Keturių matmenų kubo sukimas. Visiems ir viskam

Žmogaus smegenų evoliucija vyko trimatėje erdvėje. Todėl mums sunku įsivaizduoti erdves, kurių matmenys yra didesni nei trys. Tiesą sakant, žmogaus smegenys negali įsivaizduoti daugiau nei trijų matmenų geometrinių objektų. Ir tuo pačiu galime nesunkiai įsivaizduoti geometrinius objektus, kurių matmenys ne tik trys, bet ir du bei vienas.

Skirtumas ir analogija tarp vienmačių ir dvimačių erdvių bei skirtumas ir analogija tarp dvimačių ir trimačių erdvių leidžia šiek tiek atverti paslapties ekraną, kuris atitveria mus nuo aukštesnių dimensijų erdvių. Norėdami suprasti, kaip naudojama ši analogija, apsvarstykite labai paprastą keturmatį objektą - hiperkubą, tai yra keturmatį kubą. Tikslumui tarkime, kad norime išspręsti konkrečią problemą, būtent, suskaičiuoti keturmačio kubo kvadratinių paviršių skaičių. Visi svarstymai toliau bus labai laisvi, be jokių įrodymų, tik pagal analogiją.

Norint suprasti, kaip iš paprasto kubo statomas hiperkubas, pirmiausia reikia pažvelgti į tai, kaip iš paprasto kvadrato statomas paprastas kubas. Dėl šios medžiagos pateikimo originalumo čia pavadinsime įprastą kvadratinį SubCube (ir nepainiosime jo su succubus).

Norint sukonstruoti kubą iš subkubo, reikia jį pratęsti kryptimi, statmena subkubo plokštumai trečiojo matmens kryptimi. Tuo pačiu metu iš kiekvienos pradinio subkubo pusės išaugs po kubas, kuris yra dvimatis kubo šoninis paviršius, kuris apribos trimatį kubo tūrį iš keturių pusių, dvi statmenos kiekvienai krypčiai. subkubo plokštuma. O išilgai naujos trečiosios ašies taip pat yra du subkubai, ribojantys trimatį kubo tūrį. Tai yra dvimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų subkubas, ir dvimatis kubo paviršius, kur subkubas buvo kubo konstrukcijos pabaigoje.

Tai, ką ką tik perskaitėte, išdėstyta pernelyg išsamiai ir su daugybe paaiškinimų. Ir ne atsitiktinai. Dabar padarysime tokį triuką, kai kuriuos žodžius ankstesniame tekste pakeisime formaliai tokiu būdu:
kubas -> hiperkubas
subkubas -> kubas
plokštuma -> tūris
trečias -> ketvirtas
2D -> 3D
keturi -> šeši
trimatis -> keturmatis
du -> trys
plokštuma -> erdvė

Dėl to gauname tokį prasmingą tekstą, kuris nebeatrodo pernelyg detalus.

Norint sukurti hiperkubą iš kubo, reikia ištempti kubą statmena kubo tūriui kryptimi ketvirtos dimensijos kryptimi. Tuo pačiu metu iš kiekvienos pradinio kubo pusės išaugs kubas, kuris yra šoninis trimatis hiperkubo paviršius, kuris apribos keturmatį hiperkubo tūrį iš šešių pusių, po tris statmenas kiekvienai krypčiai. kubo erdvė. O išilgai naujos ketvirtosios ašies taip pat yra du kubai, kurie riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį. Tai yra trimatis paviršius, kuriame iš pradžių buvo mūsų kubas, ir trimatis hiperkubo paviršius, kur kubas atsirado hiperkubo konstravimo pabaigoje.

Kodėl esame tokie tikri, kad gavome teisingą hiperkubo konstrukcijos aprašymą? Taip, nes lygiai tuo pačiu formaliu žodžių pakeitimu gauname kubo konstrukcijos aprašymą iš kvadrato konstrukcijos aprašymo. (Pasitikrinkite patys.)

Dabar aišku, kad jei iš kiekvienos kubo pusės turėtų augti kitas trimatis kubas, tada iš kiekvieno pradinio kubo krašto turi augti veidas. Iš viso kubas turi 12 briaunų, o tai reiškia, kad tiems 6 kubams, kurie riboja keturių matmenų tūrį išilgai trijų trimatės erdvės ašių, atsiras dar 12 naujų veidų (subkubų). Ir yra dar du kubai, kurie riboja šį keturių matmenų tūrį iš apačios ir iš viršaus išilgai ketvirtos ašies. Kiekvienas iš šių kubelių turi 6 veidus.

Iš viso gauname, kad hiperkubas turi 12+6+6=24 kvadratinius veidus.

Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta loginė hiperkubo struktūra. Tai tarsi hiperkubo projekcija į trimatę erdvę. Tokiu atveju gaunamas trimatis šonkaulių rėmas. Paveiksle, žinoma, matote šio kadro projekciją ir į plokštumą.

