Хоёр тооны нийтлэг үржвэрийг олох. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Тодорхойлолт 2

Хэрэв а натурал тоо нь $b$ натурал тоонд хуваагддаг бол $b$-г $a$-ын хуваагч, $a$ тоог $b$-ын үржвэр гэнэ.

$a$ ба $b$ натурал тоо байг. $c$ тоог $a$ ба $b$ хоёрын нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эдгээр хуваагчдын аль нь ч $a$-аас их байж болохгүй тул $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагчдын олонлог хязгаарлагдмал байна. Энэ нь эдгээр хуваагчдын дунд хамгийн том нь байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашигладаг:

$gcd \ (a;b) \ эсвэл \ D \ (a;b)$

Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олохын тулд:

1. 2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

Жишээ 1

$121$ ба $132.$ тоонуудын gcd-г ол

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно уу

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$gcd=2\cdot 11=22$

Жишээ 2

$63$ ба $81$ мономиалуудын GCD-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний тулд:

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлаад үзье

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Бид эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно

$63=3\cdot 3\cdot 7$

81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг олцгооё. Үр дүн нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

$gcd=3\cdot 3=9$

Та тоо хуваагчийн багцыг ашиглан хоёр тооны GCD-ийг өөр аргаар олох боломжтой.

Жишээ 3

$48$ ба $60$ тоонуудын gcd-г ол.

Шийдэл:

$48$-ын хуваагчийн багцыг ол: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Одоо $60$ хуваагчийн олонлогийг олцгооё:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Эдгээр олонлогуудын огтлолцлыг олцгооё: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - энэ олонлог нь $48$ ба $60 тоонуудын нийтлэг хуваагчдыг тодорхойлно. доллар. Энэ багцын хамгийн том элемент нь $12$ байх болно. Тэгэхээр $48$ ба $60$-ын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь $12$ байна.

NOC-ийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 3

натурал тооны нийтлэг үржвэр$a$ ба $b$ нь $a$ ба $b$ хоёрын үржвэр болох натурал тоо юм.

Тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь анхны тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд юм.Жишээ нь $25$ ба $50$ тоонуудын хувьд нийтлэг үржвэр нь $50,100,150,200$ гэх мэт тоонууд байх болно.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлээд LCM$(a;b)$ эсвэл K$(a;b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр тооны LCM-ийг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1. Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах
2. Эхний тооны нэг хэсэг болох хүчин зүйлсийг бичээд эхний тоонд ордоггүй хоёр дахь тоонд багтах хүчин зүйлсийг нэмнэ үү.

Жишээ 4

$99$ ба $77$ тоонуудын LCM-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний төлөө

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Эхний хэсэгт орсон хүчин зүйлсийг бич

Тэдэнд хоёр дахь хэсэг болох хүчин зүйлсийг нэмээд эхнийх рүү орохгүй

2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд нь хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Тоон хуваагчдын жагсаалтыг гаргах нь ихэвчлэн маш их цаг хугацаа шаарддаг. Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг GCD-ийг олох арга бий.

Евклидийн алгоритм дээр үндэслэсэн мэдэгдлүүд:

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоо бөгөөд $a\vdots b$ бол $D(a;b)=b$

Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоонууд бол $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-г ашигласнаар бид аль нэг нь нөгөөдөө хуваагдах хос тоонд хүрэх хүртэл авч үзэж буй тоонуудыг дараалан бууруулж болно. Дараа нь эдгээр тоонуудаас бага нь $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч байх болно.

GCD болон LCM-ийн шинж чанарууд

1. $a$ ба $b$-ын аливаа нийтлэг үржвэр нь K$(a;b)$-д хуваагдана
2. Хэрэв $a\vdots b$ бол K$(a;b)=a$ болно

Хэрэв K$(a;b)=k$ ба $m$-натурал тоо бол K$(am;bm)=km$

Хэрэв $d$ нь $a$ ба $b$-ийн нийтлэг хуваагч бол K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Хэрэв $a\vdots c$ болон $b\vdots c$ бол $\frac(ab)(c)$ нь $a$ ба $b$-ын нийтлэг үржвэр болно.

Аливаа натурал тоо $a$ ба $b$-ийн хувьд тэгш байдал

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ ба $b$-н нийтлэг хуваагч нь $D(a;b)$-ийн хуваагч юм.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь арифметикийн үндсэн ойлголтууд бөгөөд танд хялбархан ажиллах боломжийг олгодог. энгийн бутархай. LCM ба хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндсэн ойлголтууд

Бүхэл тооны хуваагч нь X нь үлдэгдэлгүй хуваагддаг өөр нэг бүхэл тоо юм. Жишээлбэл, 4-ийн хуваагч нь 2, 36 нь 4, 6, 9. Бүхэл X-ийн үржвэр нь X-д үлдэгдэлгүй хуваагдах Y тоо юм. Жишээлбэл, 3 нь 15-ын үржвэр, 6 нь 12-ын үржвэр юм.

Аливаа хос тооны хувьд бид тэдгээрийн нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг олох боломжтой. Жишээлбэл, 6 ба 9-ийн хувьд энгийн үржвэр нь 18, нийтлэг хуваагч нь 3 байна. Хосууд нь хэд хэдэн хуваагч ба үржвэртэй байж болох тул тооцоололд GCD-ийн хамгийн том хуваагч ба LCM-ийн хамгийн бага үржвэрийг ашигладаг. .

Аль ч тооны хувьд энэ нь үргэлж нэг байдаг тул хамгийн жижиг хуваагч нь утгагүй юм. Үржвэрийн дараалал нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул хамгийн том үржвэр нь бас утгагүй юм.

GCD хайж байна

Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох олон арга байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн алдартай нь:

• хуваагчдыг дараалан тоолох, нийтлэгийг нь хосоор нь сонгох, тэдгээрийн хамгийн томыг нь хайх;
• тоонуудыг хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон задлах;
• Евклидийн алгоритм;
• хоёртын алгоритм.

Өнөөдөр боловсролын байгууллагуудХамгийн алдартай нь үндсэн хүчин зүйлчлэлийн аргууд ба Евклидийн алгоритм юм. Сүүлийнх нь эргээд диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг: тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжийг шалгахын тулд GCD хайх шаардлагатай.

ҮОХ-г хайж байна

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг мөн давтагдах тоолох эсвэл хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон хуваах замаар яг тодорхойлогддог. Үүнээс гадна, хамгийн том хуваагч аль хэдийн тодорхойлогдсон бол LCM-ийг олоход хялбар байдаг. X ба Y тоонуудын хувьд LCM болон GCD нь дараах хамаарлаар холбогдоно.

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Жишээлбэл, хэрэв gcd(15,18) = 3 бол LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-ийн хамгийн ойлгомжтой хэрэглээ бол нийтлэг хуваагчийг олох бөгөөд энэ нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. өгөгдсөн бутархай.

Тоонуудыг харьцуулах

Хэрэв хос тоо нь нийтлэг хуваагчгүй бол ийм хосыг хос тоо гэж нэрлэдэг. Ийм хосуудын GCM нь үргэлж нэгтэй тэнцүү байх ба хуваагч ба үржвэрийн холболтод үндэслэн, хуваагчийн GCM нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 ба 28 тоонууд нь нийтлэг хуваагчгүй тул тэдгээрийн үржвэрт тохирох LCM(25, 28) = 700 тоонууд нь хос анхны тоо юм. Ямар ч хуваагдашгүй хоёр тоо үргэлж анхных байх болно.

Нийтлэг хуваагч ба олон тооны машин

Манай тооцоолуурын тусламжтайгаар та GCD болон LCM-ийг хүссэн тооны тооноос сонгох боломжтой. Нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг тооцоолох даалгавруудыг 5, 6-р ангийн арифметикээс олж болно, гэхдээ GCD болон LCM - гол ойлголтуудматематик бөгөөд тоон онол, планиметр, харилцааны алгебр зэрэгт ашигладаг.

Бодит амьдралын жишээнүүд

Бутархайн нийтлэг хуваагч

Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олохдоо хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ашиглана. Арифметикийн бодлогод 5 бутархай нийлбэр шаардлагатай гэж үзье.

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Бутархай тоог нэмэхийн тулд илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай бөгөөд энэ нь LCM-ийг олох асуудлыг багасгадаг. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур дээр 5 тоог сонгоод тохирох нүдэнд хуваагч утгыг оруулна уу. Хөтөлбөр нь LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360-ыг тооцоолох болно. Одоо та бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь LCM-ийн хуваарьтай харьцаагаар тодорхойлогддог. Тиймээс нэмэлт үржүүлэгч нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Үүний дараа бид бүх бутархайг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлээд:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Бид ийм бутархайг хялбархан нэмж, үр дүнг 159/360 хэлбэрээр авах боломжтой. Бид бутархайг 3-аар багасгаж, эцсийн хариултыг харна уу - 53/120.

Шугаман диофантийн тэгшитгэлийн шийдэл

Шугаман диофантийн тэгшитгэл нь ax + by = d хэлбэрийн илэрхийлэл юм. Хэрэв d / gcd(a, b) харьцаа нь бүхэл тоо бол тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжтой. Бүхэл тооны шийдийн боломжийн хувьд хэд хэдэн тэгшитгэлийг шалгая. Эхлээд 150x + 8y = 37 тэгшитгэлийг шалгана. Тооцоологч ашиглан бид gcd (150.8) = 2. 37/2 = 18.5-ыг хуваана. Тоо нь бүхэл тоо биш тул тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй.

1320x + 1760y = 10120 тэгшитгэлийг шалгацгаая. Тооцоологч ашиглан gcd(1320, 1760) = 440-ийг ол. 10120/440 = 23-ыг хуваа. Үүний үр дүнд бид бүхэл тоо авна, тиймээс диофантын коэффицентийн ineffectiveequables байна. .

Дүгнэлт

GCD ба LCM нь тооны онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд ойлголтууд нь математикийн янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Манай тооны машиныг ашиглан аль ч тооны тооны хамгийн том хуваагч ба хамгийн бага үржвэрийг тооцоолоорой.

Хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь тэдгээр тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчтай шууд хамааралтай. Энэ GCD болон NOC хоорондын холбоодараах теоремоор тодорхойлогдоно.

Теорем.

a ба b хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a ба b-ийн үржвэрийг a ба b-ийн хамгийн их нийтлэг хуваагчд хуваасантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл: LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

Баталгаа.

Болъё M нь a ба b тооны хэд хэдэн үржвэр юм. Өөрөөр хэлбэл, M нь а-д хуваагддаг ба хуваагдах байдлын тодорхойлолтоор M=a·k тэгшитгэл үнэн байхаар бүхэл k тоо байдаг. Гэхдээ M нь b-д хуваагддаг, тэгвэл a k нь b-д хуваагдана.

gcd(a, b)-г d гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь бид a=a 1 ·d ба b=b 1 ·d тэнцүүг бичиж болох ба a 1 =a:d ба b 1 =b:d нь хоёрдогч анхны тоонууд болно. Иймд өмнөх догол мөрөнд олсон a k нь b-д хуваагдах нөхцөлийг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: a 1 d k нь b 1 d -д хуваагддаг бөгөөд энэ нь хуваагдах шинж чанараас шалтгаалан 1 k гэсэн нөхцөлтэй тэнцүү байна. b 1 -д хуваагддаг.

Бид мөн авч үзсэн теоремоос хоёр чухал үр дагаварыг бичих хэрэгтэй.

Хоёр тооны нийтлэг үржвэр нь хамгийн бага нийтлэг үржвэрийн үржвэртэй ижил байна.

Энэ нь үнэн, учир нь M тооны аль ч нийтлэг үржвэр нь t бүхэл тоон утгын хувьд M=LCM(a, b) t тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Хоёрдахь нийтлэгийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр эерэг тоонууд a ба b нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ баримтын үндэслэл нь маш тодорхой юм. a ба b хоёр анхны хэмжигдэхүүн тул gcd(a, b)=1 байна. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох хүртэл бууруулж болно. Үүнийг хэрхэн хийхийг дараах теоремд заасан болно: a 1 , a 2 , …, a k нь m k-1 тооны нийтлэг үржвэртэй, a k нь m k-ийн үржвэртэй давхцдаг. Мөн m k тооны хамгийн бага эерэг үржвэр нь m k тоо байдаг тул a 1, a 2, …, a k тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь m k болно.

Ном зүй.

• Виленкин Н.Я. гэх мэт Математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагын сурах бичиг.
• Виноградов I.M. Тооны онолын үндэс.
• Михелович Ш.Х. Тооны онол.
• Куликов Л.Я. болон бусад.Алгебр ба тооны онолын асуудлын цуглуулга: Зааварфизик, математикийн оюутнуудад зориулсан. сурган хүмүүжүүлэх институтуудын мэргэжил.

LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг ойлгохын тулд эхлээд "олон" гэсэн нэр томъёоны утгыг тодорхойлох хэрэгтэй.

А-ийн үржвэр нь А-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг натурал тоо юм.Иймээс 15, 20, 25 гэх мэтийг 5-ын үржвэр гэж үзэж болно.

Тодорхой тооны хязгаарлагдмал тооны хуваагч байж болох ч хязгааргүй тооны үржвэр байдаг.

Натурал тоонуудын нийтлэг үржвэр нь тэдгээрт үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоог хэлнэ.

Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хэрхэн олох вэ

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) тоонууд (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) нь эдгээр бүх тоонд тэгш хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм.

ҮОХ-г олохын тулд та хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно.

Жижиг тоонуудын хувьд нийтлэг тоо олдох хүртэл эдгээр тоонуудын бүх үржвэрийг мөрөнд бичих нь тохиромжтой. Тэмдэглэлд олон тоог тэмдэглэнэ том үсэг TO.

Жишээлбэл, 4-ийн үржвэрийг дараах байдлаар бичиж болно.

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Тэгэхээр 4 ба 6 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 24 тоо болохыг харж болно. Энэ оруулгыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

LCM(4, 6) = 24

Хэрэв тоонууд их байвал гурав ба түүнээс дээш тооны нийтлэг үржвэрийг олвол LCM-ийг тооцоолох өөр аргыг ашиглах нь дээр.

Даалгаврыг гүйцэтгэхийн тулд санал болгож буй тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай.

Эхлээд та хамгийн том тоонуудын өргөтгөлийг мөрөнд, доор нь үлдсэн хэсгийг нь бичих хэрэгтэй.

Тоо бүрийг өргөтгөхөд өөр өөр хүчин зүйлүүд байж болно.

Жишээлбэл, 50 ба 20-ийн тоог анхны хүчин зүйл болгон авч үзье.

Цөөн тоог өргөжүүлэхдээ эхнийх нь тэлэлтэд байхгүй хүчин зүйлсийг онцлон тэмдэглэх хэрэгтэй. их тоодараа нь тэдгээрийг нэмнэ үү. Үзүүлсэн жишээнд deuce байхгүй байна.

Одоо бид 20 ба 50-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолж болно.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Ийнхүү их тооны задралд ороогүй хоёр дахь тооны анхны хүчин зүйлүүд болон хоёр дахь тооны хүчин зүйлүүдийн үржвэр нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно.

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олохын тулд тэдгээрийг бүгдийг нь өмнөх тохиолдлын адил анхны хүчин зүйл болгон задлах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, та 16, 24, 36 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олж болно.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Тиймээс, арван зургаагийн задралаас хоёрхон дөчийг илүү олон тооны хүчин зүйлчлэлд оруулаагүй (нэг нь хорин дөрвөн задралд байна).

Тиймээс тэдгээрийг илүү олон тооны задралд нэмэх шаардлагатай.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тодорхойлох онцгой тохиолдол байдаг. Тэгэхээр, хэрэв тоонуудын аль нэгийг үлдэгдэлгүйгээр нөгөө тоонд хувааж чадвал эдгээр тоонуудын том нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно.

Жишээлбэл, арван хоёр, хорин дөрөвтэй ҮОХ хорин дөрөв байх болно.

Хэрэв ижил хуваагчгүй хоёрдогч тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох шаардлагатай бол тэдгээрийн LCM нь үржвэртэй тэнцүү байх болно.

Жишээлбэл, LCM(10, 11) = 110.

LCM - Хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ хэсэгт эхлүүлсэн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийн тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Энэ сэдвээр бид гурван ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох арга замыг авч үзэх болно, бид сөрөг тооны LCM-ийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд дүн шинжилгээ хийх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

gcd-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох

Бид аль хэдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр ба хамгийн их нийтлэг хуваагчийн хоорондын хамаарлыг тогтоосон. Одоо GCD-ээр дамжуулан LCM-ийг хэрхэн тодорхойлох талаар сурцгаая. Эхлээд эерэг тоонуудын хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг олж мэдье.

Тодорхойлолт 1

Та LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) томъёог ашиглан хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох боломжтой.

Жишээ 1

126 ба 70 тоонуудын LCM-ийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

a = 126 , b = 70 гэж үзье. Хамгийн их нийтлэг хуваагч LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) -ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох томъёоны утгыг орлуулна уу.

70 ба 126 тоонуудын GCD-г олно. Үүний тулд бидэнд Евклидийн алгоритм хэрэгтэй: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4, иймээс gcd (126 , 70) = 14 .

LCM-ийг тооцоолъё: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Хариулт: LCM (126, 70) = 630.

Жишээ 2

68 ба 34 тоонуудын нохийг ол.

Шийдэл

GCD-д Энэ тохиолдолд 68 нь 34-т хуваагддаг тул олоход хялбар. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг томъёогоор тооцоол: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Хариулт: LCM(68, 34) = 68.

Энэ жишээнд бид эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох дүрмийг ашигласан: хэрэв эхний тоо хоёр дахь тоонд хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын LCM нь эхний тоотой тэнцүү байх болно.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох

Одоо тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахад үндэслэсэн LCM-ийг олох аргыг авч үзье.

Тодорхойлолт 2

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд бид хэд хэдэн энгийн алхмуудыг хийх хэрэгтэй:

• бид LCM-ийг олох шаардлагатай бүх тооны анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг бүрдүүлдэг;
• бид тэдний олж авсан бүтээгдэхүүнээс бүх үндсэн хүчин зүйлсийг хасдаг;
• нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг арилгасны дараа олж авсан бүтээгдэхүүн нь өгөгдсөн тооны LCM-тэй тэнцүү байна.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох энэ арга нь LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) тэгшитгэл дээр суурилдаг. Хэрэв та томьёог харвал тодорхой болно: a ба b тоонуудын үржвэр нь эдгээр хоёр тоог өргөжүүлэхэд оролцсон бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хоёр тооны GCD нь эдгээр хоёр тооны хүчин зүйлчлэлд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 3

Бидэнд 75 ба 210 гэсэн хоёр тоо бий. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар ялгаж чадна. 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. Хэрэв та анхны хоёр тооны бүх хүчин зүйлийн үржвэрийг гаргавал дараахь зүйлийг авна. 2 3 3 5 5 5 7.

Хэрэв бид 3 ба 5 тоонуудын аль алинд нь нийтлэг хүчин зүйлсийг хасвал дараах хэлбэрийн үржвэрийг авна. 2 3 5 5 7 = 1050. Энэ бүтээгдэхүүн нь 75 ба 210 дугаарт зориулсан манай LCM байх болно.

Жишээ 4

Тоонуудын LCM-ийг ол 441 Тэгээд 700 , хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах.

Шийдэл

Нөхцөлд өгөгдсөн тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлийг олъё.

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Бид 441 = 3 3 7 7 ба 700 = 2 2 5 5 7 гэсэн хоёр гинж тоо авдаг.

Эдгээр тоог нэмэгдүүлэхэд оролцсон бүх хүчин зүйлийн үржвэр нь дараах байдалтай байна. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нийтлэг хүчин зүйлсийг олцгооё. Энэ тоо 7 байна. Үүнээс хасъя нийтлэг бүтээгдэхүүн: 2 2 3 3 5 5 7 7. Энэ бол ҮОХ юм (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Хариулт: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар LCM-ийг олох аргын өөр нэг томъёоллыг өгье.

Тодорхойлолт 3

Өмнө нь бид хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийн нийт тооноос хассан. Одоо бид үүнийг өөрөөр хийх болно:

• Хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон задалъя:
• эхний тооны анхны хүчин зүйлийн үржвэрт хоёр дахь тооны алга болсон хүчин зүйлийг нэмэх;
• Бид бүтээгдэхүүнийг авах бөгөөд энэ нь хоёр тооны хүссэн LCM байх болно.

Жишээ 5

Өмнөх жишээнүүдийн аль нэгэнд LCM-ийг хайж байсан 75 ба 210 тоонууд руу буцаж орцгооё. Тэдгээрийг энгийн хүчин зүйл болгон хувааж үзье: 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ба хүчин зүйлийн үржвэрт 5 75 дугаарт дутуу хүчин зүйлсийг нэмнэ 2 Тэгээд 7 тоо 210. Бид авах: 2 3 5 5 7 .Энэ бол 75 ба 210 тоонуудын LCM юм.

Жишээ 6

84 ба 648 тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Нөхцөл байдлаас тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлацгаая. 84 = 2 2 3 7Тэгээд 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Үржвэрт 2 , 2 , 3 ба үржвэрийг нэмнэ 7 тоо 84 дутуу хүчин зүйлүүд 2 , 3 , 3 болон
3 тоо 648. Бид бүтээгдэхүүнээ авдаг 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Энэ нь 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Хариулт: LCM (84, 648) = 4536.

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох

Бид хичнээн тооны тоотой харьцаж байгаагаас үл хамааран бидний үйлдлийн алгоритм үргэлж ижил байх болно: бид хоёр тооны LCM-ийг тогтмол олох болно. Энэ тохиолдолд нэг теорем бий.

Теорем 1

Бидэнд бүхэл тоо байна гэж бодъё a 1 , a 2 , … , a k. ҮОХ м кЭдгээр тоонуудын дараалсан тооцоололд олддог m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

Одоо теоремыг тодорхой бодлогод хэрхэн хэрэглэж болохыг харцгаая.

Жишээ 7

Та 140 , 9 , 54 ба дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй 250 .

Шийдэл

Тэмдэглэгээг танилцуулъя: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) -ийг тооцоолж эхэлцгээе. 140 ба 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 тоонуудын GCD-ийг тооцоолохдоо Евклидийн алгоритмыг ашиглацгаая. Бид дараахийг авна: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Тиймээс m 2 = 1 260 байна.

Одоо ижил алгоритмын дагуу тооцоолъё m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Тооцооллын явцад бид m 3 = 3 780 болно.

Бид m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) -ийг тооцоолоход л үлддэг. Бид ижил алгоритмын дагуу ажилладаг. Бид m 4 \u003d 94 500 авна.

Жишээ нөхцөл дэх дөрвөн тооны LCM нь 94500 байна.

Хариулт: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Таны харж байгаагаар тооцоолол нь энгийн, гэхдээ маш их хөдөлмөр шаарддаг. Цаг хэмнэхийн тулд та өөр замаар явж болно.

Тодорхойлолт 4

Бид танд дараах үйлдлийн алгоритмыг санал болгож байна.

• бүх тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах;
• эхний тооны хүчин зүйлсийн үржвэрт хоёр дахь тооны үржвэрээс дутуу үржвэрийг нэмнэ;
• өмнөх үе шатанд олж авсан бүтээгдэхүүнд гурав дахь тооны дутуу хүчин зүйлийг нэмэх гэх мэт;
• үр дүн нь нөхцөлийн бүх тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр байх болно.

Жишээ 8

84 , 6 , 48 , 7 , 143 гэсэн таван тооны LCM-ийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 гэсэн бүх таван тоог анхны үржүүлэгч болгон задалцгаая. анхны тоо 7 гэсэн тоог үндсэн хүчин зүйлд тооцох боломжгүй. Ийм тоо нь анхны хүчин зүйл болгон задрахтай давхцдаг.

Одоо 84-ийн тооны 2, 2, 3, 7-ын анхны олон тооны үржвэрийг авч, хоёр дахь тооны дутуу үржвэрийг нэмье. Бид 6 тоог 2 ба 3 болгон задалсан. Эдгээр хүчин зүйлүүд аль хэдийн эхний тооны үржвэрт байна. Тиймээс бид тэдгээрийг орхигдуулдаг.

Бид дутуу үржүүлэгчийг үргэлжлүүлэн нэмнэ. Бид 2 ба 2-ыг авдаг анхны хүчин зүйлийн үржвэрээс 48 тоо руу шилждэг. Дараа нь бид дөрөв дэх тооноос 7-ийн энгийн хүчин зүйл, тав дахь тооноос 11, 13-ын хүчин зүйлийг нэмнэ. Бид авна: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Энэ нь анхны таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Хариулт: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох

Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд эдгээр тоог эхлээд эсрэг тэмдэгтэй тоогоор сольж, дараа нь дээрх алгоритмын дагуу тооцооллыг хийнэ.

Жишээ 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ба LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Хэрэв үүнийг хүлээн зөвшөөрвөл ийм үйлдэл хийхийг зөвшөөрнө аТэгээд − a- эсрэг тоо
дараа нь үржвэрийн олонлог атооны үржвэрийн олонлогтой давхцдаг − a.

Жишээ 10

Сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай − 145 Тэгээд − 45 .

Шийдэл

Тоогоо өөрчилье − 145 Тэгээд − 45 Тэдний эсрэг тоо 145 Тэгээд 45 . Одоо алгоритмыг ашиглан бид өмнө нь Euclid алгоритмыг ашиглан GCD-ийг тодорхойлсон LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 -ийг тооцоолно.

Бид − 145 ба тоонуудын LCM-ийг олж авна − 45 тэнцүү байна 1 305 .

Хариулт: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу