ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം എവിടെയാണ് വിഭജിക്കുന്നത്? ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെല്ലാം

വലത് ത്രികോണ ഉയര സിദ്ധാന്തം

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഉയരം, വലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച എബിസി നീളം, നീളത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസസിനെ വിഭജിക്കുകയും കാലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ശരിയാണ്:

·

·

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

· മൈതാനങ്ങൾഉയരങ്ങൾ ഓർത്തോട്രിയാംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന് അതിൻ്റേതായ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിളിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള വൃത്തം യൂലർ വൃത്തമാണ്. ഈ വൃത്തത്തിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ മൂന്ന് മധ്യ പോയിൻ്റുകളും ഓർത്തോസെൻ്ററിനെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ മൂന്ന് മധ്യ പോയിൻ്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അവസാന വസ്തുവിൻ്റെ മറ്റൊരു രൂപീകരണം:

· ഒൻപത് പോയിൻ്റ് സർക്കിളിനുള്ള യൂലറുടെ സിദ്ധാന്തം.

മൈതാനങ്ങൾമൂന്ന് ഉയരങ്ങൾഏകപക്ഷീയമായ ത്രികോണം, അതിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും മധ്യബിന്ദു ( അതിൻ്റെ ആന്തരിക അടിത്തറമീഡിയനുകൾ) അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളെ ഓർത്തോസെൻ്ററുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ, എല്ലാം ഒരേ വൃത്തത്തിൽ (ഓൺ ഒമ്പത് പോയിൻ്റ് സർക്കിൾ).

· സിദ്ധാന്തം. ഏത് ത്രികോണത്തിലും, സെഗ്മെൻ്റ് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു മൈതാനങ്ങൾരണ്ട് ഉയരങ്ങൾത്രികോണം, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ ഒരു ത്രികോണം മുറിക്കുന്നു.

· സിദ്ധാന്തം. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, സെഗ്മെൻ്റ് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു മൈതാനങ്ങൾരണ്ട് ഉയരങ്ങൾരണ്ട് വശങ്ങളിൽ കിടക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ സമാന്തരമായിഒരു മൂന്നാം കക്ഷിക്ക്, അവനുമായി ഒരു പൊതു നിലയും ഇല്ല. ഒരു വൃത്തം എല്ലായ്പ്പോഴും അതിൻ്റെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളിലൂടെയും മൂന്നാമത്തെ സൂചിപ്പിച്ച വശത്തിൻ്റെ രണ്ട് ലംബങ്ങളിലൂടെയും വരയ്ക്കാം.

ത്രികോണ ഉയരത്തിൻ്റെ മറ്റ് സവിശേഷതകൾ

· ത്രികോണമാണെങ്കിൽ ബഹുമുഖമായ (സ്കെയിലൻ), പിന്നെ അത് ആന്തരികംഏതെങ്കിലും ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ദ്വിഭാഗം അതിനിടയിലാണ് ആന്തരികംഒരേ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച മധ്യവും ഉയരവും.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം വ്യാസവുമായി (ആരം) സമകോണാകൃതിയിൽ സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു വൃത്താകൃതി, ഒരേ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ചത്.

· ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട് ഉയരങ്ങൾഅതിൽ നിന്ന് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ മുറിക്കുക.

· ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഉയരംവലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ചത്, യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന് സമാനമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉയരത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉയരത്തിന് നിരവധി തീവ്ര ഗുണങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്:

· ത്രികോണത്തിൻ്റെ തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന വരകളിലേക്ക് ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഓർത്തോഗണൽ പ്രൊജക്ഷന് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഉയരത്തിന് തുല്യമായ നീളമുണ്ട്.

ഒരു കർക്കശമായ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റ് വലിക്കാൻ കഴിയുന്ന വിമാനത്തിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ നേരായ കട്ടിന് ഈ പ്ലേറ്റിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഉയരത്തിന് തുല്യമായ നീളം ഉണ്ടായിരിക്കണം.

· ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവിൽ പരസ്പരം രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തുടർച്ചയായി നീങ്ങുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ മീറ്റിംഗിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേതിലേക്കുള്ള ചലനത്തിനിടയിൽ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള പരമാവധി ദൂരം ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഉയരത്തിൻ്റെ നീളത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കരുത്.

· ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉയരം എല്ലായ്പ്പോഴും ആ ത്രികോണത്തിനകത്താണ്.

അടിസ്ഥാന ബന്ധങ്ങൾ

· ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എവിടെയാണ്, ഉയരം താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം.

· എവിടെയാണ് വശങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം, ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം

· ,

ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം എവിടെയാണ്.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എവിടെയാണ്.

ഉയരം താഴുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശം എവിടെയാണ്.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം അടിത്തറയിലേക്ക് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്നു:

അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണ്.

· - ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിലെ ഉയരം.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിലെ മീഡിയനുകളും ഉയരങ്ങളും

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മീഡിയനുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നും 2:1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് എണ്ണുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രംത്രികോണം. സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളിൽ മീഡിയനുകളും ഉയരങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണം ABC പരിഗണിക്കുക. AA1, BB1 എന്നിവയുടെ മധ്യഭാഗത്തെ O എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം, കൂടാതെ ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മധ്യരേഖ A1B1 വരയ്ക്കുക, A1B1 എന്ന ഭാഗം AB വശത്തിന് സമാന്തരമാണ് , അതുപോലെ 3 ഉം 4 ഉം കോണുകൾ AA1, BB1 എന്നീ സെക്കൻ്റുകളാൽ AB, A1B1 എന്നീ സമാന്തര രേഖകളുടെ കവലയിൽ ക്രോസ്‌വൈസ് കോണുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, AOB, A1OB1 എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ രണ്ട് കോണുകളിൽ സമാനമാണ്, അതിനാൽ അവയുടെ വശങ്ങൾ ആനുപാതികമാണ്: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. എന്നാൽ AB=2⋅A1B1, അതിനാൽ AO=2⋅A1O, BO=2⋅B1O. അങ്ങനെ, AA1, BB1 എന്നീ മീഡിയനുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് O അവ ഓരോന്നും ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് 2: 1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു. അതുപോലെ, BB1, CC1 എന്നീ മീഡിയനുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് ഓരോന്നിനെയും ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് എണ്ണുന്ന 2:1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്നും അതിനാൽ O എന്ന ബിന്ദുവുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്നും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ, ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് മീഡിയനുകളും ഛേദിക്കുന്നത് പോയിൻ്റ് O, മുകളിൽ നിന്ന് എണ്ണുന്നത് 2: 1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

m₁=1 എന്ന കോണിൻ്റെ ലംബങ്ങളിൽ, പിന്നെ A₁,B₁,C₁, m₂=2 എന്ന ബിന്ദുക്കൾ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുകളായതിനാൽ അവ സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വിഭജിക്കുന്ന AA₁,BB₁,CC₁ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ, AO-l₁, OA₁-l₂ (തോളുകൾ) ഉള്ള ഫുൾക്രം O ഉള്ള ലിവറുകൾക്ക് സമാനമാണെന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. കൂടാതെ F₁/F₂=l₁/l₂ എന്ന ഫിസിക്കൽ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, F=m*g, g-const എന്നിടത്ത്, അതനുസരിച്ച് അത് കുറയുന്നു, അത് m₁/m₂=l₁/l₂ അതായത്. ½=1/2.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഓർത്തോട്രിയാംഗിൾ

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഉയരങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ഈ പോയിൻ്റിനെ ഓർത്തോസെൻ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിളിൻ്റെ അടുത്തുള്ള രണ്ട് വശങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ വശവുമായി തുല്യ കോണുകളായി മാറുന്നു

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരങ്ങൾ ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിളിൻ്റെ ബൈസെക്ടറുകളാണ്

ഒരു നിശ്ചിത ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ ചുറ്റളവുള്ള ത്രികോണമാണ് ഓർത്തോട്രിയാംഗിൾ (ഫഗ്നാനോ പ്രശ്നം)

· ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിളിൻ്റെ ചുറ്റളവ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെയും അത് ഉത്ഭവിക്കുന്ന കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും ഇരട്ടി ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

· എബിസിയുടെ നിശിത ത്രികോണത്തിൻ്റെ BC, AC, AB വശങ്ങളിലുള്ള A 1, B 1, C 1 എന്നിവ യഥാക്രമം അത്തരത്തിലുള്ളവയാണ്.

പിന്നീട് ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിൾ ആണ്.

ഓർത്തോട്രിയാംഗിൾ ഇതിന് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളെ മുറിക്കുന്നു

ഒരു ഓർത്തോട്രിയാംഗിളിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗങ്ങളുടെ വസ്തുവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-ബൈസെക്ടർ ∟B₁C₁A

AA₁-ബൈസെക്ടർ ∟B₁A₁C₁

BB₁-ബൈസെക്ടർ ∟A₁B₁C₁

ഒരു ത്രികോണം എന്നത് മൂന്ന് വശങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് ലിങ്കുകളുള്ള ഒരു അടഞ്ഞ തകർന്ന വര, അല്ലെങ്കിൽ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്ത മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിച്ച് മൂന്ന് സെഗ്മെൻ്റുകളാൽ രൂപപ്പെട്ട ഒരു ചിത്രം (ചിത്രം 1 കാണുക).

എബിസി ത്രികോണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങൾ

കൊടുമുടികൾ - പോയിൻ്റുകൾ എ, ബി, സി;

പാർട്ടികൾ - സെഗ്മെൻ്റുകൾ a = BC, b = AC, c = AB എന്നിവ ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു;

കോണുകൾ - α, β, γ മൂന്ന് ജോഡി വശങ്ങളാൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു. എ, ബി, സി എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകൾ പലപ്പോഴും ലംബങ്ങളുടെ അതേ രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ രൂപീകരിച്ച് അതിൻ്റെ ഉൾഭാഗത്ത് കിടക്കുന്ന കോണിനെ ഇൻ്റീരിയർ ആംഗിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനോട് ചേർന്നുള്ളത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തൊട്ടടുത്ത കോണാണ് (2, പേജ് 534).

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം, മീഡിയനുകൾ, ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ, മധ്യരേഖകൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിലെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾക്ക് പുറമേ, രസകരമായ ഗുണങ്ങളുള്ള മറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റുകളും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു: ഉയരങ്ങൾ, മീഡിയനുകൾ, ബൈസെക്ടറുകൾ, മധ്യരേഖകൾ.

ഉയരം

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം- ഇവ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളിൽ നിന്ന് എതിർവശങ്ങളിലേക്ക് വീഴുന്ന ലംബങ്ങളാണ്.

ഉയരം പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യണം:

1) ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിലൊന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക (ഉയരം ഒരു നിശിത കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ചാൽ);

2) വരച്ച വരയ്‌ക്ക് എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്ന ശീർഷത്തിൽ നിന്ന്, പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഈ വരയിലേക്ക് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് വരയ്ക്കുക, അതിനൊപ്പം 90 ഡിഗ്രി കോണുണ്ടാക്കുക.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശവുമായി ഉയരത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു ഉയരം അടിസ്ഥാനം (ചിത്രം 2 കാണുക).

ത്രികോണ ഉയരത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, വലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരയ്ക്കുന്ന ഉയരം അതിനെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിന് സമാനമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിൽ, അതിൻ്റെ രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളെ ഛേദിച്ചുകളയും.

ത്രികോണം നിശിതമാണെങ്കിൽ, ഉയരത്തിൻ്റെ എല്ലാ അടിത്തറകളും ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ പെടുന്നു, കൂടാതെ ഒരു മങ്ങിയ ത്രികോണത്തിൽ, രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ വശങ്ങളുടെ തുടർച്ചയിൽ വീഴുന്നു.

ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിലെ മൂന്ന് ഉയരങ്ങൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ഈ പോയിൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോസെൻ്റർ ത്രികോണം.

മീഡിയൻ

മീഡിയൻസ്(ലാറ്റിൻ മീഡിയാനയിൽ നിന്ന് - "മധ്യഭാഗം") - ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങളെ എതിർ വശങ്ങളുടെ മധ്യഭാഗങ്ങളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളാണ് ഇവ (ചിത്രം 3 കാണുക).

മീഡിയൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യണം:

1) വശത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം കണ്ടെത്തുക;

2) ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിലുള്ള പോയിൻ്റ് എതിർ ശീർഷവുമായി ഒരു സെഗ്മെൻ്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുക.

ത്രികോണ മീഡിയനുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

മീഡിയൻ ഒരു ത്രികോണത്തെ തുല്യ വിസ്തീർണ്ണമുള്ള രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മീഡിയനുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നും 2:1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് എണ്ണുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം ത്രികോണം.

മുഴുവൻ ത്രികോണത്തെയും അതിൻ്റെ മീഡിയനുകളാൽ ആറ് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ബൈസെക്ടർ

ദ്വിമുഖങ്ങൾ(ലാറ്റിൻ ബിസ് - രണ്ടുതവണ, സെക്കോ - കട്ട് എന്നിവയിൽ നിന്ന്) ഒരു ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ അതിൻ്റെ കോണുകളെ വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖ സെഗ്മെൻ്റുകളാണ് (ചിത്രം 4 കാണുക).

ഒരു ബൈസെക്ടർ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യണം:

1) കോണിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഒരു കിരണത്തെ നിർമ്മിക്കുകയും അതിനെ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുക (കോണിൻ്റെ ദ്വിമുഖം);

2) എതിർവശത്തുള്ള ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ബൈസെക്ടറിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക;

3) ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തെ എതിർവശത്തുള്ള ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

ത്രികോണ ബൈസെക്ടറുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം എതിർ വശത്തെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ അനുപാതത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിനെ ലിഖിത വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ ലംബമാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ബാഹ്യകോണിൻ്റെ ദ്വിവിഭാഗം എതിർ വശത്തിൻ്റെ വിപുലീകരണത്തെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ADBD=ACBC.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു ആന്തരിക കോണിൻ്റെയും രണ്ട് ബാഹ്യ കോണുകളുടെയും ബൈസെക്ടറുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ ബിന്ദുവാണ് ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വൃത്തങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ കേന്ദ്രം.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഇൻ്റീരിയർ കോണുകളുടെയും ഒരു ബാഹ്യകോണിൻ്റെയും ബൈസെക്ടറുകളുടെ അടിത്തറ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു, ബാഹ്യകോണിൻ്റെ ദ്വിഭാഗം ത്രികോണത്തിൻ്റെ എതിർവശത്തിന് സമാന്തരമല്ലെങ്കിൽ.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ബാഹ്യകോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ എതിർ വശങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമല്ലെങ്കിൽ, അവയുടെ അടിത്തറ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു.

പൂർണ്ണമായും ഗണിതശാസ്ത്രപരവും പ്രായോഗികവുമായ സ്വഭാവമുള്ള (പ്രത്യേകിച്ച് നിർമ്മാണത്തിൽ) വിവിധ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ ഈ മൂല്യം (ഉയരം) എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ഒരൊറ്റ വരിയിൽ ഇല്ലാത്ത ജോഡികളായി 3 പോയിൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിച്ചാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രം ഒരു ത്രികോണമായിരിക്കും. ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ശിഖരത്തിൽ നിന്നുള്ള നേർരേഖയുടെ ഭാഗമാണ് ഉയരം, അത് എതിർവശവുമായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ 90° കോണായി മാറുന്നു.

ഒരു സ്കെയിൽ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുക

ചിത്രത്തിന് അനിയന്ത്രിതമായ കോണുകളും വശങ്ങളും ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

ഹെറോണിൻ്റെ ഫോർമുല

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c))/a, എവിടെ

p - ചിത്രത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവിൻ്റെ പകുതി, h (a) - a വശത്തേക്ക് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ്, അതിലേക്ക് വലത് കോണിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു,

p=(a+b+c)/2 - അർദ്ധപരിധിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് h(a)=2S/a എന്ന ബന്ധം ഉപയോഗിക്കാം.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ

a വശവുമായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഒരു വലത് കോണുണ്ടാക്കുന്ന ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം: വശം b, ആംഗിൾ γ അല്ലെങ്കിൽ സൈഡ് c, ആംഗിൾ β എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ, h(a)=b*sinγ അല്ലെങ്കിൽ h(a)=c *sinβ.
എവിടെ:
γ - ബി, എ എന്നീ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ,
β എന്നത് c യും a വശവും തമ്മിലുള്ള കോണാണ്.

ആരവുമായുള്ള ബന്ധം

യഥാർത്ഥ ത്രികോണം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഉയരം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം ഉപയോഗിക്കാം. എല്ലാ 3 ഉയരങ്ങളും (ഓരോ ശീർഷത്തിൽ നിന്നും) കൂടിച്ചേരുന്ന സ്ഥലത്താണ് അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് - ഓർത്തോസെൻ്റർ, അതിൽ നിന്ന് ശീർഷത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം (ഏതെങ്കിലും) ആരമാണ്.

അപ്പോൾ h(a)=bc/2R, എവിടെ:
b, c - ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് 2 വശങ്ങൾ,
R എന്നത് ത്രികോണത്തെ ചുറ്റുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരമാണ്.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഉയരം കണ്ടെത്തുക

ഈ തരത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിൽ, 2 വശങ്ങൾ, വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഒരു വലത് കോണായി - 90 °. അതിനാൽ, അതിൽ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒന്നുകിൽ കാലുകളുടെ വലുപ്പം അല്ലെങ്കിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് ഉപയോഗിച്ച് 90 ° രൂപപ്പെടുന്ന സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ വലുപ്പം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിയോഗിക്കുമ്പോൾ:
a, b - കാലുകൾ,
c - ഹൈപ്പോടെൻസ്,
h (c) - ഹൈപ്പോടെൻസിന് ലംബമായി.
ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം:

• പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, കാരണം S=ab/2, തുടർന്ന് h(c)=ab/c.

• ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുക

ഈ ജ്യാമിതീയ രൂപം തുല്യ വലുപ്പത്തിലുള്ള രണ്ട് വശങ്ങളും മൂന്നാമത്തേത് - അടിത്തറയും കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ, വ്യത്യസ്തമായ വശത്തേക്ക് വരച്ച ഉയരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നൊട്ടേഷൻ സഹിതം
എ - വശം,
സി - അടിസ്ഥാനം,
h(c) എന്നത് 90° കോണിൽ c-ലേക്കുള്ള ഒരു സെഗ്മെൻ്റാണ്, തുടർന്ന് h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഗുണങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും വിവരണവും പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളും പാഠത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അനുയോജ്യമായ ഒരു പ്രശ്നത്തിന് നിങ്ങൾ പരിഹാരം കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ - ഫോറത്തിൽ അതിനെക്കുറിച്ച് എഴുതുക. തീർച്ചയായും കോഴ്സ് സപ്ലിമെൻ്റ് ആയിരിക്കും.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം- ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് ലംബമായി താഴേക്ക്, ശീർഷത്തിന് എതിർവശത്തേക്ക് അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ തുടർച്ചയിലേക്ക് വരച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടികൾത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം: ഒരു ത്രികോണത്തിലെ രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ത്രികോണം ഐസോസിലിസ് ആണ് ഏതൊരു ത്രികോണത്തിലും, ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഉയരങ്ങളുടെ അടിത്തറയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ ഒരു ത്രികോണത്തെ മുറിച്ചുമാറ്റുന്നു. ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, രണ്ട് വശങ്ങളിൽ കിടക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഉയരങ്ങളുടെ അടിത്തറയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം മൂന്നാം വശത്തിന് സമാന്തരമല്ല, അതിന് പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. അതിൻ്റെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളിലൂടെയും ഈ വശത്തിൻ്റെ രണ്ട് ലംബങ്ങളിലൂടെയും നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കാം ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിൽ, അതിൻ്റെ രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളെ ഛേദിച്ചുകളയും ഒരു ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉയരം എല്ലായ്പ്പോഴും ആ ത്രികോണത്തിനുള്ളിലാണ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓർത്തോസെൻ്റർ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഉയരങ്ങളും (മൂന്ന് ലംബങ്ങളിൽ നിന്ന് വരച്ചത്) ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഓർത്തോസെൻ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉയരങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ വരച്ചാൽ മതിയാകും (രണ്ട് വരികൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ മാത്രം വിഭജിക്കുന്നു). ഓർത്തോസെൻ്ററിൻ്റെ സ്ഥാനം (പോയിൻ്റ് O) നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ചാണ്. ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിന്, ഉയരങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തലത്തിലാണ്. (ചിത്രം 1). ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഉയരങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് വലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷകവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 2). ഒരു മങ്ങിയ ത്രികോണത്തിന്, ഉയരങ്ങളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ തലത്തിന് പിന്നിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 3). ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ അടിത്തട്ടിലേക്ക് വരച്ച മധ്യഭാഗം, ദ്വിമുഖം, ഉയരം എന്നിവ തുല്യമാണ്. ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിൽ, മൂന്ന് "ശ്രദ്ധേയമായ" വരികളും (ഉയരം, ദ്വിമുഖം, മധ്യഭാഗം) സമന്വയിക്കുകയും മൂന്ന് "ശ്രദ്ധേയമായ" പോയിൻ്റുകൾ (ഓർത്തോസെൻ്ററിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ, ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം, ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ സർക്കിളുകളുടെ കേന്ദ്രം) സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് "ശ്രദ്ധേയമായ" വരികളുടെ കവലയുടെ അതേ പോയിൻ്റ്, അതായത്. പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഉയർന്ന ത്രികുട്നിക ട്രൈക്യൂബിറ്റ്യൂളിൻ്റെ ഉയരം ട്രൈക്യൂബിറ്റ്യൂളിൻ്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ലംബമായി താഴേക്ക് ഇറങ്ങുന്നു, പ്രോട്ടിഡൽ അഗ്രത്തിലോ അതിൻ്റെ വിപുലീകരണത്തിലോ വരയ്ക്കുന്നു. ട്രൈക്യുബിറ്റസിൻ്റെ മൂന്ന് ഉയരങ്ങളും (മൂന്ന് ലംബങ്ങളിൽ നിന്ന് വരയ്ക്കുന്നത്) ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അതിനെ ഓർത്തോസെൻ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ക്രോസ്-ഹൈറ്റുകളുടെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ രണ്ട് ഉയരങ്ങൾ വരയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് (രണ്ട് നേർരേഖകൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ മാത്രം കടന്നുപോകുന്നു). ഓർത്തോസെൻ്ററിൻ്റെ സ്ഥാനം (പോയിൻ്റ് O) നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ട്രൈകുപുടൈഡിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ചാണ്. Gostrokutny trikutnik-ൽ, ഉയരം കടക്കുന്ന പോയിൻ്റ് trikutnik-ൻ്റെ തലത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. (മൽ.1). സ്ട്രെയിറ്റ് കട്ട് ട്രൈക്കറ്റിൽ, കുരിശിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് നേരായ കട്ടിൻ്റെ അഗ്രവുമായി കണ്ടുമുട്ടുന്നു (മാൽ. 2). ഒരു ചരിഞ്ഞ കോണുള്ള ട്രൈക്കുട്ട്‌നിക്കിൽ, ഉയരങ്ങളുടെ ക്രോസ്-ലൈനിൻ്റെ പോയിൻ്റ് ത്രികുട്ട്‌നിക്കിൻ്റെ പരന്നതിന് പിന്നിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (Mal.3). ഐസോസ്ഫെമറൽ ട്രൈക്കുലസിൽ, ട്രൈക്യുട്ടിനിയത്തിൻ്റെ അടിഭാഗത്തേക്ക് വരച്ചിരിക്കുന്ന മീഡിയൻ, ദ്വിവിഭാഗം, ഉയരം എന്നിവ തുല്യമാണ്. ഒരു സമഭുജ ട്രൈക്യൂബിറ്റസിൽ, മൂന്ന് "അടയാളപ്പെടുത്തിയ" വരികളും (ഉയരം, ദ്വിഭാഗം, മീഡിയൻ) കൂടിച്ചേരുകയും മൂന്ന് "അടയാളപ്പെടുത്തിയ" പോയിൻ്റുകൾ (ഓർത്തോസെൻ്റർ പോയിൻ്റുകൾ, ലൈനിൻ്റെ മധ്യഭാഗം, ആലേഖനം ചെയ്തതും വിവരിച്ചതുമായ വൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം) ഒരു ബിന്ദുവിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു "വൃത്തികെട്ട" ലൈനുകളുടെ വെബ്ബിംഗ്, അപ്പോൾ അവയും ഒഴിവാക്കപ്പെടും.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിനാണ് ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഒരു വശത്തിൻ്റെ നീളം അനുബന്ധ കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു ചെറിയ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് പൊതുവായ നിയമം. അതായത്, A വശം A കോണിൻ്റെ എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്നു.
സൂത്രവാക്യങ്ങളിലെ ഉയരം h എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് അത് താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന വശവുമായി യോജിക്കുന്നു.

മറ്റ് പദവികൾ:
a,b,c- ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം
എച്ച് എ- എതിർ കോണിൽ നിന്ന് a വശത്തേക്ക് വരച്ച ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം
എച്ച് ബി- വശത്തേക്ക് വരച്ച ഉയരം b
എച്ച് സി- ഉയരം c വശത്തേക്ക് വരച്ചിരിക്കുന്നു
ആർ- ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം
ആർ- ആലേഖനം ചെയ്ത വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം

സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള വിശദീകരണങ്ങൾ.
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം, ഈ ഉയരം ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്ന കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശത്തിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെയും ഈ വശത്തിനും ഈ ഉയരം ഒഴിവാക്കിയ വശത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനും തുല്യമാണ് (ഫോർമുല 1)
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ ഉയരം താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന വശത്തിൻ്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ (ഫോർമുല 2)
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരം, ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിൻ്റെ ദൂരത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി ദൂരത്താൽ ഈ ഉയരം ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്ന കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തെ വിഭജിക്കുന്ന ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ് (ഫോർമുല 4).
ഒരു ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ ഉയരങ്ങൾ ഒരേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിൻ്റെ വിപരീത അനുപാതങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന അതേ അനുപാതത്തിൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ ജോഡി ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ഒരു പൊതു ആംഗിൾ ഒരേ അനുപാതത്തിൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (ഫോർമുല 5).
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരങ്ങളുടെ പരസ്പര മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അത്തരം ഒരു ത്രികോണത്തിൽ (ഫോർമുല 6) ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിൻ്റെ ആരത്തിൻ്റെ പരസ്പര മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഉയരത്തിൻ്റെ നീളത്തിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും (ഫോർമുല 7)
7, 2 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച് ഉയരം താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്താനാകും.

ചുമതല .

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ABC (ആംഗിൾ C = 90 0) ഉയരത്തിൽ CD വരയ്ക്കുന്നു. AD = 9 cm, BD = 16 cm ആണെങ്കിൽ CD നിർണ്ണയിക്കുക

പരിഹാരം.

ABC, ACD, CBD എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ പരസ്പരം സമാനമാണ്. ഇത് സമാനതയുടെ രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു (ഈ ത്രികോണങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ തുല്യത വ്യക്തമാണ്).

പരസ്പരം സമാനമായതും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിനും സമാനമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി മുറിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരേയൊരു തരം ത്രികോണമാണ് വലത് ത്രികോണങ്ങൾ.

ഈ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളുടെ പദവികൾ ഈ ക്രമത്തിൽ: ABC, ACD, CBD. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ ഒരേസമയം ലംബങ്ങളുടെ കത്തിടപാടുകൾ കാണിക്കുന്നു. (ത്രികോണം ABC യുടെ ശീർഷകം A ത്രികോണം ACD യുടെ ശീർഷകം A, CBD യുടെ ശീർഷകം C എന്നിവയുമായി യോജിക്കുന്നു.)

ABC, CBD എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ സമാനമാണ്. അർത്ഥം:

AD/DC = DC/BD, അതായത്

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിൽ പ്രശ്നം.

ത്രികോണം ABC ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, C ഒരു വലത് കോണാണ്. അതിൽ നിന്ന് ഉയരം സിഡി = 6 സെ.മീ. സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം BD-AD=5 സെ.മീ.

കണ്ടെത്തുക: ABC ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ.

പരിഹാരം.

1. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ഉണ്ടാക്കാം

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

CD=6 മുതൽ

BD-AD=5 മുതൽ, അപ്പോൾ

BD = AD+5, അപ്പോൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം രൂപം എടുക്കുന്നു

36+(AD+5) 2 =BC 2

ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം. ഇടത് വശം ഇടത്തോട്ടും വലതുഭാഗം വലത്തോട്ടും ചേർത്തതിനാൽ സമത്വം ലംഘിക്കപ്പെടില്ല. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. ഇപ്പോൾ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുമ്പോൾ, അതേ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, തുല്യത തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

AC 2 +BC 2 =AB 2

AB=BD+AD ആയതിനാൽ, സമവാക്യം ഇങ്ങനെയാകുന്നു:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

BD-AD=5 ആയതിനാൽ, BD = AD+5, പിന്നെ

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. ഇപ്പോൾ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും ഭാഗങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ നോക്കാം. അതായത്:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

അവയ്‌ക്ക് ഒരു പൊതു ഭാഗം AC 2 + BC 2 ഉണ്ട്. അതിനാൽ, നമുക്ക് അവയെ പരസ്പരം തുല്യമാക്കാം.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+എഡി 2 +10എഡി+25+എഡി 2 =4എഡി 2 +20എഡി+25

2AD 2 -10AD+72=0

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ, വിവേചനം യഥാക്രമം D=676 ന് തുല്യമാണ്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്:

സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ റൂട്ട് നിരസിക്കുന്നു.

യഥാക്രമം

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

AC = റൂട്ട് (52)

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്തെ സർക്കാർ അധികാരികളുടെ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.