Ant šio rėmo vidinis kubas yra tarsi pradinis kubas, nuo kurio buvo pradėta statyti ir kuris riboja keturių dimensijų hiperkubo tūrį išilgai ketvirtos ašies nuo apačios. Šį pradinį kubą ištempiame aukštyn išilgai ketvirtosios matmens ašies ir jis patenka į išorinį kubą. Taigi šios figūros išoriniai ir vidiniai kubai riboja hiperkubą išilgai ketvirtosios matmenų ašies.

O tarp šių dviejų kubelių matyti dar 6 nauji kubeliai, kurie bendrais veidais liečiasi su pirmaisiais dviem. Šie šeši kubai riboja mūsų hiperkubą išilgai trijų trimatės erdvės ašių. Kaip matote, jie ne tik liečiasi su pirmaisiais dviem kubeliais, kurie yra vidiniai ir išoriniai šiame trimačiame rėmelyje, bet vis tiek liečiasi vienas su kitu.

Galite apskaičiuoti tiesiai paveikslėlyje ir įsitikinti, kad hiperkubas tikrai turi 24 veidus. Bet čia kyla klausimas. Šis 3D hiperkubo rėmelis užpildytas aštuoniais 3D kubeliais be jokių tarpų. Norint iš šios 3D hiperkubo projekcijos padaryti tikrą hiperkubą, šį kadrą reikia apversti iš vidaus, kad visi 8 kubai apribotų 4D tūrį.

Tai daroma taip. Kviečiame apsilankyti keturmatės erdvės gyventoją ir prašome padėti. Jis sugriebia vidinį šio karkaso kubą ir perkelia jį į ketvirtą dimensiją, kuri yra statmena mūsų 3D erdvei. Mes savo trimatėje erdvėje suvokiame taip, tarsi visas vidinis rėmas būtų dingęs ir liko tik išorinio kubo rėmas.

Toliau mūsų 4D asistentė siūlo padėti neskausmingiems gimdymams, tačiau mūsų nėščios moterys išsigąsta, kad kūdikis tiesiog išnyks iš pilvo ir atsidurs lygiagrečioje 3D erdvėje. Todėl ketverto mandagiai atsisakoma.

Ir mums įdomu, ar kai kurie mūsų kubeliai neįstrigo, kai hiperkubo rėmas buvo apverstas iš vidaus. Galų gale, jei kai kurie trimačiai kubai, supantys hiperkubą, liečia savo kaimynus ant rėmo, ar jie taip pat palies tuos pačius veidus, jei keturmatis apvers rėmą iš vidaus.

Vėl pereikime prie analogijos su žemesnio matmens erdvėmis. Palyginkite hiperkubo vielinio rėmo vaizdą su 3D kubo projekcija į plokštumą, parodytą kitame paveikslėlyje.

Dvimatės erdvės gyventojai plokštumoje pastatė kubo projekcijos karkasą į plokštumą ir kvietė mus, trimačius gyventojus, apversti šį karkasą iš vidaus. Paimame keturias vidinio kvadrato viršūnes ir perkeliame jas statmenai plokštumai. Tuo pačiu metu dvimačiai gyventojai mato, kad visiškai išnyksta visas vidinis rėmas, o jie turi tik išorinės aikštės rėmą. Atliekant tokią operaciją, visi kvadratai, kurie liejosi su savo kraštais, ir toliau liečiasi su tais pačiais kraštais.

Todėl tikimės, kad hiperkubo rėmą apvertus aukštyn kojomis, loginė hiperkubo schema taip pat nebus pažeista, o hiperkubo kvadratinių paviršių skaičius šiuo atveju nepadidės ir išliks lygus 24. Žinoma, tai visai ne įrodymas, o tik spėjimas pagal analogiją.

Po visko, kas čia perskaityta, galite nesunkiai nubrėžti penkiamačio kubo loginį karkasą ir apskaičiuoti, kiek jis turi viršūnių, briaunų, veidų, kubelių ir hiperkubų. Tai visai nesunku.

Keturių dimensijų arba keturių koordinačių visata yra tokia pat nepatenkinama kaip ir trijų. Galima sakyti, kad neturime visų duomenų, reikalingų visatai sukurti, nes nei trijų senosios fizikos koordinačių, nei keturių naujosios koordinačių neužtenka apibūdinti, Iš viso reiškinių įvairovė visatoje.

Apsvarstykite eilės tvarka įvairių matmenų „kubus“.

Vienmatis kubas tiesioje linijoje yra atkarpa. Dvimatis – kvadratas. Aikštės riba susideda iš keturių taškų - viršūnės Ir keturi segmentai - šonkauliai. Taigi, kvadrato ribose yra dviejų tipų elementai: taškai ir atkarpos. Erdvinio kubo riboje yra trijų tipų elementai: viršūnės – jų yra 8, briaunos (segmentai) - jų yra 12 ir veidai (kvadratai) - jų yra 6. Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD paviršius, kvadratas yra kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturių kraštinė. -dimensinis hiperkubas.

Taigi, keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 viršūnės, pasislinkusios ketvirtoje dimensijoje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtis, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje jis yra vienas (pats kvadratas), kube jų yra 6 (du veidai iš perkelto kvadrato ir dar keturi apibūdins jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų iš dvylikos jo kraštų.

Kubo matmuo	Sienos matmuo
2 kvadratas
4 tesraktas

Koordinatėsketurmatė erdvė.

Tiesios linijos taškas apibrėžiamas kaip skaičius, plokštumos taškas – skaičių pora, taškas trimatėje erdvėje – kaip skaičių trigubas. Todėl visiškai natūralu konstruoti keturmatės erdvės geometriją apibrėžiant šios įsivaizduojamos erdvės tašką kaip skaičių ketvertą.

Dvimatis keturmačio kubo paviršius yra taškų, kurių dvi bet kurios koordinatės gali turėti įvairias reikšmes nuo 0 iki 1, rinkinys, o kitos dvi yra pastovios (lygios 0 arba 1).

3D veidas Keturmatis kubas yra taškų rinkinys, kurio trys koordinatės įgyja visas įmanomas reikšmes nuo 0 iki 1, o viena yra pastovi (lygi 0 arba 1).

Įvairių matmenų kubų kūrimas.

Mes paimame segmentą, dedame segmentą iš visų pusių ir dar vieną pritvirtiname prie bet kurio, šiuo atveju, prie dešiniojo segmento.

Gavome kvadratinį nuskaitymą.

Paimame kvadratą, dedame kvadratą iš visų pusių, dar vieną pritvirtiname prie bet kurio, šiuo atveju, prie apatinio kvadrato.

Tai 3D kubas.

keturių matmenų kubas

Paimame kubą, dedame po kubą iš visų pusių, dar vieną pritvirtiname prie bet kurio, duotame apatiniame kube.

4D kubo išskleidimas

Įsivaizduokime tai keturmatis kubas yra pagamintas iš vielos, o skruzdėlė sėdi viršūnėje (1;1;1;1), tada skruzdėlė turės šliaužti išilgai šonkaulių iš vienos viršūnės į kitą.

Klausimas: kiek briaunų jis turės nuskaityti, kad patektų į viršūnę (0;0;0;0)?

Išilgai 4 briaunų, tai yra, viršūnė (0; 0; 0; 0) yra 4 eilės viršūnė, eidama išilgai 1 briaunos, ji gali patekti į viršūnę, kurios viena iš koordinačių 0, tai yra viršūnė 1 eilės, eidamas išilgai 2 briaunų, gali patekti į viršūnes, kuriose yra 2 nuliai, tai yra 2 eilės viršūnės, yra 6 tokios viršūnės, eidamos išilgai 3 briaunų, jis pateks į viršūnes, kurių 3 koordinatės yra nuliai, tai yra viršūnės trečiosios eilės.

Daugiamatėje erdvėje yra ir kitų kubų. Be tesserakto, galite statyti daugybės matmenų kubus. Penteraktas yra penkiamačio kubo modelis, kuris turi 32 viršūnes, 80 briaunų, 80 veidų, 40 kubų ir 10 tesraktų.

Menininkai, režisieriai, skulptoriai, mokslininkai įvairiai reprezentuoja daugiamatį kubą. Štai keletas pavyzdžių:

Daugelis mokslinės fantastikos rašytojų savo darbuose aprašo tesseraktą. Pavyzdžiui, Robertas Ansonas Heinleinas (1907–1988) hiperkubus paminėjo mažiausiai trijose savo negrožinės literatūros istorijose. Knygoje „Keturių dimensijų namai“ jis aprašė namą, pastatytą kaip tesserakto išsiskleidimą.

„Cube 2“ siužeto centre – aštuoni nepažįstamieji, įstrigę hiperkube.

« Nukryžiavimas“, Salvadoro Dali 1954 (1951). Dali siurrealizmas ieškojo sąlyčio taškų tarp mūsų tikrovės ir kito pasaulio, ypač 4 dimensijos. Todėl, viena vertus, nuostabu ir, kita vertus, nenuostabu, kad geometrinė kubelių figūra, sudaranti krikščionišką kryžių, yra 4 dimensijos kubo arba tesrakto trimačio skenavimo vaizdas. .

Spalio 21 d., Pensilvanijos valstijos universiteto Matematikos katedroje buvo atidengta neįprasta skulptūra „Octacub“. Tai keturmačio geometrinio objekto vaizdas trimatėje erdvėje. Pasak skulptūros autoriaus profesoriaus Adriano Okneanu, toks graži figūra pasaulyje tokio dalyko nebuvo nei virtualiai, nei fiziškai, nors trimatės keturmačių figūrų projekcijos buvo darytos ir anksčiau.

Apskritai matematikai nesunkiai operuoja su keturių, penkių ir net daugiau daugiamačiais objektais, tačiau trimatėje erdvėje jų pavaizduoti neįmanoma. Octacubas, kaip ir visos tokios figūros, nėra iš tikrųjų keturmatis. Jį galima palyginti su žemėlapiu – Žemės rutulio trimačio paviršiaus projekcija ant plokščio popieriaus lapo.

Keturmatės figūros trimatę projekciją Okneanas gavo radialinės stereografijos metodu naudojant kompiuterį. Tuo pačiu metu buvo išsaugota originalios keturmatės figūros simetrija. Skulptūra turi 24 viršūnes ir 96 veidus. Keturmatėje erdvėje figūros veidai tiesūs, bet projekcijoje – išlenkti. Kampai tarp trimatės projekcijos ir pradinės figūros paviršių yra vienodi.

„Octacube“ buvo pagamintas iš nerūdijančio plieno Pensilvanijos valstijos universiteto inžinerijos dirbtuvėse. Skulptūra buvo įrengta atnaujintame Matematikos fakulteto McAllisterio vardo pastate.

Daugiamatė erdvė domėjosi daugeliu mokslininkų, tokių kaip Rene Descartes, Hermann Minkowski. Šiais laikais žinių šia tema vis daugėja. Tai padeda mūsų laikų matematikams, tyrinėtojams ir išradėjams pasiekti savo tikslus ir tobulinti mokslą. Žingsnis į daugiamatę erdvę yra žingsnis į naują, labiau pažengusią žmonijos erą.

τέσσαρες ἀκτίνες - keturios sijos) - 4 matmenų hiperkubas- analogas 4 matmenų erdvėje.

Vaizdas yra keturmačio kubo projekcija () į trimatę erdvę.

Vadinamas kubo apibendrinimas atvejams, turintiems daugiau nei 3 dimensijas hiperkubas arba (en:išmatuokite politopus). Formaliai hiperkubas apibrėžiamas kaip keturi vienodi segmentai.

Šiame straipsnyje daugiausia aprašomas 4 matas hiperkubas, paskambino tesseraktas.

Populiarus aprašymas

Pabandykime įsivaizduoti, kaip atrodys hiperkubas, nepalikdami mūsų trimačio .

Vienmatėje "erdvėje" - tiesėje - pasirenkame L ilgio AB. Dvimatėje "erdvėje" atstumu L nuo AB nubrėžiame jai lygiagrečią atkarpą DC ir sujungiame jų galus. Gaukite kvadratą ABCD. Kartodami šią operaciją su plokštuma, gauname trimatį kubą ABCDHEFG. O kubą ketvirtoje dimensijoje (statmenai pirmiesiems trims!) paslinkę atstumu L, gauname hiperkubą.

Vienmatis segmentas AB tarnauja kaip dvimačio kvadrato ABCD paviršius, kvadratas yra kubo ABCDHEFG kraštinė, kuri, savo ruožtu, bus keturmačio hiperkubo pusė. Tiesios linijos atkarpa turi du ribinius taškus, kvadratas – keturias viršūnes, o kubas – aštuonias. Taigi, keturių dimensijų hiperkube bus 16 viršūnių: 8 pradinio kubo viršūnės ir 8 viršūnės, pasislinkusios ketvirtoje dimensijoje. Jis turi 32 briaunas – po 12 nurodo pradinę ir galutinę pradinio kubo padėtis, o dar 8 briaunos „nubrėžia“ aštuonias jo viršūnes, kurios perėjo į ketvirtą dimensiją. Tą patį galima pasakyti ir apie hiperkubo veidus. Dvimatėje erdvėje jis yra vienas (pats kvadratas), kube jų yra 6 (du veidai iš perkelto kvadrato ir dar keturi apibūdins jo puses). Keturmatis hiperkubas turi 24 kvadratinius paviršius – 12 pradinio kubo kvadratų dviejose padėtyse ir 12 kvadratų iš dvylikos jo kraštų.

Panašiai galime tęsti samprotavimus dėl didesnio matmenų skaičiaus hiperkubų, tačiau daug įdomiau pažiūrėti, kaip mums, trimatės erdvės gyventojams, tai atrodys keturmatis hiperkubas. Tam panaudokime jau žinomą analogijų metodą.

Paimkime vielos kubą ABCDHEFG ir pažiūrėkime į jį viena akimi iš veido pusės. Plokštumoje pamatysime ir galėsime nubrėžti du kvadratus (jos artimuosius ir tolimuosius veidus), sujungtus keturiomis linijomis – šoninėmis briaunomis. Panašiai ir keturmatis hiperkubas trimatėje erdvėje atrodys kaip dvi kubinės „dėžės“, įterptos viena į kitą ir sujungtos aštuoniomis briaunomis. Tokiu atveju į „mūsų“ erdvę bus projektuojamos pačios „dėžės“ – trimačiai veidai, o jas jungiančios linijos nusidrieks ketvirtoje dimensijoje. Taip pat galite pabandyti įsivaizduoti kubą ne projekcijoje, o erdviniame vaizde.

Kaip trimatį kubą sudaro kvadratas, pasislinkęs veido ilgiu, kubas, perkeltas į ketvirtą dimensiją, sudarys hiperkubą. Jį riboja aštuoni kubeliai, kurie ateityje atrodys kaip gana sudėtinga figūra. Jo dalis, likusi „mūsų“ erdvėje, nupiešta vientisos linijos, o tai, kas pateko į hipererdvę, yra taškuota. Pats keturmatis hiperkubas susideda iš begalinio skaičiaus kubelių, kaip ir trimatį kubą galima „supjaustyti“ į begalinį skaičių plokščių kvadratų.

Iškirpus aštuonis trimačio kubo paviršius, galima jį suskaidyti į plokščia figūra- šlavimas. Jis turės kvadratą kiekvienoje originalaus veido pusėje ir dar vieną – priešingą veidą. Trimatis keturmačio hiperkubo vystymas susideda iš originalaus kubo, šešių iš jo „išaugančių“ kubelių ir dar vieno – galutinio „hiperveido“.

Tesrakto savybės yra savybių išplėtimas geometrines figūras mažesnis matmuo į 4-matę erdvę, pateiktą toliau esančioje lentelėje.

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas yra keturmatė erdvė.

Tai yra vienmatė erdvė, tai yra tiesiog OX ašis. Bet kuris jo taškas apibūdinamas viena koordinate.

Dabar nubrėžkime OY ašį statmenai OX ašiai. Taigi gavome dvimatę erdvę, tai yra XOY plokštumą. Bet kuris jo taškas apibūdinamas dviem koordinatėmis - abscisėmis ir ordinatėmis.

Nubrėžkime OZ ašį statmenai ašims OX ir OY. Gausite trimatę erdvę, kurioje bet kuris taškas turi abscisę, ordinatę ir aplikaciją.

Logiška, kad ketvirtoji ašis OQ turi būti statmena ašims OX, OY ir OZ tuo pačiu metu. Bet mes negalime tiksliai sukonstruoti tokios ašies, todėl belieka tik pabandyti ją įsivaizduoti. Kiekvienas keturmatės erdvės taškas turi keturias koordinates: x, y, z ir q.

Dabar pažiūrėkime, kaip pasirodė keturmatis kubas.

Paveikslėlyje pavaizduota vienmatės erdvės figūra – linija.

Jei lygiagrečiai išversite šią liniją išilgai OY ašies ir tada sujungsite atitinkamus dviejų gautų linijų galus, gausite kvadratą.

Panašiai, jei lygiagrečiai išversime kvadratą išilgai OZ ašies ir sujungsime atitinkamas viršūnes, gausime kubą.

O jei lygiagrečiai išversime kubą išilgai OQ ašies ir sujungsime šių dviejų kubų viršūnes, gausime keturmatį kubą. Beje, vadinasi tesseraktas.

Norint nupiešti kubą plokštumoje, jo reikia projektą. Vizualiai tai atrodo taip:

Įsivaizduokite, kad ore virš paviršiaus kabo vielinio rėmo modelis kubas, tai yra tarsi „iš vielos“, o virš jo – lemputė. Jei įjungsite lemputę, pieštuku nubrėžkite kubo šešėlį, o tada išjungsite lemputę, tada paviršiuje bus rodoma kubo projekcija.

Pereikime prie kažko šiek tiek sudėtingesnio. Dar kartą pažiūrėkite į piešinį su lempute: kaip matote, visi spinduliai susiliejo viename taške. Tai vadinama išnykimo taškas ir naudojamas statyti perspektyvinė projekcija(o kartais lygiagrečiai, kai visi spinduliai yra lygiagretūs vienas kitam. Rezultatas toks, kad nėra tūrio pojūčio, bet jis yra lengvesnis, o jei išnykimo taškas yra pakankamai toli nuo projektuojamo objekto, tai skirtumas tarp šių dvi projekcijos sunkiai pastebimos). Norėdami suprojektuoti tam tikrą tašką į nurodytą plokštumą naudodami nykimo tašką, turite nubrėžti liniją per nykstamą tašką ir nurodytą tašką, tada rasti gautos linijos ir plokštumos susikirtimo tašką. Ir norint suprojektuoti daugiau sudėtinga figūra, tarkime, kubas, reikia suprojektuoti kiekvieną jo viršūnę ir tada sujungti atitinkamus taškus. Reikėtų pažymėti, kad erdvės-pokosdvės projekcijos algoritmas galima apibendrinti į 4D->3D, o ne tik į 3D->2D.

Kaip sakiau, negalime tiksliai įsivaizduoti, kaip atrodo OQ ašis, taip pat neįsivaizduojame tesserakto. Tačiau mes galime gauti ribotą supratimą apie tai, jei projektuojame jį į tūrį ir tada nupiešime jį kompiuterio ekrane!

Dabar pakalbėkime apie tesserakto projekciją.

Kairėje yra kubo projekcija į plokštumą, o dešinėje - tesraktas į tūrį. Jie yra gana panašūs: kubo projekcija atrodo kaip du kvadratai, maži ir dideli, vienas kito viduje, su atitinkamomis viršūnėmis, sujungtomis linijomis. O tesserakto projekcija atrodo kaip du kubai, maži ir dideli, vienas kito viduje ir kurių atitinkamos viršūnės yra sujungtos. Tačiau mes visi matėme kubą ir galime drąsiai teigti, kad ir mažas kvadratas, ir didelis, ir keturios trapecijos viršuje, apačioje, dešinėje ir kairėje nuo mažojo kvadrato iš tikrųjų yra kvadratai, be to, jie yra lygūs. Tas pats pasakytina ir apie Tesseract. Ir didelis kubas, ir mažas kubas, ir šešios nupjautos piramidės mažo kubo šonuose - tai visi kubai, ir jie yra lygūs.

Mano programa gali ne tik nubrėžti tesserakto projekciją ant tūrio, bet ir ją pasukti. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.

Pirmiausia aš jums pasakysiu, kas yra sukimasis lygiagrečiai plokštumai.

Įsivaizduokite, kad kubas sukasi aplink OZ ašį. Tada kiekviena jo viršūnė apibūdina apskritimą aplink OZ ašį.

Apskritimas yra plokščia figūra. Ir kiekvieno iš šių apskritimų plokštumos yra lygiagrečios viena kitai, o šiuo atveju jos lygiagrečios XOY plokštumai. Tai yra, galime kalbėti ne tik apie sukimąsi aplink OZ ašį, bet ir apie sukimąsi lygiagrečiai XOY plokštumai.Kaip matote, taškams, kurie sukasi lygiagrečiai XOY ašiai, keičiasi tik abscisė ir ordinatė, o aplikacija lieka nepakitęs Ir iš tikrųjų apie sukimąsi aplink tiesią galime kalbėti tik tada, kai kalbame apie trimatę erdvę. 2D viskas sukasi aplink tašką, 4D viskas sukasi apie plokštumą, 5D erdvėje kalbame apie sukimąsi aplink tūrį. Ir jei galime įsivaizduoti sukimąsi aplink tašką, tai sukimasis aplink plokštumą ir tūrį yra neįsivaizduojamas dalykas. O jei kalbėsime apie sukimąsi lygiagrečiai plokštumai, tai bet kurioje n-mačioje erdvėje taškas gali suktis lygiagrečiai plokštumai.

Daugelis iš jūsų tikriausiai girdėjote apie sukimosi matricą. Padauginę iš jo tašką, gauname kampu phi lygiagrečiai plokštumai pasuktą tašką. Dvimatėje erdvėje ji atrodo taip:

Kaip padauginti: x taško, pasukto kampu phi = pradinio taško kampo phi*x kosinusas atėmus pradinio taško kampo phi*y sinusą;
y taško, pasukto pradinio taško kampu phi=sinusas kampo phi*x ir pradinio taško kampo phi*y kosinusas.
Xa`=cosФ*Xa – sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, kur Xa ir Ya yra pasukamo taško abscisė ir ordinatė, Xa` ir Ya` yra jau pasukto taško abscisė ir ordinatė

Trimatėje erdvėje ši matrica apibendrinta taip:

Sukimas lygiagretus XOY plokštumai. Kaip matote, Z koordinatė nesikeičia, o keičiasi tik X ir Y.
Xa`=cosФ*Xa – sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (iš esmės Za`=Za)

Sukimas lygiagretus XOZ plokštumai. Nieko naujo,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 – sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (iš tikrųjų Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za

Ir trečioji matrica.
Xa = Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (iš esmės Xa = Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya – sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za

Ketvirtajam matmeniui jie atrodo taip:


Manau, jau supratote iš ko padauginti, todėl daugiau nedažysiu. Tačiau atkreipiu dėmesį, kad jis daro tą patį, kaip ir matrica, skirta sukimuisi lygiagrečiai plokštumai trimatėje erdvėje! Ir ta, ir ši keičia tik ordinatę ir aplikaciją, o likusios koordinatės neliečiamos, todėl galima naudoti trimačiu atveju, tiesiog ignoruojant ketvirtąją koordinatę.

Tačiau su projekcijos formule ne viskas taip paprasta. Kad ir kiek skaičiau forumus, nė vienas projekcijos būdas man netiko. Lygiagretus man netiko, nes projekcija neatrodys trimatė. Kai kuriose projekcijų formulėse, norint rasti tašką, reikia išspręsti lygčių sistemą (o aš nežinau, kaip išmokyti kompiuterį jas spręsti), kitų aš tiesiog nesupratau... Apskritai nusprendžiau sugalvoti savo kelią. Apsvarstykite projekciją 2D->1D.

pov reiškia "Point of view" (požiūrio taškas), ptp reiškia "Point to project" (taškas, kurį reikia projektuoti), o ptp` yra norimas taškas OX ašyje.

Kampai povptpB ir ptpptp`A yra lygūs kaip atitinkantys (punktyrinė linija lygiagreti ašiai OX, linija povptp yra sekanti).
ptp' x yra lygus ptp x atėmus segmento ptp'A ilgį. Šį segmentą galima rasti iš trikampio ptpptp`A: ptp`A = ptpA/kampo ptpptp`A liestinė. Šią liestinę galime rasti iš trikampio povptpB: kampo liestinė ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Atsakymas: Xptp`=Xptp-Yptp/kampo liestinė ptpptp`A.

Šio algoritmo čia išsamiai neaprašiau, nes yra daug ypatingų atvejų, kai formulė šiek tiek pasikeičia. Kam rūpi - pažiūrėk programos šaltinio kode, viskas parašyta komentaruose.

Norėdami suprojektuoti tašką trimatėje erdvėje į plokštumą, mes tiesiog atsižvelgiame į dvi plokštumas - XOZ ir YOZ ir išsprendžiame šią problemą kiekvienai iš jų. Keturmatės erdvės atveju reikia atsižvelgti į jau tris plokštumas: XOQ, YOQ ir ZOQ.

Ir pabaigai apie programą. Tai veikia taip: inicijuokite šešiolika tesserakto viršūnių -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jį -> projektuokite į tūrį -> priklausomai nuo vartotojo įvestų komandų, pasukite jo projekciją -> projektuokite į plokštumą -> piešti.

Projekcijas ir rotacijas rašiau pati. Jie veikia pagal formules, kurias ką tik aprašiau. OpenGL biblioteka piešia linijas ir maišo spalvas. Ir tesserakto viršūnių koordinatės apskaičiuojamos taip:

Linijos viršūnių koordinatės, nukreiptos į pradžią, ir ilgis 2 - (1) ir (-1);
- "-" - kvadratas - "-" - ir 2 ilgio briauna:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ir (-1; -1);
- " - " - kubas - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Kaip matote, kvadratas yra viena linija virš OY ašies ir viena linija žemiau OY ašies; kubas yra vienas kvadratas prieš XOY plokštumą ir vienas už jo; tesseraktas yra vienas kubas kitoje XOYZ tūrio pusėje ir vienas šioje pusėje. Bet daug lengviau suvokti šį vienetų ir minuso vienetų kaitą, jei jie parašyti stulpelyje

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Pirmajame stulpelyje pakaitomis vienas ir minus vienas. Antrame stulpelyje pirmiausia yra du pliusai, tada du minusai. Trečioje – keturi plius vienas, o paskui keturi minus vienas. Tai buvo kubo viršūnės. Teseraktas jų turi dvigubai daugiau, todėl reikėjo parašyti jų deklaravimo ciklą, kitaip labai lengva susipainioti.

Mano programa taip pat moka piešti anaglifą. Laimingi 3D akinių savininkai gali stebėti stereoskopinį vaizdą. Piešti paveikslėlį nėra nieko sudėtingo, jis tiesiog nubrėžia dvi projekcijas plokštumoje, dešinei ir kairei akims. Tačiau programa tampa daug vizualesnė ir įdomesnė, o svarbiausia - suteikia geresnį vaizdą apie keturių dimensijų pasaulį.

Mažiau reikšmingos funkcijos - vieno iš veidų paryškinimas raudonai, kad geriau matytumėte posūkius, taip pat smulkūs patogumai - "akių" taškų koordinačių reguliavimas, sukimosi greičio didinimas ir mažinimas.

Archyvas su programa, šaltinio kodu ir naudojimo instrukcijomis.

Geometrijoje hiperkubas- Tai n- kvadrato matmenų analogija ( n= 2) ir kubas ( n= 3). Tai uždara išgaubta figūra, susidedanti iš lygiagrečių linijų grupių, esančių priešinguose figūros kraštuose ir sujungtų viena su kita stačiu kampu.

Ši figūra taip pat žinoma kaip tesseraktas(tesseraktas). Tesraktas yra prie kubo, kaip kubas yra prie kvadrato. Formaliau tesseraktą galima apibūdinti kaip taisyklingą išgaubtą keturių dimensijų politopą (politopą), kurio ribą sudaro aštuonios kubinės ląstelės.

Remiantis Oksfordo anglų kalbos žodynu, žodį „tesseraktas“ 1888 m. sukūrė Charlesas Howardas Hintonas ir pavartojo savo knygoje „A New Era of Thought“. Žodis buvo sudarytas iš graikų kalbos „τεσσερες ακτινες“ („keturi spinduliai“), yra keturių koordinačių ašių pavidalu. Be to, kai kuriuose šaltiniuose ta pati figūra buvo vadinama tetrakubas(tetrakubas).

n-dimensinis hiperkubas taip pat vadinamas n-kubas.

Taškas yra 0 matmens hiperkubas. Jei perkeliate tašką ilgio vienetu, gausite vieneto ilgio atkarpą - 1 matmens hiperkubą. Be to, jei atkarpą perkeliate ilgio vienetu statmena kryptimi į atkarpos kryptį gausite kubą – 2 matmens hiperkubą. Kvadratą ilgio vienetu paslinkus kryptimi, statmena kvadrato plokštumai, gaunamas kubas – 3 matmens hiperkubas. galima apibendrinti bet kokiam matmenų skaičiui. Pavyzdžiui, jei perkeliate kubą ilgio vienetu ketvirtoje dimensijoje, gausite tesseraktą.

Hiperkubų šeima yra viena iš nedaugelio taisyklingų daugiakampių, kuriuos galima pavaizduoti bet kokiais matmenimis.

Hiperkubo elementai

Hiperkubo matmenys n turi 2 n„pusės“ (vienmatė linija turi 2 taškus; dvimatė kvadratas – 4 kraštinės; trimatis kubas – 6 veideliai; keturmatė tesseraktas – 8 langeliai). Hiperkubo viršūnių (taškų) skaičius yra 2 n(pavyzdžiui, kubui – 2 3 viršūnės).

Kiekis m-dimensiniai hiperkubai ant ribos n-kubas lygus

Pavyzdžiui, ant hiperkubo krašto yra 8 kubai, 24 kvadratai, 32 briaunos ir 16 viršūnių.

Hiperkubų elementai

n-kubas	vardas	Viršūnė (0 veidas)	Kraštas (1 veidas)	kraštas (dviejų veidų)	Ląstelė (trijų veidų)	(4 veidai)	(5 veidai)	(6 veidai)	(7 veidai)	(8 veidai)
0-kubas	Taškas	1
1-kubas	Linijos segmentas	2	1
2-kubas	Kvadratas	4	4	1
3-kubas	kubas	8	12	6	1
4-kubas	tesseraktas	16	32	24	8	1
5-kubas	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubas	Hekseraktas	64	192	240	160	60	12	1
7-kubas	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubas	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubas	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Plokštumos projekcija

Hiperkubo susidarymą galima pavaizduoti taip:

• Du taškai A ir B gali būti sujungti, kad sudarytų linijos atkarpą AB.
• Galima sujungti du lygiagrečius segmentus AB ir CD, kad susidarytų kvadratas ABCD.
• Du lygiagrečiai kvadratai ABCD ir EFGH gali būti sujungti, kad susidarytų kubas ABCDEFGH.
• Galima sujungti du lygiagrečius kubus ABCDEFGH ir IJKLMNOP, kad susidarytų hiperkubas ABCDEFGHIJKLMNOP.

Pastarąją struktūrą įsivaizduoti nelengva, tačiau galima pavaizduoti jos projekciją į dvi ar tris dimensijas. Be to, projekcijos į 2D plokštumą gali būti naudingesnės pertvarkant projektuojamų viršūnių pozicijas. Tokiu atveju galima gauti vaizdus, ​​kurie nebeatspindi erdvinių elementų santykių tesrakte, bet iliustruoja viršūnių jungčių struktūrą, kaip parodyta toliau pateiktuose pavyzdžiuose.

Pirmoje iliustracijoje parodyta, kaip iš principo susidaro tesseraktas sujungiant du kubus. Ši schema yra panaši į kubo kūrimo iš dviejų kvadratų schemą. Antroje diagramoje parodyta, kad visi tesserakto kraštai yra vienodo ilgio. Ši schema taip pat priversta ieškoti tarpusavyje sujungtų kubelių. Trečioje diagramoje tesserakto viršūnės yra išdėstytos pagal atstumus išilgai paviršių, palyginti su apatiniu tašku. Ši schema įdomi tuo, kad ji naudojama kaip pagrindinė procesorių sujungimo tinklo topologijos schema organizuojant lygiagretųjį skaičiavimą: atstumas tarp bet kurių dviejų mazgų neviršija 4 briaunų ilgių, o apkrovos balansavimo būdų yra daug įvairių.

Hiperkubas mene

Hiperkubas mokslinėje fantastikoje pasirodė nuo 1940 m., kai Robertas Heinleinas apsakyme „Namas, kurį pastatė žalsvai mėlynas“ („And He Built a Crooked House“) aprašė namą, pastatytą tesserakto pavidalu. Istorijoje šis „Toliau, šis namas“ yra sulankstytas ir virsta keturių matmenų tesraktu. Po to hiperkubas pasirodo daugelyje knygų ir romanų.

2 kubas: Hiperkubas yra maždaug aštuoni žmonės, įstrigę hiperkubų tinkle.

Salvadoro Dali paveikslas Nukryžiavimas (Corpus Hypercubus), 1954 m., vaizduoja nukryžiuotą Jėzų, nuskaitant tesseraktą. Šį paveikslą galima pamatyti Niujorko meno muziejuje (Metropolitan Museum of Art).

Išvada

Hiperkubas yra vienas iš paprasčiausių keturių matmenų objektų, kurio pavyzdyje galite pamatyti visą ketvirtosios dimensijos sudėtingumą ir neįprastumą. O tai, kas atrodo neįmanoma trimis matmenimis, įmanoma keturiose, pavyzdžiui, neįmanomose figūrose. Taigi, pavyzdžiui, neįmanomo trikampio keturių matmenų strypai bus sujungti stačiu kampu. Ir ši figūra atrodys taip iš visų požiūrių ir nebus iškraipyta, skirtingai nei neįmanomo trikampio įgyvendinimas trimatėje erdvėje (žr.