rumah › Macam-macam › Paradoks Monty Hall apabila 2 lebih besar daripada 3. Paradoks Monty Hall: perumusan dan penjelasan

Paradoks Monty Hall apabila 2 lebih besar daripada 3. Paradoks Monty Hall: perumusan dan penjelasan

Mengenai loteri

Permainan ini telah lama menjadi meluas dan telah menjadi sebahagian daripada kehidupan moden. Dan walaupun loteri semakin meluaskan keupayaannya, ramai orang masih melihatnya hanya sebagai cara untuk menjadi kaya. Ia mungkin tidak percuma atau boleh dipercayai. Sebaliknya, seperti yang dinyatakan oleh salah seorang wira Jack London, dalam perjudian Anda tidak boleh mengabaikan fakta - kadangkala orang bertuah.

Matematik peluang. Sejarah teori kebarangkalian

Alexander Bufetov

Transkrip dan rakaman video kuliah oleh Doktor Sains Fizikal dan Matematik, pembentang rakan penyelidik Institut Matematik Steklov, penyelidik terkemuka di Institut Masalah Perindustrian Akademi Sains Rusia, profesor di Fakulti Matematik di Sekolah Tinggi Ekonomi, pengarah penyelidikan Pusat Negara kajian saintifik di Perancis (CNRS) oleh Alexander Bufetov, diberikan sebagai sebahagian daripada siri "Kuliah awam "Polit.ru"" pada 6 Februari 2014.

Ilusi keteraturan: mengapa rawak kelihatan tidak wajar

Idea kami tentang rawak, semula jadi dan mustahil sering tidak bersetuju dengan data statistik dan teori kebarangkalian. Dalam buku "Peluang Tidak Sempurna. Bagaimana peluang menguasai hidup kita," ahli fizik dan pempopular sains Amerika Leonard Mlodinow bercakap tentang mengapa algoritma rawak kelihatan sangat pelik, apa yang menarik dalam lagu "secara rawak" mengocok pada iPod, dan apa yang bergantung kepada nasib penganalisis saham. "Teori dan Amalan" menerbitkan petikan daripada buku itu.

Determinisme

Determinisme ialah konsep saintifik umum dan doktrin falsafah tentang sebab, corak, hubungan genetik, interaksi dan syarat semua fenomena dan proses yang berlaku di dunia.

Tuhan adalah statistik

Deborah Nolan, seorang profesor statistik di University of California di Berkeley, meminta pelajarnya menyelesaikan tugas yang sangat pelik pada pandangan pertama. Kumpulan pertama mesti melambung duit syiling seratus kali dan menulis hasilnya: kepala atau ekor. Yang kedua mesti membayangkan bahawa dia sedang melambung syiling - dan juga membuat senarai ratusan hasil "khayalan".

Apa itu determinisme

Jika keadaan awal sistem diketahui, adalah mungkin, menggunakan undang-undang alam, untuk meramalkan keadaan terakhirnya.

Masalah Pengantin Pilih

Huseyn-Zade S. M.

Paradoks Zeno

Adakah mungkin untuk pergi dari satu titik di angkasa ke yang lain? Ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea percaya bahawa pergerakan tidak dapat dicapai sama sekali, tetapi bagaimana dia berhujah untuk ini? Colm Keller akan bercakap tentang cara menyelesaikan paradoks Zeno yang terkenal.

Paradoks set tak terhingga

Bayangkan sebuah hotel dengan bilangan bilik yang tidak terhingga. Sebuah bas tiba dengan bilangan tetamu masa depan yang tidak berkesudahan. Tetapi meletakkan semuanya tidak begitu mudah. Ini adalah kerumitan yang tidak berkesudahan, dan para tetamu tidak berkesudahan letih. Dan jika anda gagal untuk menangani tugas itu, maka anda boleh kehilangan jumlah wang yang tidak terhingga! Apa nak buat?

Pergantungan tumbesaran kanak-kanak pada ketinggian ibu bapa

Ibu bapa muda, tentu saja, ingin tahu berapa tinggi anak mereka apabila dewasa. Statistik matematik boleh menawarkan hubungan linear yang mudah untuk menganggarkan ketinggian kanak-kanak hanya berdasarkan ketinggian bapa dan ibu, dan juga menunjukkan ketepatan anggaran sedemikian.

Paradoks Monty Hall mungkin merupakan paradoks yang paling terkenal dalam teori kebarangkalian. Terdapat banyak variasi, contohnya, paradoks tiga banduan. Dan terdapat banyak tafsiran dan penjelasan tentang paradoks ini. Tetapi di sini, saya ingin memberikan bukan sahaja penjelasan rasmi, tetapi menunjukkan asas "fizikal" tentang apa yang berlaku dalam paradoks Monty Hall dan lain-lain seperti itu.

Formula klasik ialah:

“Anda adalah peserta dalam permainan. Terdapat tiga pintu di hadapan anda. Terdapat hadiah untuk salah seorang daripada mereka. Hos menjemput anda untuk cuba meneka di mana hadiahnya. Anda menunjuk ke salah satu pintu (secara rawak).

Perumusan Paradoks Monty Hall

Tuan rumah tahu di mana hadiah itu sebenarnya. Dia masih belum membuka pintu yang anda tunjuk. Tetapi ia membuka satu lagi pintu yang tinggal untuk anda, yang di belakangnya tidak ada hadiah. Persoalannya, adakah anda perlu menukar pilihan anda atau kekal dengan keputusan anda sebelum ini?

Ternyata jika anda hanya menukar pilihan anda, peluang anda untuk menang akan meningkat!

Paradoks keadaan adalah jelas. Nampaknya semua yang berlaku adalah rambang mata. Tidak ada bezanya sama ada anda berubah fikiran atau tidak. Tetapi itu tidak benar.

Penjelasan "fizikal" tentang sifat paradoks ini

Mari kita mula-mula tidak pergi ke kehalusan matematik, tetapi hanya melihat keadaan dengan fikiran terbuka.

Dalam permainan ini anda hanya lakukan dahulu pemilihan rawak. Kemudian penyampai memberitahu anda Maklumat tambahan , yang membolehkan anda meningkatkan peluang anda untuk menang.

Bagaimanakah penyampai memberi anda maklumat tambahan? Sangat ringkas. Perhatikan bahawa ia dibuka tiada satu pun pintu.

Mari, demi kesederhanaan (walaupun terdapat unsur penipuan dalam hal ini), pertimbangkan situasi yang lebih berkemungkinan: anda menunjuk ke pintu yang tidak ada hadiah di belakangnya. Kemudian, di sebalik salah satu pintu yang tinggal adalah hadiah Terdapat. Maksudnya, penyampai tiada pilihan. Dia membuka pintu yang sangat spesifik. (Anda tunjuk satu, ada hadiah di belakang yang lain, hanya ada satu pintu lagi yang boleh dibuka oleh ketua.)

Pada saat pilihan yang bermakna inilah dia memberi anda maklumat yang boleh anda gunakan.

DALAM dalam kes ini, penggunaan maklumat ialah anda mengubah keputusan anda.

By the way, pilihan kedua anda sudah pun bukan sengaja(atau lebih tepat, tidak rawak seperti pilihan pertama). Lagipun, anda memilih dari pintu tertutup, tetapi satu sudah terbuka dan ia tidak sewenang-wenangnya.

Sebenarnya, selepas pertimbangan ini, anda mungkin merasakan adalah lebih baik untuk mengubah keputusan anda. Ini adalah benar. Mari tunjukkan ini secara lebih formal.

Penjelasan yang lebih formal tentang paradoks Monty Hall

Malah, pilihan rawak pertama anda membahagikan semua pintu kepada dua kumpulan. Di sebalik pintu yang anda pilih terdapat hadiah dengan kebarangkalian 1/3, di belakang dua yang lain - dengan kebarangkalian 2/3. Sekarang pemimpin membuat perubahan: dia membuka satu pintu dalam kumpulan kedua. Dan kini keseluruhan kebarangkalian 2/3 hanya terpakai pada pintu tertutup dari kumpulan dua pintu.

Sudah jelas bahawa sekarang adalah lebih menguntungkan untuk anda mengubah keputusan anda.

Walaupun, sudah tentu, anda masih mempunyai peluang untuk kalah.

Walau bagaimanapun, menukar pilihan anda meningkatkan peluang anda untuk menang.

Paradoks Dewan Monty

Paradoks Monty Hall adalah masalah kebarangkalian, penyelesaiannya (menurut beberapa) adalah bertentangan dengan akal sehat. Rumusan masalah:

Bayangkan anda adalah peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih salah satu daripada tiga pintu. Di belakang salah satu pintu adalah sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi adalah kambing.
Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu ketua, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing.

Paradoks Monty Hall. Matematik yang paling tidak tepat

Dia kemudian bertanya kepada anda jika anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2.
Adakah peluang anda untuk memenangi kereta meningkat jika anda menerima tawaran penyampai dan menukar pilihan anda?

Apabila menyelesaikan masalah, ia sering tersilap mengandaikan bahawa kedua-dua pilihan adalah bebas dan, oleh itu, kebarangkalian tidak akan berubah jika pilihan itu diubah. Sebenarnya, ini tidak berlaku, seperti yang anda boleh lihat dengan mengingati formula Bayes atau melihat hasil simulasi di bawah:

Di sini: "strategi 1" - jangan ubah pilihan, "strategi 2" - tukar pilihan. Secara teorinya, untuk kes dengan 3 pintu, taburan kebarangkalian ialah 33.(3)% dan 66.(6)%. Simulasi berangka harus menghasilkan hasil yang serupa.

Pautan

Paradoks Dewan Monty– masalah daripada bahagian teori kebarangkalian, penyelesaiannya bercanggah dengan akal sehat.

Sejarah[sunting | edit teks wiki]

Pada akhir tahun 1963 ia disiarkan rancangan bual bicara baru bertajuk “Let’s Make a Deal” (“Mari kita mencapai persetujuan”). Menurut senario kuiz, penonton daripada penonton menerima hadiah untuk jawapan yang betul, mempunyai peluang untuk meningkatkannya dengan membuat pertaruhan baharu, tetapi mempertaruhkan kemenangan sedia ada mereka. Pengasas rancangan itu ialah Stefan Hatosu dan Monty Hall, yang terakhir menjadi hos tetapnya selama bertahun-tahun.

Salah satu tugas untuk para peserta ialah melukis Hadiah Utama, yang terletak di belakang salah satu daripada tiga pintu. Di belakang dua baki hadiah insentif, dan penyampai pula mengetahui susunan susunan mereka. Peserta perlu menentukan pintu kemenangan dengan mempertaruhkan keseluruhan kemenangan mereka untuk persembahan itu.

Apabila penebak memutuskan nombor, penyampai membuka salah satu pintu yang tinggal, di belakangnya terdapat hadiah insentif, dan menjemput pemain untuk menukar pintu yang dipilih pada mulanya.

Perkataan[sunting | edit teks wiki]

Sebagai masalah khusus, paradoks itu mula-mula dirumuskan oleh Steve Selvin pada tahun 1975, apabila dia menghantar majalah The American Statistician dan hos Monty Hall soalan: adakah peluang peserta untuk memenangi Hadiah Utama berubah jika, selepas membuka pintu dengan insentif, adakah dia akan berubah? mengubah pilihannya? Selepas kejadian ini, konsep "Monty Hall Paradox" muncul.

Pada tahun 1990, versi paradoks yang paling biasa diterbitkan dalam Majalah Parade dengan contoh:

“Bayangkan diri anda dalam pertunjukan permainan di mana anda perlu memilih salah satu daripada tiga pintu: dua daripadanya adalah kambing, dan yang ketiga adalah sebuah kereta. Apabila anda membuat pilihan, dengan mengandaikan, sebagai contoh, bahawa pintu yang menang adalah nombor satu, pemimpin membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, contohnya, nombor tiga, di belakangnya adalah seekor kambing. Kemudian anda diberi peluang untuk menukar pemilihan ke pintu lain? Bolehkah anda meningkatkan peluang anda untuk memenangi kereta jika anda menukar pilihan anda dari pintu nombor satu kepada pintu nombor dua?

Rumusan ini adalah versi yang dipermudahkan, kerana Masih ada faktor pengaruh penyampai, yang tahu di mana kereta itu berada dan berminat dengan kehilangan peserta.

Untuk tugas menjadi matematik semata-mata, adalah perlu untuk menghapuskan faktor manusia dengan memperkenalkan pembukaan pintu dengan hadiah insentif dan keupayaan untuk menukar pilihan awal sebagai syarat penting.

Penyelesaian[sunting | edit teks wiki]

Apabila membandingkan peluang, pada pandangan pertama, menukar nombor pintu tidak akan memberi apa-apa kelebihan, kerana ketiga-tiga pilihan mempunyai 1/3 peluang untuk menang (lebih kurang 33.33% untuk setiap tiga pintu). Dalam kes ini, membuka salah satu pintu tidak akan menjejaskan peluang dua yang tinggal, yang peluangnya akan menjadi 1/2 hingga 1/2 (50% untuk setiap dua pintu yang tinggal). Penghakiman ini berdasarkan andaian bahawa pilihan pintu pemain dan pilihan pintu ketua adalah dua acara bebas yang tidak menjejaskan satu sama lain. Pada hakikatnya, adalah perlu untuk mempertimbangkan keseluruhan urutan peristiwa secara keseluruhan. Selaras dengan teori kebarangkalian, peluang pintu pertama yang dipilih dari awal hingga akhir permainan adalah selalunya 1/3 (lebih kurang 33.33%), dan dua yang selebihnya mempunyai jumlah 1/3+1 /3 = 2/3 (lebih kurang 66.66%). Apabila salah satu daripada dua pintu yang tinggal dibuka, peluangnya menjadi 0% (terdapat hadiah insentif tersembunyi di belakangnya), dan akibatnya, peluang untuk menutup pintu yang tidak dipilih ialah 66.66%, i.e. dua kali lebih banyak daripada pilihan asal.

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk memahami keputusan pilihan, anda boleh mempertimbangkan situasi alternatif di mana bilangan pilihan akan lebih besar, sebagai contoh, seribu. Kebarangkalian untuk memilih pilihan yang menang ialah 1/1000 (0.1%). Memandangkan sembilan ratus sembilan puluh lapan yang tidak betul kemudiannya dibuka daripada baki sembilan ratus sembilan puluh sembilan pilihan, menjadi jelas bahawa kebarangkalian satu pintu yang tinggal daripada sembilan ratus sembilan puluh sembilan yang tidak dipilih adalah lebih tinggi daripada satu-satunya yang dipilih pada mulanya.

Sebutan[sunting | edit teks wiki]

Anda boleh mencari rujukan kepada Monty Hall Paradox dalam "Twenty-One" (filem oleh Robert Luketic), "The Klutz" (novel oleh Sergei Lukyanenko), siri televisyen "4isla" (siri TV), "The Mysterious Murder of a Dog in the Night-Time" (cerita oleh Mark Haddon), "XKCD" (buku komik), "MythBusters" (rancangan TV).

Lihat juga[sunting | edit teks wiki]

Imej itu menunjukkan proses memilih antara dua pintu terkubur daripada tiga pintu yang dicadangkan pada mulanya

Contoh penyelesaian kepada masalah kombinatorik

Kombinatorik adalah sains yang semua orang temui Kehidupan seharian: berapa banyak cara untuk memilih 3 orang atendan untuk membersihkan kelas atau berapa banyak cara untuk membentuk perkataan daripada huruf yang diberikan.

Secara umum, kombinatorik membolehkan anda mengira berapa banyak kombinasi yang berbeza, mengikut syarat tertentu, boleh dibuat daripada objek yang diberikan (sama atau berbeza).

Sebagai sains, kombinatorik berasal dari abad ke-16, dan kini setiap pelajar (dan selalunya juga pelajar sekolah) mempelajarinya. Mereka mula belajar dengan konsep pilih atur, peletakan, gabungan (dengan atau tanpa ulangan); anda akan menemui masalah mengenai topik ini di bawah. Peraturan kombinatorik yang paling terkenal ialah peraturan jumlah dan produk, yang paling kerap digunakan dalam masalah gabungan biasa.

Di bawah anda akan menemui beberapa contoh masalah dengan penyelesaian menggunakan konsep dan peraturan gabungan yang akan membantu anda memahami tugas biasa. Jika anda menghadapi masalah dengan tugasan, pesan ujian pada kombinatorik.

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian dalam talian

Tugasan 1. Ibu ada 2 biji epal dan 3 biji pear. Setiap hari selama 5 hari berturut-turut dia mengeluarkan sebiji buah. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian masalah kombinatorik 1 (pdf, 35 Kb)

Tugasan 2. Sebuah perusahaan boleh menyediakan kerja untuk 4 wanita dalam satu kepakaran, 6 lelaki untuk yang lain dan 3 pekerja untuk satu pertiga, tanpa mengira jantina. Berapa banyak cara boleh diisi sekiranya terdapat 14 pemohon: 6 wanita dan 8 lelaki?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 2 (pdf, 39 Kb)

Tugasan 3. Terdapat 9 gerabak dalam kereta api penumpang. Dalam berapa banyak cara 4 orang boleh duduk di atas kereta api, dengan syarat mereka semua menaiki gerabak yang berbeza?

Penyelesaian masalah kombinatorik 3 (pdf, 33 Kb)

Tugasan 4. Terdapat 9 orang dalam kumpulan. Berapa banyak subkumpulan berbeza yang boleh anda bentuk, dengan syarat subkumpulan itu termasuk sekurang-kurangnya 2 orang?

Penyelesaian kepada masalah kombinatorik 4 (pdf, 34 Kb)

Tugasan 5. Sekumpulan 20 pelajar perlu dibahagikan kepada 3 pasukan, dan pasukan pertama hendaklah merangkumi 3 orang, kedua - 5 dan ketiga - 12. Dalam berapa banyak cara ini boleh dilakukan?

Penyelesaian masalah dalam kombinatorik 5 (pdf, 37 Kb)

Tugasan 6. Jurulatih memilih 5 orang daripada 10 orang untuk menyertai pasukan itu. Berapa banyak cara dia boleh membentuk pasukan itu jika 2 orang lelaki tertentu akan berada dalam pasukan itu?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 6 (pdf, 33 Kb)

Tugasan 7. 15 pemain catur mengambil bahagian dalam kejohanan catur, dan setiap daripada mereka bermain hanya satu permainan dengan setiap yang lain. Berapa banyak permainan telah dimainkan dalam kejohanan ini?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 7 (pdf, 37 Kb)

Tugasan 8. Berapa banyak pecahan berbeza boleh dibuat daripada nombor 3, 5, 7, 11, 13, 17 supaya setiap pecahan mengandungi 2 nombor yang berbeza? Berapakah bilangan pecahan wajar?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 8 (pdf, 32 Kb)

Tugasan 9. Berapa banyak perkataan yang anda boleh dapat dengan menyusun semula huruf dalam perkataan Mountain and Institute?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 9 (pdf, 32 Kb)

Masalah 10. Nombor yang manakah dari 1 hingga 1,000,000 lebih besar: nombor di mana unit berlaku, atau nombor yang tidak berlaku?

Masalah kombinatorik dengan penyelesaian 10 (pdf, 39 Kb)

Contoh sedia dibuat

Perlukan masalah kombinatorik yang diselesaikan? Cari dalam buku kerja:

Penyelesaian lain untuk masalah dalam teori kebarangkalian

Penyelesaiannya, pada pandangan pertama, bercanggah dengan akal sehat.

YouTube ensiklopedia

1 / 5

Masalah ini dirumuskan sebagai penerangan tentang permainan berdasarkan rancangan permainan Amerika Let's Make a Deal, dan dinamakan sempena pengacara rancangan itu. Rumusan yang paling biasa bagi masalah ini, diterbitkan pada tahun 1990 dalam jurnal Majalah Perarakan, bunyi seperti ini:

Bayangkan anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana anda perlu memilih salah satu daripadanya tiga pintu. Di belakang salah satu pintu ada sebuah kereta, di belakang dua pintu lagi ada kambing. Anda memilih salah satu pintu, contohnya, nombor 1, selepas itu ketua, yang tahu di mana kereta dan di mana kambing, membuka salah satu pintu yang tinggal, contohnya, nombor 3, di belakangnya ada kambing. Selepas itu, dia bertanya kepada anda adakah anda ingin menukar pilihan anda dan memilih pintu nombor 2? Adakah peluang anda untuk memenangi kereta meningkat jika anda menerima tawaran penyampai dan menukar pilihan anda?

Selepas penerbitan, ia dengan serta-merta menjadi jelas bahawa tugas itu dirumuskan dengan salah: tidak semua syarat dinyatakan. Sebagai contoh, penyampai boleh mengikut strategi "Monty from Hell": menawarkan perubahan pilihan jika dan hanya jika pemain memilih kereta sebagai langkah pertama mereka. Jelas sekali, menukar pilihan awal akan membawa kepada kerugian yang terjamin dalam situasi sedemikian (lihat di bawah).

Yang paling popular adalah tugas dengan syarat tambahan - peserta dalam permainan mengetahui peraturan berikut terlebih dahulu:

kereta itu berkemungkinan sama diletakkan di belakang mana-mana tiga pintu;
Walau apa pun, penyampai diwajibkan untuk membuka pintu dengan kambing (tetapi bukan yang dipilih oleh pemain) dan menjemput pemain untuk menukar pilihan;
Jika pemimpin mempunyai pilihan mana satu daripada dua pintu untuk dibuka, dia memilih salah satu daripada dua pintu dengan kebarangkalian yang sama.

Teks berikut membincangkan masalah Monty Hall dalam rumusan ini dengan tepat.

Analisis

Untuk strategi kemenangan, perkara berikut adalah penting: jika anda menukar pilihan pintu selepas tindakan pemimpin, maka anda menang jika anda pada mulanya memilih pintu yang kalah. Ini berkemungkinan berlaku 2 ⁄ 3 , kerana pada mulanya anda boleh memilih pintu yang hilang dalam 2 daripada 3 cara.

Tetapi selalunya apabila menyelesaikan masalah ini, mereka membuat alasan seperti ini: pemimpin sentiasa mengeluarkan satu pintu yang hilang, dan kemudian kebarangkalian kereta muncul di belakang dua yang tidak terbuka menjadi sama dengan ½, tanpa mengira pilihan awal. Tetapi ini tidak benar: walaupun memang terdapat dua kemungkinan untuk dipilih, kemungkinan ini (dengan mengambil kira latar belakang) tidak sama kemungkinannya! Ini benar kerana semua pintu pada mulanya mempunyai peluang yang sama untuk menang, tetapi kemudian mempunyai kebarangkalian yang berbeza untuk disingkirkan.

Bagi kebanyakan orang, kesimpulan ini bercanggah dengan persepsi intuitif tentang keadaan, dan disebabkan percanggahan yang terhasil antara kesimpulan logik dan jawapan yang cenderung kepada pendapat intuitif, masalah itu dipanggil. Paradoks Monty Hall.

Keadaan dengan pintu menjadi lebih jelas jika anda membayangkan bahawa tidak ada 3 pintu, tetapi, katakan, 1000, dan selepas pilihan pemain, penyampai mengeluarkan 998 pintu tambahan, meninggalkan 2 pintu: yang dipilih pemain dan satu lagi. Nampaknya lebih jelas bahawa kebarangkalian untuk mencari hadiah di sebalik pintu ini adalah berbeza dan tidak sama dengan ½. Jika kita menukar pintu, kita kalah hanya jika kita memilih pintu hadiah dahulu, kebarangkaliannya ialah 1:1000. Kami menang jika pilihan awal kami adalah Tidak betul, dan kebarangkalian ini adalah 999 daripada 1000. Dalam kes 3 pintu, logiknya kekal, tetapi kebarangkalian untuk menang apabila menukar keputusan adalah lebih rendah, iaitu 2 ⁄ 3 .

Satu lagi cara penaakulan ialah menggantikan keadaan dengan yang setara. Mari kita bayangkan bahawa bukannya pemain membuat pilihan awal (biar ia sentiasa menjadi pintu No. 1) dan kemudian ketua membuka pintu dengan kambing di antara yang tinggal (iaitu, sentiasa antara No. 2 dan No. 3), bayangkan bahawa pemain perlu meneka pintu pada percubaan pertama, tetapi dia sebelum ini dimaklumkan bahawa mungkin ada kereta di belakang pintu No. 1 dengan kebarangkalian awal (33%), dan antara pintu yang tinggal ditunjukkan yang mana pintu pasti tiada kereta di belakang (0%). Oleh itu, pintu terakhir akan sentiasa menyumbang 67%, dan strategi untuk memilihnya adalah lebih baik.

Tingkah laku penyampai lain

Versi klasik Paradoks Monty Hall menyatakan bahawa tuan rumah pasti akan menawarkan pemain untuk menukar pintu, tidak kira sama ada dia memilih kereta atau tidak. Tetapi tingkah laku pemimpin yang lebih kompleks juga mungkin. Jadual ini menerangkan secara ringkas beberapa tingkah laku.

Kemungkinan tingkah laku penyampai
Tingkah laku penyampai	Hasilnya
"Hell Monty": Hos mencadangkan menukar jika pintunya betul.	Perubahan akan sentiasa menghasilkan seekor kambing.
"Angel Monty": hos mencadangkan menukar jika pintu salah.	Perubahan akan sentiasa memberi anda kereta.
"Ignorant Monty" atau "Monty Buh": penyampai secara tidak sengaja jatuh, pintu terbuka, dan ternyata tiada kereta di belakangnya. Dalam erti kata lain, penyampai sendiri tidak tahu apa yang ada di belakang pintu, dia membuka pintu sepenuhnya secara rawak, dan hanya secara kebetulan tidak ada kereta di belakangnya.	Perubahan memberikan keuntungan dalam ½ daripada kes. Beginilah cara rancangan Amerika "Deal or No Deal" berfungsi - namun, pintu rawak dibuka oleh pemain itu sendiri, dan jika tiada kereta di belakangnya, hos menawarkan untuk menukarnya.
Tuan rumah memilih salah satu kambing dan membukanya jika pemain memilih pintu lain.	Perubahan memberikan keuntungan dalam ½ daripada kes.
Pemimpin sentiasa membuka kambing. Jika kereta dipilih, kambing kiri terbuka dengan kebarangkalian hlm dan betul dengan kebarangkalian q=1−hlm.	Jika pemimpin membuka pintu kiri, peralihan memberikan kemenangan dengan kebarangkalian 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Jika betul - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Walau bagaimanapun, subjek tidak boleh dalam apa-apa cara mempengaruhi kebarangkalian bahawa pintu yang betul akan dibuka - tanpa mengira pilihannya, ini akan berlaku dengan kebarangkalian 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Sama, hlm=q= ½ (huruf klasik).	Perubahan itu memberikan kemenangan dengan kebarangkalian 2 ⁄ 3 .
Sama, hlm=1, q=0 ("Monty yang tidak berdaya" - penyampai yang letih berdiri di pintu kiri dan membuka kambing yang lebih dekat).	Jika pemimpin membuka pintu yang betul, perubahan itu memberikan kemenangan yang terjamin. Jika dibiarkan - kebarangkalian ½.
Penyampai sentiasa membuka kambing jika kereta dipilih, dan dengan kebarangkalian ½ sebaliknya.	Perubahan itu memberikan kemenangan dengan kebarangkalian ½.
Kes umum: permainan diulang berkali-kali, kebarangkalian menyembunyikan kereta di belakang satu atau pintu lain, serta membuka satu atau satu lagi pintu adalah sewenang-wenangnya, tetapi pemimpin tahu di mana kereta itu dan sentiasa menawarkan perubahan, membuka salah satu daripada kambing-kambing itu.	Keseimbangan Nash: pemimpin mendapat manfaat paling banyak daripada paradoks Monty Hall dalam bentuk klasiknya (kebarangkalian menang 2 ⁄ 3 ). Kereta itu bersembunyi di sebalik mana-mana pintu dengan kebarangkalian ⅓; jika ada pilihan, kami buka mana-mana kambing secara rawak.
Perkara yang sama, tetapi penyampai mungkin tidak membuka pintu sama sekali.	Keseimbangan Nash: adalah menguntungkan bagi pemimpin untuk tidak membuka pintu, kebarangkalian untuk menang ialah ⅓.

lihat juga

Nota

Tierney, John (21 Julai 1991), "Behind Monty's Hall"s Doors: Teka-teki, Perbahasan dan Jawapan? ", The New York Times, . Dicapai pada 18 Januari 2008.

Formulasi

Yang paling popular ialah tugas dengan syarat tambahan No. 6 dari jadual - peserta dalam permainan mengetahui peraturan berikut terlebih dahulu:

kereta itu berkemungkinan sama diletakkan di belakang mana-mana daripada 3 pintu;
Walau apa pun, penyampai diwajibkan untuk membuka pintu dengan kambing dan menjemput pemain untuk menukar pilihan, tetapi bukan pintu yang dipilih oleh pemain;
jika pemimpin mempunyai pilihan antara 2 pintu untuk dibuka, dia memilih salah satu daripadanya dengan kebarangkalian yang sama.

Teks berikut membincangkan masalah Monty Hall dalam rumusan ini dengan tepat.

Analisis

Apabila menyelesaikan masalah ini, mereka biasanya membuat alasan seperti ini: pemimpin sentiasa mengeluarkan satu pintu yang hilang, dan kemudian kebarangkalian kereta muncul di belakang dua pintu terbuka menjadi sama dengan 1/2, tanpa mengira pilihan awal.

Intinya ialah dengan pilihan awalnya peserta membahagikan pintu: pintu yang dipilih A dan dua lagi - B Dan C. Kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang pintu yang dipilih = 1/3, bahawa ia berada di belakang yang lain = 2/3.

Bagi setiap pintu yang tinggal, keadaan semasa diterangkan seperti berikut:

P(B) = 2/3*1/2 = 1/3

P(C) = 2/3*1/2 = 1/3

Di mana 1/2 ialah kebarangkalian bersyarat untuk mencari kereta tepat di belakang pintu tertentu, dengan syarat kereta itu tidak berada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain.

Penyampai, membuka salah satu pintu yang tinggal, yang sentiasa kalah, dengan itu memaklumkan pemain dengan tepat 1 bit maklumat dan menukar kebarangkalian bersyarat untuk B dan C, masing-masing, kepada "1" dan "0".

Akibatnya, ungkapan mengambil bentuk:

P(B) = 2/3*1 = 2/3

Oleh itu, peserta harus menukar pilihan asalnya - dalam kes ini, kebarangkalian untuk menang adalah sama dengan 2/3.

Salah satu penjelasan paling mudah adalah seperti berikut: jika anda menukar pintu selepas tindakan tuan rumah, maka anda menang jika pada mulanya anda memilih pintu yang kalah (maka tuan rumah akan membuka pintu yang kalah kedua dan anda perlu menukar pilihan anda untuk menang) . Dan pada mulanya anda boleh memilih pintu yang hilang dalam 2 cara (kebarangkalian 2/3), i.e. jika anda menukar pintu, anda menang dengan kebarangkalian 2/3.

Kesimpulan ini bercanggah dengan persepsi intuitif keadaan oleh kebanyakan orang, itulah sebabnya tugas yang diterangkan dipanggil Paradoks Monty Hall, iaitu paradoks dalam pengertian sehari-hari.

Dan persepsi intuitif adalah ini: membuka pintu dengan kambing, penyampai meletakkan di hadapan pemain tugasan baru, yang sama sekali tidak berkaitan dengan pilihan sebelumnya - selepas semua, kambing adalah untuk buka pintu akan berubah tanpa mengira sama ada pemain sebelum ini memilih kambing atau kereta. Selepas pintu ketiga dibuka, pemain perlu membuat pilihan sekali lagi - dan memilih sama ada pintu yang sama yang dia pilih sebelum ini, atau yang lain. Iaitu, dia tidak mengubah pilihan sebelumnya, tetapi membuat yang baru. Penyelesaian matematik menganggap dua tugas berturut-turut pemimpin sebagai berkaitan antara satu sama lain.

Walau bagaimanapun, seseorang harus mengambil kira faktor dari syarat bahawa penyampai akan membuka pintu dengan kambing dari dua yang tinggal, dan bukan pintu yang dipilih oleh pemain. Oleh itu, pintu yang tinggal mempunyai peluang yang lebih baik untuk menjadi kereta kerana ia tidak dipilih oleh ketua. Jika kita mempertimbangkan kes apabila penyampai, mengetahui bahawa ada kambing di belakang pintu yang dipilih oleh pemain, namun membuka pintu ini, dengan berbuat demikian dia akan sengaja mengurangkan peluang pemain untuk memilih pintu yang betul, kerana kebarangkalian pilihan yang tepat ia akan menjadi 1/2. Tetapi permainan jenis ini akan mempunyai peraturan yang berbeza.

Mari kita berikan satu lagi penjelasan. Katakan anda bermain mengikut sistem yang diterangkan di atas, i.e. daripada dua pintu yang tinggal, anda sentiasa memilih pintu yang berbeza daripada pilihan asal anda. Dalam kes mana anda akan kalah? Kerugian akan berlaku jika dan hanya jika dari awal lagi anda memilih pintu di belakang tempat kereta itu terletak, kerana seterusnya anda pasti akan mengubah keputusan anda memihak kepada pintu dengan kambing, dalam semua kes lain anda akan menang, iaitu , jika dari awal lagi Kami membuat kesilapan dengan pilihan pintu. Tetapi kebarangkalian memilih pintu dengan kambing dari awal adalah 2/3, jadi ternyata untuk menang anda memerlukan ralat, kebarangkalian yang dua kali lebih tinggi daripada pilihan yang betul.

Sebutan

Dalam filem Twenty-One, guru, Miki Rosa, menawarkan watak utama, Ben, untuk menyelesaikan masalah: di belakang tiga pintu terdapat dua skuter dan satu kereta, anda perlu meneka pintu dengan kereta itu. Selepas pilihan pertama, Miki mencadangkan menukar pilihan. Ben bersetuju dan berhujah secara matematik untuk keputusannya. Jadi dia secara tidak sengaja lulus ujian untuk pasukan Mika.
Dalam novel Sergei Lukyanenko "Klutz", watak utama, menggunakan teknik ini, memenangi kereta dan peluang untuk meneruskan perjalanan mereka.
Dalam siri televisyen "4isla" (episod 13 musim 1 "Man Hunt"), salah seorang watak utama, Charlie Epps, menerangkan paradoks Monty Hall pada kuliah popular mengenai matematik, dengan jelas menggambarkannya menggunakan papan penanda, pada keburukan yang mana kambing dan kereta ditarik. Charlie sebenarnya mencari kereta itu selepas menukar pilihannya. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa dia hanya menjalankan satu eksperimen, manakala kelebihan strategi penukaran pilihan adalah statistik, dan satu siri eksperimen perlu dijalankan untuk menggambarkannya dengan betul.
The Monty Hall Paradox dibincangkan dalam diari wira cerita Mark Haddon "The Curious Murder of the Dog in the Night-Time."
The Monty Hall Paradox telah diuji oleh MythBusters

lihat juga

Paradoks Bertrand

Pautan

Prototaip interaktif: untuk mereka yang ingin bermain-main (penjanaan berlaku selepas pilihan pertama)
Prototaip interaktif: prototaip sebenar permainan (kad dijana sebelum pemilihan, kerja prototaip adalah telus)
Video penjelasan di laman web Smart Videos .ru

Weisstein, Eric W. Monty Hall's Paradox (Bahasa Inggeris) di laman web Wolfram MathWorld.
The Monty Hall Paradox di tapak web rancangan TV Let's Make a deal
Petikan dari buku oleh S. Lukyanenko, yang menggunakan paradoks Monty Hall
Satu lagi penyelesaian Bayes Satu lagi penyelesaian Bayes di forum Novosibirsk State University

kesusasteraan

Gmurman V.E. Teori kebarangkalian dan statistik matematik, - M.: Pendidikan tinggi. 2005
Gnedin, Sasha "Permainan Mondee Gills." majalah Kecerdasan Matematik, 2011 http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf
Majalah Perarakan mulai 17 Februari.
vos Savant, Marilyn. Lajur "Tanya Marilyn", majalah Majalah Perarakan mulai 26 Februari.
Bapeswara Rao, V. V. dan Rao, M. Bhaskara. "Pertunjukan permainan tiga pintu dan beberapa variannya." Majalah Ahli Sains Matematik, 1992, № 2.
Tijms, Henk. Memahami Kebarangkalian, Peraturan Peluang dalam Kehidupan Seharian. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Nota

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa "Monty Hall Paradox" dalam kamus lain:

Untuk mencari kereta, pemain memilih pintu 1. Kemudian penyampai membuka pintu ke-3, di belakangnya terdapat seekor kambing, dan menjemput pemain untuk menukar pilihannya ke pintu 2. Patutkah dia melakukan ini? Paradoks Monty Hall adalah salah satu masalah teori yang terkenal... ... Wikipedia

- (The Tie Paradox) adalah paradoks yang terkenal, serupa dengan masalah dua sampul surat, yang juga menunjukkan keanehan persepsi subjektif teori kebarangkalian. Intipati paradoks: dua lelaki saling memberi ikatan untuk Krismas, dibeli oleh mereka... ... Wikipedia

Bayangkan bahawa seorang jurubank menawarkan anda untuk memilih satu daripada tiga kotak tertutup. Dalam salah satu daripada mereka terdapat 50 sen, yang lain - satu dolar, yang ketiga - 10 ribu dolar. Mana-mana yang anda pilih, anda akan menerimanya sebagai hadiah.

Anda pilih secara rawak, katakan, kotak No. 1. Dan kemudian jurubank (yang, secara semula jadi, tahu di mana segala-galanya) tepat di hadapan mata anda membuka kotak dengan satu dolar (katakan ini No. 2), selepas itu dia menjemput anda untuk menukar kotak No. 1 yang dipilih pada mulanya kepada kotak No 3.

Adakah anda perlu mengubah fikiran anda? Adakah ini akan meningkatkan peluang anda untuk mendapat 10 ribu?

Ini adalah paradoks Monty Hall - masalah dalam teori kebarangkalian, penyelesaiannya, pada pandangan pertama, bercanggah dengan akal sehat. Orang ramai telah membingungkan masalah ini sejak tahun 1975.

Paradoks itu dinamakan sempena hos rancangan TV Amerika yang popular "Let's Make a Deal." Rancangan TV ini mempunyai peraturan yang sama, hanya peserta yang memilih pintu, di belakang dua daripadanya terdapat kambing bersembunyi, di belakang yang ketiga - Cadillac.

Kebanyakan pemain beralasan bahawa selepas terdapat dua pintu tertutup dan terdapat Cadillac di belakang salah satu daripadanya, maka peluang untuk mendapatkannya adalah 50-50. Jelas sekali, apabila hos membuka satu pintu dan menjemput anda untuk menukar keputusan anda, dia mula permainan baru. Sama ada anda mengubah keputusan anda atau tidak, peluang anda masih 50 peratus. Betul ke?

Ternyata tidak. Malah, dengan mengubah fikiran anda, anda boleh menggandakan peluang anda untuk berjaya. kenapa?

Penjelasan paling mudah untuk jawapan ini ialah pertimbangan berikut. Untuk memenangi kereta tanpa mengubah pilihan, pemain mesti segera meneka pintu di belakang tempat kereta itu berada. Kebarangkalian ini ialah 1/3. Jika pemain pada mulanya mendarat di pintu yang terdapat kambing di belakangnya (dan kebarangkalian acara ini ialah 2/3, kerana terdapat dua kambing dan hanya satu kereta), maka dia pasti boleh memenangi kereta itu dengan mengubah keputusannya, kerana kereta dan seekor kambing kekal, dan penyampai sudah membuka pintu dengan kambing itu.

Oleh itu, tanpa mengubah pilihan, pemain kekal dengan kebarangkalian awalnya untuk menang 1/3, dan apabila menukar pilihan awal, pemain mendapat manfaat daripada dua kali baki kebarangkalian yang dia silap pada mulanya.

Penjelasan intuitif juga boleh dibuat dengan menukar dua acara. Acara pertama ialah pemain membuat keputusan untuk menukar pintu, acara kedua ialah pembukaan pintu tambahan. Ini boleh diterima, kerana membuka pintu tambahan tidak memberi pemain apa-apa maklumat baru(lihat artikel ini untuk dokumentasi). Kemudian masalah itu boleh dikurangkan kepada rumusan berikut. Pada saat pertama, pemain membahagikan pintu kepada dua kumpulan: dalam kumpulan pertama terdapat satu pintu (yang dia pilih), dalam kumpulan kedua terdapat dua pintu yang tinggal. Pada masa berikutnya, pemain membuat pilihan antara kumpulan. Jelas sekali, untuk kumpulan pertama kebarangkalian menang ialah 1/3, untuk kumpulan kedua ialah 2/3. Pemain memilih kumpulan kedua. Dalam kumpulan kedua, dia boleh membuka kedua-dua pintu. Satu dibuka oleh penyampai, dan yang kedua oleh pemain itu sendiri.

Mari cuba berikan penjelasan yang "paling mudah difahami". Mari kita rumuskan semula tugas: Penyampai yang jujur mengumumkan kepada pemain bahawa terdapat sebuah kereta di belakang salah satu daripada tiga pintu, dan menjemputnya untuk mula-mula menunjuk ke salah satu pintu, dan kemudian memilih salah satu daripada dua tindakan: buka pintu yang ditunjukkan (dalam rumusan lama ini dipanggil "jangan ubah pilihan anda ") atau buka dua yang lain (dalam rumusan lama ini hanya "ubah pilihan". Fikirkan, di sini terletak kunci untuk memahami!). Adalah jelas bahawa pemain akan memilih yang kedua daripada dua tindakan, kerana kebarangkalian untuk menerima kereta dalam kes ini adalah dua kali lebih tinggi. Dan perkara kecil yang penyampai "menunjukkan kambing" walaupun sebelum memilih tindakan tidak membantu atau menghalang pilihan, kerana di sebalik salah satu daripada dua pintu sentiasa ada seekor kambing dan penyampai pasti akan menunjukkannya pada setiap pusingan permainan , jadi pemain boleh menggunakan kambing ini jangan lihat. Terpulang kepada pemain, jika dia memilih tindakan kedua, untuk mengucapkan "terima kasih" kepada ketua kerana menyelamatkannya daripada masalah membuka satu daripada dua pintu itu sendiri, dan membuka pintu yang lain. Nah, atau lebih mudah. Cuba kita bayangkan situasi ini dari sudut penyampai yang melakukan prosedur serupa dengan berpuluh-puluh pemain. Oleh kerana dia mengetahui dengan baik apa yang ada di belakang pintu, maka, secara purata, dalam dua daripada tiga kes, dia melihat terlebih dahulu bahawa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh itu, baginya pastinya tidak ada paradoks dalam fakta bahawa strategi yang betul adalah untuk menukar pilihan selepas membuka pintu pertama: selepas semua, maka dalam dua kes yang sama daripada tiga pemain akan meninggalkan studio dengan kereta baru.

Akhirnya, bukti yang paling "naif". Biarlah orang yang berpegang pada pilihannya disebut "Degil", dan orang yang mengikuti arahan pemimpin disebut "Perhatian." Kemudian Stubborn menang jika dia mula meneka kereta (1/3), dan Attentive menang jika dia mula terlepas dan memukul kambing (2/3). Lagipun, hanya dalam kes ini dia akan menunjuk ke pintu dengan kereta itu.

Monty Hall, penerbit dan pengacara rancangan Jom Buat Tawaran dari 1963 hingga 1991.

Pada tahun 1990, masalah ini dan penyelesaiannya diterbitkan dalam majalah Amerika Parade. Penerbitan itu menyebabkan ulasan yang bertiup kencang daripada pembaca, yang kebanyakannya mempunyai ijazah saintifik.

Aduan utama ialah tidak semua syarat tugas ditentukan, dan sebarang nuansa boleh menjejaskan hasilnya. Sebagai contoh, penyampai boleh menawarkan untuk menukar keputusan hanya jika pemain memilih kereta sebagai langkah pertama. Jelas sekali, menukar pilihan awal dalam keadaan sedemikian akan membawa kepada kerugian yang terjamin.

Walau bagaimanapun, sepanjang kewujudan rancangan TV Monty Hall, orang yang berubah fikiran sebenarnya menang dua kali lebih kerap:

Daripada 30 pemain yang menukar keputusan asal mereka, Cadillac memenangi 18 - iaitu, 60%

Daripada 30 pemain yang kekal dengan pilihan mereka, Cadillac memenangi 11 - iaitu, kira-kira 36%

Jadi alasan yang diberikan dalam keputusan itu, tidak kira betapa tidak logiknya ia kelihatan, disahkan oleh amalan.

Menambah bilangan pintu

Untuk lebih mudah memahami intipati apa yang sedang berlaku, kita boleh mempertimbangkan kes apabila pemain melihat di hadapannya bukan tiga pintu, tetapi, sebagai contoh, seratus. Lebih-lebih lagi, di belakang salah satu pintu terdapat sebuah kereta, dan di belakang 99 yang lain terdapat kambing. Pemain memilih salah satu pintu, dan dalam 99% kes dia akan memilih pintu dengan kambing, dan peluang untuk segera memilih pintu dengan kereta adalah sangat kecil - mereka adalah 1%. Selepas ini, penyampai membuka 98 pintu dengan kambing dan menjemput pemain untuk memilih pintu yang tinggal. Walau bagaimanapun, dalam 99% kes kereta akan berada di belakang pintu yang tinggal ini, kerana kemungkinan pemain segera memilih pintu yang betul adalah sangat kecil. Jelas bahawa dalam situasi ini pemain yang berfikiran rasional harus sentiasa menerima tawaran pemimpin.

Apabila mempertimbangkan peningkatan bilangan pintu, persoalan sering timbul: jika dalam tugas asal pemimpin membuka satu pintu daripada tiga (iaitu, 1/3 daripada jumlah nombor pintu), maka mengapa kita harus menganggap bahawa dalam kes 100 pintu penyampai akan membuka 98 pintu dengan kambing, dan bukan 33? Pertimbangan ini biasanya merupakan salah satu sebab penting mengapa paradoks Monty Hall bercanggah dengan persepsi intuitif tentang situasi tersebut. Adalah betul untuk mengandaikan bahawa 98 pintu akan dibuka kerana syarat penting Tugasnya adalah untuk mempunyai hanya satu pilihan alternatif untuk pemain, yang dicadangkan oleh penyampai. Oleh itu, agar tugasan menjadi serupa, dalam kes 4 pintu pemimpin mesti membuka 2 pintu, dalam kes 5 pintu - 3, dan seterusnya, supaya sentiasa ada satu pintu yang tidak dibuka selain daripada yang itu. pemain pada mulanya memilih. Jika penyampai membuka lebih sedikit pintu, tugas itu tidak lagi serupa dengan tugasan Monty Hall yang asal.

Perlu diingatkan bahawa dalam kes banyak pintu, walaupun penyampai tidak meninggalkan satu pintu tertutup, tetapi beberapa, dan menjemput pemain untuk memilih salah satu daripada mereka, maka apabila menukar pilihan awal, peluang pemain untuk memenangi kereta akan masih meningkat, walaupun tidak begitu ketara. Sebagai contoh, pertimbangkan situasi di mana pemain memilih satu pintu daripada seratus, dan kemudian hos membuka hanya satu daripada pintu yang tinggal, menjemput pemain untuk menukar pilihannya. Pada masa yang sama, peluang bahawa kereta itu berada di belakang pintu yang pada mulanya dipilih oleh pemain tetap sama - 1/100, dan untuk pintu yang tinggal peluang berubah: jumlah kebarangkalian bahawa kereta itu berada di belakang salah satu pintu yang tinggal ( 99/100) kini diedarkan bukan lebih Terdapat 99 pintu, tetapi 98. Oleh itu, kebarangkalian untuk mencari kereta di belakang setiap pintu ini bukan 1/100, tetapi 99/9800. Peningkatan kebarangkalian adalah kira-kira 1%.

pokok penyelesaian yang mungkin pemain dan penyampai, menunjukkan kebarangkalian setiap hasil. Secara lebih formal, senario permainan boleh diterangkan menggunakan pepohon keputusan. Dalam dua kes pertama, di mana pemain mula-mula memilih pintu di belakang tempat kambing itu terletak, menukar keputusan keputusan dalam kemenangan. Dalam dua kes terakhir, apabila pemain pertama kali memilih pintu dengan kereta, menukar pilihan mengakibatkan kerugian.

Jika masih tidak jelas kepada anda, ludah pada formula dan adilsemak semuanya secara statistik. Penjelasan lain yang mungkin:

Pemain yang strateginya adalah menukar pintu yang dipilih setiap kali akan kalah hanya jika dia pada mulanya memilih pintu yang mempunyai kereta di belakangnya.
Memandangkan kebarangkalian memilih kereta pada percubaan pertama adalah satu dalam tiga (atau 33%), peluang untuk tidak memilih kereta jika pemain menukar pilihannya juga adalah satu dalam tiga (atau 33%).
Ini bermakna pemain yang menggunakan strategi menukar pintu akan menang dengan kebarangkalian 66% atau dua hingga tiga.
Ini akan menggandakan peluang untuk menang bagi pemain yang strateginya adalah untuk tidak mengubah pilihannya setiap kali.

Masih tidak percaya saya? Katakan anda memilih pintu #1. Semua dibentangkan di sini pilihan yang mungkin apa yang mungkin berlaku dalam kes ini.

Pada Disember 1963 di saluran televisyen Amerika NBC program ini dikeluarkan buat kali pertama Jom Buat Tawaran("Mari kita membuat perjanjian!"), di mana peserta yang dipilih daripada penonton di studio tawar-menawar antara satu sama lain dan dengan penyampai, bermain permainan kecil atau sekadar meneka jawapan kepada soalan. Pada penghujung persembahan, peserta boleh memainkan "urusan hari ini." Di hadapan mereka terdapat tiga pintu, yang diketahui bahawa di belakang salah satu daripadanya adalah Hadiah Utama (contohnya, sebuah kereta), dan di belakang dua yang lain adalah hadiah yang kurang berharga atau tidak masuk akal (contohnya, kambing hidup). Selepas pemain membuat pilihannya, hos program, Monty Hall, akan membuka salah satu daripada dua pintu yang tinggal, menunjukkan bahawa tiada Hadiah di belakangnya dan memberi kepuasan kepada peserta bahawa dia masih mempunyai peluang untuk menang.

Pada tahun 1975, saintis Universiti California Steve Selvin tertanya-tanya apa yang akan berlaku jika, pada masa itu, selepas pintu dibuka tanpa Hadiah, peserta diminta untuk menukar pilihannya. Adakah peluang pemain untuk menerima Hadiah akan berubah dalam kes ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia menyerahkan soalan yang sepadan sebagai tugasan kepada jurnal Ahli Perangkaan Amerika("American Statistician"), serta Monty Hall sendiri, yang memberikan jawapan yang agak menarik kepadanya. Walaupun jawapan ini (atau mungkin kerana itu), masalah itu menjadi popular di bawah nama "masalah Monty Hall."

Tugasan

Anda mendapati diri anda berada di rancangan Monty Hall sebagai peserta - dan pada saat terakhir, membuka pintu dengan seekor kambing, hos menjemput anda untuk menukar pilihan anda. Adakah keputusan anda - sama ada menerima atau tidak - menjejaskan kemungkinan menang?

Petunjuk

Cuba pertimbangkan orang yang memilih pintu yang berbeza dalam kes yang sama (iaitu, apabila Hadiah, sebagai contoh, di belakang pintu No. 1). Siapa yang akan mendapat manfaat daripada mengubah pilihan mereka dan siapa yang tidak?

Penyelesaian

Seperti yang dicadangkan dalam gesaan, mari kita lihat orang yang membuat pilihan yang berbeza. Mari kita anggap bahawa Hadiah berada di belakang pintu #1, dan di belakang pintu #2 dan #3 adalah kambing. Marilah kita mempunyai enam orang, dan dua orang memilih setiap pintu, dan dari setiap pasangan satu kemudiannya mengubah keputusannya, dan yang lain tidak.

Perhatikan bahawa bagi mereka yang memilih pintu No. 1, Penyampai akan membuka satu daripada dua pintu mengikut citarasanya, dan, tanpa mengira ini, Kereta akan diterima oleh mereka yang tidak mengubah pilihan mereka, manakala mereka yang menukar pilihan awal mereka akan kekal tanpa Hadiah. Sekarang mari kita lihat mereka yang memilih pintu No 2 dan No 3. Oleh kerana terdapat Kereta di belakang pintu No. 1, Pemimpin tidak boleh membukanya, yang menyebabkan dia tiada pilihan - dia membuka pintu No. 3 dan No. 2 untuk mereka, masing-masing. Dalam kes ini, orang yang menukar keputusan dalam setiap pasangan akhirnya akan memilih Hadiah, dan orang yang tidak menukar akan dibiarkan tanpa apa-apa. Oleh itu, daripada tiga orang yang mengubah keputusan mereka, dua akan menerima Hadiah, dan seorang akan menerima kambing, manakala daripada tiga orang yang meninggalkan pilihan asal mereka tidak berubah, hanya seorang akan menerima Hadiah.

Perlu diingatkan bahawa jika Kereta itu berada di belakang pintu No. 2 atau No. 3, keputusannya adalah sama, hanya pemenang tertentu sahaja yang akan berubah. Oleh itu, dengan mengandaikan bahawa pada mulanya setiap pintu dipilih dengan kebarangkalian yang sama, kami mendapati bahawa mereka yang menukar pilihan mereka memenangi Hadiah dua kali lebih kerap, iaitu kebarangkalian untuk menang dalam kes ini adalah lebih besar.

Mari kita lihat masalah ini dari sudut teori kebarangkalian matematik. Kami akan menganggap bahawa kebarangkalian pada mulanya memilih setiap pintu adalah sama, serta kebarangkalian untuk mencari Kereta di belakang setiap pintu. Di samping itu, adalah berguna untuk membuat kaveat bahawa GM, apabila dia boleh membuka dua pintu, memilih setiap daripada mereka dengan kebarangkalian yang sama. Kemudian ternyata selepas keputusan pertama dibuat, kebarangkalian Hadiah berada di belakang pintu yang dipilih adalah 1/3, manakala kebarangkalian bahawa ia berada di belakang salah satu daripada dua pintu lain ialah 2/3. Lebih-lebih lagi, selepas Pemimpin telah membuka salah satu daripada dua pintu "tidak dipilih", keseluruhan kebarangkalian 2/3 jatuh pada hanya satu daripada pintu yang tinggal, dengan itu mewujudkan asas untuk mengubah keputusan, yang akan meningkatkan kebarangkalian untuk menang sebanyak 2 kali ganda. . Yang, sudah tentu, tidak sama sekali menjaminnya dalam satu kes tertentu, tetapi akan membawa kepada hasil yang lebih berjaya jika percubaan diulang berkali-kali.

Akhir kata

Masalah Monty Hall bukanlah rumusan pertama yang diketahui bagi masalah ini. Khususnya, pada tahun 1959, Martin Gardner diterbitkan dalam majalah itu Amerika saintifik masalah yang sama "kira-kira tiga banduan" (masalah Tiga Banduan) dengan perkataan berikut: " Daripada tiga banduan, seorang harus diampunkan, dan dua harus dihukum bunuh. Banduan A memujuk pengawal untuk memberitahunya nama salah seorang daripada dua lagi yang akan dihukum bunuh (sama ada seorang, jika kedua-duanya dihukum bunuh), selepas itu, setelah menerima nama B, dia percaya bahawa kebarangkalian keselamatannya sendiri telah menjadi bukan 1/3, tetapi 1/2. Pada masa yang sama, banduan C mendakwa bahawa kebarangkalian keselamatannya telah menjadi 2/3, tetapi untuk A tiada apa yang berubah. Mana satu yang betul?»

Walau bagaimanapun, Gardner bukanlah yang pertama, sejak tahun 1889, dalam "Kalkulus Kebarangkalian" beliau, ahli matematik Perancis Joseph Bertrand (tidak boleh dikelirukan dengan orang Inggeris Bertrand Russell!) mencadangkan masalah yang sama (lihat paradoks kotak Bertrand): " Terdapat tiga kotak, setiap satunya mengandungi dua syiling: dua emas pada yang pertama, dua perak dalam kedua, dan dua berbeza dalam ketiga. Syiling ditarik keluar secara rawak dari kotak yang dipilih secara rawak, yang ternyata emas. Apakah kebarangkalian bahawa baki syiling di dalam kotak itu adalah emas?»

Jika anda memahami penyelesaian kepada ketiga-tiga masalah, adalah mudah untuk melihat persamaan idea mereka; secara matematik kesemuanya disatukan dengan konsep kebarangkalian bersyarat, iaitu kebarangkalian kejadian A jika diketahui peristiwa B berlaku. Contoh paling mudah: kebarangkalian bahawa dadu biasa melancarkan satu ialah 1/6; namun, jika diketahui bahawa nombor yang dilukis adalah ganjil, maka kebarangkalian bahawa ia adalah satu sudah menjadi 1/3. Masalah Monty Hall, serta dua masalah lain yang diberikan di atas, menunjukkan bahawa kebarangkalian bersyarat mesti dikendalikan dengan teliti.

Masalah ini juga sering dipanggil paradoks: paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir tidak boleh dikelirukan dengan paradoks Bertrand sebenar, yang diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan kekaburan konsep kebarangkalian yang ada pada masa itu) - yang membayangkan beberapa percanggahan (contohnya, dalam " Paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini palsu" bercanggah dengan undang-undang bahagian tengah yang dikecualikan). Walau bagaimanapun, dalam kes ini, tidak ada percanggahan dengan kenyataan yang ketat. Tetapi terdapat percanggahan yang jelas dengan " pendapat umum” atau sekadar “penyelesaian yang jelas” kepada masalah tersebut. Sesungguhnya, kebanyakan orang, melihat masalah itu, percaya bahawa selepas membuka salah satu pintu, kebarangkalian untuk mencari Hadiah untuk mana-mana dua yang masih ditutup adalah 1/2. Oleh itu, mereka berpendapat bahawa tidak ada perbezaan sama ada anda bersetuju atau tidak bersetuju untuk mengubah keputusan anda. Lebih-lebih lagi, ramai orang mengalami kesukaran untuk merealisasikan jawapan selain daripada ini, walaupun selepas diberitahu penyelesaian terperinci.

Popular dalam kategori: