namai › Įvairūs › Raskite plokštumos figūros plotą. Apibrėžtasis integralas

Raskite plokštumos figūros plotą. Apibrėžtasis integralas

Dabar kreipiamės į integralinio skaičiavimo taikymą. Šioje pamokoje analizuosime tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. plokščios figūros ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą. Galiausiai, visi, kas ieško prasmės aukštojoje matematikoje – tegul jie ją randa. Niekada nežinai. Realiame gyvenime turėsite apytiksliai įvertinti vasarnamį su pagrindinėmis funkcijomis ir rasti jo plotą naudodami tam tikrą integralą.

Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite:

1) Suprasti neapibrėžtąjį integralą bent jau tarpiniu lygiu. Taigi, manekenai pirmiausia turėtų perskaityti pamoką Ne.

2) Mokėti taikyti Niutono-Leibnizo formulę ir apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą. Kalti šiltai draugiškus santykius su apibrėžtaisiais integralais galima rasti puslapyje Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai taip pat bus neatidėliotina problema. Bent jau reikia mokėti nubrėžti tiesę, parabolę ir hiperbolę.

Pradėkime nuo kreivinės trapecijos. Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, apribota kokios nors funkcijos grafiku y = f(x), ašis JAUTIS ir linijos x = a; x = b.

Kreivinės trapecijos plotas skaitine prasme lygus tam tikram integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai sakėme, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti kitą naudingas faktas. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS. Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Apsvarstykite apibrėžtąjį integralą

Integrand

apibrėžia kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

, , , .

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik Tada- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Taškinės konstrukcijos techniką galite rasti etaloninė medžiaga Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Ten taip pat galite rasti medžiagos, kuri yra labai naudinga mūsų pamokai - kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.

Padarykime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis y= 0 nurodo ašį JAUTIS):

Kreivinės trapecijos neperėsime, čia aišku kokio ploto klausime. Sprendimas tęsiasi taip:

Ant intervalo [-2; 1] funkcijų grafikas y = x 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS, Štai kodėl:

Atsakymas: .

Kam sunku apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ir pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę

kreiptis į paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimo pavyzdžiai. Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. IN Ši byla„Iš akies“ suskaičiuojame langelių skaičių brėžinyje - gerai, bus įvestos apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą xy = 4, x = 2, x= 4 ir ašis JAUTIS.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimiJAUTIS?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = e-x, x= 1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi JAUTIS , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y = 2x – x 2 , y = -x.

Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Konstruojant brėžinį ploto uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus y = 2x – x 2 ir tiesiai y = -x. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Taigi apatinė integracijos riba a= 0, viršutinė integravimo riba b= 3. Dažnai pelningiau ir greičiau statyti tieses taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

Pakartojame, kad taškinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.

O dabar darbo formulė:

Jei per intervalą [ a; b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus tam tikra nuolatinė funkcija g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę:

Čia jau nebereikia galvoti, kur yra figūra – virš ašies ar žemiau ašies, o svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl nuo 2 x – x 2 reikia atimti - x.

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė y = 2x – x 2 viršuje ir tiesiai y = -x iš apačios.

2 segmente x – x 2 ≥ -x. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: .

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. pavyzdį Nr. 3) yra tokia: ypatinga byla formules

Nuo ašies JAUTIS pateikiama lygtimi y= 0, ir funkcijos grafikas g(x) yra žemiau ašies JAUTIS, Tai

O dabar keli nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendžiant ploto skaičiavimo uždavinius naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Brėžinys padarytas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, tačiau dėl neatidumo ... rado netinkamos figūros plotą.

7 pavyzdys

Pirmiausia pieškime:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatsargumo jie dažnai nusprendžia, kad jiems reikia rasti užtemdytą figūros plotą. žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:

1) Atkarpoje [-1; 1] virš ašies JAUTIS grafikas tiesus y = x+1;

2) Atkarpoje virš ašies JAUTIS yra hiperbolės grafikas y = (2/x).

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Pateikime lygtis „mokyklos“ forma

ir nubrėžkite liniją:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: b = 1.

Bet kokia yra apatinė riba? Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas?

Gal būt, a=(-1/3)? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali taip pasirodyti a=(-1/4). Ką daryti, jei grafiką iš viso nesupratome?

Tokiais atvejais tenka skirti daugiau laiko ir analitiškai išgryninti integracijos ribas.

Raskite grafikų susikirtimo taškus

Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, a=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nepainioti keitimų ir ženklų. Čia atlikti skaičiavimai nėra patys lengviausi. Ant segmento

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Pamokos pabaigoje apsvarstysime dvi sudėtingesnes užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: pieškite šią figūrą brėžinyje.

Norėdami piešti tašką po taško, turite žinoti išvaizda sinusoidės. Apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinuso reikšmes. Juos galima rasti verčių lentelėje trigonometrinės funkcijos . Tam tikrais atvejais (pavyzdžiui, šiuo atveju) leidžiama sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame iš esmės teisingai turi būti atvaizduoti grafikai ir integravimo ribos.

Čia nėra problemų dėl integravimo apribojimų, jie tiesiogiai išplaukia iš sąlygos:

- "x" keičiasi iš nulio į "pi". Priimame tolesnį sprendimą:

Atkarpoje funkcijos grafikas y= nuodėmė 3 x esantis virš ašies JAUTIS, Štai kodėl:

(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Nugriebiame vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį t= cos x, tada: yra virš ašies , taigi:

Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės integralas kube, čia naudojama pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė

Tiesą sakant, norint rasti figūros plotą, jums nereikia tiek daug žinių apie neapibrėžtą ir apibrėžtą integralą. Užduotis „apskaičiuoti plotą naudojant apibrėžtąjį integralą“ visada apima brėžinio konstravimą, todėl jūsų žinios ir piešimo įgūdžiai bus daug aktualesnis klausimas. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikų atmintį ir bent jau sugebėti sukurti tiesią liniją ir hiperbolę.

Kreivinė trapecija yra plokščia figūra, kurią riboja ašis, tiesės ir atkarpos ištisinės funkcijos grafikas, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Tegul ši figūra yra išdėstyta ne mažiau abscisė:

Tada kreivinės trapecijos plotas skaitiniu požiūriu lygus tam tikram integralui. Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę.

Kalbant apie geometriją, apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.

Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą . Integrandas apibrėžia kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (norintieji gali užbaigti brėžinį), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai yra tipiškas užduoties teiginys. Pirmiausia ir esminis taškas sprendimai – brėžinio pastatymas. Be to, brėžinys turi būti pastatytas TEISINGAI.

Kuriant projektą rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau konstruoti visas eilutes (jei yra) ir tik Tada- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Funkcijų grafikus kurti pelningiau kryptingai.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Padarykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:

Atsakymas:

Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Tokiu atveju „iš akies“ skaičiuojame brėžinyje esančių langelių skaičių – na, bus atspausdinta apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei turėtume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas buvo neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Jeigu kreivinė trapecija išsidėsčiusi po ašimi(ar bent jau ne aukščiau duota ašis), tada jos plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: Pirmiausia turite užbaigti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.

Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti..

Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia statyti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:

O dabar darbo formulė: Jei intervale yra kokia nors nepertraukiama funkcija didesnis arba lygus tam tikra ištisinė funkcija, tada figūros plotas, ribojamas diagramomisŠių funkcijų ir tiesių , , galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia galvoti, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAU(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.

Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimą figūrą riboja parabolė iš viršaus ir tiesia linija iš apačios.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .

Sprendimas: Pirmiausia nupieškime:

Figūra, kurios plotą turime rasti, yra nuspalvinta mėlyna spalva.(atsargiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai įvyksta „gedimas“, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad jame figūros plotas apskaičiuojamas naudojant du apibrėžtuosius integralus.

Tikrai:

1) Atkarpoje virš ašies yra tiesių linijų grafikas;

2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.

Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Kaip svetainėje įterpti matematines formules?

Jei kada nors prireiks prie tinklalapio pridėti vieną ar dvi matematines formules, paprasčiausias būdas tai padaryti yra taip, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės lengvai įterpiamos į svetainę paveikslėlių, kuriuos Wolfram Alpha automatiškai generuoja, pavidalu. Be paprastumo, šis universalus metodas padės pagerinti svetainės matomumą paieškos sistemose. Jis veikia jau seniai (ir, manau, veiks amžinai), bet morališkai pasenęs.

Jei savo svetainėje nuolat naudojate matematines formules, rekomenduoju naudoti MathJax – specialią „JavaScript“ biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklėse, naudojant MathML, LaTeX arba ASCIIMathML žymėjimą.

Yra du būdai pradėti naudoti MathJax: (1) naudodami paprastą kodą, galite greitai prijungti prie savo svetainės MathJax scenarijų, kuris tinkamu metu bus automatiškai įkeltas iš nuotolinio serverio (serverių sąrašas); (2) įkelkite MathJax scenarijų iš nuotolinio serverio į savo serverį ir prijunkite jį prie visų savo svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir reikalaujantis daug laiko ir leis jums pagreitinti jūsų svetainės puslapių įkėlimą, o jei pagrindinis MathJax serveris dėl kokių nors priežasčių laikinai taps nepasiekiamas, tai neturės jokios įtakos jūsų svetainei. Nepaisant šių privalumų, pasirinkau pirmąjį būdą, nes jis paprastesnis, greitesnis ir nereikalaujantis techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdžiu ir per 5 minutes savo svetainėje galėsite naudotis visomis MathJax funkcijomis.

Galite prijungti MathJax bibliotekos scenarijų iš nuotolinio serverio naudodami dvi kodo parinktis, paimtas iš pagrindinės MathJax svetainės arba iš dokumentacijos puslapio:

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų Ir arba iškart po žymos . Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai seka ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įvesite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įklijuosite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prijungti „MathJax“ yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją įkėlimo kodo versiją ir padėkite valdiklį arčiau šablono pradžia (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasiruošę į savo tinklalapius įdėti matematines formules.

Bet koks fraktalas statomas pagal tam tikrą taisyklę, kuri nuosekliai taikoma neribotą skaičių kartų. Kiekvienas toks laikas vadinamas iteracija.

Iteratyvus Menger kempinės konstravimo algoritmas yra gana paprastas: originalus kubas su 1 kraštine plokštumos, lygiagrečios jo paviršiams, padalintas į 27 vienodus kubus. Iš jo pašalinamas vienas centrinis kubas ir 6 šalia jo esantys kubeliai. Pasirodo, rinkinys susideda iš 20 likusių mažesnių kubelių. Tą patį padarę su kiekvienu iš šių kubelių, gauname rinkinį, kurį sudaro 400 mažesnių kubelių. Tęsdami šį procesą neribotą laiką, gauname Menger kempinę.

Pradedame svarstyti tikrąjį dvigubo integralo skaičiavimo procesą ir susipažįstame su jo geometrine reikšme.

Dvigubas integralas yra skaitiniu požiūriu lygus plokščios figūros plotui (integracijos regionui). Tai paprasčiausia forma dvigubas integralas, kai dviejų kintamųjų funkcija lygi vienetui: .

Pirmiausia panagrinėkime problemą bendras vaizdas. Dabar nustebsite, kaip tai paprasta! Apskaičiuokime plokščios figūros, apribotos linijomis, plotą. Siekiant apibrėžtumo, darome prielaidą, kad intervale . Šios figūros plotas yra lygus:

Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime pirmąjį būdą apeiti sritį:

Taigi:

Ir iš karto svarbus techninis triukas: iteruoti integralai gali būti nagrinėjami atskirai. Pirmiausia vidinis integralas, tada išorinis integralas. Šis metodas labai rekomenduojamas pradedantiesiems arbatinukų temoje.

1) Apskaičiuokite vidinį integralą, o integravimas atliekamas per kintamąjį "y":

Neapibrėžtas integralas čia yra paprasčiausias, tada naudojama banali Niutono-Leibnizo formulė su vieninteliu skirtumu integracijos ribos yra ne skaičiai, o funkcijos. Pirmiausia viršutinę ribą pakeitėme į „y“ (antiderivatinė funkcija), tada apatinę ribą

2) Pirmoje pastraipoje gautas rezultatas turi būti pakeistas išoriniu integralu:

Kompaktiškesnis viso sprendimo žymėjimas atrodo taip:

Gauta formulė - būtent tokia yra darbinė formulė plokščios figūros plotui apskaičiuoti naudojant „įprastą“ apibrėžtąjį integralą! Žiūrėti pamoką Ploto apskaičiavimas naudojant apibrėžtąjį integralą, ji yra kiekviename žingsnyje!

Tai yra, ploto apskaičiavimo naudojant dvigubą integralą problema šiek tiek kitoks nuo srities suradimo naudojant apibrėžtąjį integralą problemos! Tiesą sakant, jie yra vienas ir tas pats!

Atitinkamai, jokių sunkumų neturėtų kilti! Aš nenagrinėsiu labai daug pavyzdžių, nes iš tikrųjų jūs ne kartą susidūrėte su šia problema.

9 pavyzdys

Sprendimas: Pavaizduokime sritį brėžinyje:

Pasirinkime tokią regiono apėjimo tvarką:

Čia ir toliau nekalbėsiu apie tai, kaip pereiti sritį, nes pirmoji pastraipa buvo labai išsami.

Taigi:

Kaip jau pastebėjau, pradedantiesiems geriau skaičiuoti iteruotus integralus atskirai, aš laikysiuosi to paties metodo:

1) Pirma, naudodamiesi Niutono-Leibnizo formule, sprendžiame vidinį integralą:

2) Pirmajame žingsnyje gautas rezultatas pakeičiamas išoriniu integralu:

2 taškas iš tikrųjų yra plokščios figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą.

Atsakymas:

Čia tokia kvaila ir naivi užduotis.

Įdomus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

10 pavyzdys

Naudodamiesi dvigubu integralu, apskaičiuokite plokštumos figūros, apribotos tiesėmis , , plotą

Pavyzdys Pavyzdys sprendimo užbaigimas pamokos pabaigoje.

9-10 pavyzdžiuose daug pelningiau apeiti teritoriją naudoti pirmąjį būdą, smalsūs skaitytojai, beje, gali pakeisti apvažiavimo tvarką ir skaičiuoti plotus antruoju būdu. Jei nepadarote klaidos, tada, žinoma, gaunamos tos pačios ploto vertės.

Tačiau kai kuriais atvejais veiksmingesnis yra antrasis būdas apeiti teritoriją, o baigdami jauno vėpla kursą pažvelkime į dar kelis pavyzdžius šia tema:

11 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą.

Sprendimas: mes laukiame dviejų parabolių su vėjeliu, kurios guli ant šono. Nereikia šypsotis, dažnai susiduriama su panašiais dalykais keliuose integraluose.

Koks yra lengviausias būdas padaryti piešinį?

Pavaizduokime parabolę kaip dvi funkcijas:
- viršutinė šaka ir - apatinė šaka.

Panašiai įsivaizduokite parabolę kaip viršutinę ir apatinę šakos.

Toliau, taškas po taško braižykite diskus, todėl gaunama tokia keista figūra:

Figūros plotas apskaičiuojamas naudojant dvigubą integralą pagal formulę:

Kas nutiks, jei pasirinksime pirmąjį būdą aplenkti teritoriją? Pirma, ši sritis turės būti padalinta į dvi dalis. Ir, antra, stebėsime šį liūdną vaizdą: . Integralai, žinoma, nėra itin sudėtingo lygio, bet... yra senas matematinis posakis: kas draugauja su šaknimis, tam nereikia užskaitos.

Todėl iš sąlygoje pateikto nesusipratimo išreiškiame atvirkštines funkcijas:

Atvirkštinės funkcijos V šis pavyzdys turi pranašumą, kad jie iš karto nustato visą parabolę be jokių lapų, gilių, šakų ir šaknų.

Pagal antrąjį metodą ploto perėjimas bus toks:

Taigi:

Kaip sakoma, pajuskite skirtumą.

1) Mes susiduriame su vidiniu integralu:

Mes pakeičiame rezultatą į išorinį integralą:

Integravimas per kintamąjį „y“ neturėtų būti gėdingas, jei būtų raidė „zyu“ – būtų puiku integruoti per ją. Nors kas skaitė antrąją pamokos pastraipą Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį, jis nebepatiria nė menkiausio gėdos dėl integracijos dėl „y“.

Taip pat atkreipkite dėmesį į pirmąjį žingsnį: integrandas yra lygus, o integravimo segmentas yra simetriškas apie nulį. Todėl segmentą galima sumažinti perpus, o rezultatą padvigubinti. Ši technika išsamiai pakomentavo pamokoje Veiksmingi metodai apibrėžtojo integralo skaičiavimas.

Ką pridėti…. Viskas!

Atsakymas:

Norėdami patikrinti savo integravimo techniką, galite pabandyti apskaičiuoti . Atsakymas turėtų būti lygiai toks pat.

12 pavyzdys

Naudodami dvigubą integralą, apskaičiuokite plokštumos, apribotos linijomis, plotą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Įdomu pastebėti, kad jei bandysite naudoti pirmąjį būdą apeiti zoną, tada figūra bus padalinta ne į dvi, o į tris dalis! Ir atitinkamai gauname tris poras kartotinių integralų. Kartais taip nutinka.

Meistriškumo klasė baigėsi, ir laikas pereiti į didmeistrio lygį - Kaip apskaičiuoti dvigubą integralą? Sprendimo pavyzdžiai. Antrame straipsnyje pasistengsiu nebūti tokia maniakiška =)

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas: Nubrėžkite sritį ant piešinio:

Pasirinkime tokią regiono apėjimo tvarką:

Taigi:
Pereikime prie atvirkštinių funkcijų:

Taigi:
Atsakymas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Pereikime prie tiesioginių funkcijų:

Atlikime piešinį:

Pakeiskime teritorijos važiavimo tvarką:

Atsakymas:

Sprendimas.

Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas – brėžinio konstravimas.

Padarykime piešinį:

Lygtis y=0 nustato x ašį;

- x=-2 Ir x=1 - tiesus, lygiagretus ašiai OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų, kurios viršūnė yra taške (0;2).

komentuoti. Parabolei sukonstruoti pakanka rasti jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškus, t.y. dėjimas x=0 rasti sankirtą su ašimi OU ir nuspręsti dėl tinkamo kvadratinė lygtis, suraskite sankirtą su ašimi Oi .

Parabolės viršūnę galima rasti naudojant formules:

Galite piešti linijas ir tašką po taško.

Intervale [-2;1] funkcijos grafikas y=x 2 +2 esančios virš ašies Jautis , Štai kodėl:

Atsakymas: S \u003d 9 kvadratiniai vienetai

Ką daryti, jei yra kreivinė trapecija po ašimi Oi?

b) Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y=-e x , x=1 ir koordinačių ašys.

Sprendimas.

Padarykime piešinį.

Jei kreivinė trapecija visiškai po ašimi Oi , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Atsakymas: S=(e-1) kv.vnt.“ 1,72 kv.vnt

Dėmesio! Nepainiokite dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik apibrėžtą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstytoje formulėje atsiranda minusas.

Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusės plokštumose.

Su) Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis, plotą y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Sprendimas.

Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Paprastai tariant, statant brėžinį ploto uždaviniuose, mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskite parabolės susikirtimo taškus ir tiesioginis Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis.

Išsprendžiame lygtį:

Taigi apatinė integracijos riba a=0 , viršutinė integracijos riba b = 3 .

Nutiesiame duotas tieses: 1. Parabolė - viršūnė taške (1;1); ašies susikirtimo Oi - taškais (0;0) ir (0;2). 2. Tiesi linija - 2-ojo ir 4-ojo koordinačių kampų pusiausvyra. O dabar Dėmesio! Jei per intervalą [ a;b] tam tikra nuolatinė funkcija f(x) didesnis arba lygus kokiai nors ištisinei funkcijai g(x), tada atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę: .

Ir nesvarbu, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, bet svarbu, kuri diagrama yra AUKŠČIAUSIA (kitos diagramos atžvilgiu), o kuri yra PO. Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Galima tieses statyti taškas po taško, o integracijos ribos išsiaiškinami tarsi „savaime“. Nepaisant to, vis tiek kartais tenka naudoti analitinį ribų radimo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba srieginė konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios).