Funkcijos f x ekstremumo taškas. Kas yra funkcijos ekstremumai: kritiniai maksimumo ir minimumo taškai
Didėjantys ir mažėjantys intervalai suteikia labai svarbios informacijos apie funkcijos veikimą. Jų paieška yra funkcijų tyrimo ir braižymo proceso dalis. Be to, ekstremaliems taškams, kuriuose vyksta pokytis nuo padidėjimo iki mažėjimo arba nuo mažėjimo iki padidėjimo, ypatingas dėmesys skiriamas ieškant didžiausios ir mažiausios funkcijos vertes tam tikru intervalu.
Šiame straipsnyje pateiksime reikiamus apibrėžimus, suformuluosime pakankamą funkcijos padidėjimo ir sumažėjimo intervale testą ir pakankamas sąlygas ekstremumui egzistuoti, ir pritaikysime visą šią teoriją sprendžiant pavyzdžius ir uždavinius.
Puslapio naršymas.
Didėjanti ir mažėjanti funkcija intervale.
Didėjančios funkcijos apibrėžimas.
Funkcija y=f(x) didėja intervale X, jei bet kuriam ir 
nelygybė tenkinama. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.
Mažėja funkcijos apibrėžimas.
Funkcija y=f(x) mažėja intervale X, jei bet kuriam ir nelygybę 
. Kitaip tariant, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.
PASTABA: jei funkcija yra apibrėžta ir tęstinė didėjimo arba mažėjimo intervalo (a;b) galuose, tai yra ties x=a ir x=b , tai šie taškai įtraukiami į didėjimo arba mažėjimo intervalą. Tai neprieštarauja didėjančios ir mažėjančios funkcijos apibrėžimams intervale X .
Pavyzdžiui, iš pagrindinių elementariųjų funkcijų savybių žinome, kad y=sinx yra apibrėžtas ir tęstinis visoms tikrosioms argumento reikšmėms. Todėl iš sinusinės funkcijos padidėjimo intervale galime teigti intervalo padidėjimą.
Ekstremalūs taškai, funkcijos ekstremumai.
Taškas vadinamas maksimalus taškas funkcija y=f(x), jei nelygybė teisinga visiems x iš jos kaimynystės. Iškviečiama funkcijos reikšmė didžiausiame taške maksimali funkcija ir pažymėti .
Taškas vadinamas minimalus taškas funkcija y=f(x), jei nelygybė teisinga visiems x iš jos kaimynystės. Iškviečiama funkcijos reikšmė minimaliame taške funkcijos minimumas ir pažymėti .
Taško kaimynystė suprantama kaip intervalas 
, kur yra pakankamai mažas teigiamas skaičius.
Vadinami minimalūs ir didžiausi taškai ekstremalūs taškai, ir iškviečiamos funkcijos reikšmės, atitinkančios ekstremumo taškus funkcijos ekstremumai.
Nepainiokite funkcijos kraštutinumų su didžiausiomis ir mažiausiomis funkcijos reikšmėmis.
Pirmoje nuotraukoje didžiausia vertė funkcija atkarpoje pasiekiama didžiausiame taške ir yra lygi funkcijos maksimumui, o antrajame paveiksle didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama taške x=b, kuris nėra didžiausias taškas.
Pakankamos sąlygos funkcijoms didinti ir mažinti.
Remiantis pakankamomis funkcijos didėjimo ir mažėjimo sąlygomis (požymiais), randami funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai.
Čia pateikiamos intervalo didėjančių ir mažėjančių funkcijų ženklų formuluotės:
- jei funkcijos y=f(x) išvestinė yra teigiama bet kuriam x iš intervalo X , tai funkcija padidėja X ;
- jei funkcijos y=f(x) išvestinė yra neigiama bet kuriam x iš intervalo X , tai funkcija X mažėja.
Taigi, norint nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, būtina:
Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus, kad paaiškintumėte algoritmą.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.
Sprendimas.
Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos apimtį. Mūsų pavyzdyje išraiška vardiklyje neturėtų išnykti, todėl .
Pereikime prie funkcijos išvestinės paieškos: 
Norėdami nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus pagal pakankamą kriterijų, išsprendžiame nelygybes ir apibrėžimo srityje. Naudokime intervalo metodo apibendrinimą. Vienintelė tikroji skaitiklio šaknis yra x = 2 , o vardiklis išnyksta ties x = 0 . Šie taškai padalija apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė išlaiko savo ženklą. Pažymėkime šiuos taškus skaičių eilutėje. Pliusais ir minusais sąlyginai žymime intervalus, kuriuose išvestinė yra teigiama arba neigiama. Žemiau esančios rodyklės schematiškai rodo funkcijos padidėjimą arba sumažėjimą atitinkamame intervale. 
Taigi, 
Ir 
.
Taške x=2 funkcija yra apibrėžta ir ištisinė, todėl ją reikia pridėti ir prie didėjančio, ir į mažėjančio intervalo. Taške x=0 funkcija neapibrėžta, todėl šis taškas neįtraukiamas į reikiamus intervalus.
Pateikiame funkcijos grafiką, kad palygintume su juo gautus rezultatus.
Atsakymas:
Funkcija padidėja ties 
, mažėja intervale (0;2] .
Pakankamos sąlygos funkcijos ekstremumui.
Norėdami rasti funkcijos maksimumus ir minimumus, galite naudoti bet kurį iš trijų ekstremumo ženklų, žinoma, jei funkcija atitinka jų sąlygas. Labiausiai paplitęs ir patogiausias yra pirmasis iš jų.
Pirmoji pakankama sąlyga ekstremumui.
Tegul funkcija y=f(x) yra diferencijuojama taško kaimynystėje ir yra tolydi pačiame taške.
Kitaip tariant:
Algoritmas ekstremumo taškų paieškai pagal pirmąjį funkcijos ekstremumo ženklą.
- Funkcijos apimties radimas.
- Funkcijos išvestinę randame apibrėžimo srityje.
- Nustatome skaitiklio nulius, išvestinės vardiklio nulius ir srities taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja (visi išvardyti taškai vadinami galimo ekstremumo taškai, eidamas per šiuos taškus, išvestinė tiesiog gali pakeisti savo ženklą).
- Šie taškai padalija funkcijos sritį į intervalus, kuriuose išvestinė išlaiko savo ženklą. Išvestinės ženklus nustatome kiekviename intervale (pavyzdžiui, apskaičiuodami funkcijos išvestinės reikšmę bet kuriame vieno intervalo taške).
- Parenkame taškus, kuriuose funkcija yra ištisinė, o per kuriuos išvestinė keičia ženklą – jie yra ekstremumo taškai.
Per daug žodžių, panagrinėkime kelis funkcijos ekstremumo taškų ir ekstremumų radimo pavyzdžius, naudojant pirmąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos ekstremalą.
Sprendimas.
Funkcijos apimtis yra visa realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus x=2 .
Mes randame išvestinę: 
Skaitiklio nuliai yra taškai x=-1 ir x=5 , vardiklis eina į nulį ties x=2 . Pažymėkite šiuos taškus skaičių eilutėje 
Išvestinės ženklus nustatome kiekviename intervale, tam apskaičiuojame išvestinės reikšmę bet kuriame kiekvieno intervalo taške, pavyzdžiui, taškuose x=-2, x=0, x=3 ir x= 6 .
Todėl išvestinė yra teigiama intervale (paveiksle virš šio intervalo dedame pliuso ženklą). Panašiai 
Todėl per antrą intervalą dedame minusą, trečią – minusą, o ketvirtą – pliusą.
Belieka pasirinkti taškus, kuriuose funkcija yra tolydi ir jos išvestinė keičia ženklą. Tai yra ekstremalūs taškai.
Taške x=-1 funkcija yra tolydi ir išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, todėl pagal pirmąjį ekstremumo ženklą x=-1 yra maksimalus taškas, jis atitinka funkcijos maksimumą 
.
Taške x=5 funkcija yra tolydi, o išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl x=-1 yra mažiausias taškas, jis atitinka funkcijos minimumą 
.
Grafinė iliustracija.
Atsakymas:
ATKREIPKITE DĖMESĮ: pirmas pakankamas ekstremumo ženklas nereikalauja, kad funkcija būtų diferencijuojama pačiame taške.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos kraštutinius taškus ir kraštutinumus 
.
Sprendimas.
Funkcijos sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys. Pati funkcija gali būti parašyta taip: 
Raskime funkcijos išvestinę: 
Taške x=0 išvestinė neegzistuoja, nes vienpusių ribų reikšmės nesutampa, kai argumentas linkęs į nulį: 
Tuo pačiu metu pradinė funkcija yra ištisinė taške x=0 (žr. skyrių apie funkcijos tęstinumo tyrimą): 
Raskite argumento reikšmes, kurioms esant išvestinė dingsta: 
Visus gautus taškus pažymime realioje tiesėje ir kiekviename intervale nustatome išvestinės ženklą. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame išvestinės reikšmes savavališkais kiekvieno intervalo taškais, pavyzdžiui, kada x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Tai yra, 
Taigi pagal pirmąjį ekstremumo ženklą minimalūs taškai yra 
, maksimalus taškų skaičius yra 
.
Apskaičiuojame atitinkamus funkcijos minimumus 
Apskaičiuojame atitinkamus funkcijos maksimumus 
Grafinė iliustracija.
Atsakymas:
.
Antrasis funkcijos ekstremumo požymis.
Kaip matote, šis funkcijos ekstremumo ženklas reikalauja išvestinės egzistavimo bent iki antros eilės taške.
Įvadas
Daugelyje mokslo sričių ir praktinė veikla dažnai susiduriama su funkcijos ekstremumo radimo problema. Faktas yra tas, kad daugelis techninių, ekonominių ir kt. procesai modeliuojami pagal funkciją arba kelias funkcijas, kurios priklauso nuo kintamųjų – veiksnių, turinčių įtakos modeliuojamo reiškinio būsenai. Norint nustatyti optimalią (racionalią) būseną, proceso valdymą, reikia rasti tokių funkcijų kraštutinumus. Taigi ekonomikoje dažnai išsprendžiamos kaštų minimizavimo ar pelno maksimizavimo problemos – firmos mikroekonominis uždavinys. Šiame darbe nenagrinėjame modeliavimo problemų, o svarstome tik funkcijos ekstremalių radimo algoritmus paprasčiausioje versijoje, kai kintamiesiems netaikomi jokie apribojimai (besąlyginis optimizavimas), o ekstremumo ieškoma tik vienai tikslinei funkcijai.
FUNKCIJOS EKSTREMA
Apsvarstykite tolydžios funkcijos grafiką y=f(x) parodyta paveiksle. Funkcijos reikšmė taške x 1 bus didesnės už funkcijos reikšmes visuose gretimuose taškuose tiek kairėje, tiek dešinėje x 1 . Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi tašką x 1 maks. Taške x Akivaizdu, kad 3 funkcija taip pat turi maksimumą. Jei svarstysime esmę x 2 , tada funkcijos reikšmė jame yra mažesnė už visas gretimas reikšmes. Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi tašką x 2 minimum. Panašiai ir dėl taško x 4 .
Funkcija y=f(x) taške x 0 turi maksimalus, jei funkcijos reikšmė šiame taške yra didesnė už jos reikšmes visuose tam tikro intervalo, kuriame yra taškas, taškuose x 0 , t.y. jei yra tokia taško kaimynystė x 0, kuris tinka visiems x ≠x 0 , priklausydami šiam rajonui, turime nelygybę f(x) <f(x 0 ) .
Funkcija y=f(x) Tai turi minimumas taške x 0 , jei yra tokia taško kaimynystė x 0 , kas tinka visiems x ≠x 0 priklauso šiai kaimynei, turime nelygybę f(x) >f(x0 .
Taškai, kuriuose funkcija pasiekia maksimumą ir minimumą, vadinami ekstremumais, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra funkcijos ekstremumai.
Atkreipkime dėmesį į tai, kad atkarpoje apibrėžta funkcija savo maksimumą ir minimumą gali pasiekti tik taškuose, esančiuose nagrinėjamoje atkarpoje.
Atminkite, kad jei funkcija tam tikrame taške turi maksimumą, tai nereiškia, kad šiuo metu funkcija turi didžiausią reikšmę visame domene. Aukščiau aptartame paveikslėlyje funkcija taške x 1 turi maksimumą, nors yra taškų, kuriuose funkcijos reikšmės yra didesnės nei taške x 1 . Visų pirma, f (x 1) < f (x 4) t.y. funkcijos minimumas yra didesnis už maksimumą. Iš maksimumo apibrėžimo tik išplaukia, kad tai yra daugiausia didelę reikšmę veikia pakankamai arti maksimalaus taško.
Teorema 1. (Būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga.) Jei diferencijuojama funkcija y=f(x) turi taške x = x 0 ekstremumas, tada jo išvestinė šioje vietoje išnyksta.
Įrodymas. Leiskite, aiškumo dėlei, taške x 0 funkcija turi maksimumą. Tada pakankamai mažais žingsniais Δ x mes turime f(x
0
+ Δ x)
Pereinant šias nelygybes į ribą kaip Δ x→ 0 ir atsižvelgiant į tai, kad išvestinė f "(x 0) egzistuoja, taigi riba kairėje nepriklauso nuo to, kaip Δ x→ 0, gauname: už Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 ir esant Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Kadangi f" (x 0) apibrėžia skaičių, tada šios dvi nelygybės yra suderinamos tik jei f" (x 0) = 0.
Įrodyta teorema teigia, kad maksimalus ir minimalus taškai gali būti tik tarp tų argumento reikšmių, kurių išvestinė dingsta.
Išnagrinėjome atvejį, kai funkcija turi išvestinę visuose tam tikros atkarpos taškuose. Kas atsitinka, kai išvestinė priemonė neegzistuoja? Apsvarstykite pavyzdžius.
y =|x |.
Funkcija taške neturi išvestinės x=0 (šiuo metu funkcijos grafikas neturi apibrėžtos liestinės), tačiau šiuo metu funkcija turi minimumą, nes y(0) = 0 ir visiems x ≠ 0y > 0.
neturi išvestinės at x=0, nes kai jis eina į begalybę x=0. Tačiau šiuo metu funkcija turi maksimumą. 
neturi išvestinės at x=0, nes 
adresu x→0. Šiuo metu funkcija neturi nei maksimumo, nei minimumo. tikrai, f(x)=0 ir at x
<0f(x)
<0, а при x
>0f(x)
>0.
Taigi iš pateiktų pavyzdžių ir suformuluotos teoremos aišku, kad funkcija ekstremumą gali turėti tik dviem atvejais: 1) taškuose, kuriuose išvestinė egzistuoja ir lygi nuliui; 2) taške, kur darinys neegzistuoja.
Tačiau jei tam tikru momentu x 0 mes tai žinome f"(x 0 ) =0, tada iš to negalima daryti išvados, kad taške x 0 funkcija turi ekstremumą.
Pavyzdžiui.
.
Bet taškas x=0 nėra ekstremumo taškas, nes šio taško kairėje funkcijos reikšmės yra žemiau ašies Jautis, ir viršuje dešinėje.
Argumento reikšmės iš funkcijos srities, kuriai funkcijos išvestinė išnyksta arba neegzistuoja, vadinamos kritinius taškus .
Iš to, kas pasakyta, išplaukia, kad funkcijos ekstremalieji taškai yra tarp kritinių taškų, tačiau ne kiekvienas kritinis taškas yra ekstremumo taškas. Todėl, norėdami rasti funkcijos ekstremumą, turite rasti visus svarbiausius funkcijos taškus, o tada kiekvieną iš šių taškų atskirai išnagrinėti, kad būtų nustatytas maksimalus ir minimumas. Tam pasitarnauja ši teorema.
2 teorema. (Pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti.) Tegul funkcija yra tolydi tam tikrame intervale, kuriame yra kritinis taškas x 0 ir yra diferencijuojamas visuose šio intervalo taškuose (išskyrus, galbūt, patį tašką x 0). Jei važiuojant iš kairės į dešinę per šį tašką išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai taške x = x 0 funkcija turi maksimumą. Jei, pravažiuojant x 0 iš kairės į dešinę, išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, tada funkcija šiuo metu turi minimumą.
Taigi, jei
f"(x)>0 val x <x 0 ir f"(x)< 0 val x > x 0, tada x 0 - maksimalus taškas;
adresu x <x 0 ir f "(x)> 0 val x > x 0, tada x 0 yra mažiausias taškas.
Įrodymas. Pirmiausia manykime, kad pravažiuojant x 0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, t.y. visiems x arti taško x 0 f "(x)> 0 už x< x 0 , f"(x)< 0 už x > x 0 . Skirtumui pritaikykime Lagranžo teoremą f(x) – f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kur c yra tarp x Ir x 0 .
Leisti x< x 0 . Tada c< x 0 ir f "(c)> 0. Štai kodėl f "(c)(x-x 0)< 0 ir todėl
f(x) – f(x 0 )< 0, t.y. f(x)< f(x 0 ).
Leisti x > x 0 . Tada c>x 0 ir f"(c)< 0. Reiškia f "(c)(x-x 0)< 0. Štai kodėl f(x) – f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .
Taigi visoms vertybėms x pakankamai arti x 0 f(x) < f(x 0 ) . Ir tai reiškia, kad taške x 0 funkcija turi maksimumą.
Panašiai įrodyta ir antroji minimalios teoremos dalis.
Iliustruojame šios teoremos reikšmę paveiksle. Leisti f"(x 1 ) =0 ir bet kuriai x, pakankamai arti x 1 , nelygybės
f"(x)< 0 val x< x 1 , f "(x)> 0 val x > x 1 .
Tada į kairę nuo taško x 1 funkcija didėja, o dešinėje mažėja, todėl kai x = x 1 funkcija pereina nuo didėjančios prie mažėjančios, tai yra, ji turi maksimumą.
Panašiai galima apsvarstyti ir dalykus x 2 ir x 3 .
Schematiškai visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti pavaizduota paveikslėlyje:
Ekstremo funkcijos y=f(x) tyrimo taisyklė
Raskite funkcijos apimtį f(x).
Raskite pirmąją funkcijos išvestinę f"(x) .
Tam nustatykite kritinius taškus:
rasti tikrąsias lygties šaknis f"(x) =0;
rasti visas vertybes x pagal kurią išvestinė f"(x) neegzistuoja.
Nustatykite išvestinės, esančios kritinio taško kairėje ir dešinėje, ženklą. Kadangi išvestinės ženklas išlieka pastovus tarp dviejų kritinių taškų, pakanka nustatyti išvestinės ženklą bet kuriame taške į kairę ir viename taške į dešinę nuo kritinio taško.
Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.
Prieš mokantis rasti funkcijos ekstremumą, būtina suprasti, kas yra ekstremumas. Bendriausias ekstremumo apibrėžimas yra toks, kad tai yra mažiausia arba didžiausia funkcijos reikšmė, naudojama matematikoje tam tikroje skaičių eilutės ar grafiko rinkinyje. Toje vietoje, kur yra minimumas, atsiranda minimumo ekstremumas, o kur maksimumas – maksimumo ekstremumas. Taip pat tokioje disciplinoje kaip matematinė analizė išskiriami lokalūs funkcijos ekstremumai. Dabar pažiūrėkime, kaip rasti ekstremumus.
Matematikos kraštutinumai yra vienos iš svarbiausių funkcijos savybių, jos parodo didžiausią ir mažiausią jos reikšmę. Ekstremalai randami daugiausia kritiniuose rastų funkcijų taškuose. Verta paminėti, kad būtent ekstremaliame taške funkcija radikaliai pakeičia savo kryptį. Jei apskaičiuosime ekstremumo taško išvestinę, tai pagal apibrėžimą jis turi būti lygus nuliui arba jo visai nebus. Taigi, norėdami sužinoti, kaip rasti funkcijos ekstremumą, turite atlikti dvi nuoseklias užduotis:
- rasti funkcijos išvestinę, kurią reikia nustatyti pagal užduotį;
- raskite lygties šaknis.
Ekstremo radimo seka
- Užrašykite pateiktą funkciją f(x). Raskite jos pirmosios eilės išvestinę f "(x). Gautą išraišką prilyginkite nuliui.
- Dabar jūs turite išspręsti lygtį, kuri pasirodė. Gauti sprendiniai bus lygties šaknys, taip pat apibrėžiamos funkcijos kritiniai taškai.
- Dabar nustatome, kurie kritiniai taškai (maksimalus ar minimumas) yra rastos šaknys. Kitas žingsnis, kai sužinojome, kaip rasti funkcijos ekstremumo taškus, yra rasti antrąją norimos funkcijos išvestinę f "(x). Reikės pakeisti rastų kritinių taškų reikšmes. į konkrečią nelygybę ir tada apskaičiuokite, kas atsitiks.Jei taip atsitiks, kad antroji išvestinė kritiniame taške pasirodys didesnė už nulį, tai bus mažiausias taškas, o kitu atveju – maksimalus taškas.
- Belieka apskaičiuoti pradinės funkcijos reikšmę reikiamame funkcijos maksimaliame ir minimaliame taške. Norėdami tai padaryti, gautas reikšmes pakeičiame funkcija ir apskaičiuojame. Tačiau reikia pažymėti, kad jei kritinis taškas pasirodė esantis maksimumas, tada ekstremumas bus maksimalus, o jei jis yra minimumas, tada pagal analogiją jis bus minimalus.
Algoritmas ieškant ekstremumo
Norėdami apibendrinti įgytas žinias, padarykite trumpą algoritmą, kaip rasti ekstremalių taškų.
- Randame duotosios funkcijos sritį ir jos intervalus, kurie tiksliai nustato, kokiais intervalais funkcija yra tęstinė.
- Randame funkcijos f "(x) išvestinę.
- Apskaičiuojame lygties y = f (x) kritinius taškus.
- Analizuojame funkcijos f (x) krypties pokyčius, taip pat išvestinės f "(x) ženklą, kur kritiniai taškai atskiria šios funkcijos apibrėžimo sritį.
- Dabar nustatome, ar kiekvienas grafiko taškas yra maksimalus ar minimumas.
- Funkcijos reikšmes randame tuose taškuose, kurie yra ekstremumai.
- Fiksuojame šio tyrimo rezultatą – monotoniškumo ekstremumus ir intervalus. Tai viskas. Dabar mes svarstėme, kaip rasti ekstremumą bet kuriame intervale. Jei tam tikrame funkcijos intervale reikia rasti ekstremumą, tai daroma panašiai, būtinai atsižvelgiama tik į atliekamo tyrimo ribas.
Taigi, mes svarstėme, kaip rasti funkcijos kraštutinius taškus. Naudodamiesi paprastais skaičiavimais ir žiniomis apie išvestinių elementų radimą, galite rasti bet kurį ekstremumą ir jį apskaičiuoti, taip pat grafiškai pažymėti. Ieškoti kraštutinumų yra viena svarbiausių matematikos sekcijų tiek mokykloje, tiek aukštojoje mokykloje, todėl išmokus juos teisingai nustatyti, mokytis bus daug lengviau ir įdomiau.
Iš šio straipsnio skaitytojas sužinos, kas yra funkcinės vertės ekstremumas, taip pat apie jo naudojimo praktikoje ypatybes. Tokios sąvokos tyrimas yra nepaprastai svarbus norint suprasti aukštosios matematikos pagrindus. Ši tema yra esminė norint giliau studijuoti kursą.
Susisiekus su
Kas yra kraštutinumas?
Mokyklos kurse pateikiama daug „ekstremumo“ sąvokos apibrėžimų. Šis straipsnis skirtas giliausiai ir aiškiausiai suprasti terminą tiems, kurie to nežino. Taigi, terminas suprantamas, kokiu mastu funkcinis intervalas įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę tam tikrame rinkinyje.
Ekstremalumas yra ir minimali funkcijos reikšmė, ir didžiausia tuo pačiu metu. Yra minimalus ir maksimalus taškas, tai yra kraštutinės argumento reikšmės grafike. Pagrindiniai mokslai, kuriuose ši sąvoka naudojama:
- statistika;
- mašinos valdymas;
- ekonometrija.
Kraštutiniai taškai vaidina svarbų vaidmenį nustatant tam tikros funkcijos seką. Grafike esanti koordinačių sistema geriausiai parodo kraštutinės padėties pokytį, priklausomai nuo funkcionalumo pasikeitimo.
Išvestinės funkcijos ekstremumai
Taip pat yra toks dalykas kaip „darinys“. Būtina nustatyti ekstremumo tašką. Svarbu nepainioti minimalių ar maksimalių taškų su didžiausia ir mažiausia reikšmėmis. Tai skirtingos sąvokos, nors gali atrodyti panašios.
Funkcijos reikšmė yra pagrindinis veiksnys, lemiantis, kaip rasti maksimalų tašką. Išvestinė susidaro ne iš vertybių, o išskirtinai iš kraštutinės padėties viena ar kita tvarka.
Pati išvestinė nustatoma remiantis kraštutinių taškų duomenimis, o ne didžiausia ar mažiausia verte. Rusų mokyklose riba tarp šių dviejų sąvokų nėra aiškiai nubrėžta, o tai turi įtakos šios temos supratimui apskritai.
Dabar apsvarstykime tokį dalyką kaip „aštrus ekstremumas“. Iki šiol yra ūminė minimali vertė ir ūminė maksimali vertė. Apibrėžimas pateiktas pagal rusišką funkcijos kritinių taškų klasifikaciją. Ekstremalaus taško sąvoka yra pagrindas ieškant kritinių taškų diagramoje.
Tokiai sąvokai apibrėžti naudojama Ferma teorema. Tai yra svarbiausia tiriant kraštutinius taškus ir suteikia aiškų supratimą apie jų egzistavimą viena ar kita forma. Siekiant užtikrinti ekstremalumą, svarbu sudaryti tam tikras sąlygas diagramoje mažėti arba didėti.
Norėdami tiksliai atsakyti į klausimą „kaip rasti didžiausią tašką“, turite laikytis šių nuostatų:
- Diagramoje raskite tikslią apibrėžimo sritį.
- Ieškokite funkcijos ir ekstremumo taško išvestinės.
- Išspręskite argumento srities standartines nelygybes.
- Gebėti įrodyti, kuriose funkcijose grafiko taškas yra apibrėžtas ir tolydis.
Dėmesio! Funkcijos kritinio taško paieška galima tik tada, kai yra bent antros eilės išvestinė, kurią užtikrina didelė ekstremumo taško buvimo dalis.
Būtina funkcijos ekstremumo sąlyga
Tam, kad egzistuotų ekstremumas, svarbu, kad būtų ir minimalūs, ir didžiausi balai. Jei šios taisyklės laikomasi tik iš dalies, pažeidžiama ekstremumo egzistavimo sąlyga.
Kiekviena funkcija bet kurioje padėtyje turi būti atskirta, kad būtų galima nustatyti naujas reikšmes. Svarbu suprasti, kad atvejis, kai taškas išnyksta, nėra pagrindinis principas ieškant diferencijuojamo taško.
Aštrus ekstremumas, kaip ir funkcijos minimumas, yra nepaprastai svarbus aspektas sprendžiant matematinę problemą naudojant kraštutines reikšmes. Norint geriau suprasti šį komponentą, priskiriant funkciją svarbu remtis lentelėmis.
| Visiškas prasmės tyrinėjimas | Vertės nubrėžimas |
| 1. Reikšmių didėjimo ir mažėjimo taškų nustatymas. 2. Lūžio taškų, ekstremumo ir susikirtimo su koordinačių ašimis radimas. 3. Pozicijos diagramoje pokyčių nustatymo procesas. 4. Išgaubtumo ir išgaubtumo indekso ir krypties nustatymas, atsižvelgiant į asimptotų buvimą. 5. Tyrimo suvestinės lentelės sudarymas jo koordinačių nustatymo požiūriu. 6. Ekstremalių ir ūmių taškų didėjimo ir mažėjimo intervalų radimas. 7. Kreivės išgaubimo ir įgaubimo nustatymas. 8. Grafiko sudarymas remiantis tyrimu leidžia rasti minimumą arba maksimumą. |
Pagrindinis elementas, kai reikia dirbti su ekstremumais, yra tiksli jo grafiko konstrukcija. Mokyklų mokytojai dažnai neskiria maksimalaus dėmesio tokiam svarbiam aspektui, kuris yra šiurkštus ugdymo proceso pažeidimas. Grafikas sudarytas tik remiantis funkcinių duomenų tyrimo rezultatais, aštrių ekstremalių apibrėžimu, taip pat grafiko taškais. Funkcijos išvestinės aštrūs ekstremumai rodomi tikslių verčių diagramoje, naudojant standartinę asimptotų nustatymo procedūrą. |
Funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė įgauna mažiausią arba didžiausią reikšmę. Funkcijų reikšmės šiuose taškuose vadinamos funkcijos kraštutinumais (minimalus ir didžiausias)..
Apibrėžimas. Taškas x1 funkcijos apimtis f(x) vadinamas maksimalus funkcijos taškas , jei funkcijos reikšmė šiame taške yra didesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimalus.
Apibrėžimas. Taškas x2 funkcijos apimtis f(x) vadinamas minimalus funkcijos taškas, jei funkcijos reikšmė šiame taške yra mažesnė už funkcijos reikšmes pakankamai arti jos taškuose, esančiuose jos dešinėje ir kairėje (ty nelygybė f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šiuo atveju sakoma, kad funkcija turi tašką x2 minimumas.
Sakykime esmę x1 - maksimalus funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x1 funkcija didėja, todėl funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0 ), o intervale po x1 funkcija mažėja, todėl funkcijos išvestinė mažiau nei nulis ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1
Taip pat manykime, kad taškas x2 - mažiausias funkcijos taškas f(x). Tada intervale iki x2 funkcija mažėja, o funkcijos išvestinė yra mažesnė už nulį ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija didėja, o funkcijos išvestinė yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0). Šiuo atveju taip pat taške x2 funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
Ferma teorema (būtinas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Jei taškas x0 - funkcijos ekstremalus taškas f(x), tada šioje vietoje funkcijos išvestinė lygi nuliui ( f "(x) = 0 ) arba neegzistuoja.
Apibrėžimas. Vadinami taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja kritinius taškus .
1 pavyzdys Panagrinėkime funkciją.
Taške x= 0 funkcijos išvestinė lygi nuliui, todėl taškas x= 0 yra kritinis taškas. Tačiau, kaip matyti iš funkcijos grafiko, ji didėja visoje apibrėžimo srityje, todėl taškas x= 0 nėra šios funkcijos ekstremumo taškas.
Taigi sąlygos, kad funkcijos išvestinė taške yra lygi nuliui arba neegzistuoja, yra būtinos sąlygos ekstremumui, bet nepakankamos, nes galima pateikti kitų funkcijų pavyzdžių, kurioms šios sąlygos tenkinamos, tačiau funkcija atitinkamame taške neturi ekstremumo. Štai kodėl turi turėti pakankamai indikacijų, kurie leidžia spręsti, ar tam tikrame kritiniame taške yra ekstremumas, o kuris – maksimalus ar minimumas.
Teorema (pirmasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 f(x) , jei funkcijos išvestinė einant per šį tašką keičia ženklą, o jei ženklas pasikeičia iš "pliuso" į "minusą", tada maksimalus taškas, o jei iš "minuso" į "pliusas", tai minimalus taškas. .
Jei netoli taško x0 , kairėje ir dešinėje išvestinė išlaiko savo ženklą, tai reiškia, kad funkcija arba tik mažėja, arba tik didėja tam tikroje taško kaimynystėje x0 . Šiuo atveju taške x0 nėra ekstremumo.
Taigi, norėdami nustatyti funkcijos kraštutinius taškus, turite atlikti šiuos veiksmus :
- Raskite funkcijos išvestinę.
- Išvestinę prilyginkite nuliui ir nustatykite kritinius taškus.
- Mintyse arba popieriuje skaitinėje ašyje pažymėkite kritinius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite funkcijos išvestinės ženklus. Jei išvestinės ženklas pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai kritinis taškas yra didžiausias taškas, o jei iš „minuso“ į „pliusas“, tai kritinis taškas yra minimalus taškas.
- Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.
2 pavyzdys Raskite funkcijos kraštutinumus 
.
Sprendimas. Raskime funkcijos išvestinę:
Prilyginkite išvestinę nuliui, kad surastumėte kritinius taškus:
.
Kadangi bet kuriai "x" vertei vardiklis nėra lygus nuliui, tada skaitiklį prilyginame nuliui:
Turi vieną kritinį tašką x= 3. Išvestinės ženklą nustatome intervalais, kuriuos riboja šis taškas:
diapazone nuo minus begalybės iki 3 - minuso ženklas, tai yra, funkcija mažėja,
diapazone nuo 3 iki pliuso begalybės - pliuso ženklas, tai yra, funkcija didėja.
Tai yra taškas x= 3 yra mažiausias taškas.
Raskite funkcijos reikšmę minimaliame taške:
Taigi randamas funkcijos ekstremumo taškas: (3; 0) , ir tai yra minimalus taškas.
Teorema (antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo egzistavimo kriterijus). Kritinis taškas x0 yra funkcijos kraštutinis taškas f(x), jei antroji funkcijos išvestinė šiame taške nėra lygi nuliui ( f ""(x) ≠ 0), be to, jei antroji išvestinė didesnė už nulį ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalus taškas, o jei antroji išvestinė mažesnė už nulį ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.
Pastaba 1. Jei taške x0 išnyksta ir pirmasis, ir antrasis vediniai, tai šiuo metu neįmanoma spręsti apie ekstremumo buvimą pagal antrąjį pakankamą požymį. Šiuo atveju reikia naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.
2 pastaba. Antrasis pakankamas funkcijos ekstremumo kriterijus taip pat netaikomas, kai stacionariame taške nėra pirmosios išvestinės (tada neegzistuoja ir antroji išvestinė). Šiuo atveju taip pat būtina naudoti pirmąjį pakankamą funkcijos ekstremumo kriterijų.
Funkcijos ekstremumo vietinis pobūdis
Iš aukščiau pateiktų apibrėžimų matyti, kad funkcijos ekstremumas yra lokalaus pobūdžio – tai didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis.
Tarkime, kad apsvarstysite savo pajamas per vienerių metų laikotarpį. Jei gegužę uždirbote 45 000, o balandį - 42 000, o birželį - 39 000 rublių, tai gegužės mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos maksimumas, palyginti su artimiausiomis reikšmėmis. Bet spalį uždirbote 71 000, rugsėjį 75 000, o lapkritį 74 000 rublių, taigi, spalio mėnesio uždarbis yra uždarbio funkcijos minimumas, palyginti su artimomis vertėmis. Ir jūs galite lengvai pamatyti, kad didžiausias tarp balandžio-gegužės-birželio mėn. verčių yra mažesnis nei rugsėjo-spalio-lapkričio mėn.
Paprastai kalbant, funkcija gali turėti kelis intervalo kraštutinumus ir gali pasirodyti, kad bet kuris funkcijos minimumas yra didesnis už bet kurį maksimumą. Taigi, funkcijai, parodytai aukščiau esančiame paveikslėlyje, .
Tai reiškia, kad nereikėtų manyti, kad funkcijos maksimumas ir minimumas yra atitinkamai didžiausios ir minimalios vertės visame nagrinėjamame segmente. Didžiausio taško taške funkcija turi didžiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis, kurias ji turi visuose taškuose pakankamai arti maksimalaus taško, o minimaliame taške – mažiausią reikšmę tik lyginant su tomis reikšmėmis. kad jis visuose taškuose yra pakankamai arti minimalaus taško.
Todėl galime patikslinti aukščiau pateiktos funkcijos ekstremalių taškų sąvoką ir minimalius taškus vadinti vietiniais minimaliais taškais, o maksimalius – vietiniais maksimaliais taškais.
Kartu ieškome funkcijos kraštutinumų
3 pavyzdys
Sprendimas.Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje. Jo darinys 
taip pat egzistuoja visoje skaičių eilutėje. Todėl į Ši byla tik tie, kuriuose, t.y. , iš kur ir . Kritinius taškus ir padalinkite visą funkcijos sritį į tris monotoniškumo intervalus: . Kiekviename iš jų pasirenkame po vieną kontrolinį tašką ir šiame taške randame išvestinės ženklą.
Intervalo atskaitos taškas gali būti: randame . Atsižvelgdami į intervalo tašką, gauname , o paėmę tašką intervale, turime . Taigi, intervalais ir , Ir intervale . Pagal pirmąjį pakankamą ekstremumo ženklą, taške ekstremumo nėra (nes išvestinė išlaiko ženklą intervale ), o funkcija taške turi minimumą (nes išvestinė pereinant keičia ženklą iš minuso į pliusą per šį tašką). Raskite atitinkamas funkcijos reikšmes: , ir . Intervale funkcija mažėja, nes šiame intervale , o intervale ji didėja, nes šiame intervale.
Norėdami patikslinti grafiko konstrukciją, randame jo susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. Kai gauname lygtį, kurios šaknys ir , t.y., randami du funkcijos grafiko taškai (0; 0) ir (4; 0). Naudodami visą gautą informaciją sudarome grafiką (žr. pavyzdžio pradžioje).
4 pavyzdys Raskite funkcijos ekstremalumą ir sukurkite jos grafiką.
Funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė, išskyrus tašką, t.y. .
Norėdami sutrumpinti tyrimą, galime pasinaudoti tuo, kad ši funkcija yra lygi, nes 
. Todėl jo grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Oy o tyrimą galima atlikti tik intervalui .
Išvestinės radimas 
ir kritiniai funkcijos taškai:
1) 
;
2) 
,
tačiau funkcija šiuo metu nutrūksta, todėl ji negali būti kraštutinumo taškas.
Taigi duota funkcija turi du kritinius taškus: ir . Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, tik tašką tikriname antruoju pakankamu ekstremumo ženklu. Norėdami tai padaryti, randame antrą išvestinę 
ir nustatyti jo ženklą : gauname . Kadangi ir , tada yra mažiausias funkcijos taškas, while 
.
Norėdami gauti išsamesnį funkcijos grafiko vaizdą, išsiaiškinkime jos elgesį apibrėžimo srities ribose:
(čia simbolis rodo norą x iki nulio dešinėje ir x išlieka teigiamas; panašiai reiškia siekį x iki nulio kairėje ir x išlieka neigiamas). Taigi, jei , tada . Toliau randame
,
tie. jei tada .
Funkcijos grafikas neturi susikirtimo su ašimis taškų. Paveikslėlis yra pavyzdžio pradžioje.
Kartu toliau ieškome funkcijos kraštutinumų
8 pavyzdys Raskite funkcijos ekstremalą.
Sprendimas. Raskite funkcijos domeną. Kadangi nelygybė turi būti, mes gauname iš .
Raskime pirmąją funkcijos išvestinę:
Raskime kritinius funkcijos taškus.
