namai › Važiuoklė › Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę? Didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė.

Kaip rasti mažiausią funkcijos reikšmę? Didžiausia ir mažiausia segmento funkcijos reikšmė.

2 problemos teiginys:

Duota funkcija, kuri yra apibrėžta ir tęstinė tam tikru intervalu . Šiame intervale reikia rasti didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę.

Teorinis pagrindas.
Teorema (antroji Weierstrasso teorema):

Jei funkcija yra apibrėžta ir tęstinė uždarame intervale, tai šiame intervale ji pasiekia didžiausias ir mažiausias reikšmes.

Funkcija gali pasiekti didžiausias ir minimalias reikšmes vidiniuose intervalo taškuose arba jo ribose. Pavaizduokime visus galimus variantus.

Paaiškinimas:
1) Funkcija pasiekia savo didžiausia vertybė kairėje intervalo pakraštyje taške , o mažiausia jo reikšmė - dešinėje intervalo pakraštyje taške .
2) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taške esančioje intervalo dešinėje.
3) Funkcija pasiekia maksimalią reikšmę kairėje intervalo riboje taške, o mažiausią – taške (tai yra mažiausias taškas).
4) Funkcija yra pastovi intervale, t.y. jis pasiekia minimalias ir didžiausias vertes bet kuriame intervalo taške, o minimalios ir didžiausios vertės yra lygios viena kitai.
5) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške, o mažiausią – taške (nepaisant to, kad funkcija šiame intervale turi ir maksimumą, ir minimumą).
6) Funkcija pasiekia didžiausią reikšmę taške (tai yra didžiausias taškas), o mažiausią reikšmę taške (tai yra mažiausias taškas).
komentaras:

„Maksimali“ ir „didžiausia vertė“ yra skirtingi dalykai. Tai išplaukia iš maksimumo apibrėžimo ir intuityvaus frazės „didžiausia vertė“ supratimo.

2 uždavinio sprendimo algoritmas.

4) Iš gautų verčių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.

4 pavyzdys:

Nustatykite didžiausią ir mažiausia vertė funkcijas segmente.
Sprendimas:
1) Raskite funkcijos išvestinę.

2) Išspręsdami lygtį suraskite stacionarius taškus (ir taškus, kurie yra įtartini dėl ekstremumo). Atkreipkite dėmesį į taškus, kuriuose nėra dvipusės baigtinės išvestinės.

3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes stacionariuose taškuose ir intervalo ribose.

4) Iš gautų verčių pasirinkite didžiausią (mažiausią) ir užrašykite atsakymą.

Funkcija šioje atkarpoje pasiekia didžiausią vertę taške su koordinatėmis .

Funkcija šioje atkarpoje pasiekia mažiausią reikšmę taške su koordinatėmis .

Skaičiavimų teisingumą galite patikrinti žiūrėdami į tiriamos funkcijos grafiką.

komentaras: Funkcija maksimalią reikšmę pasiekia didžiausiame taške, o mažiausią – atkarpos riboje.

Ypatinga byla.

Tarkime, kad norite rasti segmento funkcijos didžiausią ir mažiausią reikšmę. Atlikus pirmąją algoritmo pastraipą, t.y. apskaičiuojant išvestinę priemonę tampa aišku, kad, pavyzdžiui, viso nagrinėjamo segmento vertės yra tik neigiamos. Atminkite, kad jei išvestinė yra neigiama, tada funkcija mažėja. Mes nustatėme, kad funkcija mažėja per visą intervalą. Ši situacija parodyta diagramoje Nr. 1 straipsnio pradžioje.

Funkcija intervale mažėja, t.y. jis neturi ekstremalių taškų. Iš paveikslėlio matyti, kad funkcija užims mažiausią reikšmę dešinėje segmento kraštinėje, o didžiausią – kairėje. jei intervalo išvestinė visur yra teigiama, tada funkcija didėja. Mažiausia reikšmė yra kairėje segmento kraštinėje, didžiausia – dešinėje.

Mažiausios ir didžiausios funkcijos atkarpoje reikšmių radimo procesas primena įspūdingą skrydį aplink objektą (funkcijos grafikas) sraigtasparniu, šaudant iš tolimojo patrankos tam tikruose taškuose ir pasirenkant iš Šie taškai yra labai ypatingi kontroliniai šūviai. Taškai atrenkami tam tikru būdu ir pagal tam tikras taisykles. Pagal kokias taisykles? Apie tai kalbėsime toliau.

Jei funkcija y = f(x) ištisinis segmente [ a, b] , tada jis pasiekia šį segmentą mažiausiai Ir aukščiausios vertės . Tai gali nutikti arba viduje ekstremalūs taškai arba segmento galuose. Todėl norint rasti mažiausiai Ir didžiausios funkcijos reikšmės , nuolatinis intervale [ a, b], turite apskaičiuoti jo reikšmes kritinius taškus ir segmento galuose, tada pasirinkite mažiausią ir didžiausią iš jų.

Tegul, pavyzdžiui, reikia nustatyti maksimalią funkcijos reikšmę f(x) segmente [ a, b] . Norėdami tai padaryti, suraskite visus jo kritinius taškus, esančius [ a, b] .

kritinis taškas vadinamas tašku, kuriame apibrėžta funkcija, ir ji išvestinė yra nulis arba neegzistuoja. Tada turėtumėte apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose. Ir, galiausiai, reikėtų palyginti funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose ir segmento galuose ( f(a) Ir f(b) ). Didžiausias iš šių skaičių bus didžiausia funkcijos reikšmė intervale [a, b] .

Problema rasti mažiausios funkcijos reikšmės .

Kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

1 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 2] .

Sprendimas. Randame šios funkcijos išvestinę. Prilyginkite išvestinę nuliui () ir gaukite du kritinius taškus: ir . Norint rasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes tam tikrame segmente, pakanka apskaičiuoti jos reikšmes atkarpos galuose ir taške , nes taškas nepriklauso atkarpai [-1, 2] . Šios funkcijos reikšmės yra šios: , , . Tai seka mažiausia funkcijos reikšmė(žemiau esančiame grafike pažymėta raudona spalva), lygus -7, pasiekiamas dešiniajame atkarpos gale - taške ir didžiausias(taip pat raudona grafike), yra lygi 9, - kritiniame taške .

Jei funkcija yra ištisinė tam tikrame intervale ir šis intervalas nėra atkarpa (bet yra, pavyzdžiui, intervalas; skirtumas tarp intervalo ir atkarpos: intervalo ribiniai taškai neįtraukiami į intervalą, o atkarpos ribiniai taškai yra įtraukti į atkarpą), tada tarp funkcijos reikšmių gali nebūti mažiausio ir didžiausio. Taigi, pavyzdžiui, toliau esančiame paveikslėlyje pavaizduota funkcija yra ištisinė ]-∞, +∞[ ir neturi didžiausios reikšmės.

Tačiau bet kokiam intervalui (uždarajam, atviram ar begaliniam) galioja ši tęstinių funkcijų savybė.

4 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente [-1, 3] .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip koeficiento išvestinę:

Išvestinę prilyginame nuliui, o tai mums suteikia vienetą kritinis taškas: . Jis priklauso intervalui [-1, 3] . Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Palyginkime šias vertes. Išvada: lygi -5/13, taške ir didžiausia vertybė lygus 1 taške .

Toliau kartu ieškome mažiausios ir didžiausios funkcijos reikšmių

Yra dėstytojų, kurie, siekdami surasti mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes, nepateikia studentams sudėtingesnių už ką tik aptartus pavyzdžius, tai yra tų, kurių funkcija yra daugianario arba trupmenos, skaitiklis. ir kurių vardiklis yra daugianariai. Tačiau tokiais pavyzdžiais neapsiribosime, nes tarp mokytojų yra mėgėjų priversti mokinius mąstyti visapusiškai (išvestinių lentelė). Todėl bus naudojamas logaritmas ir trigonometrinė funkcija.

6 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Šios funkcijos išvestinę randame kaip produkto darinys :

Išvestinę prilyginame nuliui, kuri suteikia vieną kritinį tašką: . Tai priklauso segmentui. Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Visų veiksmų rezultatas: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus 0, taške ir taške ir didžiausia vertybė lygus e² , taške .

7 pavyzdys. Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes segmente .

Sprendimas. Mes randame šios funkcijos išvestinę:

Išvestinę prilyginkite nuliui:

Vienintelis kritinis taškas priklauso segmentui . Norėdami rasti mažiausią ir didžiausią tam tikro segmento funkcijos reikšmes, randame jos reikšmes segmento galuose ir rastame kritiniame taške:

Išvada: funkcija pasiekia mažiausią reikšmę, lygus , taške ir didžiausia vertybė, lygus , taške .

Taikant ekstremalias problemas, mažiausių (didžiausių) funkcijos reikšmių radimas, kaip taisyklė, sumažinamas iki minimumo (maksimalaus). Tačiau ne patys minimumai ar maksimumai yra labiau praktiški įdomūs, o argumento, kuriuo jie pasiekiami, vertybės. Sprendžiant taikomąsias problemas, iškyla papildomas sunkumas – funkcijų, apibūdinančių nagrinėjamą reiškinį ar procesą, kompiliavimas.

8 pavyzdys 4 talpos bakas, gretasienio formos su kvadratiniu pagrindu ir atviras viršuje, turi būti skarduotas. Kokie turi būti rezervuaro išmatavimai, kad būtų uždengtas kuo mažiau medžiagos?

Sprendimas. Leisti x- pagrindo pusė h- bako aukštis, S- jo paviršiaus plotas be dangos, V- jo tūris. Bako paviršiaus plotas išreiškiamas formule, t.y. yra dviejų kintamųjų funkcija. Išreikšti S kaip vieno kintamojo funkcija, mes naudojame tai, kad Iš kur . Rastos išraiškos pakeitimas hį formulę S:

Panagrinėkime šią funkciją ekstremumui. Jis visur apibrėžiamas ir diferencijuojamas ]0, +∞[ ir

Išvestinę prilyginame nuliui () ir randame kritinį tašką. Be to, esant , išvestinė neegzistuoja, tačiau ši reikšmė nėra įtraukta į apibrėžimo sritį ir todėl negali būti ekstremumo taškas. Taigi, vienintelis kritinis taškas. Patikrinkime, ar nėra ekstremumo, naudodami antrąjį pakankamą kriterijų. Raskime antrąją išvestinę. Kai antroji išvestinė didesnė už nulį (). Tai reiškia, kad funkcijai pasiekus minimumą . Kadangi šis minimumas – vienintelis šios funkcijos ekstremumas, tai mažiausia jos reikšmė. Taigi, bako pagrindo šonas turi būti lygus 2 m, o jo aukštis.

9 pavyzdys Iš pastraipos A, esantis prie geležinkelio linijos, iki taško SU, atstumu nuo jo l, prekes reikia gabenti. Svorio vieneto gabenimo atstumo vienetui kaina geležinkeliu lygi , o greitkeliu lygi . Iki kokio taško M linijos geležinkelis turėtų būti nutiestas greitkelis, kad būtų gabenamos prekės iš A V SU buvo ekonomiškiausias AB Manoma, kad geležinkelis yra tiesus)?

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . Randame ODZ funkcijas.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinę prilyginkite nuliui

4 . Randame intervalus, kuriais išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei intervale I funkcijos išvestinė 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN funkcijos maksimalus taškas, išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“.

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
arba lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija elgiasi intervale, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą problemų sprendimo pavyzdžių iš atviras bankas užduotys

1 . Užduotis B15 (#26695)

Ant pjūvio.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Todėl funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty ties x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra nulis ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų aišku, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3 . Užduotis B15 (#26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę intervale .

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir išvestinė pasikeičia ženklas.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kur išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norint rasti mažiausią funkcijos reikšmę intervale, reikia palyginti funkcijos reikšmes. minimaliame taške ir kairiajame atkarpos gale, .

Šiame straipsnyje kalbėsiu apie didžiausios ir mažiausios reikšmės paieškos algoritmas funkcija, minimalūs ir didžiausi taškai.

Iš teorijos mums tikrai prireiks išvestinė lentelė Ir diferenciacijos taisyklės. Viskas šioje lentoje:

Algoritmas ieškant didžiausių ir mažiausių verčių.

Man lengviau paaiškinti konkretus pavyzdys. Apsvarstykite:

Pavyzdys: Raskite didžiausią funkcijos y=x^5+20x^3–65x reikšmę atkarpoje [–4;0].

1 žingsnis. Imame išvestinę.

Y" = (x^5 + 20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

2 žingsnis Ekstremalumo taškų paieška.

ekstremalus taškasįvardijame tokius taškus, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią arba mažiausią reikšmę.

Norint rasti ekstremumo taškus, funkcijos išvestinę reikia prilyginti nuliui (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Dabar mes išsprendžiame šią bikvadratinę lygtį ir rastos šaknys yra mūsų kraštutiniai taškai.

Tokias lygtis išsprendžiu pakeisdamas t = x^2, tada 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Sumažinkite lygtį 5, gausime: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 – 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kvadratas (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kvadratas (196)) / 2 = (-12 - 14) / 2 = -13

Atliekame atvirkštinį pakeitimą x^2 = t:

X_(1 ir 2) = ± kvadratas (1) = ±1
x_(3 ir 4) = ± sqrt(-13) (neįtraukiame, po šaknimi negali būti neigiamų skaičių, nebent, žinoma, kalbame apie kompleksinius skaičius)

Iš viso: x_(1) = 1 ir x_(2) = -1 – tai mūsų ekstremumo taškai.

3 veiksmas Nustatykite didžiausią ir mažiausią vertę.

Pakeitimo metodas.

Esant sąlygai, mums buvo suteiktas segmentas [b][–4;0]. Taškas x=1 į šį segmentą neįtrauktas. Taigi mes to nesvarstome. Tačiau be taško x=-1, mes taip pat turime atsižvelgti į kairiąją ir dešiniąją mūsų atkarpos ribas, tai yra, taškus -4 ir 0. Norėdami tai padaryti, visus šiuos tris taškus pakeičiame pradine funkcija. Atkreipkite dėmesį, kad pirminis yra tas, kuris pateiktas sąlygoje (y=x^5+20x^3–65x), kai kurie pradeda keisti išvestine...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044

Tai reiškia, kad maksimali funkcijos reikšmė yra [b]44 ir ji pasiekiama taškuose [b]-1, kuris vadinamas maksimaliu funkcijos tašku atkarpoje [-4; 0].

Nusprendėme ir gavome atsakymą, mes puikūs, galite atsipalaiduoti. Bet sustok! Ar nemanote, kad skaičiuoti y(-4) yra kažkaip per sudėtinga? Riboto laiko sąlygomis geriau naudoti kitą metodą, aš jį vadinu taip:

Per pastovumo intervalus.

Šios spragos randamos funkcijos išvestinei, tai yra mūsų bikvadratinei lygčiai.

Aš tai darau tokiu būdu. Nubrėžiu kryptinę liniją. Aš nustatau taškus: -4, -1, 0, 1. Nepaisant to, kad 1 nėra įtrauktas į pateiktą segmentą, vis tiek reikia įsidėmėti, kad būtų galima teisingai nustatyti pastovumo intervalus. Paimkime kokį nors skaičių, daug kartų didesnį už 1, tarkime 100, mintyse pakeiskime jį į mūsų bikvadratinę lygtį 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Net ir nieko neskaičiuojant tampa akivaizdu, kad taške 100 funkcija turi pliuso ženklą. Tai reiškia, kad intervalams nuo 1 iki 100 jis turi pliuso ženklą. Eidami per 1 (einame iš dešinės į kairę), funkcija pakeis ženklą į minusą. Eidama per tašką 0, funkcija išsaugos savo ženklą, nes tai tik atkarpos riba, o ne lygties šaknis. Perėjus per -1, funkcija vėl pakeis ženklą į pliusą.

Iš teorijos žinome, kad kur yra funkcijos išvestinė (ir mes tai nubrėžėme) pakeičia ženklą iš pliuso į minusą (mūsų atveju taškas -1) funkcija pasiekia jo vietinis maksimumas (y(-1) = 44, kaip apskaičiuota anksčiau)šiame segmente (logiškai labai aišku, funkcija nustojo didėti, nes pasiekė maksimumą ir pradėjo mažėti).

Atitinkamai, kur funkcijos išvestinė pakeičia ženklą iš minuso į pliusą, pasiektas funkcijos lokalus minimumas. Taip, taip, mes taip pat radome vietinį minimalų tašką, kuris yra 1, o y(1) yra mažiausia funkcijos reikšmė intervale, tarkime, nuo -1 iki +∞. Atminkite, kad tai tik VIETINIS MINIMALUMAS, ty minimumas tam tikrame segmente. Kadangi tikroji (pasaulinė) minimumo funkcija pasieks kažkur ten, į -∞.

Mano nuomone, pirmasis metodas yra paprastesnis teoriškai, o antrasis – paprastesnis aritmetinių veiksmų atžvilgiu, bet daug sunkesnis teorijos požiūriu. Juk kartais pasitaiko atvejų, kai eidama pro lygties šaknį funkcija nekeičia ženklo ir iš tiesų gali susipainioti su šiomis lokalinėmis, globaliomis maksimumomis ir minimumais, nors planuojant vis tiek teks gerai ją įvaldyti. įstoti į technikos universitetą (o už ką dar duoti profilio egzaminas ir išspręsti šią problemą). Tačiau praktika ir tik praktika išmokys tokias problemas išspręsti kartą ir visiems laikams. Ir jūs galite treniruotis mūsų svetainėje. čia .

Jei turite klausimų arba kažkas neaišku, būtinai klauskite. Mielai jums atsakysiu, pakeisiu, papildysiu straipsnį. Atminkite, kad šią svetainę kuriame kartu!

Populiarus kategorijoje: