Судалгааны ерөнхий схемийг ашиглан функцийн графикийг байгуул. Бүрэн функцийг судлах, зурах

Учир нь бүрэн судалгаафункц болон түүний графикийг бүтээхдээ дараах схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

1) функцийн хамрах хүрээг олох;

2) функцийн тасалдал ба босоо асимптотуудыг (хэрэв байгаа бол) олох;

3) хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг судалж, хэвтээ ба ташуу асимптотуудыг олох;

4) тэгш байдал (сонин) ба үечилсэн байдлын хувьд (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) функцийг судлах;

5) функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг олох;

6) гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн интервалыг тодорхойлох;

7) боломжтой бол координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд болон графикийг сайжруулах нэмэлт цэгүүдийг олох.

Функцийг судлах нь түүний графикийг бүтээхтэй зэрэгцэн явагддаг.

Жишээ 9Функцийг судалж, график байгуул.

1. Тодорхойлолтын домэйн: ;

2. Функц цэг дээр тасардаг
,
;

Бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгах функцийг судалдаг.

;
,
─ босоо асимптот.

;
,
─ босоо асимптот.

3. Бид ташуу ба хэвтээ асимптот байгаа эсэх функцийг судалдаг.

Чигээрээ
─ ташуу асимптот, хэрэв
,
.

,
.

Чигээрээ
─ хэвтээ асимптот.

4. Функц нь тэгш, учир нь
. Функцийн паритет нь y тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийн тэгш хэмийг илэрхийлдэг.

5. Функцийн монотон ба туйлын интервалыг ол.

Чухал цэгүүдийг олцгооё, өөрөөр хэлбэл. Дериватив нь 0 эсвэл байхгүй цэгүүд:
;
. Бидэнд гурван оноо байна
;

. Эдгээр цэгүүд бодит тэнхлэгийг бүхэлд нь дөрвөн интервалд хуваадаг. Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё тус бүр дээр.

(-∞; -1) ба (-1; 0) интервалд функц нэмэгдэж, (0; 1) ба (1; +∞) интервалд буурна. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх үед
дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг тул энэ үед функц хамгийн их байна
.

6. Гүдгэрийн интервал, гулзайлтын цэгүүдийг олъё.

Хаана байгаа цэгүүдийг олцгооё 0 эсвэл байхгүй байна.

жинхэнэ үндэс байхгүй.
,
,

оноо
Тэгээд
бодит тэнхлэгийг гурван интервалд хуваа. Тэмдгийг тодорхойлъё интервал бүрт.

Тиймээс интервалуудын муруй
Тэгээд
гүдгэр доош, интервал дээр (-1;1) гүдгэр дээш; цэгүүд дэх функцээс хойш гулзайлтын цэг байхгүй
Тэгээд
тодорхойгүй байна.

7. Тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

тэнхлэгтэй
функцийн график нь (0; -1) цэг дээр, тэнхлэгтэй огтлолцоно
график огтлолцохгүй, учир нь Энэ функцийн тоологч нь жинхэнэ үндэсгүй.

Өгөгдсөн функцийн графикийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1 ─ Функцийн график

Дериватив ойлголтыг эдийн засагт хэрэглэх. Функцийн уян хатан байдал

Эдийн засгийн үйл явцыг судлах, бусад хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд функциональ уян хатан байдлын тухай ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг.

Тодорхойлолт.Функцийн уян хатан байдал
функцийн харьцангуй өсөлтийн харьцааны хязгаар гэнэ хувьсагчийн харьцангуй өсөлт рүү цагт
, . (VII)

Функцийн уян хатан чанар нь функц хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг
бие даасан хувьсагчийг өөрчлөх үед 1%-иар.

Функцийн уян хатан чанарыг эрэлт, хэрэглээний шинжилгээнд ашигладаг. Хэрэв эрэлтийн мэдрэмж (үнэмлэхүй утгаар)
, тэгвэл эрэлтийг уян хатан гэж үзнэ
─ төвийг сахисан бол
─ үнийн (эсвэл орлогын) хувьд уян хатан бус.

Жишээ 10Функцийн уян хатан чанарыг тооцоол
-ийн уян хатан байдлын индексийн утгыг ол = 3.

Шийдэл: (VII) томъёоны дагуу функцийн уян хатан чанарыг:

Тэгвэл x=3 гэж үзье
Энэ нь бие даасан хувьсагч 1%-иар өссөн тохиолдолд хамааралтай хувьсагчийн утга 1.42%-иар өснө гэсэн үг.

Жишээ 11Эрэлт үйлчилнэ үнийн талаар хэлбэртэй байна
, Хаана ─ тогтмол коэффициент. Эрэлтийн функцийн уян хатан байдлын индексийн утгыг х = 3 ден үнээр ол. нэгж

Шийдэл: (VII) томъёог ашиглан эрэлтийн функцийн уян хатан чанарыг тооцоол.

Таамаглаж байна
мөнгөний нэгж, бид авдаг
. Энэ нь үнээр гэсэн үг юм
мөнгөний нэгж 1% -иар үнийн өсөлт нь эрэлтийг 6% -иар бууруулна, өөрөөр хэлбэл. эрэлт уян хатан байна.

Өнөөдөр бид таныг функцийн графикийг судалж, зурахыг урьж байна. Энэ өгүүллийг сайтар судалсны дараа та ийм төрлийн ажлыг гүйцэтгэхийн тулд удаан хугацаанд хөлрөх шаардлагагүй болно. Функцийн графикийг судлах, бүтээх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд ажил нь их хэмжээний ажил бөгөөд хамгийн их анхаарал, тооцооллын нарийвчлал шаарддаг. Материалын ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд бид ижил функцийг аажмаар судалж, бүх үйлдэл, тооцоогоо тайлбарлах болно. Математикийн гайхалтай, сэтгэл татам ертөнцөд тавтай морил! Яв!

Домэйн

Функцийг судлах, зурахын тулд та хэд хэдэн тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй. Функц нь математикийн үндсэн (үндсэн) ойлголтуудын нэг юм. Энэ нь өөрчлөлттэй хэд хэдэн хувьсагчийн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хоорондын хамаарлыг тусгадаг. Мөн функц нь олонлогуудын хамаарлыг харуулдаг.

Бидэнд тодорхой хэлбэлзэлтэй хоёр хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэгэхээр хоёр дахь хувьсагчийн утга тус бүр хоёр дахь хувьсагчийн нэг утгатай тохирч байвал у нь х-ийн функц юм. Энэ тохиолдолд y хувьсагч хамааралтай байх ба үүнийг функц гэж нэрлэдэг. Энэ хамаарлыг илүү тодорхой болгохын тулд x ба y хувьсагчид байдаг гэж хэлэх нь заншилтай байдаг. Функцийн график гэж юу вэ? Энэ нь координатын хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд х-ийн утга бүр у-ийн нэг утгатай тохирч байна. График нь өөр байж болно - шулуун шугам, гипербола, парабола, синусоид гэх мэт.

Функцийн графикийг хайгуулгүйгээр зурах боломжгүй. Өнөөдөр бид хэрхэн судалгаа хийж, функцийн график зурах талаар сурах болно. Судалгааны явцад тэмдэглэл хөтлөх нь маш чухал юм. Тиймээс даалгаврыг даван туулахад илүү хялбар байх болно. Хамгийн тохиромжтой сургалтын төлөвлөгөө:

1. Домэйн.
2. Тасралтгүй байдал.
3. Тэгш эсвэл сондгой.
4. Үе үе.
5. Асимптотууд.
6. Тэг.
7. Тогтмол байдал.
8. Өсөх, уруудах.
9. Хэт их.
10. Гүдгэр ба хотгор.

Эхний цэгээс эхэлье. Тодорхойлолтын домэйн, өөрөөр хэлбэл бидний функц ямар интервал дээр байгааг олцгооё: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Манай тохиолдолд функц нь x-ийн дурын утгын хувьд байдаг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын домэйн нь R. Үүнийг xОР гэж бичиж болно.

Тасралтгүй байдал

Одоо бид тасалдлын функцийг судлах болно. Математикт "тасралтгүй байдал" гэсэн нэр томъёо нь хөдөлгөөний хуулиудыг судалсны үр дүнд бий болсон. Хязгааргүй гэж юу вэ? Орон зай, цаг хугацаа, зарим хамаарал (жишээ нь хөдөлгөөнд S ба t хувьсагчийн хамаарал), халсан объектын температур (ус, хайруулын таваг, термометр гэх мэт), тасралтгүй шугам (өөрөөр хэлбэл нэг харандаанаас салгахгүйгээр зурж болно).

График хэзээ нэгэн цагт тасрахгүй бол тасралтгүй гэж тооцогддог. Хамгийн сайн жишээнүүдИйм график нь синусын долгион бөгөөд үүнийг та энэ хэсгийн зурган дээрээс харж болно. Хэд хэдэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд функц x0 цэг дээр тасралтгүй байна:

• өгөгдсөн цэг дээр функц тодорхойлогдсон;
• цэг дээрх баруун ба зүүн хязгаарууд тэнцүү байна;
• хязгаар нь х0 цэг дээрх функцийн утгатай тэнцүү байна.

Хэрэв ядаж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол функцийг эвддэг гэж хэлнэ. Мөн функц тасрах цэгүүдийг таслах цэг гэж нэрлэдэг. Графикаар харуулах үед “эвдрэх” функцийн жишээ нь: y=(x+4)/(x-3). Тэгээд ч x = 3 цэгт y байхгүй (учир нь тэгээр хуваах боломжгүй).

Бидний судалж буй функцэд (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) график тасралтгүй байх тул бүх зүйл энгийн болсон.

Бүр, хачин

Одоо функцийг паритын хувьд шалгана уу. Бяцхан онолоор эхэлцгээе. x хувьсагчийн дурын утгын (утгын мужаас) f (-x) = f (x) нөхцөлийг хангасан функцийг тэгш функц гэнэ. Жишээ нь:

• модуль x (график нь жийргэвч шиг харагдаж байна, графикийн эхний болон хоёрдугаар улирлын биссектрис);
• x квадрат (парабол);
• косинус x (косинус долгион).

У тэнхлэгтэй харьцуулахад эдгээр бүх графикууд тэгш хэмтэй байгааг анхаарна уу.

Тэгвэл сондгой функцийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр нь нөхцөлийг хангасан функцууд юм: x хувьсагчийн дурын утгын хувьд f (-x) \u003d - f (x). Жишээ нь:

• гипербола;
• куб парабол;
• синусоид;
• шүргэгч гэх мэт.

Эдгээр функцууд нь цэг (0:0), өөрөөр хэлбэл гарал үүсэл нь тэгш хэмтэй гэдгийг анхаарна уу. Өгүүллийн энэ хэсэгт хэлсэн зүйл дээр үндэслэн тэгш, сондгой функц нь шинж чанартай байх ёстой: x нь тодорхойлолтын олонлогт хамаарах ба -x мөн.

Паритетийн функцийг авч үзье. Тэр ямар ч тайлбарт тохирохгүй байгааг бид харж байна. Тиймээс бидний функц тэгш, сондгой ч биш.

Асимптотууд

Тодорхойлолтоор эхэлье. Асимптот гэдэг нь графикт аль болох ойртсон муруй, өөрөөр хэлбэл зарим цэгээс зай нь тэг рүү чиглэдэг. Гурван төрлийн асимптот байдаг:

• босоо, өөрөөр хэлбэл y тэнхлэгтэй параллель;
• хэвтээ, өөрөөр хэлбэл x тэнхлэгтэй параллель;
• ташуу.

Эхний төрлийн хувьд эдгээр мөрүүдийг зарим цэгээс хайх хэрэгтэй.

• цоорхой;
• домэйны төгсгөлүүд.

Манай тохиолдолд функц тасралтгүй, тодорхойлолтын муж нь R. Иймээс босоо асимптот байхгүй.

Функцийн график нь дараах шаардлагыг хангасан хэвтээ асимптоттой байна: хэрэв х нь хязгааргүй эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол хязгаар нь тодорхой тоотой тэнцүү (жишээлбэл, a). IN Энэ тохиолдолд y=a нь хэвтээ асимптот юм. Бидний судалж буй функцэд хэвтээ асимптот байхгүй.

Ташуу асимптот нь зөвхөн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л бий болно.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Дараа нь y=kx+b томъёогоор олно. Дахин хэлэхэд, манай тохиолдолд ташуу асимптот байхгүй.

Функцийн тэг

Дараагийн алхам бол функцийн графикийг тэгээр шалгах явдал юм. Функцийн тэгийг олохтой холбоотой даалгавар нь зөвхөн функцийн графикийг судлах, байгуулахад төдийгүй бие даасан даалгавар, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга хэлбэрээр явагддаг гэдгийг тэмдэглэх нь маш чухал юм. График дээрх функцийн тэгийг олох эсвэл математик тэмдэглэгээг ашиглах шаардлагатай байж болно.

Эдгээр утгыг олох нь функцийг илүү нарийвчлалтай зурахад тусална. Ярих юм бол энгийн хэллэг, тэгвэл функцийн тэг нь x хувьсагчийн утга бөгөөд y=0 байна. Хэрэв та график дээрх функцийн тэгийг хайж байгаа бол график нь х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Функцийн тэгийг олохын тулд дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Шаардлагатай тооцоог хийсний дараа бид дараах хариултыг авна.

тогтмол байдлын тэмдэг

Функцийг (график) судлах, бүтээх дараагийн үе шат бол тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг олох явдал юм. Энэ нь функц аль интервалд эерэг утгатай, аль интервалд сөрөг утгатай болохыг тодорхойлох ёстой гэсэн үг юм. Өмнөх хэсэгт олсон функцүүдийн тэг нь үүнийг хийхэд тусална. Тиймээс бид шулуун шугамыг (графикаас тусад нь) барьж, түүний дагуух функцийн тэгүүдийг хамгийн жижигээс том хүртэл зөв дарааллаар хуваарилах хэрэгтэй. Одоо та үүссэн интервалуудын аль нь "+" тэмдэгтэй, аль нь "-" тэмдэгтэй байгааг тодорхойлох хэрэгтэй.

Манай тохиолдолд функц нь интервал дээр эерэг утгыг авдаг.

• 1-ээс 4 хүртэл;
• 9-ээс хязгааргүй хүртэл.

Сөрөг утга:

• хасах хязгаараас 1 хүртэл;
• 4-өөс 9 хүртэл.

Үүнийг тодорхойлоход нэлээд хялбар байдаг. Функцийн интервалаас дурын тоог орлуулж, хариулт нь ямар тэмдэгтэй болохыг хараарай (хасах эсвэл нэмэх).

Өсөх ба буурах функц

Функцийг судалж, бүтээхийн тулд бид график хаана өсөх (Oy дээр дээш гарах), хаана унах (y тэнхлэгийн дагуу доош мөлхөх) болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Зөвхөн x хувьсагчийн том утга нь y-ийн том утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, x2 нь x1-ээс их, f(x2) нь f(x1)-ээс их байна. Мөн бид буурч буй функцэд огт эсрэг үзэгдэл ажиглагдаж байна (х их байх тусам у бага). Өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд та дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.

• хамрах хүрээ (бидэнд аль хэдийн байгаа);
• дериватив (бидний тохиолдолд: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 тэгшитгэлийг шийд.

Тооцооллын дараа бид дараах үр дүнг авна.

Бид дараахийг авна: функц нь хасах хязгаараас 7/3 хүртэл, 7-оос хязгааргүй хүртэлх интервал дээр нэмэгдэж, 7/3-аас 7 хүртэлх интервал дээр буурдаг.

Хэт их

Судалгаанд хамрагдсан y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) функц нь тасралтгүй бөгөөд x хувьсагчийн аль ч утгын хувьд байдаг. Экстремум цэг нь энэ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг харуулдаг. Манай тохиолдолд эдгээр нь байдаггүй бөгөөд энэ нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Үгүй бол тэдгээрийг дериватив функцийг ашиглан олж болно. Олсны дараа тэдгээрийг график дээр тэмдэглэхээ бүү мартаарай.

Гүдгэр ба хотгор

Бид y(x) функцийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Одоо бид гүдгэр, гүдгэр эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Эдгээр ойлголтуудын тодорхойлолтыг ойлгоход нэлээд хэцүү тул бүх зүйлийг жишээн дээр шинжлэх нь дээр. Туршилтын хувьд: Хэрэв функц нь буурахгүй бол гүдгэр байна. Зөвшөөрч байна, энэ нь ойлгомжгүй юм!

Хоёрдахь эрэмбийн функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. Бид авна: y=1/3(6x-28). Одоо бид баруун талыг тэгтэй тэнцүүлж, тэгшитгэлийг шийднэ. Хариулт: x=14/3. Бид гулзайлтын цэгийг, өөрөөр хэлбэл график нь гүдгэрээс хотгор руу эсвэл эсрэгээр өөрчлөгдөх газрыг олсон. Хасах хязгаараас 14/3 хүртэлх интервал дээр функц нь гүдгэр, 14/3-аас нэмэх хязгаар хүртэл хотгор байна. График дээрх гулзайлтын цэг нь гөлгөр, зөөлөн байх ёстой гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм, үгүй хурц булангуудбайх ёсгүй.

Нэмэлт цэгүүдийн тодорхойлолт

Бидний даалгавар бол функцийн графикийг судалж, зурах явдал юм. Бид судалгаагаа дуусгасан, одоо функцийг зурахад хэцүү биш байх болно. Координатын хавтгай дээрх муруй эсвэл шулуун шугамыг илүү нарийвчлалтай, нарийвчилсан хуулбарлахын тулд та хэд хэдэн туслах цэгүүдийг олох боломжтой. Тэдгээрийг тооцоолоход маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, бид x=3-ыг авч, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, y=4-ийг олно. Эсвэл x=5 ба y=-5 гэх мэт. Та бүтээхэд шаардлагатай тооны нэмэлт оноо авах боломжтой. Хамгийн багадаа 3-5 нь олддог.

Хуйвалдаан

Бид (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y функцийг судлах шаардлагатай болсон. Тооцооллын явцад шаардлагатай бүх тэмдэглэгээг координатын хавтгайд хийсэн. График байгуулах, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүдийг хооронд нь холбох л үлдлээ. Цэгүүдийг холбох нь гөлгөр бөгөөд үнэн зөв бөгөөд энэ нь ур чадварын асуудал юм - бага зэрэг дасгал хийвэл таны хуваарь төгс болно.

Заавар

Функцийн хамрах хүрээг ол. Жишээлбэл, sin(x) функц нь -∞-аас +∞ хүртэлх бүхэл интервалд, 1/x функц нь x = 0 цэгээс бусад тохиолдолд -∞-ээс +∞ хүртэл тодорхойлогддог.

Тасралтгүй байдал ба таслах цэгүүдийг тодорхойлох. Ихэвчлэн функц нь тодорхойлогдсон ижил домэйнд тасралтгүй байдаг. Тасралтгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд аргумент нь тодорхойлолтын хүрээн дэх тусгаарлагдсан цэгүүдэд ойртох үед тооцоолох хэрэгтэй. Жишээлбэл, 1/x функц нь x→0+ үед хязгааргүй, x→0- үед хасах хязгааргүй рүү чиглэдэг. Энэ нь x = 0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг юм.
Хэрэв тасалдалын цэг дээрх хязгаар нь төгсгөлтэй боловч тэнцүү биш бол энэ нь эхний төрлийн тасалдал юм. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол функц нь тусгаарлагдсан цэг дээр тодорхойлогдоогүй боловч тасралтгүй гэж тооцогддог.

Хэрэв байгаа бол босоо асимптотуудыг ол. Босоо асимптот нь хоёр дахь төрлийн тасалдал дээр бараг үргэлж байдаг тул өмнөх алхамын тооцоолол танд туслах болно. Гэсэн хэдий ч заримдаа энэ нь тодорхой цэгээс хасагдсан бие даасан цэгүүд биш, харин цэгүүдийн бүхэл бүтэн интервалууд бөгөөд дараа нь босоо асимптотуудыг эдгээр интервалуудын ирмэг дээр байрлуулж болно.

Функц нь тэгш, сондгой, үе үе гэсэн тусгай шинж чанартай эсэхийг шалгана уу.
Ф(x) = f(-x) домэйны аль ч х-ийн хувьд функц тэгш байх болно. Жишээлбэл, cos(x) ба x^2 нь тэгш функцууд юм.

Үе үе гэдэг нь ямар ч x f(x) = f(x + T) -ийн хувьд үе гэж нэрлэгддэг тодорхой T тоо байдаг гэсэн шинж чанар юм. Жишээлбэл, бүх гол тригонометрийн функцууд(синус, косинус, тангенс) - үе үе.

Оноо олох. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн функцийн деривативыг тооцоолж, алга болсон х утгыг олоорой. Жишээлбэл, f(x) = x^3 + 9x^2 -15 функц нь x = 0 ба x = -6 үед алга болох g(x) = 3x^2 + 18x деривативтай.

Аль экстремум цэгүүд нь максимум, аль нь минимум болохыг тодорхойлохын тулд олдсон тэг дэх деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг мөрдөнө. g(x) x = -6 үед нэмэх тэмдгийг, x = 0 үед хасахаас нэмэх тэмдгийг буцаана. Иймд f(x) функц нь эхний цэг дээр минимум, хоёр дахь цэг дээр минимумтай байна.

Иймд та нэгэн хэвийн байдлын талбаруудыг мөн олсон байна: f(x) -∞;-6 интервал дээр монотон нэмэгдэж, -6;0 дээр нэг хэвийн буурч, 0;+∞ дээр дахин нэмэгддэг.

Хоёр дахь деривативыг ол. Өгөгдсөн функцийн график хаана гүдгэр, хаана нь хотгор байхыг түүний үндэс харуулна. Жишээлбэл, f(x) функцийн хоёр дахь дериватив нь h(x) = 6x + 18 байх болно. Энэ нь x = -3 үед алга болж, тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдөнө. Тиймээс энэ цэгийн өмнөх f (x) график нь гүдгэр, түүний дараа нь хотгор байх ба энэ цэг нь өөрөө гулзайлтын цэг болно.

Функц нь босоо тэнхлэгээс бусад асимптотуудтай байж болно, гэхдээ зөвхөн түүний тодорхойлолтын домайн нь . Тэдгээрийг олохын тулд x→∞ эсвэл x→-∞ үед f(x)-ийн хязгаарыг тооцоол. Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал бол та хэвтээ асимптотыг олсон болно.

Ташуу асимптот нь kx + b хэлбэрийн шулуун шугам юм. k-г олохын тулд f(x)/x-ийн хязгаарыг x→∞ гэж тооцоол. Ижил x→∞-тэй b - хязгаарыг (f(x) – kx) олох.

Тооцоолсон өгөгдөл дээр функцийг зур. Хэрэв байгаа бол асимптотуудыг тэмдэглэ. Экстремум цэгүүд болон тэдгээрийн функцүүдийн утгыг тэмдэглэ. Графикийг илүү нарийвчлалтай болгохын тулд функцийн утгыг хэд хэдэн завсрын цэг дээр тооцоол. Судалгаа дууссан.

Хамгийн чухал ажлуудын нэг дифференциал тооцоохөгжил юм нийтлэг жишээнүүдфункцүүдийн зан үйлийн судалгаа.

Хэрэв y \u003d f (x) функц нь интервал дээр тасралтгүй бөгөөд түүний дериватив нь (a, b) интервал дээр эерэг буюу 0-тэй тэнцүү байвал y \u003d f (x) нь (f "(x) -ээр нэмэгдэнэ. 0). Хэрэв y \u003d f (x) функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд түүний дериватив нь (a,b) интервал дээр сөрөг буюу 0-тэй тэнцүү байвал y=f(x) нь (f"()-аар буурна. x)0)

Функц буурах эсвэл өсөхгүй байх интервалуудыг функцийн монотон байдлын интервал гэнэ. Функцийн монотон байдлын шинж чанар нь зөвхөн анхны деривативын тэмдэг өөрчлөгддөг түүний тодорхойлолтын хүрээний цэгүүдэд л өөрчлөгдөж болно. Функцийн эхний дериватив алга болох эсвэл тасрах цэгүүдийг критик цэгүүд гэнэ.

Теорем 1 (Экстремум байх 1-р хангалттай нөхцөл).

y=f(x) функцийг x 0 цэг дээр тодорхойлж, функц нь сегмент дээр тасралтгүй, (x 0 -δ,x 0)u( интервалаар дифференциалагдах δ>0 хөрш байг. x 0 , x 0 +δ) ба түүний дериватив нь эдгээр интервал тус бүр дээр тогтмол тэмдгийг хадгална. Хэрэв x 0 -δ, x 0) ба (x 0, x 0 + δ) дээр деривативын тэмдгүүд өөр байвал x 0 нь экстремум цэг, хэрэв таарч байвал x 0 нь экстремум цэг биш юм. . Түүнчлэн хэрэв x0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг (х 0-ийн зүүн талд f "(x)> 0 гүйцэтгэсэн бол x 0 нь хамгийн их цэг; хэрэв дериватив тэмдэг өөрчлөгдвөл хамгийн их цэг болно. хасахаас нэмэх хүртэл (x 0-ийн баруун талд f"(x) гүйцэтгэнэ<0, то х 0 - точка минимума.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум утга гэнэ.

Теорем 2 (локал экстремумын зайлшгүй шалгуур).

Хэрвээ y=f(x) функц нь одоогийн x=x 0 үед экстремумтай бол f'(x 0)=0 эсвэл f'(x 0) аль нь ч байхгүй.
Дифференциалагдах функцийн экстремум цэгүүдэд түүний графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна.

Экстремумын функцийг судлах алгоритм:

1) Функцийн деривативыг ол.
2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. функц тасралтгүй, дериватив нь тэг буюу байхгүй цэгүүд.
3) Цэг бүрийн хөрш зэргэлдээ байдлыг авч үзээд энэ цэгийн зүүн ба баруун талд деривативын тэмдгийг шалга.
4) Эгзэгтэй цэгүүдийн координатыг тодорхойлж, чухал цэгүүдийн энэ утгыг энэ функцэд орлуулна. Хангалттай экстремум нөхцөлийг ашиглан зохих дүгнэлтийг гарга.

Жишээ 18. y=x 3 -9x 2 +24x функцийг судал

Шийдэл.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ x 1 =2, x 2 =4 болно. Энэ тохиолдолд дериватив нь хаа сайгүй тодорхойлогддог; Иймээс олдсон хоёр цэгээс бусад чухал цэг байхгүй.
3) y "=3(x-2)(x-4) деривативын тэмдэг 1-р зурагт үзүүлсэн интервалаас хамаарч өөрчлөгдөнө. x=2 цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив нь нэмэхээс хасах тэмдэг рүү, мөн x=4 цэгээр дамжин өнгөрөх үед - хасахаас нэмэх.
4) x=2 цэгт функц хамгийн ихдээ y max =20, x=4 цэгт хамгийн бага y min =16 байна.

Теорем 3. (Экстремум байх 2-р хангалттай нөхцөл).

x 0 цэг дээр f "(x 0) ба f "" (x 0) байг. Хэрэв f "" (x 0)> 0 бол x 0 нь хамгийн бага цэг, хэрэв f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Сегмент дээр y \u003d f (x) функц нь интервал (a; b) эсвэл төгсгөлд байрлах функцийн чухал цэгүүдэд хамгийн бага (дор хаяж) эсвэл хамгийн том (хамгийн их) утгад хүрч болно. сегментийн.

Үргэлжилсэн y=f(x) функцийн сегмент дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

1) f "(x) -г ол.
2) f "(x) = 0 эсвэл f" (x) - байхгүй цэгүүдийг олж, тэдгээрээс сегмент дотор байрлахыг сонгоно уу.
3) y \u003d f (x) функцийн утгыг 2-р зүйлд олж авсан цэгүүд), түүнчлэн сегментийн төгсгөлд тооцоолж, тэдгээрийн хамгийн том ба хамгийн жижигийг сонгоно уу: тэдгээр нь тус тусад нь хамгийн том ( интервал дээрх хамгийн том) ба хамгийн бага (хамгийн бага) функцын утгууд.

Жишээ 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 хэрчим дээрх тасралтгүй функцийн хамгийн том утгыг ол.

1) Бид сегмент дээр y "=3x 2 -6x-45 байна
2) Y" дериватив нь бүх х-д байдаг. y"=0 байх цэгүүдийг олцгооё; бид авах:
3х2 -6х-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
Зөвхөн x=5 цэг нь хэрчимд хамаарна. Функцийн олдсон утгуудын хамгийн том нь 225, хамгийн бага нь 50 байна. Тэгэхээр max = 225, max = 50 байна.

Гүдгэр байдлын функцийг судлах

Зурагт хоёр функцийн графикийг харуулав. Тэдний эхнийх нь товойсон, хоёр дахь нь доошоо товойсон байна.

y=f(x) функц нь сегмент дээр тасралтгүй бөгөөд (a;b) интервалд дифференциалагдах бөгөөд axb-ийн хувьд түүний график шүргэгчээс өндөр (доод биш) оршдог бол энэ сегмент дээр гүдгэр дээш (доош) гэж нэрлэгддэг. дурын цэг дээр зурсан M 0 (x 0 ;f(x 0)), энд axb.

Теорем 4. y=f(x) функц нь хэрчмийн аль ч дотоод х цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байх ба энэ хэрчмийн төгсгөлд тасралтгүй байна. Дараа нь (a;b) интервал дээр f""(x)0 тэгш бус байдал хангагдсан бол функц нь сегмент дээр доошоо гүдгэр байна; (а;b) интервал дээр f""(x)0 тэгш бус байдал хангагдсан бол функц нь дээр дээшээ гүдгэр байна.

Теорем 5. Хэрэв y=f(x) функц нь (a;b) интервал дээр хоёр дахь деривативтай бөгөөд x 0 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдвөл M(x 0 ;f(x 0)) гулзайлтын цэг.

Гулзайлтын цэгийг олох дүрэм:

1) f""(x) байхгүй эсвэл алга болох цэгүүдийг ол.
2) Эхний алхам дээр олдсон цэг бүрийн баруун ба зүүн талд f""(x) тэмдгийг шалгана уу.
3) 4-р теорем дээр үндэслэн дүгнэлт гарга.

Жишээ 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 функцийн графикийн экстремум цэг ба гулзайлтын цэгийг ол.

Бидэнд f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 байна. x 1 =0, x 2 =1 бол f"(x)=0 гэдэг нь ойлгомжтой. Дериватив нь x=0 цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилдөг ба x=1 цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь x=0 нь хамгийн бага цэг (y min =12), x=1 цэгт экстремум байхгүй гэсэн үг юм. Дараа нь бид олдог . Хоёр дахь дериватив нь x 1 =1, x 2 =1/3 цэгүүдэд алга болно. Хоёрдахь деривативын шинж тэмдгүүд дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: (-∞;) туяа дээр бид f""(x)>0, (;1) интервал дээр f""(x) байна.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Иймд x= нь функцийн графикийн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс дээш гүдгэр рүү шилжих) ба x=1 нь мөн гулзайлтын цэг (гүдгэрээс дээш гүдгэр рүү шилжих) юм. Хэрэв x= бол y=; хэрэв, тэгвэл x=1, y=13.

Графикийн асимптотыг олох алгоритм

I. Хэрэв y=f(x) x → a гэж байвал x=a нь босоо асимптот болно.
II. Хэрэв y=f(x) бол x → ∞ эсвэл x → -∞ бол y=A нь хэвтээ асимптот болно.
III. Ташуу асимптотыг олохын тулд бид дараах алгоритмыг ашиглана.
1) Тооцоолох. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол y=b нь хэвтээ асимптот болно; бол хоёр дахь алхам руу очно уу.
2) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд k-тэй тэнцүү бол гурав дахь алхам руу орно.
3) Тооцоолох. Хэрэв энэ хязгаар байхгүй бол асимптот байхгүй болно; хэрэв байгаа бөгөөд b-тэй тэнцүү бол дөрөв дэх алхам руу орно.
4) y=kx+b ташуу асимптотын тэгшитгэлийг бич.

Жишээ 21: Функцийн асимптотыг ол

1)
2)
3)
4) Ташуу асимптот тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Функцийг судлах схем, түүний графикийг байгуулах

I. Функцийн мужийг ол.
II. Функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.
III. Асимптотуудыг ол.
IV. Боломжит экстремумын цэгүүдийг ол.
V. Чухал цэгүүдийг ол.
VI. Туслах зургийг ашиглан эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг судал. Функцийн өсөлт ба бууралтын талбайг тодорхойлж, графикийн гүдгэр, экстремум цэг, гулзайлтын цэгийн чиглэлийг ол.
VII. 1-6-р зүйлд хийсэн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ 22: Дээрх схемийн дагуу функцийн графикийг зур

Шийдэл.
I. Функцийн муж нь x=1-ээс бусад бүх бодит тоонуудын олонлог юм.
II. x 2 +1=0 тэгшитгэл нь бодит язгуургүй тул функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй, харин Oy тэнхлэгийг (0; -1) цэгээр огтолно.
III. Асимптотуудын оршин тогтнох тухай асуултыг тодруулцгаая. Бид x=1 тасалдсан цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судалдаг. x → -∞-ийн хувьд y → ∞, x → 1+ хувьд y → +∞ байх тул x=1 шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.
Хэрэв x → +∞(x → -∞) бол y → +∞(y → -∞); тиймээс графикт хэвтээ асимптот байхгүй байна. Цаашилбал, хязгаар байгаа эсэхээс

x 2 -2x-1=0 тэгшитгэлийг шийдэж, бид боломжит экстремумын хоёр цэгийг авна.
x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2

V. Чухал цэгүүдийг олохын тулд бид хоёр дахь деривативыг тооцоолно.

f""(x) алга болохгүй тул эгзэгтэй цэг байхгүй.
VI. Бид эхний болон хоёр дахь деривативуудын тэмдгийг судалж байна. Харгалзах боломжтой экстремум цэгүүд: x 1 =1-√2 ба x 2 =1+√2, функцийн оршин тогтнох талбайг интервалд хуваа (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ба (1+√2;+∞).

Эдгээр интервал бүрт дериватив нь тэмдэгээ хадгалдаг: эхнийх нь нэмэх, хоёр дахь нь хасах, гурав дахь нь нэмэх. Эхний деривативын тэмдгүүдийн дарааллыг дараах байдлаар бичнэ: +, -, +.
(-∞;1-√2) дээр функц нэмэгдэж, (1-√2;1+√2) дээр буурч, (1+√2;+∞) дээр дахин нэмэгддэг болохыг бид олж мэднэ. Экстремум цэгүүд: хамгийн ихдээ x=1-√2, үүнээс гадна f(1-√2)=2-2√2 хамгийн бага нь x=1+√2, цаашилбал f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) дээр график дээшээ гүдгэр, (1;+∞) дээр - доош.
VII Олж авсан утгуудын хүснэгтийг хийцгээе

VIII Хүлээн авсан өгөгдлүүд дээр үндэслэн бид функцийн графикийн тоймыг зурна

Функцийг судлах, тэдгээрийн графикийг байгуулах лавлах цэгүүд нь тасалдал, экстремум, гулзайлтын цэгүүд, координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд юм. Дифференциал тооцооллын тусламжтайгаар функцүүдийн өөрчлөлтийн онцлог шинж чанаруудыг тодорхойлох боломжтой: өсөлт ба бууралт, максимум ба минимум, графикийн гүдгэр ба хонхор чиглэл, асимптот байгаа эсэх.

Асимптот ба экстремум цэгүүдийг олсны дараа функцийн графикийн ноорог зурах боломжтой (мөн хийх ёстой) бөгөөд судалгааны явцад функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг бөглөх нь тохиромжтой.

Ихэвчлэн функциональ судалгааны дараах схемийг ашигладаг.

1.Функцийн домэйн, тасралтгүй байдлын интервал, таслах цэгийг ол.

2.Функцийг тэгш эсвэл сондгой (графикийн тэнхлэгийн эсвэл төв тэгш хэм) эсэхийг шалгана уу.

3.Асимптотуудыг олох (босоо, хэвтээ эсвэл ташуу).

4.Функцийн өсөлт, бууралтын интервал, түүний экстремум цэгүүдийг олж, судал.

5.Муруйн гүдгэр ба хотгорын интервал, түүний гулзайлтын цэгүүдийг ол.

6.Хэрэв тэдгээр нь байгаа бол муруйн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг ол.

7.Судалгааны хураангуй хүснэгтийг эмхэтгэх.

8.Дээрх цэгүүдийн дагуу гүйцэтгэсэн функцийн судалгааг харгалзан график байгуул.

Жишээ.Функцийг судлах

мөн үүнийг төлөвлө.

7. Функцийн судалгааны хураангуй хүснэгтийг гаргаж, бүх шинж чанарын цэгүүд болон тэдгээрийн хоорондох интервалуудыг оруулна. Функцийн паритетийг харгалзан бид дараах хүснэгтийг авна.