Makna fizikal terbitan. Kadar Segera Perubahan Fungsi, Pecutan dan Kecerunan

Terbitan fungsi adalah salah satu topik yang paling sukar dalam kurikulum sekolah. Tidak setiap graduan akan menjawab soalan tentang apa itu derivatif.

Artikel ini secara ringkas dan jelas menerangkan apa itu derivatif dan mengapa ia diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha untuk ketegasan matematik pembentangan. Perkara yang paling penting ialah memahami maksudnya.

Mari kita ingat definisi:

Derivatif ialah kadar perubahan fungsi.

Rajah menunjukkan graf bagi tiga fungsi. Mana satu yang anda rasa paling cepat berkembang?

Jawapannya jelas - yang ketiga. Ia mempunyai kadar perubahan tertinggi, iaitu terbitan terbesar.

Berikut adalah satu lagi contoh.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada masa yang sama. Mari lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Anda boleh melihat segala-galanya pada carta serta-merta, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih daripada dua kali ganda dalam tempoh enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matthew menurun kepada sifar. Keadaan permulaan adalah sama, tetapi kadar perubahan fungsi, i.e. terbitan, - berbeza. Bagi Matvey, derivatif pendapatannya secara amnya adalah negatif.

Secara intuitif, kita boleh menganggarkan kadar perubahan fungsi dengan mudah. Tetapi bagaimana kita melakukannya?

Apa yang kita benar-benar melihat ialah betapa curamnya graf fungsi itu naik (atau turun). Dengan kata lain, berapa cepat y berubah dengan x. Adalah jelas bahawa fungsi yang sama dalam titik yang berbeza mungkin mempunyai nilai derivatif yang berbeza - iaitu, ia mungkin berubah lebih cepat atau lebih perlahan.

Terbitan bagi fungsi dilambangkan dengan .

Mari tunjukkan cara mencari menggunakan graf.

Satu graf bagi beberapa fungsi dilukis. Ambil titik di atasnya dengan abscissa. Lukis tangen kepada graf fungsi pada titik ini. Kami ingin menilai sejauh mana graf fungsi itu naik. Nilai berguna untuk ini ialah tangen cerun tangen.

Terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan tangen kecerunan tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Sila ambil perhatian - sebagai sudut kecondongan tangen, kita mengambil sudut antara tangen dan arah positif paksi.

Kadangkala pelajar bertanya apakah tangen kepada graf fungsi. Ini adalah garis lurus, yang mempunyai satu-satunya titik biasa dengan graf, dan seperti yang ditunjukkan dalam rajah kami. Ia kelihatan seperti tangen kepada bulatan.

Jom cari. Kita ingat bahawa tangen sudut akut dalam segi tiga tepat sama dengan nisbah kaki yang bertentangan dengan yang bersebelahan. Dari segi tiga:

Kami mendapati terbitan menggunakan graf tanpa mengetahui formula fungsi itu. Tugasan sebegini sering dijumpai dalam peperiksaan dalam matematik di bawah nombor.

Terdapat satu lagi korelasi penting. Ingat bahawa garis lurus diberikan oleh persamaan

Kuantiti dalam persamaan ini dipanggil kecerunan garis lurus. Ia sama dengan tangen sudut kecondongan garis lurus ke paksi.

.

Kami dapat itu

Mari kita ingat formula ini. Ia menyatakan makna geometri bagi terbitan.

Terbitan bagi fungsi pada satu titik ialah pekali sudut tangen dilukis pada graf fungsi pada titik itu.

Dalam erti kata lain, terbitan adalah sama dengan tangen cerun tangen.

Kami telah mengatakan bahawa fungsi yang sama boleh mempunyai derivatif yang berbeza pada titik yang berbeza. Mari lihat bagaimana derivatif berkaitan dengan kelakuan fungsi.

Mari kita lukis graf bagi beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa kawasan, berkurangan di kawasan lain, dan dengan kelajuan yang berbeza. Dan biarkan fungsi ini mempunyai mata maksimum dan minimum.

Pada satu ketika, fungsi semakin meningkat. Tangen kepada graf, dilukis pada titik, membentuk sudut lancip; dengan arah paksi positif. Jadi derivatif adalah positif pada titik.

Pada ketika itu, fungsi kita semakin berkurangan. Tangen pada titik ini membentuk sudut tumpul; dengan arah paksi positif. Oleh kerana tangen bagi sudut tumpul adalah negatif, terbitan pada titik adalah negatif.

Inilah yang berlaku:

Jika fungsi bertambah, terbitannya adalah positif.

Jika ia berkurangan, terbitannya adalah negatif.

Dan apa yang akan berlaku pada mata maksimum dan minimum? Kita melihat bahawa pada (titik maksimum) dan (titik minimum) tangen adalah mendatar. Oleh itu, tangen cerun tangen pada titik ini adalah sifar, dan terbitan juga sifar.

Titik adalah titik maksimum. Pada ketika ini, peningkatan fungsi digantikan dengan penurunan. Akibatnya, tanda derivatif berubah pada titik daripada "tambah" kepada "tolak".

Pada titik - titik minimum - derivatif juga sama dengan sifar, tetapi tandanya berubah daripada "tolak" kepada "tambah".

Kesimpulan: dengan bantuan derivatif, anda boleh mengetahui segala-galanya yang menarik minat kami tentang kelakuan fungsi tersebut.

Jika derivatifnya positif, maka fungsinya meningkat.

Jika terbitan negatif, maka fungsinya berkurangan.

Pada titik maksimum, derivatif adalah sifar dan menukar tanda dari tambah kepada tolak.

Pada titik minimum, derivatif juga adalah sifar dan menukar tanda dari tolak kepada tambah.

Kami menulis penemuan ini dalam bentuk jadual:

	bertambah	titik maksimum	semakin berkurangan	titik minimum	bertambah
+	0	-	0	+

Mari kita buat dua penjelasan kecil. Anda akan memerlukan salah satu daripada mereka apabila menyelesaikan masalah. Satu lagi - pada tahun pertama, dengan kajian yang lebih serius tentang fungsi dan derivatif.

Kes adalah mungkin apabila terbitan fungsi pada satu titik adalah sama dengan sifar, tetapi fungsi itu tidak mempunyai maksimum mahupun minimum pada ketika ini. Ini kononnya :

Pada satu titik, tangen kepada graf adalah mendatar dan terbitan ialah sifar. Walau bagaimanapun, sebelum titik fungsi meningkat - dan selepas titik ia terus meningkat. Tanda derivatif tidak berubah - ia kekal positif seperti dahulu.

Ia juga berlaku bahawa pada titik maksimum atau minimum, derivatif tidak wujud. Pada graf, ini sepadan dengan pecahan mendadak, apabila mustahil untuk melukis tangen pada titik tertentu.

Tetapi bagaimana untuk mencari derivatif jika fungsi diberikan bukan oleh graf, tetapi oleh formula? Dalam kes ini, ia terpakai

Ramai yang akan terkejut dengan lokasi yang tidak dijangka artikel ini dalam kursus pengarang saya tentang terbitan fungsi satu pembolehubah dan aplikasinya. Lagipun, seperti dari sekolah: buku teks standard, pertama sekali, memberikan definisi derivatif, makna geometri dan mekanikalnya. Seterusnya, pelajar mencari derivatif fungsi mengikut definisi, dan, sebenarnya, barulah teknik pembezaan disempurnakan menggunakan jadual terbitan.

Tetapi dari sudut pandangan saya, pendekatan berikut lebih pragmatik: pertama sekali, adalah dinasihatkan untuk MEMAHAMI had fungsi dengan BAIK, dan, khususnya, infinitesimals. Hakikatnya ialah

takrifan terbitan adalah berdasarkan konsep had , yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebahagian besar pengguna muda pengetahuan granit kurang menembusi intipati derivatif. Oleh itu, jika anda kurang berorientasikan dalam kalkulus pembezaan, atau otak yang bijak untuk tahun yang panjang berjaya melupuskan bagasi ini, sila mulakan dari had fungsi . Pada masa yang sama kuasai / ingat keputusan mereka.

Pengertian praktikal yang sama menunjukkan bahawa ia menguntungkan terlebih dahulu

belajar mencari derivatif, termasuk derivatif fungsi kompleks . Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, anda sentiasa mahu membezakan. Dalam hal ini, adalah lebih baik untuk menyelesaikan pelajaran asas yang disenaraikan, dan mungkin menjadi induk pembezaan tanpa menyedari intipati tindakan mereka.

Saya mengesyorkan memulakan bahan di halaman ini selepas membaca artikel. Masalah paling mudah dengan derivatif, di mana, khususnya, masalah tangen kepada graf fungsi dipertimbangkan. Tetapi ia boleh ditangguhkan. Hakikatnya ialah banyak aplikasi derivatif tidak memerlukan pemahamannya, dan tidak menghairankan bahawa pelajaran teori muncul agak lewat - apabila saya perlu menjelaskan mencari selang peningkatan/penurunan dan ekstrem fungsi. Lebih-lebih lagi, dia berada dalam subjek itu untuk masa yang agak lama " Fungsi dan Graf”, sehingga saya memutuskan untuk memasukkannya lebih awal.

Oleh itu, teko yang dikasihi, jangan tergesa-gesa untuk menyerap intipati terbitan, seperti haiwan lapar, kerana ketepuan akan menjadi tawar dan tidak lengkap.

Konsep peningkatan, penurunan, maksimum, minimum fungsi

banyak panduan belajar membawa kepada konsep derivatif dengan bantuan beberapa masalah praktikal, dan saya juga datang dengan contoh yang menarik. Bayangkan kita perlu pergi ke bandar yang boleh dicapai dengan cara yang berbeza. Kami segera membuang laluan berliku melengkung, dan kami akan mempertimbangkan hanya garis lurus. Walau bagaimanapun, arah garis lurus juga berbeza: anda boleh pergi ke bandar di sepanjang autobahn rata. Atau di lebuh raya berbukit - atas dan bawah, atas dan bawah. Jalan lain hanya menanjak, dan satu lagi menurun sepanjang masa. Pencari keseronokan akan memilih laluan melalui gaung dengan tebing yang curam dan pendakian yang curam.

Tetapi apa sahaja pilihan anda, adalah wajar untuk mengetahui kawasan itu, atau sekurang-kurangnya mempunyai peta topografinya. Bagaimana jika tiada maklumat sedemikian? Lagipun, anda boleh memilih, sebagai contoh, laluan rata, tetapi akibatnya, tersandung pada cerun ski dengan orang Finland yang lucu. Bukan hakikat bahawa pelayar dan juga

imej satelit akan memberikan data yang boleh dipercayai. Oleh itu, adalah baik untuk memformalkan pelepasan laluan melalui kaedah matematik.

Pertimbangkan beberapa jalan (pandangan sisi):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda tentang fakta asas: perjalanan berlaku dari kiri ke kanan. Untuk kesederhanaan, kami menganggap bahawa fungsi itu berterusan pada bahagian yang sedang dipertimbangkan.

Apakah ciri-ciri carta ini?

Pada selang waktu fungsi semakin meningkat, iaitu, setiap nilai berikutnya adalah lebih besar daripada yang sebelumnya. Secara kasarnya, graf pergi dari bawah ke atas (kita mendaki bukit). Dan pada selang waktu, fungsi berkurangan - setiap nilai seterusnya adalah kurang daripada yang sebelumnya, dan graf kami pergi dari atas ke bawah (kami menuruni cerun).

Mari kita juga memberi perhatian kepada mata khas. Pada ketika itu kita

kita mencapai maksimum , iaitu, terdapat bahagian laluan sedemikian yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum dicapai, dan terdapat kejiranan sedemikian di mana nilainya adalah yang paling kecil (paling rendah).

Istilah dan definisi yang lebih ketat akan dipertimbangkan dalam pelajaran. tentang keterlaluan fungsi sementara kita belajar satu lagi ciri penting: di antara fungsi semakin meningkat, tetapi semakin meningkat pada kelajuan yang berbeza. Dan perkara pertama yang menarik perhatian anda ialah graf selang itu melonjak naik lebih keren daripada pada selang waktu. Adakah mungkin untuk mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematik?

Kadar perubahan fungsi

Ideanya ialah: ambil sedikit nilai

(baca "delta x") , yang akan kami panggilpertambahan hujah, dan mari kita mulakan "mencubanya" ke pelbagai titik laluan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: memintas jarak , kita mendaki cerun ke ketinggian ( garisan hijau). Kuantiti itu dipanggil kenaikan fungsi, dan dalam kes ini kenaikan ini adalah positif (perbezaan nilai sepanjang paksi adalah lebih besar daripada

sifar). Mari kita buat nisbah , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah nombor yang sangat spesifik, dan kerana kedua-dua kenaikan adalah positif, maka.

Perhatian! Penamaan adalah simbol TUNGGAL, iaitu, anda tidak boleh "mencabut" "delta" daripada "x" dan mempertimbangkan huruf ini secara berasingan. Sudah tentu, ulasan itu juga digunakan pada simbol kenaikan fungsi.

Mari kita terokai sifat pecahan yang terhasil dengan lebih bermakna. biarlah

pada mulanya kami berada pada ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah mengatasi jarak meter (garisan merah kiri), kita akan berada pada ketinggian 60 meter. Kemudian kenaikan fungsi akan menjadi

meter (garisan hijau) dan:. Jadi

Oleh itu, pada setiap meter bahagian jalan ini ketinggian bertambah purata 4 meter ... adakah anda lupa peralatan mendaki anda? =) Dalam erti kata lain, nisbah yang dibina mencirikan KADAR PURATA PERUBAHAN (dalam kes ini, pertumbuhan) fungsi.

Nota: nilai berangka contoh yang dipersoalkan sepadan dengan perkadaran lukisan hanya lebih kurang.

2) Sekarang mari kita pergi pada jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikan adalah lebih lembut, jadi kenaikan

(garisan magenta) adalah agak kecil, dan nisbahnya

berbanding dengan kes sebelumnya akan menjadi sangat sederhana. Secara relatifnya, meter dan kadar pertumbuhan fungsi

ialah . Iaitu, di sini untuk setiap meter laluan terdapat purata setengah meter pendakian.

3) Sedikit pengembaraan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada paksi-y. Mari kita anggap bahawa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada tahap 30 meter. Oleh kerana pergerakan itu dilakukan dari atas ke bawah (dalam arah "bertentangan" paksi), yang terakhir kenaikan fungsi (ketinggian) akan menjadi negatif:meter (garisan coklat dalam lukisan). Dan dalam kes ini kita bercakap tentang kelajuan

fungsi menurun: , iaitu bagi setiap meter laluan

Di kawasan ini, ketinggian berkurangan secara purata 2 meter. Jaga pakaian pada titik kelima.

Sekarang mari kita tanya soalan: apakah nilai terbaik "standard pengukur" untuk digunakan? Jelas bahawa 10 meter adalah sangat kasar. Sedozen benjolan yang baik boleh dimuatkan dengan mudah padanya. Mengapa terdapat benjolan, mungkin terdapat gaung yang dalam di bawah, dan selepas beberapa meter - sisi lain dengan pendakian yang lebih curam. Oleh itu, dengan sepuluh meter kita tidak akan mendapat pencirian yang boleh difahami bagi bahagian laluan tersebut

perhubungan.

Dari pembahasan di atas, kesimpulan sebagai berikut: semakin kecil nilainya, lebih tepat kita akan menerangkan kelegaan jalan raya. Lebih-lebih lagi, adil

Kini kita tahu bahawa kadar perubahan segera bagi fungsi N(Z) pada Z = +2 ialah -0.1079968336. Ini bermakna naik/turun sepanjang tempoh, jadi apabila Z = +2, keluk N(Z) naik sebanyak -0.1079968336. Keadaan ini ditunjukkan dalam Rajah 3-13.

Ukuran sensitiviti "mutlak" boleh dipanggil kadar perubahan fungsi. Ukuran kepekaan fungsi pada titik tertentu ("halaju segera") dipanggil derivatif.

Kita boleh mengukur tahap kepekaan mutlak pembolehubah y kepada perubahan dalam pembolehubah x jika kita mentakrifkan nisbah Ay/Ax. Kelemahan definisi sensitiviti sedemikian ialah ia bergantung bukan sahaja pada titik "awal" XQ, berbanding dengan perubahan dalam hujah dipertimbangkan, tetapi juga pada nilai selang Dx, di mana kelajuan ditentukan. . Untuk menghapuskan kelemahan ini, konsep derivatif (kadar perubahan fungsi pada satu titik) diperkenalkan. Apabila menentukan kadar perubahan fungsi pada satu titik, titik XQ dan xj disatukan, menjadikan selang Dx kepada sifar. Kadar perubahan fungsi f (x) pada titik XQ dan dipanggil terbitan bagi fungsi f (x) pada titik x. Maksud geometri bagi kadar perubahan fungsi pada titik XQ ialah ia ditentukan oleh sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi pada titik XQ. Terbitan ialah tangen bagi kecerunan tangen kepada graf fungsi.

Jika derivatif y dianggap sebagai kadar perubahan fungsi /, maka nilai y /y ialah kadar perubahan relatifnya. Oleh itu, terbitan logaritma (Dalam y)

Derivatif dalam arah - mencirikan kadar perubahan fungsi z - f (x, y) pada titik MO (ZhO, UO) dalam arah

Kadar perubahan fungsi relatif 124.188

Setakat ini, kami telah mempertimbangkan terbitan pertama fungsi , yang membolehkan anda mencari kadar perubahan fungsi. Untuk menentukan sama ada kadar perubahan adalah malar, terbitan kedua bagi fungsi itu perlu diambil. Ini dilambangkan sebagai

Di sini dan di bawah, perdana bermaksud pembezaan supaya h ialah kadar perubahan fungsi h relatif kepada peningkatan lebihan penawaran).

Ukuran sensitiviti "mutlak" - kadar perubahan fungsi (purata (nisbah perubahan) atau marginal (derivatif))

Kenaikan nilai, hujah, fungsi. Kadar perubahan fungsi

Kadar perubahan fungsi pada selang (kadar purata).

Kelemahan definisi kelajuan sedemikian ialah kelajuan ini bergantung bukan sahaja pada titik x0, berbanding dengan perubahan dalam hujah dipertimbangkan, tetapi juga pada magnitud perubahan dalam hujah itu sendiri, i.e. pada nilai selang Dx, di mana kelajuan ditentukan. Untuk menghapuskan kekurangan ini, konsep kadar perubahan fungsi pada satu titik (halaju segera) diperkenalkan.

Kadar perubahan fungsi pada satu titik (kadar segera).

Untuk menentukan kadar perubahan fungsi pada titik J Q, titik x dan x0 disatukan, menjadikan selang Ax kepada sifar. Perubahan dalam fungsi berterusan juga akan cenderung kepada sifar. Dalam kes ini, nisbah perubahan dalam fungsi yang cenderung kepada sifar kepada perubahan dalam hujah yang cenderung kepada sifar memberikan kadar perubahan fungsi pada titik x0 (halaju segera), lebih tepat lagi, pada selang relatif yang sangat kecil. sampai ke tahap xd.

Kadar perubahan fungsi Dx) pada titik x0 inilah yang dipanggil terbitan bagi fungsi Dx) pada titik xa.

Sudah tentu, untuk mencirikan kadar perubahan dalam nilai y, seseorang boleh menggunakan penunjuk yang lebih mudah, katakan, terbitan y berkenaan dengan L. Keanjalan penggantian o lebih disukai kerana fakta bahawa ia mempunyai kelebihan yang besar. - ia adalah malar untuk kebanyakan fungsi pengeluaran yang digunakan dalam amalan, iaitu bukan sahaja tidak berubah apabila bergerak di sepanjang beberapa isokuan, tetapi juga tidak bergantung pada pilihan isokuan.

Ketepatan masa kawalan bermakna kawalan yang berkesan mestilah tepat pada masanya. Ketepatan masanya terletak pada kesesuaian selang masa pengukuran dan penilaian penunjuk terkawal, proses aktiviti khusus organisasi secara keseluruhan. Nilai fizikal selang tersebut (kekerapan pengukuran) ditentukan oleh jangka masa proses yang diukur (pelan), dengan mengambil kira kadar perubahan penunjuk terkawal dan kos melaksanakan operasi kawalan. Tugas terpenting fungsi kawalan kekal untuk menghapuskan penyelewengan sebelum ia membawa organisasi ke situasi kritikal.

Untuk sistem homogen di TV = 0, M = 0 5 juga lenyap, supaya bahagian kanan ungkapan (6.20) adalah sama dengan kadar perubahan jumlah fungsi kebajikan yang dikaitkan dengan heterogeniti.

Makna mekanikal terbitan. Untuk fungsi y = f(x) berubah dengan masa x, terbitan y = f(xo] ialah kadar perubahan y pada masa XQ.

Kadar relatif (kadar) perubahan fungsi y = f(x) ditentukan oleh terbitan logaritma

Pembolehubah x bermaksud magnitud perbezaan antara penawaran dan permintaan untuk jenis cara pengeluaran yang sepadan x = s - p. Fungsi x(f) boleh dibezakan secara berterusan dalam masa. Pembolehubah x" bermaksud kadar perubahan dalam perbezaan antara penawaran dan permintaan. Trajektori x (t) bermaksud pergantungan kadar perubahan dalam penawaran dan permintaan pada magnitud perbezaan antara penawaran dan permintaan, yang seterusnya bergantung menepati masa. Ruang keadaan (ruang fasa) dalam kes kami adalah dua dimensi, iaitu, mempunyai bentuk satah fasa.

Sifat kuantiti a tersebut menjelaskan hakikat bahawa kadar perubahan kadar penggantian marginal y dicirikan berdasarkan asasnya, dan bukan dengan bantuan mana-mana penunjuk lain, contohnya, terbitan y berkenaan dengan x>. Selain itu, untuk sejumlah besar fungsi, keanjalan penggantian adalah malar bukan sahaja sepanjang isoclines, tetapi juga sepanjang isokuan. Jadi, untuk fungsi pengeluaran (2.20), menggunakan fakta bahawa, mengikut isokli-

Terdapat banyak helah yang boleh dilakukan pada kadar perubahan jangka pendek. Model ini menggunakan satu tempoh

Makna fizikal alternatif bagi konsep terbitan bagi fungsi.

Nikolay Brylev

Artikel untuk mereka yang berfikir sendiri. Bagi mereka yang tidak dapat memahami bagaimana mungkin mengetahui dengan bantuan yang tidak diketahui dan atas sebab ini tidak boleh bersetuju dengan pengenalan konsep yang tidak diketahui ke dalam alat kognisi: "infiniti", "pergi ke sifar", "tak terhingga kecil", "kejiranan sesuatu titik", dsb. .P.

Tujuan artikel ini bukanlah untuk merendahkan idea memperkenalkan konsep asas yang sangat berguna ke dalam matematik dan fizik. konsep terbitan fungsi(perbezaan), dan memahaminya dengan mendalam rasa fizikal, berdasarkan kebergantungan global umum sains semula jadi. Matlamatnya adalah untuk mewakafkan konsep fungsi terbitan(perbezaan) struktur sebab dan makna yang mendalam fizik interaksi. Makna ini pada hari ini adalah mustahil untuk diteka, kerana konsep yang diterima umum diselaraskan dengan pendekatan matematik kalkulus pembezaan formal bersyarat, tidak ketat.

1.1 Konsep klasik terbitan fungsi.

Sebagai permulaan, mari kita beralih kepada yang digunakan secara universal, diterima umum, yang wujud selama hampir tiga abad, yang telah menjadi klasik, konsep matematik (takrif) terbitan fungsi (pembezaan).

Konsep ini dijelaskan dalam semua buku teks dengan cara yang sama dan lebih kurang begitu.

Biarkan nilai u bergantung kepada hujah x sebagai u = f(x). Jika f(x ) telah ditetapkan pada dua titik dalam nilai argumen: x2, x1, , maka kita mendapat kuantiti u 1 = f (x 1 ), dan u 2 = f (x 2 ). Perbezaan dua nilai hujah x 2 , x 1 akan dipanggil kenaikan hujah dan dilambangkan sebagai Δ x = x 2 - x 1 (oleh itu x 2=x1+ Δ x) . Jika hujah telah berubah kepada Δ x \u003d x 2 - x 1, , maka fungsi telah berubah (meningkat) sebagai perbezaan antara dua nilai fungsi u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) dengan pertambahan fungsi∆f. Ia biasanya ditulis seperti ini:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ). Atau mempertimbangkan itu x 2 = x 1 + Δ x , kita boleh menulis bahawa perubahan dalam fungsi adalah sama dengan∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). Dan perubahan ini berlaku, tentu saja, pada julat nilai yang mungkin bagi fungsi tersebut x2 dan x1, .

Adalah dipercayai bahawa jika nilai x 2 dan x 1, dekat tak terhingga dalam magnitud antara satu sama lain, kemudian Δ x \u003d x 2 - x 1, - sangat kecil.

Definisi Derivatif: Fungsi terbitan f (x) pada titik x 0 dipanggil had nisbah kenaikan fungsi Δ f pada ketika ini kepada kenaikan hujah Δx apabila yang terakhir cenderung kepada sifar (kecil tak terhingga). Dirakam begini.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Mencari derivatif dipanggil pembezaan . Diperkenalkan definisi fungsi boleh dibezakan : Fungsi f , yang mempunyai terbitan pada setiap titik selang tertentu, dipanggil boleh dibezakan pada selang ini.

1.2 Makna fizik yang diterima umum bagi terbitan fungsi

Dan sekarang tentang makna fizikal terbitan yang diterima umum .

tentang dia yang dipanggil fizikal, ataupun pseudofizik dan makna geometri juga boleh dibaca dalam mana-mana buku teks tentang matematik (analisis bahan, kalkulus pembezaan). Saya meringkaskan secara ringkas kandungan mereka mengenai subjek tersebut tentang sifat fizikalnya:

Makna fizikal terbitan x `(t ) daripada fungsi berterusan x (t) pada titik t 0 ialah kadar serta-merta perubahan nilai fungsi, dengan syarat perubahan dalam hujah Δ t cenderung kepada sifar.

Dan untuk menerangkan kepada pelajar ini makna fizikal guru boleh, contohnya, jadi.

Bayangkan anda sedang terbang dalam kapal terbang dan anda mempunyai jam tangan di tangan anda. Apabila anda terbang, adakah anda mempunyai kelajuan yang sama dengan kelajuan kapal terbang?, - guru bercakap kepada penonton.

Ya, pelajar menjawab.

Dan berapakah kelajuan anda dan pesawat pada setiap saat pada jam tangan anda?

Kelajuan yang sama dengan kelajuan kapal terbang!, - pelajar yang baik dan cemerlang menjawab serentak.

Tidak juga, kata cikgu. - Kelajuan, sebagai konsep fizikal, ialah laluan pesawat yang dilalui setiap unit masa (contohnya, sejam (km / j)), dan apabila anda melihat jam tangan anda, hanya seketika berlalu. Oleh itu, kelajuan serta-merta (jarak yang dilalui dalam sekelip mata) ialah terbitan bagi fungsi yang menerangkan laluan pesawat dalam masa. Kelajuan serta-merta - ini ialah maksud fizikal terbitan.

1.3 Masalah ketelitian metodologi pembentukan konsep matematik terbitan fungsi.

A penontonpelajar, terbiasa dengan sistem pendidikan dengan lemah lembut,serta merta dan sepenuhnyabelajar kebenaran yang meragukan, sebagai peraturan, tidak bertanya kepada guru lebih banyak soalan tentang konsep dan makna fizikal terbitan. Tetapi orang yang ingin tahu, berfikir secara mendalam dan bebas tidak dapat mengasimilasikan ini sebagai kebenaran saintifik yang ketat. Dia pasti akan bertanya beberapa soalan, yang jelas dia tidak akan menunggu jawapan yang munasabah daripada seorang guru dari mana-mana pangkat. Soalan-soalannya adalah seperti berikut.

1. Adakah tepat (betul, saintifik, mempunyai nilai objektif, intipati sebab) konsep (ungkapan) sains "tepat" - matematik seperti: momen - nilai infinitesimal, aspirasi kepada sifar, aspirasi kepada infiniti, kekecilan, infiniti, aspirasi? Bagaimana boleh untuk tahu beberapa entiti dalam magnitud perubahan, beroperasi dengan konsep yang tidak diketahui, tidak mempunyai magnitud? Lagi Aristotle yang hebat (384-322 SM) dalam bab ke-4 risalah "FIZIK", dari zaman dahulu lagi, disiarkan: "Jika yang tidak terhingga, kerana ia tidak terhingga, tidak dapat diketahui, maka yang tidak terhingga dalam kuantiti atau magnitud tidak dapat diketahui, betapa hebatnya, dan jenis yang tidak terhingga tidak dapat diketahui, apakah kualitinya. Oleh kerana permulaannya adalah tidak terhingga baik dalam kuantiti dan dalam jenis, maka untuk mengetahui yang terbentuk daripada mereka [perkara] adalah mustahil: selepas semua, barulah kita percaya bahawa kita telah mengetahui perkara yang rumit apabila kita mengetahui dari apa dan berapa banyak [permulaan] ia terdiri daripada ... " Aristotle, "Fizik", 4 ch..

2. Bagaimana boleh derivatif mempunyai makna fizikal sama dengan beberapa kelajuan serta-merta, jika kelajuan serta-merta bukan konsep fizikal, tetapi konsep matematik yang sangat bersyarat, "tidak tepat", kerana ini adalah had fungsi, dan hadnya ialah konsep matematik bersyarat?

3. Mengapakah konsep matematik titik, yang hanya mempunyai satu sifat - koordinat (tidak mempunyai sifat lain: saiz, luas, selang) digantikan dalam definisi matematik terbitan dengan konsep kejiranan titik, yang sebenarnya mempunyai selang, hanya magnitud tidak tentu. Kerana dalam konsep terbitan, konsep dan kuantiti Δ x = x 2 - x 1, dan x 0 .

4. dengan betul sama ada sama sekali makna fizikal jelaskan dengan konsep matematik yang tidak mempunyai makna fizikal?

5. Mengapa sebab musabab (fungsi), bergantung kepada punca (hujah, harta, parameter) mesti ada konkrit akhir ditakrifkan dalam magnitud had perubahan (akibat) dengan kecil yang tidak tentu, tidak mempunyai perubahan magnitud dalam magnitud sebab?

6. Terdapat fungsi dalam matematik yang tidak mempunyai terbitan (non-differentiable functions in non-smooth analysis). Ini bermakna bahawa dalam fungsi ini, apabila hujahnya (parameternya, sifat) berubah, fungsi (objek matematik) tidak berubah. Tetapi tidak ada objek dalam alam semula jadi yang tidak akan berubah apabila sifat mereka sendiri berubah. Maka, mengapakah matematik boleh memberikan kebebasan seperti penggunaan model matematik yang tidak mengambil kira hubungan sebab-akibat asas alam semesta?

Saya akan jawab. Dalam cadangan, konsep klasik yang wujud dalam matematik - kelajuan serta-merta, terbitan, fizikal dan saintifik secara umum, tidak ada makna yang betul dan tidak boleh disebabkan oleh ketidaktepatan yang tidak saintifik dan ketidaktahuan konsep yang digunakan untuk ini! Ia tidak wujud dalam konsep "infiniti", dan dalam konsep "instant", dan dalam konsep "berusaha ke arah sifar atau infiniti".

Tetapi yang benar, dibersihkan daripada konsep longgar fizik dan matematik moden (kecenderungan kepada sifar, nilai tak terhingga, infiniti, dll.)

MAKNA FIZIKAL KONSEP FUNGSI TERBITAN WUJUD!

Inilah yang akan dibincangkan sekarang.

1.4 Makna fizikal sebenar dan struktur sebab terbitan.

Untuk memahami intipati fizikal, "goyangkan telinga lapisan tebal mi yang berusia berabad-abad", yang digantung oleh Gottfried Leibniz (1646-1716) dan pengikutnya, seseorang akan, seperti biasa, untuk beralih kepada metodologi pengetahuan dan prinsip asas yang ketat. Benar, perlu diperhatikan bahawa disebabkan relativisme yang berlaku, pada masa ini, prinsip-prinsip ini tidak lagi dipatuhi dalam sains.

Izinkan saya menyimpang secara ringkas.

Menurut penganut yang sangat dan ikhlas Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Leibniz, menukar objek, mengubah sifat mereka, tidak berlaku tanpa penyertaan Yang Maha Kuasa. Kajian tentang sumber kebolehubahan yang Maha Kuasa oleh mana-mana saintis semula jadi pada masa itu penuh dengan penganiayaan oleh gereja yang berkuasa dan tidak dijalankan untuk tujuan pemeliharaan diri. Tetapi sudah pada abad ke-19, saintis semulajadi mengetahuinya Intipati PENYEBAB MENGUBAH SIFAT MANA-MANA ​​OBJEK - INTERAKSI. "Interaksi ialah hubungan kausal yang dikemukakan dalam perkembangan penuhnya", kata Hegel (1770-1831) “Dalam cara yang paling hampir, interaksi muncul sebagai kausaliti bersama bagi bahan-bahan yang diandaikan, saling mengkondisikan; masing-masing adalah, relatif kepada yang lain, kedua-dua bahan aktif dan pasif. . F. Engels (1820-1895) menyatakan: “Interaksi adalah perkara pertama yang datang sebelum kita apabila kita mempertimbangkan untuk memindahkan (mengubah) jirim secara keseluruhan, dari sudut pandangan sains semula jadi moden ... Oleh itu, sains semula jadi mengesahkan bahawa ... interaksi itu adalah sebab akhir yang sebenar. (punca utama) sesuatu. Kita tidak boleh melampaui pengetahuan tentang interaksi ini dengan tepat kerana tidak ada lagi yang perlu diketahui di sebaliknya. Namun begitu, setelah secara rasmi menangani punca kebolehubahan, tiada seorang pun daripada ketua cemerlang abad ke-19 mula membina semula bangunan sains semula jadi.Akibatnya, bangunan itu kekal sama - dengan asas "kebusukan". Akibatnya, struktur sebab akibat (interaksi) masih tiada dalam sebahagian besar konsep asas sains semula jadi (tenaga, daya, jisim, cas, suhu, kelajuan, momentum, inersia, dll.), termasuk konsep matematik terbitan fungsi- sebagai model matematik yang menerangkan " jumlah perubahan serta-merta" objek daripada perubahan "kecil tak terhingga" dalam parameter penyebabnya. Teori interaksi yang menggabungkan walaupun empat interaksi asas yang diketahui (elektromagnet, graviti, kuat, lemah) masih belum dicipta. Kini ia sudah "dipotong" lebih banyak lagi dan "jambs" merangkak keluar ke mana-mana. Amalan - kriteria kebenaran, benar-benar memecahkan semua model teori yang dibina di atas bangunan sedemikian yang mendakwa sebagai universal dan global. Oleh itu, semua yang sama, adalah perlu untuk membina semula bangunan sains semula jadi, kerana tidak ada tempat lain untuk "berenang", sains telah lama berkembang dengan kaedah "mencucuk" - bodoh, mahal dan tidak cekap. Fizik masa depan, fizik abad ke-21 dan abad-abad berikutnya, mesti menjadi fizik interaksi. Dan dalam fizik, hanya perlu memperkenalkan konsep asas baru - "interaksi peristiwa". Pada masa yang sama, asas asas disediakan untuk konsep asas dan hubungan fizik dan matematik moden, dan hanya dalam kes ini formula akar"causa finalis" (sebab pertama terakhir) formula untuk mengesahkan semua formula asas yang berfungsi dalam amalan. Maksud pemalar dunia dan banyak lagi dijelaskan. Dan saya kepada awak pembaca yang dikasihi, saya akan tunjukkan sekarang.

Jadi, perumusan masalah.

Mari kita gariskan dalam secara umum model. Biarkan objek kognisi abstrak, boleh dikenali dari segi saiz dan sifat (kami menandakannya -u) ialah keseluruhan relatif yang mempunyai sifat (dimensi) dan magnitud yang pasti. Objek dan sifatnya adalah sistem sebab akibat. Objek bergantung pada nilai pada nilai sifat, parameter dan dimensi pada dimensinya. Parameter kausal, oleh itu, akan dilambangkan dengan - x, dan parameter penyiasatan akan dilambangkan dengan - u. Dalam matematik, hubungan sebab-akibat seperti ini secara rasmi diterangkan oleh fungsi (pergantungan) pada sifatnya - parameter u = f (x). Parameter yang berubah (sifat objek) memerlukan perubahan dalam nilai fungsi - integer relatif. Selain itu, nilai pengiktirafan yang ditentukan secara objektif bagi keseluruhan (nombor) ialah nilai relatif yang diperoleh sebagai hubungan dengan bahagian individunya (untuk beberapa standard tunggal objektif yang diterima umum bagi keseluruhan - u at, Standard tunggal ialah nilai formal, tetapi secara amnya diterima sebagai ukuran perbandingan objektif.

Kemudian u =k*u lantai . Nilai objektif parameter (harta) ialah hubungan dengan bahagian unit (standard) parameter (harta) -x= i* x ini. Dimensi integer dan dimensi parameter serta piawaian unitnya adalah tidak sama. Kemungkinan k , iadalah sama secara berangka dengan u, x, kerana nilai rujukan u danx inibujang. Hasil daripada interaksi, parameter berubah dan perubahan sebab akibat ini memerlukan perubahan dalam fungsi (keseluruhan relatif, objek, sistem).

Diperlukan untuk menentukan rasmi pergantungan umum magnitud perubahan objek pada interaksi - sebab perubahan ini. Pernyataan masalah ini mencerminkan pendekatan yang benar, sebab, sebab (menurut F. Bacon) konsisten, fizik interaksi.

Keputusan dan akibat.

Interaksi ialah mekanisme evolusi biasa - punca kebolehubahan. Apakah sebenarnya interaksi (jarak pendek, jarak jauh)? Kerana ia teori umum interaksi dan model teori interaksi objek, pembawa sifat yang sepadan dalam sains semula jadi masih hilang, kita perlu mencipta(lebih lanjut mengenai ini di).Tetapi oleh kerana pembaca yang berfikir ingin tahu tentang intipati fizikal sebenar terbitan serta-merta dan sekarang, maka kami akan menguruskan hanya dengan kesimpulan ringkas, tetapi ketat dan perlu daripada kerja ini untuk memahami intipati derivatif.

"Mana-mana, walaupun interaksi objek yang paling kompleks, boleh diwakili pada skala masa dan ruang sedemikian (berkembang dalam masa dan dipaparkan dalam sistem koordinat sedemikian rupa) yang pada setiap saat masa, pada titik tertentu dalam ruang , hanya dua objek, dua pembawa sifat yang sepadan, akan berinteraksi. Dan pada masa ini mereka akan berinteraksi hanya dengan dua sifat berkadarnya.

« Sebarang perubahan (linear, bukan linear) mana-mana sifat (parameter) sifat tertentu bagi mana-mana objek boleh diuraikan (diwakili) sebagai hasil (akibat) peristiwa-interaksi yang sama sifatnya, mengikut ruang dan masa formal, masing-masing, secara linear atau tidak linear (seragam atau tidak sekata). Pada masa yang sama, dalam setiap interaksi peristiwa tunggal asas (interaksi rapat), sifat berubah secara linear kerana ia disebabkan oleh satu-satunya sebab perubahan - interaksi asas yang sepadan (dan oleh itu terdapat fungsi satu pembolehubah). ... Sehubungan itu, sebarang perubahan (linear atau bukan linear), hasil daripada interaksi, boleh diwakili sebagai jumlah perubahan linear asas yang mengikuti dalam ruang dan masa formal secara linear atau bukan linear.”

« Atas sebab yang sama, sebarang interaksi boleh diuraikan kepada perubahan quanta (kepingan linear tidak boleh dibahagikan). Kuantum asas bagi sebarang sifat (dimensi) ialah hasil daripada interaksi peristiwa asas mengikut sifat tertentu (dimensi). Magnitud dan dimensi kuantum ditentukan oleh magnitud sifat berinteraksi dan sifat sifat ini. Contohnya, dengan perlanggaran bola yang benar-benar elastik yang ideal (tanpa mengambil kira kehilangan haba dan tenaga lain), bola bertukar momenta mereka (sifat sepadan). Perubahan dalam momentum satu bola adalah sebahagian daripada tenaga linear (diberikan atau diambil daripadanya) - terdapat kuantum yang mempunyai dimensi momentum sudut. Jika bola dengan nilai momentum tetap berinteraksi, maka keadaan nilai momentum sudut setiap bola pada mana-mana selang interaksi yang diperhatikan ialah nilai "dibenarkan" (dengan analogi dengan pandangan mekanik kuantum).»

Dalam formalisme fizikal dan matematik, ia telah diterima umum bahawa mana-mana harta pada bila-bila masa dan pada mana-mana titik dalam ruang (untuk kesederhanaan, mari kita ambil linear, satu koordinat) mempunyai nilai yang boleh dinyatakan dengan menulis

(1)

di manakah dimensi.

Rekod ini antara lain adalah intipati dan makna fizikal yang mendalam bagi nombor kompleks, berbeza daripada perwakilan geometri yang diterima umum (menurut Gauss), sebagai titik pada satah..( Catatan. pengarang)

Sebaliknya, modulus perubahan , dilambangkan dalam (1) sebagai , boleh dinyatakan, dengan mengambil kira peristiwa interaksi, sebagai

(2)

makna fizikal Asas ini untuk sejumlah besar hubungan sains semula jadi yang paling terkenal, formula akar, ialah pada selang masa dan pada selang ruang linear homogen (koordinat tunggal), terdapat - peristiwa-peristiwa yang sepadan-jarak pendek. interaksi yang sama sifatnya, mengikut masa dan ruang sesuai dengan fungsinya -taburan peristiwa dalam ruang - dan masa. Setiap peristiwa berubah kepada beberapa . Kita boleh mengatakan bahawa dengan adanya kehomogenan objek interaksi pada selang ruang dan masa tertentu, kita bercakap tentang tentang beberapa malar, linear, nilai purata perubahan asas - nilai terbitan pada magnitud perubahan , fungsi yang diterangkan secara formal yang merupakan ciri medium interaksi dan mencirikan persekitaran dan proses interaksi sifat tertentu (dimensi). Memandangkan mungkin ada jenis lain fungsi taburan peristiwa dalam ruang dan masa , maka terdapat pembolehubah dimensi ruang-masa y sebagai integral fungsi pengagihanperistiwa dalam masa dan ruang , iaitu [masa - t] dan[ koordinat - x ] boleh menjadi kuasa k(k - tidak sama dengan sifar).

Jika kita menetapkan, dalam persekitaran yang cukup homogen, nilai selang masa purata antara peristiwa - , dan nilai selang jarak purata antara peristiwa - , maka kita boleh menulis bahawa jumlah bilangan peristiwa dalam selang masa dan ruang. adalah sama dengan

(3)

ini rekod asas(3) konsisten dengan identiti ruang-masa asas sains semula jadi (elektrodinamik Maxwell, hidrodinamik, teori gelombang, hukum Hooke, formula Planck untuk tenaga, dll.) dan merupakan punca sebenar ketepatan logik pembinaan fizikal dan matematik . Catatan (3) ini konsisten dengan "teorem min" yang terkenal dalam matematik. Mari kita tulis semula (2) dengan mengambil kira (3)

(4) - untuk nisbah masa;

(5) - untuk hubungan ruang.

Daripada persamaan (3-5) berikut undang-undang am interaksi:

nilai sebarang perubahan dalam objek (harta benda) adalah berkadar dengan bilangan peristiwa-interaksi (interaksi rapat) yang sepadan dengannya yang menyebabkannya. Pada masa yang sama, sifat perubahan (jenis pergantungan dalam masa dan ruang) sepadan dengan sifat urutan dalam masa dan ruang peristiwa ini.

Kami mendapat nisbah asas umum sains semula jadi untuk kes ruang dan masa linear, dibersihkan daripada konsep infiniti, aspirasi kepada sifar, kelajuan serta-merta, dsb. Atas sebab yang sama, sebutan bagi dt dan dx yang sangat kecil tidak digunakan untuk sebab yang sama. Daripada mereka, terhingga Δti dan Δxi . Daripada generalisasi ini (2-6) ikuti:

- makna fizikal umum derivatif (pembezaan) (4) dan kecerunan (5), serta pemalar "dunia", sebagai nilai purata (purata) perubahan linear fungsi (objek) dengan satu peristiwa -interaksi hujah (sifat) yang mempunyai dimensi tertentu ( sifat) dengan sifat berkadar (sifat yang sama) objek lain. Nisbah magnitud perubahan kepada bilangan peristiwa-interaksi yang memulakannya sebenarnya adalah nilai terbitan fungsi, mencerminkan pergantungan kausal objek pada hartanya.

; (7) - terbitan fungsi

; (8) - kecerunan fungsi

- makna fizikal kamiran, kerana jumlah nilai fungsi berubah semasa peristiwa dengan hujah

; (9)

- pembuktian (bukti dan makna fizikal yang boleh difahami) teorem Lagrange untuk kenaikan terhingga(formula kenaikan terhingga), dalam banyak aspek asas untuk kalkulus pembezaan. Untuk dengan fungsi linear dan nilai kamiran mereka dalam ungkapan (4)(5) dan berlaku. Kemudian

(10)

(10.1)

Formula (10.1) ialah sebenarnya formula Lagrange untuk kenaikan terhingga [ 5].

Apabila menentukan objek dengan set sifatnya (parameter), kami memperoleh kebergantungan yang serupa untuk kebolehubahan objek sebagai fungsi kebolehubahan sifatnya (parameter) dan menjelaskan fizikal maksud terbitan separa bagi fungsi beberapa parameter pembolehubah.

(11)

Formula Taylor untuk fungsi satu pembolehubah, yang juga telah menjadi klasik,

mempunyai bentuk

(12)

Mewakili penguraian fungsi (sistem penyebab formal) kepada satu siri di mana perubahannya adalah sama dengan

diuraikan kepada komponen, mengikut prinsip penguraian aliran umum kejadian yang sama kepada aliran kecil yang mempunyai ciri berikut yang berbeza. Setiap subaliran mencirikan kelinearan (ketidak linear) urutan peristiwa dalam ruang atau masa. Ini adalah makna fizikal formula Taylor . Jadi, sebagai contoh, sebutan pertama formula Taylor mengenal pasti perubahan dalam peristiwa yang mengikuti secara linear dalam masa (ruang).

Pada . Kedua di ikutan bukan linear melihat acara, dsb.

- maksud fizikal kadar perubahan yang berterusan (pergerakan)[m/s], yang mempunyai maksud anjakan linear tunggal (perubahan, kenaikan) nilai (koordinat, laluan), dengan peristiwa yang mengikuti secara linear.

(13)

Atas sebab ini, kelajuan bukanlah pergantungan sebab pada sistem koordinat yang dipilih secara rasmi atau selang masa. Halaju ialah pergantungan tidak formal pada fungsi penggantian (taburan) dalam masa dan ruang peristiwa yang membawa kepada perubahan dalam koordinat.

(14)

Dan mana-mana pergerakan kompleks boleh diuraikan kepada komponen, di mana setiap komponen bergantung pada peristiwa linear atau bukan linear berikut. Atas sebab ini, kinematik titik (persamaan titik) dikembangkan mengikut formula Lagrange atau Taylor.

Ia adalah apabila urutan linear peristiwa berubah kepada bukan linear bahawa kelajuan menjadi pecutan.

- maksud fizikal pecutan- , sebagai nilai secara berangka sama dengan satu anjakan , dengan penggantian bukan linear peristiwa-interaksi yang menyebabkan anjakan ini . Di mana, atau . Pada masa yang sama, jumlah anjakan dalam kes penggantian bukan linear peristiwa (dengan perubahan linear dalam kadar penggantian peristiwa) untuk sama (15) - formula yang diketahui daripada bangku sekolah

- maksud fizikal bagi pecutan jatuh bebas sesuatu objek- , sebagai nilai malar, secara berangka sama dengan nisbah daya linear yang bertindak ke atas objek (sebenarnya, apa yang dipanggil anjakan linear "semerta" ), berkorelasi dengan nombor bukan linear kejadian berikutnya-interaksi dengan persekitaran dalam masa rasmi, menyebabkan kuasa ini.

Sehubungan itu, nilai yang sama dengan nombor ikutan bukan linear peristiwa, atau hubungan - menerima nama berat badan , dan nilai - berat badan , sebagai daya yang bertindak ke atas badan (pada sokongan) semasa rehat.Mari kita jelaskan perkara di atas, kerana digunakan secara meluas, konsep fizikal asas jisim dalam fizik moden tidak berstruktur secara sebab akibat daripada sebarang interaksi sama sekali. Dan fizik mengetahui fakta perubahan dalam jisim badan semasa tindak balas tertentu (interaksi fizikal) di dalamnya. Contohnya, semasa pereputan radioaktif, jumlah jisim jirim berkurangan.Apabila jasad berada dalam keadaan rehat berbanding dengan permukaan Bumi, jumlah bilangan kejadian-interaksi zarah jasad ini dengan medium tidak homogen dengan kecerunan (atau dipanggil medan graviti) tidak berubah. Dan ini bermakna bahawa daya yang bertindak ke atas jasad tidak berubah, dan jisim inersia adalah berkadar dengan bilangan kejadian objek badan dan objek persekitaran, sama dengan nisbah daya kepada pecutan malarnya. .

Apabila jasad bergerak dalam medan graviti (jatuh), nisbah perubahan daya yang bertindak ke atasnya kepada perubahan bilangan peristiwa juga kekal malar dan nisbah - sepadan dengan jisim graviti. ini membayangkan identiti analisis jisim inersia dan graviti. Apabila jasad bergerak secara tidak linear, tetapi secara mendatar ke permukaan Bumi (di sepanjang permukaan ekuipotensi sfera medan graviti Bumi), maka medan graviti tidak mempunyai kecerunan dalam trajektori ini. Tetapi apa-apa daya yang bertindak ke atas badan adalah berkadar dengan bilangan peristiwa kedua-dua memecut dan menyahpecutan badan. Iaitu, dalam kes itu pergerakan mendatar, sebab pergerakan badan hanya berubah. Dan bilangan peristiwa yang berubah secara tidak linear memberikan pecutan kepada badan dan (hukum ke-2 Newton). Dengan urutan kejadian linear (kedua-duanya memecut dan menyahpecutan), kelajuan badan adalah malar dan kuantiti fizikal, dengan urutan kejadian sedemikian, dalam fizik dipanggil momentum.

- Maksud fizikal momentum sudut, sebagai pergerakan badan di bawah pengaruh peristiwa secara linear mengikut masa.

(16)

- Maksud fizikal cas elektrik objek yang dimasukkan ke dalam medan, sebagai nisbah daya yang bertindak ke atas objek "bercas" (daya Lorentz) pada titik medan kepada nilai cas titik medan. Untuk daya adalah hasil interaksi sifat berkadar objek yang dimasukkan ke dalam medan dan objek medan. Interaksi dinyatakan dalam perubahan sifat berkadar kedua-duanya. Hasil daripada setiap interaksi tunggal, objek bertukar modul perubahan mereka, menukar satu sama lain, yang merupakan nilai daya "semerta" yang bertindak ke atas mereka, sebagai terbitan daya bertindak pada selang ruang. Tetapi dalam fizik moden, medan, sejenis bahan khas, malangnya, tidak mempunyai caj (ia tidak mempunyai objek pembawa caj), tetapi mempunyai ciri yang berbeza - ketegangan pada selang (perbezaan potensi (caj) dalam kekosongan tertentu). Oleh itu, caj dalam magnitudnya menunjukkan berapa kali daya yang bertindak pada objek bercas berbeza daripada kekuatan medan pada titik tertentu (daripada daya "semerta"). (17)

Kemudian cas positif objek– dilihat sebagai caj yang melebihi nilai mutlak (lebih besar) cas titik medan, dan negatif - kurang daripada cas titik medan. Ini membayangkan perbezaan tanda-tanda daya tolakan dan tarikan. Yang menentukan kehadiran arah untuk daya bertindak "tolakan - tarikan". Ternyata caj secara kuantitatif sama dengan bilangan peristiwa-interaksi yang mengubahnya dalam setiap peristiwa mengikut magnitud kekuatan medan. Magnitud caj, mengikut konsep nombor (nilai), adalah hubungan dengan rujukan, unit, caj percubaan -. Dari sini . Apabila cas bergerak, apabila peristiwa mengikuti secara linear (medan adalah homogen), kamiran , dan apabila medan homogen bergerak relatif kepada cas . Oleh itu hubungan fizik yang diketahui ;

- Makna fizikal kekuatan medan elektrik, sebagai nisbah daya yang bertindak ke atas objek bercas kepada bilangan kejadian-interaksi berterusan objek bercas dengan medium bercas. Terdapat ciri berterusan medan elektrik. Ia juga merupakan terbitan berkenaan dengan koordinat daya Lorentz.Kekuatan medan elektrik- ini ialah kuantiti fizik secara berangka sama dengan daya yang bertindak ke atas cas unit dalam satu peristiwa-interaksi () badan bercas dan medan (medium bercas).

(18)

-Maksud fizikal potensi, arus, voltan dan rintangan (konduksi elektrik).

Berkenaan dengan perubahan dalam magnitud pertuduhan

(19)

(20)

(21)

Di mana dipanggil potensi titik medan dan ia diambil sebagai ciri tenaga bagi titik medan tertentu, tetapi sebenarnya ia adalah caj titik medan, yang berbeza dengan faktor caj ujian (rujukan). Atau: . Semasa interaksi caj yang dimasukkan ke dalam medan dan caj titik medan, pertukaran sifat sepadan - caj berlaku. Pertukaran ialah fenomena yang digambarkan sebagai "daya Lorentz bertindak ke atas cas yang dimasukkan ke dalam medan", sama dalam nilai mutlak dengan magnitud perubahan dalam cas, serta dengan magnitud perubahan relatif dalam potensi titik medan. . Apabila cas dimasukkan ke dalam medan Bumi, peluang terakhir boleh diabaikan kerana kekecilan relatif perubahan ini berbanding dengan nilai besar jumlah cas sesuatu titik dalam medan Bumi.

Daripada (20) adalah ketara bahawa arus (I ) ialah terbitan masa bagi magnitud perubahan cas sepanjang selang masa, menukar cas dalam magnitud dalam satu peristiwa-interaksi (interaksi jarak dekat) dengan cas bagi sederhana (titik medan).

* Sehingga kini, dalam fizik, dipercayai bahawa jika: konduktor mempunyai keratan rentas luas S, cas setiap zarah adalah sama dengan q 0, dan isipadu konduktor, dihadkan oleh keratan rentas 1 dan 2 dan panjang. (), mengandungi zarah, dengan n ialah kepekatan zarah. Itu adalah jumlah caj. Jika zarah bergerak ke arah yang sama dengan kelajuan purata v, maka dalam masa semua zarah yang disertakan dalam isipadu yang sedang dipertimbangkan akan melalui keratan rentas 2. Oleh itu, kekuatan arus ialah

.

Sama, kita boleh katakan dalam kes generalisasi metodologi kita (3-6), hanya daripada bilangan zarah, kita harus mengatakan bilangan peristiwa, yang dalam maknanya lebih benar, kerana terdapat lebih banyak zarah bercas (peristiwa) dalam konduktor daripada, sebagai contoh, elektron dalam logam . Kebergantungan akan ditulis semula dalam borang , oleh itu, dalam Sekali lagi kesahihan (3-6) dan generalisasi lain karya ini disahkan.

Dua titik medan homogen, dijarakkan dalam ruang, mempunyai potensi yang berbeza (cas) mempunyai tenaga potensi relatif antara satu sama lain, yang secara berangka sama dengan kerja menukar potensi daripada nilai kepada . Ia sama dengan perbezaan mereka.

. (22)

Jika tidak, seseorang boleh menulis hukum Ohm dengan menyamakan dengan betul

. (23)

Di mana dalam kes ini ialah rintangan, menunjukkan bilangan peristiwa yang diperlukan untuk menukar magnitud cas, dengan syarat bahawa dalam setiap kejadian cas akan berubah dengan nilai malar yang dipanggil arus "semerta", bergantung pada sifat-sifat konduktor. Daripada ini ia mengikuti bahawa arus adalah terbitan masa bagi kuantiti dan konsep voltan. Perlu diingat bahawa dalam unit SI, kekonduksian elektrik dinyatakan dalam Siemens dengan dimensi: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Ampere / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². Rintangan dalam fizik ialah timbal balik hasil kekonduksian elektrik (rintangan bahagian unit bahan) dan panjang konduktor. Apa yang boleh ditulis (dalam erti kata generalisasi (3-6)) sebagai

(24)

- Makna fizikal aruhan medan magnet. Secara empirik, didapati bahawa nisbah nilai maksimum modulus daya yang bertindak pada konduktor pembawa arus (daya Ampere) kepada kekuatan semasa - I kepada panjang konduktor - l, tidak bergantung kepada kekuatan semasa. dalam konduktor, mahupun pada panjang konduktor. Ia diambil sebagai ciri medan magnet di tempat di mana konduktor terletak - aruhan medan magnet, nilai bergantung pada struktur medan - , yang sepadan dengan

(25)

dan sejak , kemudian .

Apabila kita memutarkan bingkai dalam medan magnet, pertama sekali kita meningkatkan bilangan peristiwa-interaksi objek bercas bingkai dan objek bercas medan. Daripada ini mengikuti pergantungan EMF dan arus dalam bingkai pada kelajuan putaran bingkai dan kekuatan medan berhampiran bingkai. Kami menghentikan bingkai - tiada interaksi - tiada arus. W pusingan (perubahan) medan - arus masuk ke dalam bingkai.

- Maksud fizikal suhu. Hari ini dalam fizik konsep - ukuran suhu bukanlah sesuatu yang remeh. Satu kelvin adalah sama dengan 1/273.16 suhu termodinamik bagi titik tiga air. Permulaan skala (0 K) bertepatan dengan sifar mutlak. Penukaran kepada darjah Celsius: ° С \u003d K -273.15 (suhu titik tiga air ialah 0.01 ° C).
Pada tahun 2005, definisi kelvin telah diperhalusi. Dalam Lampiran Teknikal mandatori kepada teks ITS-90, Jawatankuasa Penasihat Termometri menetapkan keperluan untuk komposisi isotop air pada pelaksanaan suhu titik tiga air.

Namun begitu, makna fizikal dan intipati konsep suhu lebih mudah dan jelas. Suhu, pada dasarnya, adalah akibat daripada peristiwa-interaksi yang berlaku di dalam bahan yang mempunyai punca "dalaman" dan "luaran". Lebih banyak acara - lebih banyak suhu, acara yang lebih sedikit- suhu lebih rendah. Oleh itu fenomena perubahan suhu dalam banyak tindak balas kimia. P. L. Kapitsa juga pernah berkata "... ukuran suhu bukanlah pergerakan itu sendiri, tetapi rawak pergerakan ini. Rawak keadaan badan menentukan keadaan suhunya, dan idea ini (yang pertama kali dibangunkan oleh Boltzmann) bahawa keadaan suhu tertentu badan tidak sama sekali ditentukan oleh tenaga pergerakan, tetapi oleh keacakan pergerakan ini, dan adalah konsep baru dalam penerangan fenomena suhu, yang mesti kita gunakan ... " (Laporan pemenang Hadiah Nobel 1978 Petr Leonidovich Kapitsa "Properties of liquid helium", dibaca pada persidangan "Masalah sains moden"di Universiti Moscow pada 21 Disember 1944)
Di bawah ukuran huru-hara seseorang harus memahami ciri kuantitatif nombor itu peristiwa-interaksi per unit masa dalam unit isipadu jirim - its suhu. Bukan kebetulan bahawa Jawatankuasa Antarabangsa bagi Timbang dan Sukat akan mengubah takrifan kelvin (sukatan suhu) pada tahun 2011 untuk menyingkirkan keadaan sukar untuk menghasilkan semula "titik tiga air". Dalam takrifan baharu, kelvin akan dinyatakan dalam sebutan kedua dan nilai pemalar Boltzmann. Yang betul-betul sepadan dengan generalisasi asas (3-6) karya ini. Dalam kes ini, pemalar Boltzmann menyatakan perubahan dalam keadaan jumlah jirim tertentu semasa satu peristiwa (lihat, makna fizikal terbitan), dan magnitud dan dimensi masa mencirikan bilangan peristiwa dalam selang masa. . Ini membuktikan sekali lagi bahawa struktur sebab suhu - peristiwa-interaksi. Hasil daripada peristiwa-interaksi, objek dalam setiap peristiwa bertukar tenaga kinetik (momen impuls seperti dalam perlanggaran bola), dan medium akhirnya memperoleh keseimbangan termodinamik (undang pertama termodinamik).

- Makna fizikal tenaga dan kekuatan.

Dalam fizik moden, tenaga E mempunyai dimensi (alam) yang berbeza. Berapa banyak sifat, begitu banyak tenaga. Sebagai contoh:

Daya didarab dengan panjang (E ≈ F l≈N*m);

Jumlah masa tekanan (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

Impuls didarab dengan kelajuan (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Jisim kali ganda kuasa dua kelajuan (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Arus didarab dengan voltan (E ≈ I U ≈

Daripada perhubungan ini mengikuti konsep tenaga yang diperhalusi dan sambungan dengan piawai tunggal (unit ukuran) tenaga, peristiwa dan perubahan.

tenaga, – ialah ciri kuantitatif perubahan dalam mana-mana parameter fizikal jirim di bawah pengaruh peristiwa-interaksi dimensi yang sama, menyebabkan perubahan ini. Jika tidak, kita boleh mengatakan bahawa tenaga ialah ciri kuantitatif yang digunakan untuk beberapa waktu (pada jarak tertentu) kepada sifat daya bertindak luaran. Magnitud tenaga (nombor) ialah nisbah magnitud perubahan sifat tertentu kepada piawaian tenaga formal yang diterima umum seperti ini. Dimensi tenaga ialah dimensi piawaian tenaga formal yang diterima umum. Sebabnya, magnitud dan dimensi tenaga, perubahannya dalam masa dan ruang, secara rasmi bergantung pada jumlah magnitud perubahan berhubung dengan piawai dan dimensi piawai, dan secara tidak rasmi bergantung pada sifat penggantian peristiwa.

Jumlah nilai perubahan - bergantung pada bilangan peristiwa-interaksi yang mengubah nilai jumlah perubahan dalam satu peristiwa dengan - daya unit purata - nilai terbitan.

Piawaian tenaga sifat tertentu (dimensi) mesti sepadan dengan konsep umum standard (ketunggalan, kesamaan, kebolehubahan), mempunyai dimensi fungsi urutan peristiwa dalam ruang-masa dan nilai yang berubah.

Nisbah ini, sebenarnya, adalah biasa untuk tenaga bagi sebarang perubahan dalam jirim.

Tentang kekuatan. dan nilai atau sebenarnya, terdapat daya "semerta" yang sama yang mengubah tenaga.

. (26)

Oleh itu, di bawah konsep umum Inersia harus difahami sebagai nilai perubahan relatif asas dalam tenaga di bawah tindakan satu peristiwa-interaksi (tidak seperti daya, tidak berkorelasi dengan magnitud selang, tetapi sepatutnya kehadiran selang invarian tindakan itu), yang mempunyai selang masa sebenar (selang ruang) invariancenya sehingga peristiwa seterusnya.

Selang ialah perbezaan antara dua titik dalam masa permulaan ini dan peristiwa setanding seterusnya-interaksi, atau dua titik-koordinat peristiwa dalam ruang.

Inersia mempunyai dimensi tenaga, kerana tenaga ialah jumlah integral nilai-nilai inersia dalam masa di bawah tindakan peristiwa-interaksi. Jumlah perubahan tenaga adalah sama dengan jumlah inersia

(27)

Jika tidak, kita boleh mengatakan bahawa inersia yang diberikan kepada sifat abstrak oleh interaksi peristiwa ke- adalah tenaga perubahan sifat, yang mempunyai sedikit masa invarian sehingga interaksi peristiwa seterusnya;

- makna fizikal masa sebagai cara formal untuk mengetahui magnitud tempoh perubahan (invarians), sebagai cara mengukur magnitud tempoh berbanding dengan piawaian tempoh formal, sebagai ukuran tempoh perubahan (tempoh, tempoh

Dan sudah tiba masanya untuk menghentikan banyak spekulasi mengenai tafsiran konsep asas sains semula jadi ini.

- makna fizikal ruang koordinat , sebagai nilai (ukuran) perubahan (laluan, jarak),

(32)

yang mempunyai dimensi formal, piawaian ruang (koordinat) dan nilai koordinat, sebagai integral fungsi penggantian peristiwa dalam ruang. sama dengan jumlah menyelaras piawai pada selang . Apabila mengukur koordinat, untuk kemudahan, perubahan linear integrand fungsi , kamirannya sama dengan bilangan selang rujukan yang dipilih secara rasmi bagi koordinat unit;

- makna fizikal semua asas ciri-ciri fizikal(parameter) mencirikan sifat medium semasa interaksi setara asas dengannya (kebolehtelapan dielektrik dan magnet, pemalar Planck, pekali geseran dan tegangan permukaan, haba tentu, pemalar dunia, dll.).

Oleh itu, kebergantungan baharu diperolehi yang mempunyai satu bentuk tatatanda asal dan satu makna sebab akibat yang seragam dari segi metodologi. Dan makna kausal ini diperoleh dengan pengenalan prinsip fizikal global - "interaksi peristiwa" ke dalam sains semula jadi.

Di sini, pembaca yang dihormati, apa yang sepatutnya dalam istilah yang paling umum satu matematik baharu yang dikurniakan makna fizikal dan kepastian Dan fizik interaksi baharu abad ke-21 , dibersihkan daripada kumpulan yang tidak relevan, tidak mempunyai kepastian, saiz dan dimensi, dan oleh itu konsep akal. Seperti, contohnya, Bagaimana terbitan klasik dan halaju serta-merta - mempunyai sedikit persamaan dengan konsep fizikal kelajuan. Bagaimana konsep inersia - keupayaan tertentu badan untuk mengekalkan kelajuan ... Bagaimana sistem rujukan inersia (ISO) , yang tiada kaitan dengannya konsep kerangka rujukan(CO). Untuk ISO, tidak seperti kerangka rujukan biasa (CO) bukanlah sistem pengetahuan objektif tentang magnitud pergerakan (perubahan). Berbanding dengan ISO, mengikut definisinya, badan hanya berehat atau bergerak dalam garis lurus atau seragam. Dan juga banyak perkara lain yang telah ditiru secara bodoh selama berabad-abad sebagai kebenaran yang tidak tergoyahkan. Kebenaran palsu ini, yang telah menjadi asas, tidak lagi mampu secara asas, konsisten dan bersebab huraikan dengan kebergantungan umum pelbagai fenomena alam semesta, wujud dan berubah mengikut undang-undang alam yang seragam.

1. kesusasteraan.

1. Hegel G.W.F. Ensiklopedia Sains Falsafah: Dalam 3 jilid Jilid 1: Sains Logik. M., 197 3

2. Hegel G.W.F. , Soch., jilid 5, M., 1937, hlm. 691.

3. F. Inggeris. PSS. v. 20, hlm. 546.

1.1 Beberapa masalah fizik 3

2. Terbitan

2.1 Kadar perubahan fungsi 6

2.2 Fungsi terbitan 7

2.3 Terbitan fungsi kuasa 8

2.4 Makna geometri bagi terbitan 10

2.5 Pembezaan fungsi

2.5.1 Membezakan hasil operasi aritmetik 12

2.5.2 Pembezaan kompleks dan fungsi songsang 13

2.6 Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik 15

3. Pembezaan

3.1 Pembezaan dan makna geometrinya 18

3.2 Sifat pembezaan 21

4. Kesimpulan

4.1 Lampiran 1. 26

4.2 Lampiran 2. 29

5. Senarai literatur terpakai 32

1. Pengenalan

1.1 Beberapa masalah fizik. Pertimbangkan fenomena fizikal mudah: gerakan rectilinear dan taburan jisim linear. Untuk mengkaji mereka, kelajuan pergerakan dan ketumpatan diperkenalkan, masing-masing.

Marilah kita menganalisis fenomena seperti kelajuan pergerakan dan konsep yang berkaitan.

Biarkan badan bergerak dalam garis lurus dan kita tahu jaraknya , dilalui oleh badan untuk setiap diberi masa , iaitu kita tahu jarak sebagai fungsi masa:

Persamaan
dipanggil persamaan gerakan dan garis yang ditakrifkannya dalam sistem gandar
- jadual pergerakan.

Pertimbangkan pergerakan badan semasa selang masa
dari beberapa saat sehingga saat ini
. Pada masanya, badan telah menempuh jalan, dan pada masanya, jalan
. Jadi, dalam unit masa ia telah menempuh jarak

.

Jika gerakan itu seragam, maka terdapat fungsi linear:

Dalam kes ini
, dan hubungannya
menunjukkan berapa banyak unit laluan bagi setiap unit masa; pada masa yang sama, ia kekal malar, tidak kira apa masa dalam masa diambil, bukan pada kenaikan masa yang diambil . Ia adalah sikap yang kekal dipanggil kelajuan seragam.

Tetapi jika gerakan tidak sekata, maka nisbahnya bergantung

daripada , dan daripada . Ia dipanggil kelajuan purata pergerakan dalam selang masa dari kepada dan dilambangkan dengan :

Dalam selang masa ini, dengan jarak perjalanan yang sama, pergerakan boleh berlaku dalam cara yang paling pelbagai; secara grafik, ini digambarkan oleh fakta bahawa antara dua titik pada pesawat (mata
dalam rajah. 1) anda boleh melukis pelbagai garisan
- graf pergerakan dalam selang masa tertentu, dan semua pelbagai pergerakan ini sepadan dengan kelajuan purata yang sama.

Khususnya, antara mata melalui garis lurus
, yang manakah graf bagi seragam dalam selang itu
pergerakan. Jadi kelajuan purata menunjukkan betapa pantas anda perlu bergerak secara seragam untuk lulus dalam selang masa yang sama jarak yang sama
.

Meninggalkan sama , jom kurangkan. Kelajuan purata dikira untuk selang yang diubah
, berbaring di dalam selang yang diberikan, sudah tentu boleh berbeza daripada dalam; sepanjang selang waktu . Ini berikutan daripada ini bahawa kelajuan purata tidak boleh dianggap sebagai ciri pergerakan yang memuaskan: ia (kelajuan purata) bergantung pada selang waktu pengiraan dibuat. Berdasarkan fakta bahawa kelajuan purata dalam selang harus dianggap lebih baik mencirikan pergerakan, semakin kurang , Mari jadikan ia menjadi sifar. Jika pada masa yang sama terdapat had kelajuan purata, maka ia diambil sebagai kelajuan pergerakan masuk masa ini .

Definisi. kelajuan gerakan rectilinear pada masa tertentu dipanggil had kelajuan purata yang sepadan dengan selang , kerana ia cenderung kepada sifar:

Contoh. Mari kita tulis hukum jatuh bebas:

.

Untuk kadar purata kejatuhan dalam selang masa, kita ada

dan untuk kelajuan pada masa ini

.

Ini menunjukkan bahawa kelajuan jatuh bebas adalah berkadar dengan masa gerakan (jatuh).

2. Terbitan

Kadar perubahan fungsi. Fungsi terbitan. Terbitan fungsi kuasa.

2.1 Kadar perubahan fungsi. Setiap satu daripada empat konsep khas: kelajuan pergerakan, ketumpatan, kapasiti haba,

kelajuan tindak balas kimia, walaupun terdapat perbezaan yang ketara dalam makna fizikal mereka, adalah, dari sudut pandangan matematik, kerana ia mudah dilihat, satu dan sama. ciri fungsi yang sepadan. Kesemua mereka adalah jenis tertentu yang dipanggil kadar perubahan fungsi, ditakrifkan, serta konsep khas yang disenaraikan, dengan bantuan konsep had.

Oleh itu marilah kita menganalisis Pandangan umum soalan tentang kadar perubahan sesuatu fungsi
, mengabstraksi daripada makna fizikal pembolehubah
.

Biar dulu
- fungsi linear:

.

Jika pembolehubah bebas mendapat kenaikan
, kemudian fungsi mendapat kenaikan di sini
. Sikap
kekal malar, bebas daripada fungsi mana yang dipertimbangkan, atau yang mana satu diambil .

Hubungan ini dipanggil kadar perubahan fungsi linear. Tetapi jika fungsi tidak linear, maka hubungannya

juga bergantung kepada , dan daripada . Nisbah ini hanya "secara purata" mencirikan fungsi apabila pembolehubah bebas berubah daripada diberikan kepada
; ia adalah sama dengan kelajuan fungsi linear tersebut, yang, diberi mempunyai kenaikan yang sama
.

Definisi.Sikap dipanggilkelajuan purata perubahan fungsi dalam selang
.

Adalah jelas bahawa lebih kecil selang yang dipertimbangkan, lebih baik kelajuan purata mencirikan perubahan dalam fungsi, jadi kami memaksa cenderung kepada sifar. Jika pada masa yang sama terdapat had pada kelajuan purata, maka ia diambil sebagai ukuran, kadar perubahan fungsi untuk sesuatu , Dan dipanggil kadar perubahan fungsi.

Definisi. Kadar perubahan fungsi Vtitik yang diberikan dipanggil had kadar purata perubahan fungsi dalam selang apabila pergi ke sifar:

2.2 Fungsi terbitan. Kadar perubahan fungsi

ditentukan oleh urutan tindakan berikut:

1) dengan kenaikan , diberikan kepada nilai ini , cari kenaikan yang sepadan bagi fungsi itu

;

2) hubungan dibuat;

3) cari had nisbah ini (jika wujud)

dengan kecenderungan sewenang-wenangnya kepada sifar.

Seperti yang telah dinyatakan, jika fungsi ini bukan linear

kemudian hubungan juga bergantung kepada , dan daripada . Had nisbah ini bergantung hanya pada nilai yang dipilih. dan oleh itu merupakan fungsi daripada . Jika fungsi linear, maka had yang dipertimbangkan tidak bergantung pada , iaitu, akan menjadi nilai malar.

Had ini dipanggil terbitan bagi suatu fungsi atau secara ringkas derivatif fungsi dan ditandakan seperti ini:
.Baca: "ef stroke dari » atau "ef prim from".

Definisi. terbitan fungsi ini dipanggil had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan pembolehubah bebas dengan aspirasi sewenang-wenangnya, kenaikan ini kepada sifar:

.

Nilai terbitan fungsi pada mana-mana titik tertentu biasanya dilambangkan
.

Menggunakan definisi terbitan yang diperkenalkan, kita boleh mengatakan bahawa:

1) Kelajuan gerakan rectilinear ialah terbitan daripada

fungsi Oleh (turunan laluan berkenaan dengan masa).

2.3 Terbitan fungsi kuasa.

Mari kita cari derivatif beberapa fungsi mudah.

biarlah
. Kami ada

,

iaitu terbitan
ialah nilai malar bersamaan dengan 1. Ini jelas, kerana - fungsi linear dan kadar perubahan adalah malar.

Jika
, Itu

biarlah
, Kemudian

Adalah mudah untuk melihat corak dalam ungkapan untuk derivatif fungsi kuasa
di
. Mari kita buktikan bahawa, secara umum, terbitan bagi mana-mana eksponen integer positif adalah sama dengan
.

.

Ungkapan dalam pengangka diubah oleh formula binomial Newton :

Di sebelah kanan kesamaan terakhir ialah jumlah istilah, yang pertama tidak bergantung pada , dan selebihnya cenderung kepada sifar bersama-sama dengan . sebab tu

.

Jadi, fungsi kuasa dengan integer positif mempunyai derivatif yang sama dengan:

.

Pada
formula yang diperolehi di atas mengikut formula am yang ditemui.

Keputusan ini benar untuk sebarang penunjuk, contohnya:

.

Pertimbangkan sekarang secara berasingan terbitan pemalar

.

Oleh kerana fungsi ini tidak berubah dengan perubahan dalam pembolehubah bebas, maka
. Oleh itu,

,

T. e. terbitan pemalar ialah sifar.

2.4 Makna geometri bagi terbitan.

Derivatif fungsi mempunyai makna geometri yang sangat mudah dan jelas, yang berkait rapat dengan konsep tangen kepada garis.

Definisi. Tangen
ke garisan
pada titik dia
(Gamb. 2). dipanggil kedudukan had garis yang melalui titik itu, dan satu lagi titik
garis apabila titik ini cenderung bergabung dengan titik yang diberikan.

.Tutorial

Terdapat purata kelajuanperubahanfungsi ke arah garis lurus. 1 dipanggil derivatif fungsi dalam arah dan ditunjukkan. Jadi - (1) - kelajuanperubahanfungsi pada titik...

Had dan kesinambungan fungsi

Belajar

Makna fizikal terbitan. Derivatif mencirikan kelajuanperubahan satu kuantiti fizik berbanding dengan ... . Apakah nilai hujah yang sama kelajuanperubahanfungsi dan Keputusan. , dan, dan. Menggunakan makna fizikal terbitan...

Konsep fungsi satu pembolehubah dan kaedah untuk menentukan fungsi

Dokumen

Konsep pencirian kalkulus pembezaan kelajuanperubahanfungsi; P. ialah fungsi, ditakrifkan bagi setiap x ... terbitan berterusan (pencirian kalkulus pembezaan kelajuanperubahanfungsi pada ketika ini). Kemudian dan...

§ 5 Terbitan separa bagi fungsi kompleks pembezaan fungsi kompleks 1 Terbitan separa bagi fungsi kompleks

Dokumen

Ia wujud dan terhad) akan menjadi kelajuanperubahanfungsi pada satu titik dalam arah vektor. Nya ... dan menandakan atau. Di samping magnitud kelajuanperubahanfungsi, membolehkan anda menentukan sifat perubahanfungsi pada satu titik dalam arah vektor...