이 포함되어 있지 않다는 사실에도 불구하고 일관성의 간격을 올바르게 결정하려면 여전히 주목해야합니다. 1보다 몇 배 더 큰 숫자를 취하여 100이라고 가정하고 정신적으로 2차 방정식 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65로 대체합니다. 아무 것도 세지 않아도 점 100에서 함수에 더하기 기호가 있습니다. 이것은 1에서 100까지의 간격에 대해 더하기 기호가 있음을 의미합니다. 1을 통과할 때(오른쪽에서 왼쪽으로 이동) 함수는 부호를 마이너스로 변경합니다. 점 0을 통과할 때 이 함수는 방정식의 근이 아니라 세그먼트의 경계일 뿐이므로 부호를 유지합니다. -1을 통과하면 함수는 다시 부호를 더하기로 변경합니다.

이론에서 우리는 함수의 파생물이 어디에 있는지 알고 있습니다(그리고 우리는 이것을 위해 이것을 그렸습니다). 플러스에서 마이너스로 부호 변경 (이 경우 포인트 -1)기능 도달 로컬 최대 (앞서 계산한 y(-1)=44)이 세그먼트에서 (이것은 논리적으로 매우 분명합니다. 기능이 최대치에 도달하고 감소하기 시작했기 때문에 기능이 증가하지 않았습니다).

따라서, 함수의 도함수가 마이너스에서 플러스로 부호 변경, 달성 함수의 지역 최소값. 예, 예, 우리는 또한 로컬 최소점인 1을 찾았고 y(1)은 간격에서 함수의 최소값입니다. 예를 들어 -1에서 +∞까지입니다. 이것은 LOCAL MINIMUM, 즉 특정 세그먼트의 최소값일 뿐이라는 점에 유의하십시오. 실제(전역) 최소 함수는 -∞에서 어딘가에 도달할 것이기 때문입니다.

제 생각에는 첫 번째 방법이 이론적으로 더 간단하고 두 번째 방법이 산술 연산은 간단하지만 이론상으로는 훨씬 어렵습니다. 결국 방정식의 루트를 통과할 때 함수가 부호를 변경하지 않는 경우가 있으며 실제로 이러한 로컬, 글로벌 최대값 및 최소값과 혼동될 수 있지만 계획하는 경우 어쨌든 잘 마스터해야 합니다. 기술 대학에 입학하기 위해 (그리고 무엇을 줄 것인가 프로필 시험이 문제를 해결하십시오). 그러나 연습과 연습 만이 그러한 문제를 단번에 해결하는 방법을 가르쳐 줄 것입니다. 그리고 당신은 우리 웹사이트에서 훈련할 수 있습니다. 여기 .

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그래프를 사용하여 함수를 탐색하는 방법을 살펴보겠습니다. 그래프를 보면 관심있는 모든 것, 즉 다음을 찾을 수 있습니다.

기능 범위
기능 범위
함수 제로
증가 및 감소 기간
고점과 저점
세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값.

용어를 명확히합시다.

횡좌표점의 수평 좌표입니다.
좌표- 수직 좌표.
횡좌표- 가장 흔히 축이라고 부르는 수평축.
Y축- 세로축 또는 축.

논쟁함수의 값이 의존하는 독립 변수입니다. 가장 자주 표시됩니다.
즉, 우리 스스로 선택 , 함수 수식으로 대체하고 얻습니다 .

도메인함수 - 함수가 존재하는 인수의 값 집합.
표시: 또는 .

그림에서 기능의 도메인은 세그먼트입니다. 이 세그먼트에 함수 그래프가 그려집니다. 여기에서만 이 기능이 존재합니다.

기능 범위변수가 취하는 값의 집합입니다. 우리 그림에서 이것은 가장 낮은 값에서 가장 높은 값까지의 세그먼트입니다.

함수 제로- 함수 값이 0인 지점, 즉 . 우리 그림에서 이것들은 점들과 .

함수 값은 양수입니다어디 . 우리 그림에서 이들은 간격과 입니다.
함수 값이 음수입니다.어디 . 이 간격(또는 간격)이 있습니다.

가장 중요한 개념 - 증가 및 감소 기능일부 세트에서. 집합으로 세그먼트, 간격, 간격의 합집합 또는 전체 수직선을 사용할 수 있습니다.

기능 증가

즉, 많을수록 그래프가 오른쪽 위로 올라갑니다.

기능 감소하다세트에 대해 세트에 속하는 경우 부등식은 부등식을 의미합니다.

감소하는 함수의 경우 더 큰 값은 더 작은 값에 해당합니다. 그래프가 오른쪽 아래로 이동합니다.

그림에서 함수는 구간에서 증가하고 구간에서 감소합니다.

무엇인지 정의하자 함수의 최대 및 최소 포인트.

최대 포인트- 이것은 정의 영역의 내부 지점으로, 그 안에 있는 기능의 값이 그것에 충분히 가까운 모든 지점보다 큽니다.
즉, 최대 포인트는 그러한 포인트, 함수의 값은 더이웃보다. 이것은 차트의 로컬 "언덕"입니다.

우리 그림에서 - 최대 지점.

저점- 정의 도메인의 내부 지점으로, 함수 값이 충분히 가까운 모든 지점보다 작습니다.
즉, 최소점은 함수 값이 인접한 함수 값보다 작다는 것입니다. 그래프에서 이것은 로컬 "구멍"입니다.

우리 그림에서 - 최소 지점.

요점은 경계입니다. 정의 영역의 내부 점이 아니므로 최대 점의 정의에 맞지 않습니다. 결국 그녀는 왼쪽에 이웃이 없습니다. 같은 방식으로 우리 차트에는 최소점이 있을 수 없습니다.

최고점과 최저점을 총칭한다. 함수의 극한점. 우리의 경우 이것은 및 입니다.

그러나 예를 들어 다음을 찾아야 하는 경우에는 어떻게 해야 합니까? 기능 최소컷에? 이 경우 답은 다음과 같습니다. 왜냐하면 기능 최소최소 지점에서의 값입니다.

마찬가지로 우리 함수의 최대값은 입니다. 그것은 지점에 도달합니다.

함수의 극한값은 와 같다고 말할 수 있습니다.

때때로 당신이 찾아야 할 작업에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값주어진 세그먼트에서. 반드시 극단과 일치하지는 않습니다.

우리의 경우 가장 작은 함수 값간격은 함수의 최소값과 같으며 일치합니다. 그러나 이 세그먼트에서 가장 큰 값은 와 같습니다. 세그먼트의 왼쪽 끝에 도달합니다.

어쨌든 세그먼트에 대한 연속 함수의 최대값과 최소값은 세그먼트의 극한 지점이나 끝에서 달성됩니다.

떠 다니는 학생의 생명선 역할을하는 미니어처 및 다소 단순한 작업. 자연 속에서 7월 중순의 졸린 영역, 그래서 해변에서 노트북으로 정착할 때입니다. 아침 일찍 놀았다 햇빛가벼움이라는 주장에도 불구하고 모래에 유리 조각이 들어있는 실습에 곧 집중하기 위해 이론. 이와 관련하여 이 페이지의 몇 가지 예를 양심적으로 고려하는 것이 좋습니다. 실용적인 작업을 해결하려면 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 미분 찾기기사의 내용을 이해하고 함수의 단조 및 극한의 구간.

먼저 주요 사항에 대해 간략히 설명합니다. 에 대한 강의에서 기능 연속성한 점에서의 연속성과 간격에서의 연속성에 대한 정의를 내렸습니다. 세그먼트에서 함수의 모범적인 동작이 공식화됩니다. 비슷하게. 다음과 같은 경우 함수는 세그먼트에서 연속적입니다.

1) 구간에서 연속적입니다.
2) 한 점에서 연속 오른쪽에그리고 그 시점에서 왼쪽.

두 번째 단락은 소위 일방적 연속성한 지점에서 기능합니다. 정의에 대한 몇 가지 접근 방식이 있지만 이전에 시작된 줄을 고수하겠습니다.

