Keturmatis kubas. Kiberkubas – pirmas žingsnis į ketvirtąją dimensiją

Žmogaus smegenų evoliucija vyko trimatėje erdvėje. Todėl mums sunku įsivaizduoti erdves, kurių matmenys yra didesni nei trys. Tiesą sakant, žmogaus smegenys negali įsivaizduoti geometrinių objektų, kurių matmenys yra didesni nei trys. Ir tuo pačiu galime nesunkiai įsivaizduoti geometrinius objektus, kurių matmenys ne tik trys, bet ir du bei vienas.

Skirtumas ir analogija tarp vienmačių ir dvimačių erdvių, taip pat skirtumas ir analogija tarp dvimačių ir trimačių erdvių leidžia šiek tiek atverti paslapties ekraną, kuris atitveria mus nuo aukštesnių dimensijų erdvių. Norėdami suprasti, kaip naudojama ši analogija, apsvarstykite labai paprastą keturmatį objektą - hiperkubą, tai yra keturmatį kubą. Norėdami būti konkretūs, tarkime, kad norime išspręsti konkrečią problemą, būtent, suskaičiuoti keturmačio kubo kvadratinių paviršių skaičių. Visi tolesni svarstymai bus labai atsainiai, be jokių įrodymų, vien pagal analogiją.

Norėdami suprasti, kaip iš įprasto kubo sukuriamas hiperkubas, pirmiausia turite pažvelgti į tai, kaip iš įprasto kvadrato statomas įprastas kubas. Dėl šios medžiagos pateikimo originalumo įprastą kvadratą čia pavadinsime SubCube (ir nesupainiosime jo su succubus).

Norėdami sukurti kubą iš subkubo, turite išplėsti subkubą kryptimi, statmena subkubo plokštumai, trečiojo matmens kryptimi. Tokiu atveju iš kiekvienos pradinio subkubo pusės išaugs subkubas, kuris yra šoninis dvimatis kubo paviršius, kuris apribos trimatį kubo tūrį iš keturių pusių, dvi statmenos kiekvienai kubo krypčiai. subkubo plokštuma. O išilgai naujos trečiosios ašies taip pat yra du subkubai, kurie riboja trimatį kubo tūrį. Tai yra dvimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų subkubas, ir tas dvimatis kubo paviršius, kur subkubas atsirado kubo konstravimo pabaigoje.

Tai, ką ką tik perskaitėte, pateikiama pernelyg išsamiai ir su daugybe paaiškinimų. Ir dėl geros priežasties. Dabar atliksime tokį triuką, kai kuriuos žodžius ankstesniame tekste oficialiai pakeisime tokiu būdu:
kubas -> hiperkubas
subkubas -> kubas
plokštuma -> tūris
trečias -> ketvirtas
dvimatis -> trimatis
keturi -> šeši
trimatis -> keturmatis
du -> trys
plokštuma -> erdvė

Dėl to gauname tokį prasmingą tekstą, kuris nebeatrodo pernelyg detalus.

Norint sukurti hiperkubą iš kubo, reikia ištempti kubą statmena kubo tūriui kryptimi ketvirtos dimensijos kryptimi. Tokiu atveju iš kiekvienos pradinio kubo pusės išaugs kubas, kuris yra šoninis trimatis hiperkubo paviršius, kuris apribos keturmatį hiperkubo tūrį šešiose pusėse, po tris statmenas kiekvienai krypčiai. kubo erdvė. O išilgai naujos ketvirtosios ašies taip pat yra du kubai, kurie riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį. Tai yra trimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų kubas, ir tas trimatis hiperkubo paviršius, kur kubas atsirado hiperkubo konstravimo pabaigoje.

Kodėl esame tokie įsitikinę, kad gavome teisingą hiperkubo konstrukcijos aprašymą? Taip, nes lygiai tuo pačiu formaliu žodžių pakeitimu gauname kubo konstrukcijos aprašymą iš kvadrato konstrukcijos aprašymo. (Pasitikrinkite patys.)

Dabar aišku, kad jei iš kiekvienos kubo pusės turėtų augti kitas trimatis kubas, tada iš kiekvieno pradinio kubo krašto turėtų augti veidas. Iš viso kubas turi 12 briaunų, o tai reiškia, kad ant tų 6 kubų atsiras dar 12 naujų veidų (subkubų), kurie riboja keturių matmenų tūrį išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Ir liko dar du kubai, kurie riboja šį keturių matmenų tūrį iš apačios ir viršaus išilgai ketvirtos ašies. Kiekvienas iš šių kubelių turi 6 veidus.

Iš viso mes nustatome, kad hiperkubas turi 12+6+6=24 kvadratinius veidus.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta loginė hiperkubo struktūra. Tai tarsi hiperkubo projekcija į trimatę erdvę. Taip gaunamas trimatis šonkaulių rėmas. Paveiksle, žinoma, matote šio kadro projekciją į plokštumą.

Šiame rėmelyje vidinis kubas yra tarsi pradinis kubas, nuo kurio prasidėjo statyba ir kuris riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį išilgai ketvirtos ašies nuo apačios. Šį pradinį kubą ištempiame aukštyn išilgai ketvirtosios matavimo ašies ir jis patenka į išorinį kubą. Taigi šio paveikslo išoriniai ir vidiniai kubai riboja hiperkubą išilgai ketvirtosios matavimo ašies.

Ir tarp šių dviejų kubelių galite pamatyti dar 6 naujus kubus, kurie liečia bendrus veidus su pirmaisiais dviem. Šie šeši kubai surišo mūsų hiperkubą išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Kaip matote, jie ne tik liečiasi su pirmaisiais dviem kubeliais, kurie yra šio trimačio rėmo vidiniai ir išoriniai kubai, bet ir vienas su kitu.

Galite suskaičiuoti tiesiai paveikslėlyje ir įsitikinti, kad hiperkubas tikrai turi 24 veidus. Tačiau šis klausimas kyla. Šis hiperkubo rėmas trimatėje erdvėje užpildytas aštuoniais trimačiais kubeliais be jokių tarpų. Norėdami sukurti tikrą hiperkubą iš šios trimatės hiperkubo projekcijos, turite apversti šį rėmelį aukštyn kojomis, kad visi 8 kubai sudarytų 4 matmenų tūrį.

Tai daroma taip. Kviečiame užsukti keturmatės erdvės gyventoją ir paprašyti jo padėti. Jis sugriebia vidinį šio rėmelio kubą ir perkelia jį ketvirtosios dimensijos kryptimi, kuri yra statmena mūsų trimatei erdvei. Savo trimatėje erdvėje mes ją suvokiame taip, tarsi visas vidinis rėmas būtų dingęs ir liko tik išorinio kubo rėmas.

Be to, mūsų keturmatis asistentas siūlo savo pagalbą gimdymo namuose neskausmingam gimdymui, tačiau mūsų nėščiąsias gąsdina perspektyva, kad kūdikis tiesiog išnyks iš skrandžio ir atsidurs lygiagrečioje trimatėje erdvėje. Todėl keturmačio žmogaus mandagiai atsisakoma.

Ir mus glumina klausimas, ar kai kurie mūsų kubeliai subyrėjo, kai apvertėme hiperkubo rėmą. Galų gale, jei kai kurie trimačiai kubai, supantys hiperkubą, savo veidais liečia savo kaimynus ant rėmo, ar jie taip pat liečiasi su tais pačiais veidais, jei keturmatis kubas apvers rėmą iš vidaus?

Vėl pereikime prie analogijos su mažesnių matmenų erdvėmis. Palyginkite hiperkubo rėmo vaizdą su trimačio kubo projekcija į plokštumą, parodytą kitame paveikslėlyje.

Dvimatės erdvės gyventojai pastatė plokštumoje rėmą kubo projekcijai į plokštumą ir pakvietė mus, trimačius gyventojus, apversti šį rėmą iš vidaus. Paimame keturias vidinio kvadrato viršūnes ir perkeliame jas statmenai plokštumai. Dvimačiai gyventojai mato visišką viso vidinio rėmo išnykimą, o jiems lieka tik išorinės aikštės karkasas. Atliekant tokią operaciją, visi kvadratai, kurie liejosi su savo kraštais, ir toliau liečiasi su tais pačiais kraštais.

Todėl tikimės, kad sukant hiperkubo rėmą į išorę taip pat nebus pažeista hiperkubo loginė schema, o hiperkubo kvadratinių veidų skaičius nepadidės ir vis tiek bus lygus 24. Tai, žinoma, , visai ne įrodymas, o tik spėjimas pagal analogiją .

Po visko, ką čia perskaitėte, galite lengvai nubrėžti penkiamačio kubo loginę sistemą ir apskaičiuoti jo turimų viršūnių, briaunų, veidų, kubelių ir hiperkubų skaičių. Tai visai nesunku.

Jei esate filmų „Keršytojai“ gerbėjas, pirmas dalykas, kuris gali ateiti į galvą išgirdus žodį „Tesseract“, yra permatomas kubo formos begalybės akmens indas, turintis neribotą galią.

„Marvel“ visatos gerbėjams „Tesseract“ yra švytintis mėlynas kubas, dėl kurio žmonės ne tik iš Žemės, bet ir iš kitų planetų eina iš proto. Štai kodėl visi Keršytojai susibūrė, kad apsaugotų žemiečius nuo itin destruktyvių Tesseract galių.

Tačiau tai reikia pasakyti: „Tesseract“ yra tikroji geometrinė koncepcija arba, tiksliau, forma, egzistuojanti 4D. Tai ne tik mėlynas kubas iš „Avengers“... tai tikra koncepcija.

Tesseract yra 4 matmenų objektas. Tačiau prieš tai išsamiai paaiškindami, pradėkime nuo pradžių.

Kas yra "matavimas"?

Kiekvienas žmogus yra girdėjęs terminus 2D ir 3D, kurie reiškia atitinkamai dvimačius arba trimačius objektus erdvėje. Bet kas yra šie matavimai?

Matmenys yra tiesiog kryptis, kuria galite eiti. Pavyzdžiui, jei piešiate liniją ant popieriaus lapo, galite eiti į kairę/dešinę (x ašis) arba aukštyn/žemyn (y ašis). Taigi sakome, kad popierius yra dvimatis, nes galite eiti tik dviem kryptimis.

Yra 3D gylio pojūtis.

Dabar, į realus pasaulis, be dviejų aukščiau paminėtų krypčių (kairėn/dešinėn ir aukštyn/žemyn), taip pat galite eiti "į/iš". Todėl 3D erdvėje pridedamas gylio pojūtis. Todėl mes taip sakome Tikras gyvenimas 3 dimensijos.

Taškas gali reikšti 0 matmenų (nes nejuda jokia kryptimi), linija reiškia 1 matmenį (ilgį), kvadratas – 2 matmenis (ilgį ir plotį), o kubas – 3 matmenis (ilgį, plotį ir aukštį). ).

Paimkite 3D kubą ir kiekvieną jo paviršių (kurie šiuo metu yra kvadratai) pakeiskite kubu. Ir taip! Gaunama forma yra tesseraktas.

Kas yra tesseraktas?

Paprasčiau tariant, tesseraktas yra kubas 4 matmenų erdvėje. Taip pat galite pasakyti, kad tai yra 4D kubo analogas. Tai 4D forma, kurioje kiekvienas veidas yra kubas.

3D projekcija tesserakto, atliekančio dvigubą sukimąsi aplink dvi statmenas plokštumas.
Nuotrauka: Jasonas Hise

Štai paprastas būdas konceptualizuoti matmenis: kvadratas yra dvimatis; todėl kiekvienas jo kampas turi po 2 linijas, besitęsiančias nuo jos 90 laipsnių kampu viena kitos atžvilgiu. Kubas yra 3D, todėl kiekvienas jo kampas turi 3 eilutes, išeinančias iš jo. Taip pat tesseraktas yra 4D formos, todėl kiekviename kampe yra 4 linijos, besitęsiančios iš jo.

Kodėl sunku įsivaizduoti tesseraktą?

Kadangi mes, žmonės, evoliucionavome, kad galėtume vizualizuoti objektus trimis dimensijomis, viskas, kas įtraukta į papildomus matmenis, pvz., 4D, 5D, 6D ir kt., mums nėra naudinga. turi daug prasmės, nes mes jų visai neįsivaizduojame. Mūsų smegenys negali suprasti 4-osios erdvės dimensijos. Mes tiesiog negalime apie tai galvoti.

Tačiau vien todėl, kad negalime įsivaizduoti daugiamačių erdvių koncepcijos, dar nereiškia, kad ji negali egzistuoti.

2009 m. rugsėjo 19 d
Tesseract (iš senovės graikų τέσσερες ἀκτῖνες – keturi spinduliai) yra keturmatis hiperkubas – kubo analogas keturmatėje erdvėje.

Vaizdas yra projekcija (perspektyva) keturmatis kubasį trimatę erdvę.

Remiantis Oksfordo žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sukūrė ir pavartojo Charlesas Howardas Hintonas (1853–1907) savo knygoje. Nauja era mintys“. Vėliau kai kurie žmonės tą pačią figūrą pavadino „tetrakubu“.

Geometrija

Įprastas tesraktas Euklido keturmatėje erdvėje apibrėžiamas kaip išgaubtas taškų korpusas (±1, ±1, ±1, ±1). Kitaip tariant, jis gali būti pavaizduotas kaip toks rinkinys:

Tesraktą riboja aštuonios hiperplokštumos, kurių susikirtimas su pačia tesrakta apibrėžia jos trimačius paviršius (kurie yra įprasti kubai). Kiekviena nelygiagrečių 3D veidų pora susikerta ir sudaro 2D veidus (kvadratus) ir pan. Galiausiai, tesseraktas turi 8 3D paviršius, 24 2D veidus, 32 kraštus ir 16 viršūnių.

Populiarus aprašymas

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepaliekant trimatės erdvės.

Vienmatėje „erdvėje“ - tiesėje - pasirenkame atkarpą AB, kurios ilgis L. Dvimatėje plokštumoje L atstumu nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Rezultatas yra kvadratas ABCD. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą ABCDHEFG. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims) perkėlus atstumu L, gauname hiperkubą ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD kraštinė, kvadratas - kaip kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo kraštinė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, o kubas – aštuonias. Taigi keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 tos, kurios buvo paslinktos ketvirtajame matmenyje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtį, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje yra tik vienas (pats kvadratas), kubas turi 6 iš jų (du veideliai nuo perkelto kvadrato ir dar keturi, apibūdinantys jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų nuo dvylikos kraštų.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnių matmenų hiperkubų, tačiau daug įdomiau pamatyti, kaip keturmatis hiperkubas atrodys mums, trimatės erdvės gyventojams. Tam naudosime jau žinomą analogijų metodą.

Tesserakto išvyniojimas

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš krašto. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimą ir tolimąją briauną), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniais kraštais. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus suprojektuotos pačios „dėžės“ - trimačiai veidai, o jas jungiančios linijos tęsis ketvirtoje dimensijoje. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs jo veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie ateityje atrodys kaip gražūs sudėtinga figūra. Nupiešta jo dalis, kuri lieka „mūsų“ erdvėje vientisos linijos, o tai, kas pateko į hipererdvę, yra taškuota. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpę šešis trimačio kubo paviršius, galite jį suskaidyti į plokščia figūra- nuskaityti. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. O trimatį keturmačio hiperkubo plėtojimą sudarys originalus kubas, šeši iš jo „išaugantys“ kubeliai ir dar vienas - galutinis „hiperveidas“.

Tesrakto savybės yra savybių išplėtimas geometrines figūras mažesnis matmuo į keturmatę erdvę.

Projekcijos

Į dvimatę erdvę

Šią struktūrą sunku įsivaizduoti, tačiau galima projektuoti tesseraktą į dvimates arba trimates erdves. Be to, projektuojant į plokštumą lengva suprasti hiperkubo viršūnių vietą. Tokiu būdu galima gauti vaizdus, ​​​​kurie nebeatspindi erdvinių santykių tesserakte, bet iliustruoja viršūnių ryšio struktūrą, kaip parodyta šiuose pavyzdžiuose:


Į trimatę erdvę

Tesrakto projekcija į trimatę erdvę vaizduoja du įdėtus trimačius kubus, kurių atitinkamos viršūnės yra sujungtos segmentais. Vidinis ir išorinis kubeliai turi skirtingų dydžių trimatėje erdvėje, bet keturmatėje erdvėje jie yra lygūs kubai. Norint suprasti visų tesseraktų kubelių lygybę, buvo sukurtas besisukantis tesrakto modelis.



Šešios sutrumpintos piramidės išilgai tesserakto kraštų yra lygių šešių kubelių vaizdai.
Stereo pora

Stereopora tesserakto vaizduojama kaip dvi projekcijos į trimatę erdvę. Šis tesserakto vaizdas buvo sukurtas taip, kad atspindėtų gylį kaip ketvirtą dimensiją. Stereopora žiūrima taip, kad kiekviena akis matytų tik vieną iš šių vaizdų, atsiranda stereoskopinis vaizdas, atkuriantis tesserakto gylį.

Tesserakto išvyniojimas

Tesrakto paviršius gali būti išlankstytas į aštuonis kubus (panašiai kaip kubo paviršius gali būti išlankstytas į šešis kvadratus). Yra 261 skirtingas tesserakto dizainas. Teserakto išsiskleidimą galima apskaičiuoti grafike nubraižant sujungtus kampus.

Teseraktas mene

Edwinos A. „Naujojoje Abott lygumoje“ hiperkubas veikia kaip pasakotojas.
Vienoje „Džimio Neutrono nuotykių“ serijoje „Boy Genius“ Jimmy išranda keturių dimensijų hiperkubą, identišką 1963 m. Heinleino romano „Šlovės kelias“ sulankstomai dėžutei.
Robertas E. Heinleinas hiperkubus paminėjo mažiausiai trijose mokslinės fantastikos istorijose. Knygoje „Keturių dimensijų namas“ (The House That Teal Built) (1940 m.) jis aprašė namą, pastatytą kaip nesuvyniotas tesraktas.
Heinleino romane „Šlovės kelias“ aprašomi didelio dydžio indai, kurių vidus buvo didesnis nei išorė.
Henry Kuttnerio apsakyme „Mimsy Were the Borogoves“ aprašomas lavinantis žaislas vaikams iš tolimos ateities, savo struktūra panašus į tesseraktą.
Alexo Garlando (1999) romane terminas „tesseraktas“ vartojamas trimačiam keturmačio hiperkubo išskleidimui, o ne pačiam hiperkubui. Tai metafora, skirta parodyti, kad kognityvinė sistema turi būti platesnė už žinomą.
„Cube 2“ siužetas: „Hypercube“ centre yra aštuoni nepažįstami žmonės, įstrigę „hiperkube“ arba sujungtų kubų tinkle.
Televizijos serialas „Andromeda“ kaip siužetinį įrenginį naudoja tesseraktų generatorius. Jie pirmiausia skirti manipuliuoti erdve ir laiku.
Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas“ (Corpus Hypercubus) (1954)
„Nextwave“ komiksų knygoje pavaizduota transporto priemonė, kurią sudaro 5 tesraktų zonos.
Albume Voivod Nothingface viena iš kompozicijų vadinasi „In my hypercube“.
Anthony Pearce'o romane „Maršruto kubas“ vienas iš Tarptautinės plėtros asociacijos orbitoje skriejančių palydovų vadinamas tesseraktu, kuris buvo suspaustas į 3 dimensijas.
Seriale „Mokykla“ Juodoji skylė„“ trečiajame sezone yra „Tesseract“ serija. Lukas paspaudžia slaptą mygtuką ir mokykla pradeda formuotis kaip matematinė tesarakta.
Terminas „tesseraktas“ ir jo išvestinis terminas „tesseratas“ yra Madeleine L’Engle apsakyme „Laiko raukšlė“.

Geometrijoje hiperkubas- Tai n- kvadrato matmenų analogija ( n= 2) ir kubas ( n= 3). Tai uždara išgaubta figūra, susidedanti iš lygiagrečių linijų grupių, esančių priešinguose figūros kraštuose ir sujungtų viena su kita stačiu kampu.

Ši figūra taip pat žinoma kaip tesseraktas(tesseraktas). Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų politopą (daugiakampį), kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.

Remiantis Oksfordo anglų kalbos žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sukūrė Charlesas Howardas Hintonas ir pavartojo savo knygoje „Nauja minties era“. Šis žodis buvo kilęs iš graikų kalbos „τεσσερες ακτινες“ („keturi spinduliai“), keturių koordinačių ašių pavidalu. Be to, kai kuriuose šaltiniuose ta pati figūra buvo vadinama tetrakubas(tetrakubas).

n-dimensinis hiperkubas taip pat vadinamas n-kubas.

Taškas yra 0 matmens hiperkubas. Jei perkeliate tašką ilgio vienetu, gausite vieneto ilgio atkarpą - 1 matmens hiperkubą. Be to, jei atkarpą perkeliate ilgio vienetu statmena kryptimi į atkarpos kryptį gausite kubą – 2 matmens hiperkubą. Kvadratą ilgio vienetu paslinkus kryptimi, statmena kvadrato plokštumai, gaunamas kubas – 3 matmens hiperkubas. galima apibendrinti bet kokiam matmenų skaičiui. Pavyzdžiui, jei perkeliate kubą vienu ilgio vienetu ketvirtoje dimensijoje, gausite tesseraktą.

Hiperkubų šeima yra viena iš nedaugelio taisyklingų daugiakampių, kuriuos galima pavaizduoti bet kokiais matmenimis.

Hiperkubo elementai

Hiperkubo matmenys n turi 2 n„pusės“ (vienmatė linija turi 2 taškus; dvimatis kvadratas turi 4 kraštines; trimatis kubas turi 6 veidus; keturmatė tesseraktas turi 8 langelius). Hiperkubo viršūnių (taškų) skaičius yra 2 n(pavyzdžiui, kubui – 2 3 viršūnės).

Kiekis m-dimensiniai hiperkubai ant ribos n-kubas lygus

Pavyzdžiui, ant hiperkubo ribos yra 8 kubai, 24 kvadratai, 32 briaunos ir 16 viršūnių.

Hiperkubų elementai

n-kubas	vardas	Viršūnė (0 veidas)	Kraštas (1 veidas)	Kraštas (dviejų veidų)	Ląstelė (trijų veidų)	(4 veidai)	(5 veidai)	(6 pusių)	(7 veidai)	(8 veidai)
0-kubas	Taškas	1
1-kubas	Linijos segmentas	2	1
2-kubas	Kvadratas	4	4	1
3-kubas	kubas	8	12	6	1
4-kubas	Tesseraktas	16	32	24	8	1
5-kubas	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubas	Hekseraktas	64	192	240	160	60	12	1
7-kubas	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubas	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubas	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projekcija į plokštumą

Hiperkubo susidarymą galima pavaizduoti taip:

• Du taškai A ir B gali būti sujungti, kad sudarytų linijos atkarpą AB.
• Galima sujungti du lygiagrečius segmentus AB ir CD, kad susidarytų kvadratas ABCD.
• Du lygiagrečiai kvadratai ABCD ir EFGH gali būti sujungti, kad susidarytų kubas ABCDEFGH.
• Galima sujungti du lygiagrečius kubus ABCDEFGH ir IJKLMNOP, kad susidarytų hiperkubas ABCDEFGHIJKLMNOP.

Pastarąją struktūrą vizualizuoti nelengva, tačiau galima pavaizduoti jos projekciją į dvimatę ar trimatę erdvę. Be to, projekcijos į dvimatę plokštumą gali būti naudingesnės, nes leidžia pertvarkyti projektuojamų viršūnių vietas. Tokiu atveju galima gauti vaizdų, kurie nebeatspindi erdvinių elementų santykių teserakte, bet iliustruoja viršūnių jungčių struktūrą, kaip parodyta toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

Pirmoje iliustracijoje parodyta, kaip iš principo tesseraktas susidaro sujungiant du kubus. Ši schema yra panaši į kubo kūrimo iš dviejų kvadratų schemą. Antroje diagramoje parodyta, kad visi tesserakto kraštai yra vienodo ilgio. Ši schema taip pat verčia ieškoti kubelių, sujungtų vienas su kitu. Trečioje diagramoje tesserakto viršūnės yra išdėstytos pagal atstumus išilgai paviršių, palyginti su apatiniu tašku. Ši schema įdomi tuo, kad organizuojant lygiagretųjį skaičiavimą naudojama kaip pagrindinė jungiamųjų procesorių tinklo topologijos schema: atstumas tarp bet kurių dviejų mazgų neviršija 4 briaunų ilgių, o apkrovos balansavimui yra daug skirtingų kelių.

Hiperkubas mene

Hiperkubas mokslinės fantastikos literatūroje pasirodė nuo 1940 m., kai Robertas Heinleinas apsakyme „Ir jis pastatė kreivą namą“ aprašė namą, pastatytą tesaktinio skenavimo pavidalu. Istorijoje šis Kitas, šis namas griūva ir virsta keturių matmenų tesaraktu. Po to hiperkubas pasirodo daugelyje knygų ir apsakymų.

Filme „Kubas 2: Hiperkubas“ pasakojama apie aštuonis žmones, įstrigusius hiperkubų tinkle.

Salvadoro Dali paveikslas „Nukryžiavimas (Corpus Hypercubus)“, 1954 m., vaizduoja Jėzų, nukryžiuotą ant tesserakto skenavimo. Šį paveikslą galima pamatyti Metropoliteno meno muziejuje Niujorke.

Išvada

Hiperkubas yra vienas iš paprasčiausių keturių dimensijų objektų, iš kurio galima pamatyti ketvirtosios dimensijos sudėtingumą ir neįprastumą. O tai, kas atrodo neįmanoma trimis matmenimis, įmanoma keturiose, pavyzdžiui, neįmanomose figūrose. Taigi, pavyzdžiui, neįmanomo trikampio keturių matmenų strypai bus sujungti stačiu kampu. Ir ši figūra atrodys taip iš visų žiūrėjimo taškų ir nebus iškraipyta, skirtingai nei neįmanomo trikampio įgyvendinimas trimatėje erdvėje (žr.