함수는 한 점에서 연속입니다. 오른쪽에, 주어진 지점에서 정의되고 오른쪽 극한이 주어진 지점에서 함수의 값과 일치하는 경우: . 점에서 연속적이다. 왼쪽, 주어진 지점에서 정의되고 왼쪽 한계가 해당 지점의 값과 같은 경우:

녹색 점이 마법의 고무줄이 부착된 못이라고 상상해 보십시오.

정신적으로 빨간 선을 손에 넣으십시오. 분명히, 우리가 그래프를 위아래로(축을 따라) 아무리 늘려도 함수는 여전히 남아 있을 것입니다. 제한된- 위의 울타리, 아래의 울타리, 그리고 우리 제품은 방목장에서 풀을 뜯습니다. 따라서, 세그먼트에서 연속적인 함수는 그것에 제한됩니다.. 수학적 분석 과정에서 간단해 보이는 이 사실을 진술하고 엄밀하게 증명한다. Weierstrass의 첫 번째 정리.... 많은 사람들은 기본적인 진술이 수학에서 지루하게 입증되는 것에 짜증이 나지만, 중요한 의미. 테리 중세의 어떤 주민이 그래프를 가시성의 한계를 넘어 하늘로 끌어당겼다고 가정하면 이것이 삽입되었습니다. 망원경이 발명되기 전에는 우주에서의 제한된 기능이 전혀 명백하지 않았습니다! 실제로 수평선 너머에 무엇이 우리를 기다리고 있는지 어떻게 알 수 있습니까? 결국 지구가 평평한 것으로 간주되었으므로 오늘날 일반 순간 이동에도 증거가 필요합니다 =)

에 따르면 두 번째 Weierstrass 정리, 세그먼트에서 연속함수는 도달 정확한 상단 가장자리그리고 그의 정확한 아래쪽 가장자리 .

번호라고도 합니다 세그먼트에서 함수의 최대값및 로 표시되고 숫자 - 세그먼트에 대한 함수의 최소값표시된 .

우리의 경우:

메모 : 이론적으로 레코드는 일반적입니다. .

대략적으로 말하면 가장 큰 가치는 가장 고점그래픽, 가장 작은 것 - 가장 낮은 지점은 어디입니까?

중요한!대한 기사에서 이미 지적했듯이 함수의 극한, 함수의 가장 큰 값그리고 가장 작은 함수 값 – 동일하지 않음, 무엇 기능 최대그리고 기능 최소. 따라서 이 예에서 숫자는 함수의 최소값이지만 최소값은 아닙니다.

그런데 세그먼트 외부에서는 어떻게 됩니까? 예, 고려중인 문제의 맥락에서 홍수조차도 전혀 관심이 없습니다. 이 작업에는 두 개의 숫자만 찾는 것이 포함됩니다. 그리고 그게 다야!

또한 솔루션은 순전히 분석적이므로 그릴 필요가 없다!

알고리즘은 표면에 있으며 위의 그림에서 스스로를 제안합니다.

1) 함수 값 찾기 임계점, 이 세그먼트에 속하는.

한 가지 더 알아두세요: 극값에 대한 충분 조건을 확인할 필요가 없습니다. 아직 보장되지 않음최소값 또는 최대값은 무엇입니까? 데모 기능이 최대에 도달하고 운명의 의지에 따라 같은 숫자는 최고 가치간격에 기능. 그러나 물론 그러한 우연의 일치가 항상 일어나는 것은 아닙니다.

따라서 첫 번째 단계에서는 극값 여부에 신경 쓰지 않고 세그먼트에 속하는 임계점의 함수 값을 더 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다.

2) 세그먼트 끝에서 함수 값을 계산합니다.

3) 첫 번째와 두 번째 단락에서 찾은 함수의 값 중에서 가장 작고 가장 큰 값을 선택합니다. 큰 숫자, 답을 적으십시오.

우리는 푸른 바다 기슭에 앉아 얕은 물에서 발 뒤꿈치를 쳤습니다.

예 1

세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기

해결책:
1) 이 세그먼트에 속하는 임계점에서 함수 값을 계산합니다.

두 번째 함수의 값을 계산합니다. 임계점:

2) 세그먼트 끝에서 함수 값을 계산합니다.